2023-2024学年初中数学八年级上册 15.3 二次根式的加减 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·凤阳期末）已知，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·船营期末）下列根式中是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．在二次根式，-，，，中，最简二次根式有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023八下·曾都期末）下列二次根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·玄武期末）下列二次根式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023八下·嘉兴期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·嵊州期末）列各式中计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023八下·建华期末）已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2023八下·前郭尔罗斯期末）计算
10．（2023八下·双鸭山期末）已知，，则 .
11．（2019七下·同安期中）填空：① 的平方根是 ；
②-8的立方根是 ；
③ = ；
④ ；
⑤比较大小： -3.
12．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
13．（2023八下·包河期中）若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝ ．
三、计算题
14．（2023八下·船营期末）计算：(+)—(—)
四、解答题
15．（2022八下·澄城期中）已知 ， ，求 的值.
16．（2022八下·赣州月考）如图，点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．求|n+1|+（n+2-2）的值．
五、综合题
17．（2023八下·会昌期中）若 ，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．（2023八下·咸宁期中）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，所以A正确；
B、，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、，所以D不正确。
故答案为：A.
【分析】通过计算，直接选出正确答案即可。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，不是最简二次根式 ，故不符合题意；
B、是最简二次根式 ，故符合题意；
C、=，不是最简二次根式 ，故不符合题意；
D、 ， 不是最简二次根式 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
3．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质看看每个二次根式是否能继续往外开（也可以根据最简二次根式的定义直接判断)，即可得出答案．
【解答】=4x，不是最简二次根式；
-是最简二次根式；
==，不是最简二次根式；
=，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
即最简二次根式有2个．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义等知识点，注意最简二次根式的定义包括一下三方面的内容：①根指数是2次，②被开方数是整式或整数，③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2．
4．【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将每选项中式子化为最简二次根式，若被开方数与的被开方数相同，既能合并，据此判断即可.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、、无意义，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的概念即可判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式有意义的条件可判断C；根据二次根式的除法法则可判断D.
6．【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；同类二次根式；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：A、，故错误；
B、=3，故错误；
C、(-)2=2，故正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的除法法则即可判断A；根据算术平方根的概念可判断B；根据乘方的意义可判断C；根据同类二次根式的概念即可判断D.
7．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、()2=5+，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B；根据二次根式的乘法法则可判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+2，y=-2，
∴x+y=，xy=(+2)(-2)=5-4=1，
∴==5.
故答案为：C.
【分析】根据x、y的值可得x+y、xy，将待求式变形为，然后代入进行计算即可.
9．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： .
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+，y=-，
∴xy=(+）（-）=3-2=1，x+y=++-=2，
∴原式=xy(x+y)=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】由题意根据平方差公式可计算xy的值，根据合并同类二次根式法则可得x+y的值，则将所求代数式分解因式得原式=xy(x+y)，再整体代换即可求解.
11．【答案】；-2；2；；
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：① 的平方根是 ；
② =-2，所以-8的立方根是-2；
③ = =2；
④ = ；
⑤-3= = ，所以 > .
【分析】利用平方根，立方根计算即可.
12．【答案】②④
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。
故第1空答案为：②④
【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。
13．【答案】1
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得，
∵最简二次根式与二次根式能合并，
∴m=1，
故答案为：1
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
14．【答案】解：原式= － ＋
=＋
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
15．【答案】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据a、b的值结合平方差公式可得ab，利用二次根式的加减法法则可得a-b，将待求式变形为ab(a-b)，据此计算.
16．【答案】解：∵点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴|n+1|+（n+2-2）
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的加减法
【解析】【分析】先求出n的值，再求出，去掉绝对值，最后计算即可。
17．【答案】（1）解：∵ ，，
∴ ，，
∴
（2）解：∵ ，，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意求出a+b和a-b，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）根据题意求出a+b和a-b，再利用完全平方公式进行计算即可。
18．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则可得a+b，由平方差公式可得ab，然后根据a2+b2=(a+b)2-2ab进行计算；
（2）直接代入进行计算即可.
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一、选择题
1．（2023八下·凤阳期末）已知，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，所以A正确；
B、，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、，所以D不正确。
故答案为：A.
【分析】通过计算，直接选出正确答案即可。
2．（2023八下·船营期末）下列根式中是最简二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、=2，不是最简二次根式 ，故不符合题意；
B、是最简二次根式 ，故符合题意；
C、=，不是最简二次根式 ，故不符合题意；
D、 ， 不是最简二次根式 ，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】最简二次根式必须满足两个条件①被开方数不含分母，②被开方数不含能开方开得尽的因数或因式；据此判断即可.
