2023-2024学年初中数学八年级上册 15.3 二次根式的加减 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·南浔期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·新昌期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·惠城期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·武昌期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·江都期末）下列式子，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2017·剑河模拟）下列运算正确的有（ ）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
8．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
二、填空题
9．（2023七下·崆峒期中）计算：
（1） ，
（2） ．
10．（2023·无锡模拟）若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
11．（2023八下·仁化期中）当x= 时，最简二次根式与能够合并．
12．（2023八下·柯桥期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则x的值是 ．
13．（2019八上·浦东期中）化简 .
三、计算题
14．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习）计算：
四、解答题
15．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习） 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 ，求 的值？
解： 由题意得： ，
因为a、b都是有理数，
所以a-3、b+2也是有理数，
由于 是无理数，
所以a-3＝0、b+2＝0，
所以a＝3、b＝-2，
所以 ，
问题： 设x、y都是有理数，且满足 ，求x+y的值，
16．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）解不等式： ．
五、综合题
17．（2023八下·洪山期中）已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
18．（2022八下·微山月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、满足最简二次根式的定义，A符合题意；
B、被开方数中含有分母，不满足最简二次根式的定义，B不符合题意；
C、，被开方数中因式的指数是3＞2，不满足最简二次根式的定义，C不符合题意；
D、被开方数中因式的指数是2＞2，不满足最简二次根式的定义，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，根据该定义逐项分析.
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B、C；根据二次根式的除法法则可判断D.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则逐个计算即可判断选项.
4．【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，，
∴与是同类二次根式的是.
故答案为：A.
【分析】二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
5．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、是最简二次根式，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
6．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；分式的加减法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故此选项错误，不合题意；
B、3 ﹣ =2 ，故此选项错误，不合题意；
C、a6÷a3=a3，正确，符合题意；
D、 + = + = ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式加减运算法则和同底数幂的除法运算法则、分式加减运算法则分别化简求出答案．
8．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
9．【答案】（1）
（2）10
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：10.
【分析】（1）根据二次根式的加法法则计算求解即可；
（2）利用算术平方根，立方根，绝对值计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵+a的值为有理数，
∴a可以为-.
故答案为：-.
【分析】根据0为有理数且互为相反数的两数之和为0进行解答.
11．【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与能够合并 ，
∴3x+5=2x+7，
解得：x=2，
∴当x=2时，最简二次根式与能够合并 ，
故答案为：2.
【分析】利用同类二次根式的定义先求出3x+5=2x+7，再求解即可。
12．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴2x-5=7-x，
解得x=4.
故答案为：4.
【分析】两个最简二次根式为同类二次根式，则被开方数相同，据此可得关于x的方程，求解即可.
13．【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
14．【答案】解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目中的式子，可以将原式通过变形变为1++1++1++···+1+，进行分类，运用列项相消法进行计算即可。
15．【答案】解：
当 时，
当 ，
即 的值是8或0.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目运用的方法，将原式移项构造一个新式子，根据两个项分别为0，求出x和y的值，计算x+y即可。
16．【答案】【解答】由题意： ≤（ + ）x，所以x≥ ，所以x≥
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式
【解析】【分析】此题把解一元一次不等式的范围扩大到实数范围，要求正确应用二次根式的加减法进行运算．
17．【答案】（1）4；1
（2）解：∵，，
∴
（3）解：∵，，
，
∴
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
；
故答案为：4；1.
【分析】（1）根据二次根式的减法法则可得x+y，根据平方差公式可得xy的值；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后代入进行计算；
（3）根据二次根式的加法法则求出x-y，对待求式进行通分并化简可得=，然后代入进行计算.
18．【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：====
（4）解：===3
（5）解：原式===，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（3）利用实数的运算的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（5）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
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一、选择题
1．（2023八下·南浔期末）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、满足最简二次根式的定义，A符合题意；
B、被开方数中含有分母，不满足最简二次根式的定义，B不符合题意；
C、，被开方数中因式的指数是3＞2，不满足最简二次根式的定义，C不符合题意；
D、被开方数中因式的指数是2＞2，不满足最简二次根式的定义，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，根据该定义逐项分析.
2．（2023八下·新昌期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误.
故答案为：C.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；根据二次根式的乘法法则可判断B、C；根据二次根式的除法法则可判断D.
3．（2023八下·惠城期末）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，错误；
B、，错误；
C、，错误；
D、，正确.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加减法、乘除法法则逐个计算即可判断选项.
4．（2023八下·武昌期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：，，，，
∴与是同类二次根式的是.
故答案为：A.
【分析】二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则为同类二次根式，据此判断.
5．（2023八下·江都期末）下列式子，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、是最简二次根式，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式.
