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2023-2024学年初中数学八年级上册 15.4 二次根式的混合 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：原式=
=3-4
=-1，
故答案为：A．
【分析】 根据平方差公式和二次根式的性质计算即可．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算正确，符合题意；
B、与2不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B、C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
3．（2023八下·长沙期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意运用二次根式的混合运算即可求解。
4．（2023八下·北京市期中）把化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据得，m-1＜0，所以，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，可以把根号外的非负因式平方后移到根号下。
5．（2023八下·宜春期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．（a＞0）
C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、（a＞0），B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的混合运算结合二次根式有意义的条件即可求解。
6．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
7．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
二、填空题
9．（2023八下·盐城月考）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：18.
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可.
10．（2023七下·庐阳期末）若，其中，均为整数，则 ．
【答案】或
【知识点】二次根式的应用；算数平方根的非负性
【解析】【解答】∵x，y均为整数， 与的和为2，也为整数，说明与也为整数，∴要满足原方程，只能为0+2=2，2+0=2或1+1=2，∴x=2023，y=-2019或x=2027，y=-2023或x=2024，y-2022，∴x+y=2或4.
【分析】由二次根式的非负性及x，y和 均为整数，可知只有0+2=2或2+0=2或1+1=2这三种情况.
11．（2023八下·抚远期中）计算： ．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：原式==.
故答案为：.
【分析】给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式进行计算即可.
12．已知，则 ．
【答案】4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴ x（x+2）=（-1）（-1+2）=4；
故答案为：4.
【分析】利用提公因式将原式变形为 x（x+2），然后代入计算即可.
13．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
三、解答题
14．（2023七下·遵义期末）计算
（1）下面是小华同学解答题目的过程：
第一步．
第二步．
第三步．
第四步．
小华的解题过程是否有错误 如果有，请指出在第几步出现错误，并从这一步开始写出正确解答过程．
（2）
【答案】（1）解：错误．出现在第二步，正确解答为：
原式
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据去括号法则： 括号前面是减号，去掉括号和减号，括号里面各项都变号，可知第二步出现错误；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可。
15．（2022八上·太原期中）从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，）
【答案】解：将代入得：，
答：他能看到大海的最远距离约是24千米．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】将代入，再求出s的值即可。
四、综合题
16．（2023八下·柳州期末）阅读下面的材料并解决问题.
……
（1）观察上式并填空： .
（2）观察上式并猜想：当n是正整数时， ；（用含的式子表示）
（3）请利用（2）的结论计算下列式子：
【答案】（1）
（2）
（3）原式
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，即
（2）
（3）根据（2）的化简过程，原式=
【分析】(1)结合阅读材料中分母有理化的方法，分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（2）同（1）分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（3）将每一个分母中含根号的二次根式利用（2）中的结论进行转化，然后通过合并同类项消项到最简，再利用平方差公式计算.
17．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
18．（2023八下·增城期中）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1） 的有理化因式为 ；
（2）将式子分母有理化；
（3）化简：．
【答案】（1）
（2）解： ；
（3）解：
．
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴ 的有理化因式为，
故答案为：.
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）根据题意先分母有理化，再合并计算求解即可。
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2023-2024学年初中数学八年级上册 15.4 二次根式的混合 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·长沙期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·北京市期中）把化简得（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·宜春期中）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．（a＞0）
C． D．
6．已知a= ，b= ，则a与b的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方值相等
7．（2020九下·德州期中）已知 ， ， 表示取三个数中最大的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =81﹒当 ， ， = 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2023八下·盐城月考）已知，，则代数式的值为 ．
10．（2023七下·庐阳期末）若，其中，均为整数，则 ．
11．（2023八下·抚远期中）计算： ．
12．已知，则 ．
13．（2021八下·合肥期末）阅读理解：对于任意正整数a，b，∵，∴，∴，只有当时，等号成立；结论：在（a、b均为正实数）中，只有当时，有最小值.若，有最小值为 ．
三、解答题
14．（2023七下·遵义期末）计算
（1）下面是小华同学解答题目的过程：
第一步．
第二步．
第三步．
第四步．
小华的解题过程是否有错误 如果有，请指出在第几步出现错误，并从这一步开始写出正确解答过程．
（2）
15．（2022八上·太原期中）从理论上讲，人眼能看清楚无限远处的物体，但受光线等外在条件和人的眼球本身的健康程度等影响，实际上无法做到．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s可用经验公式来估计，其中h是眼睛离海平面的高度（公式中s的单位是千米，h的单位是米）．某游客站在海边一处观景台上，眼睛距离海平面的高度约为34米，他能看到大海的最远距离约是多少千米？（结果保留整数，）
四、综合题
16．（2023八下·柳州期末）阅读下面的材料并解决问题.