3．在二次根式，-，，，中，最简二次根式有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【分析】根据二次根式的性质看看每个二次根式是否能继续往外开（也可以根据最简二次根式的定义直接判断)，即可得出答案．
【解答】=4x，不是最简二次根式；
-是最简二次根式；
==，不是最简二次根式；
=，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
即最简二次根式有2个．
故选B．
【点评】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义等知识点，注意最简二次根式的定义包括一下三方面的内容：①根指数是2次，②被开方数是整式或整数，③被开方数中每一个因式的指数都小于根指数2．
4．（2023八下·曾都期末）下列二次根式中，化简后能与进行合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
C、与是同类二次根式，能合并，故符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】将每选项中式子化为最简二次根式，若被开方数与的被开方数相同，既能合并，据此判断即可.
5．（2023八下·玄武期末）下列二次根式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、、无意义，故错误；
D、，故正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式的概念即可判断A；根据二次根式的减法法则可判断B；根据二次根式有意义的条件可判断C；根据二次根式的除法法则可判断D.
6．（2023八下·嘉兴期末）下列运算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】算术平方根；二次根式的乘除法；同类二次根式；乘方的相关概念
【解析】【解答】解：A、，故错误；
B、=3，故错误；
C、(-)2=2，故正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的除法法则即可判断A；根据算术平方根的概念可判断B；根据乘方的意义可判断C；根据同类二次根式的概念即可判断D.
7．（2023八下·嵊州期末）列各式中计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、2与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、()2=5+，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据算术平方根的概念可判断B；根据二次根式的乘法法则可判断C；根据完全平方公式可判断D.
8．（2023八下·建华期末）已知，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+2，y=-2，
∴x+y=，xy=(+2)(-2)=5-4=1，
∴==5.
故答案为：C.
【分析】根据x、y的值可得x+y、xy，将待求式变形为，然后代入进行计算即可.
二、填空题
9．（2023八下·前郭尔罗斯期末）计算
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式=；
故答案为： .
【分析】利用二次根式的加减法则计算即可.
10．（2023八下·双鸭山期末）已知，，则 .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵x=+，y=-，
∴xy=(+）（-）=3-2=1，x+y=++-=2，
∴原式=xy(x+y)=1×2=2.
故答案为：2.
【分析】由题意根据平方差公式可计算xy的值，根据合并同类二次根式法则可得x+y的值，则将所求代数式分解因式得原式=xy(x+y)，再整体代换即可求解.
11．（2019七下·同安期中）填空：① 的平方根是 ；
②-8的立方根是 ；
③ = ；
④ ；
⑤比较大小： -3.
【答案】；-2；2；；
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：① 的平方根是 ；
② =-2，所以-8的立方根是-2；
③ = =2；
④ = ；
⑤-3= = ，所以 > .
【分析】利用平方根，立方根计算即可.
12．（2023八下·南昌期中）下列是最简二次根式的有 ．
①；②；③；④．
【答案】②④
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：①，被开方中含有能开方的因数，它不是最简二次根式；②它是最简二次根式；③被开方数中含有分母，它不是最简二次根式；④符合最简二次根式特征，是最简二次根式。
故第1空答案为：②④
【分析】根据最简二次根式的条件分别进行判断，即可得出答案。
13．（2023八下·包河期中）若最简二次根式与二次根式能合并，则m＝ ．
【答案】1
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：由题意得，
∵最简二次根式与二次根式能合并，
∴m=1，
故答案为：1
【分析】根据最简二次根式的定义结合题意即可求解。
三、计算题
14．（2023八下·船营期末）计算：(+)—(—)
【答案】解：原式= － ＋
=＋
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
四、解答题
15．（2022八下·澄城期中）已知 ， ，求 的值.
【答案】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据a、b的值结合平方差公式可得ab，利用二次根式的加减法法则可得a-b，将待求式变形为ab(a-b)，据此计算.
16．（2022八下·赣州月考）如图，点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，设点B所表示的数为n．求|n+1|+（n+2-2）的值．
【答案】解：∵点A表示的数为-，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位后到达点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴|n+1|+（n+2-2）
．
【知识点】无理数在数轴上表示；二次根式的加减法
【解析】【分析】先求出n的值，再求出，去掉绝对值，最后计算即可。
五、综合题
17．（2023八下·会昌期中）若 ，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵ ，，
∴ ，，
∴
（2）解：∵ ，，
∴，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据题意求出a+b和a-b，再利用平方差公式进行计算即可；
（2）根据题意求出a+b和a-b，再利用完全平方公式进行计算即可。
18．（2023八下·咸宁期中）已知，求下列式子的值：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴
（2）解：∵，
∴
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则可得a+b，由平方差公式可得ab，然后根据a2+b2=(a+b)2-2ab进行计算；
（2）直接代入进行计算即可.
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