6．（2022七下·桐城期末）与-3最接近的整数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】A、在和之间且更接近前者，即在4与5之间且更接近4，整数部分为4，4-3=1，A不符合题意；B、与A同理，B不符合题意；
C、与A同理，C不符合题意；
D、与A同理，更接近的整数为1，故D符合题意.
故答案为：D
【分析】根式的大小，可以通过夹逼法则确定范围。根式大小的比较，可以比较被开方数的大小。
7．（2017·剑河模拟）下列运算正确的有（ ）
A．5ab﹣ab=4 B．3 ﹣ =3
C．a6÷a3=a3 D． + =
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；分式的加减法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、5ab﹣ab=4ab，故此选项错误，不合题意；
B、3 ﹣ =2 ，故此选项错误，不合题意；
C、a6÷a3=a3，正确，符合题意；
D、 + = + = ，故此选项错误，不合题意；
故选：C．
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式加减运算法则和同底数幂的除法运算法则、分式加减运算法则分别化简求出答案．
8．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≤10 B．x≥10
C．x＜10 D．x＞10
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；同类二次根式
【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A．
【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想．
二、填空题
9．（2023七下·崆峒期中）计算：
（1） ，
（2） ．
【答案】（1）
（2）10
【知识点】算术平方根；立方根及开立方；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：10.
【分析】（1）根据二次根式的加法法则计算求解即可；
（2）利用算术平方根，立方根，绝对值计算求解即可。
10．（2023·无锡模拟）若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵+a的值为有理数，
∴a可以为-.
故答案为：-.
【分析】根据0为有理数且互为相反数的两数之和为0进行解答.
11．（2023八下·仁化期中）当x= 时，最简二次根式与能够合并．
【答案】2
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与能够合并 ，
∴3x+5=2x+7，
解得：x=2，
∴当x=2时，最简二次根式与能够合并 ，
故答案为：2.
【分析】利用同类二次根式的定义先求出3x+5=2x+7，再求解即可。
12．（2023八下·柯桥期中）最简二次根式 与 是同类二次根式，则x的值是 ．
【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式，
∴2x-5=7-x，
解得x=4.
故答案为：4.
【分析】两个最简二次根式为同类二次根式，则被开方数相同，据此可得关于x的方程，求解即可.
13．（2019八上·浦东期中）化简 .
【答案】 .
【知识点】二次根式有意义的条件；最简二次根式
【解析】【解答】根据二次根式的定义知， ，
∴ ，
∴ = .
故答案为： .
【分析】先根据二次根式的定义确定出a的取舍范围，再根据二次根式的性质进行化简即可.
三、计算题
14．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习）计算：
【答案】解：
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目中的式子，可以将原式通过变形变为1++1++1++···+1+，进行分类，运用列项相消法进行计算即可。
四、解答题
15．（2018-2019学年初中数学沪科版八年级下册 16.2.4二次根式的加减 同步练习） 先阅读下面材料，然后再根据要求解答提出的问题：
设a、b是有理数，且满足 ，求 的值？
解： 由题意得： ，
因为a、b都是有理数，
所以a-3、b+2也是有理数，
由于 是无理数，
所以a-3＝0、b+2＝0，
所以a＝3、b＝-2，
所以 ，
问题： 设x、y都是有理数，且满足 ，求x+y的值，
【答案】解：
当 时，
当 ，
即 的值是8或0.
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】根据题目运用的方法，将原式移项构造一个新式子，根据两个项分别为0，求出x和y的值，计算x+y即可。
16．（新人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减同步练习）解不等式： ．
【答案】【解答】由题意： ≤（ + ）x，所以x≥ ，所以x≥
【知识点】二次根式的加减法；解一元一次不等式
【解析】【分析】此题把解一元一次不等式的范围扩大到实数范围，要求正确应用二次根式的加减法进行运算．
五、综合题
17．（2023八下·洪山期中）已知.
（1）直接写出 ， ；
（2）试求的值；
（3）试求的值.
【答案】（1）4；1
（2）解：∵，，
∴
（3）解：∵，，
，
∴
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴；
；
故答案为：4；1.
【分析】（1）根据二次根式的减法法则可得x+y，根据平方差公式可得xy的值；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，然后代入进行计算；
（3）根据二次根式的加法法则求出x-y，对待求式进行通分并化简可得=，然后代入进行计算.
18．（2022八下·微山月考）计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：==
（2）解：===
（3）解：====
（4）解：===3
（5）解：原式===，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（2）利用二次根式的乘除运算的计算方法求解即可；
（3）利用实数的运算的计算方法求解即可；
（4）利用二次根式的加减运算的计算方法求解即可；
（5）先利用分式的混合运算化简，再将x的值代入计算即可。
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