……
（1）观察上式并填空： .
（2）观察上式并猜想：当n是正整数时， ；（用含的式子表示）
（3）请利用（2）的结论计算下列式子：
17．（2023八下·任城期中）阅读下面的材料，解决问题：
像、、、……，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．
例如：；；
（1）计算： ； ；
（2）计算：；
（3）比较和的大小，并说明理由．
18．（2023八下·增城期中）材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
例如：，我们称的一个有理化因式是．
材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
例如：．
请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
（1） 的有理化因式为 ；
（2）将式子分母有理化；
（3）化简：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 解：原式=
=3-4
=-1，
故答案为：A．
【分析】 根据平方差公式和二次根式的性质计算即可．
2．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故此选项计算正确，符合题意；
B、与2不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B、C选项进行判断；根据二次根式的减法运算对D选项进行判断．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据题意运用二次根式的混合运算即可求解。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：根据得，m-1＜0，所以，
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的性质，可以把根号外的非负因式平方后移到根号下。
5．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、（a＞0），B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次根式的混合运算结合二次根式有意义的条件即可求解。
6．【答案】C
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：；
；
∴a与b互为倒数.
故答案为：C.
【分析】本题利用分母有理化，得出，再观察a与b的关系。
7．【答案】B
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：当 ， ， = 时，
若 ，解得：x= ，此时 ，此时符合题意；
若 ，解得：x= ，此时 ，此时不符合题意；
若x= ，此时 ，此时不符合题意，
综上，x= ，
故答案为：B.
【分析】直接利用已知分别分析得出正确的答案．
8．【答案】D
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
9．【答案】18
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
.
故答案为：18.
【分析】先根据二次根式的加法法则和乘法法则求出x+y和xy的值，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可.
10．【答案】或
【知识点】二次根式的应用；算数平方根的非负性
【解析】【解答】∵x，y均为整数， 与的和为2，也为整数，说明与也为整数，∴要满足原方程，只能为0+2=2，2+0=2或1+1=2，∴x=2023，y=-2019或x=2027，y=-2023或x=2024，y-2022，∴x+y=2或4.
【分析】由二次根式的非负性及x，y和 均为整数，可知只有0+2=2或2+0=2或1+1=2这三种情况.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化
【解析】【解答】解：原式==.
故答案为：.
【分析】给分子、分母同时乘以，然后利用平方差公式进行计算即可.
12．【答案】4
【知识点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴ x（x+2）=（-1）（-1+2）=4；
故答案为：4.
【分析】利用提公因式将原式变形为 x（x+2），然后代入计算即可.
13．【答案】3
【知识点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：由题中结论可得
即：当时，有最小值为3，
故答案为：3．
【分析】将原式化为，然后根据题中材料所给结论，可得3，即可求解.
14．【答案】（1）解：错误．出现在第二步，正确解答为：
原式
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据去括号法则： 括号前面是减号，去掉括号和减号，括号里面各项都变号，可知第二步出现错误；
（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可。
15．【答案】解：将代入得：，
答：他能看到大海的最远距离约是24千米．
【知识点】二次根式的应用
【解析】【分析】将代入，再求出s的值即可。
16．【答案】（1）
（2）
（3）原式
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）根据题意，，即
（2）
（3）根据（2）的化简过程，原式=
【分析】(1)结合阅读材料中分母有理化的方法，分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（2）同（1）分子分母同乘以，分母利用平方差公式化简；
（3）将每一个分母中含根号的二次根式利用（2）中的结论进行转化，然后通过合并同类项消项到最简，再利用平方差公式计算.
17．【答案】（1）；
（2）解：
（3）解： ， ，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）； ；
故答案为：；；
【分析】（1）根据分母有理化进行求解即可；
（2）将各分母进行有理化运算，再合并即可；
（3）先求出各式的倒数，再进行比较即可.
18．【答案】（1）
（2）解： ；
（3）解：
．
【知识点】分母有理化
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴ 的有理化因式为，
故答案为：.
【分析】（1）根据有理化因式的定义求解即可；
（2）利用平方差公式计算求解即可；
（3）根据题意先分母有理化，再合并计算求解即可。
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