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2023-2024学年初中数学八年级上册 15.4 二次根式的混合 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·闵行期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八上·晋中期末）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八上·黄浦月考）下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022八上·闵行期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021八上·承德期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021八上·滕州月考）计算： （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2020八上·福田期末）设 为正整数，且 ，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题
9．（2022八上·闵行期中）分母有理化： ．
10．（2022八上·奉贤期中） 的有理化因式可以是 .
11．（2022八上·奉贤期中）计算： .
12．（2022八上·黄浦月考）不等式的解集是 .
13．（2022八上·将乐期中）若a，b是2022的两个平方根，则 .
三、计算题
14．（2023八上·绍兴月考）计算：
（1）32；
（2）42．
四、解答题
15．（2022八上·黄浦月考）先化简：，再求当，时的值．
16．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
五、综合题
17．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
18．（2022八上·薛城期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
，，
．
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：
（1）计算 ；
（2）计算（写出计算过程）；
（3）如果，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
2．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：实数 的倒数是： ＝ ．
故答案为：D．
【分析】先求出倒数，再利用分母有理化化简即可。
3．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法，二次根式的乘法及二次根式混合运算的计算方法逐项判断即可。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除及分母有理化分别计算，再判断即可.
5．【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用分母有理化解题即可。
6．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
7．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知，＜＜
∴8＜＜9
∵n为正整数
∴n=8
故答案为：B.
【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。
9．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将分子分母同乘即可.
10．【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的有理化因式可以是.
故答案为：.
【分析】先求出，再计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】利用二次根式的除法法则化简求值即可。
12．【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得，，
故不等式的解集是.
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
13．【答案】2022
【知识点】平方根；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a，b是2022的两个平方根，
∴，
∴，
故答案为：2022.
【分析】根据平方根的概念可得a=，b=-，然后代入a+b-ab中计算即可.
14．【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质简化并合并同类项得到结果；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算得到结果.
15．【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将，代入计算即可。
16．【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
18．【答案】（1）
（2）解：由（1）题的结论可得：
=
=
=
（3）解：∵，
∴，
∴，
整理可得：，
∴．
【知识点】代数式求值；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得解；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，即可得解。
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2023-2024学年初中数学八年级上册 15.4 二次根式的混合 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·闵行期中）的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：A．∵，
∴就是的一个有理化因式，故A符合题意；
B．∵，
∴不是的一个有理化因式，故B不符合题意；
C．∵，
∴不是的一个有理化因式，故C不符合题意；
D．∵，
∴不是的一个有理化因式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】有理化因式：两个根式相乘的积不含根号，据此进行解答即可.
2．（2021八上·晋中期末）实数的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：实数 的倒数是： ＝ ．
故答案为：D．
【分析】先求出倒数，再利用分母有理化化简即可。
3．（2022八上·黄浦月考）下列各式运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法，二次根式的乘法及二次根式混合运算的计算方法逐项判断即可。
4．（2022八上·闵行期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；分母有理化；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、，故本选项不合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的乘除及分母有理化分别计算，再判断即可.
5．（2021八上·承德期末）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】利用分母有理化解题即可。
6．（2021八上·秦都月考）用四张一样大小的长方形纸片拼成一个如图所示的正方形 ，它的面积是75， ，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
小正方形的边长为：
这个小正方形的周长为 ，
故答案为：B.
【分析】根据正方形面积公式求出AB长，然后根据线段间的和差关系求出BE，根据纸片的长和宽的差求出小正方形的边长，最后求其周长即可.
7．（2021八上·滕州月考）计算： （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】原式 ．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减乘除法则计算求解即可。
8．（2020八上·福田期末）设 为正整数，且 ，则 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据题意可知，＜＜
∴8＜＜9
∵n为正整数
∴n=8
故答案为：B.
【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。
二、填空题
9．（2022八上·闵行期中）分母有理化： ．
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】将分子分母同乘即可.
10．（2022八上·奉贤期中） 的有理化因式可以是 .
【答案】
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：∵，
∴ 的有理化因式可以是.
故答案为：.
【分析】先求出，再计算求解即可。
11．（2022八上·奉贤期中）计算： .
【答案】
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】利用二次根式的除法法则化简求值即可。
12．（2022八上·黄浦月考）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】分母有理化；解一元一次不等式
【解析】【解答】移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1得，，
故不等式的解集是.
【分析】利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可。
13．（2022八上·将乐期中）若a，b是2022的两个平方根，则 .
【答案】2022
【知识点】平方根；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵a，b是2022的两个平方根，
∴，
∴，
故答案为：2022.
【分析】根据平方根的概念可得a=，b=-，然后代入a+b-ab中计算即可.
三、计算题
14．（2023八上·绍兴月考）计算：
（1）32；
（2）42．
【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式=.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的性质简化并合并同类项得到结果；
（2）根据二次根式的乘法和除法法则计算得到结果.
四、解答题
15．（2022八上·黄浦月考）先化简：，再求当，时的值．
【答案】解：原式
，
当，时，
原式
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再将，代入计算即可。
16．（2022八上·奉贤期中）化简并求值：已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴
【知识点】代数式求值；分母有理化
【解析】【分析】先利用分母有理化求出，再将x的值代入计算即可。
五、综合题
17．（2023八上·宁波期末）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，
如：
（1）【类比归纳】
请你仿照小明的方法将化成另一个式子的平方．
（2）【变式探究】
若且a，m，n均为正整数，求a值.
【答案】（1）解：；
（2）解：∵m+n=a，mn=21，
又∵ a，m，n均为正整数 ，
∴m=1，n=21或m=3，n=7或n=1，m=21或n=3，m=7，
∴a=22或10.
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）由于7=2+5，且10=2×5，从而仿照题干给出的阅读材料解题即可；
（2）根据（1）发现的规律可得m+n=a，mn=21，进而结合a，m，n均为正整数 ，求解即可.
18．（2022八上·薛城期中）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的：
，
，
，
，
，，
．
请你认真审视小明的解答过程，根据他的做法解决下列问题：
（1）计算 ；
（2）计算（写出计算过程）；
（3）如果，求的值．
【答案】（1）
（2）解：由（1）题的结论可得：
=
=
=
（3）解：∵，
∴，
∴，
整理可得：，
∴．
【知识点】代数式求值；分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）；
故答案为：；
【分析】（1）根据小明的解答总结出规律即可；
（2）结合（1）进行分母有理化，再合并即可得解；
（3）根据平方差公式，可分母有理化，根据整体代入，即可得解。
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