2023-2024学年初中数学八年级上册 16.2 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八上·渭滨期末）把各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标都不变，所得图形是下列答案中的（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·海曙期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．共 B．力 C．齐 D．心
3．（2023八上·江北期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．> C． D．
4．（2023八上·慈溪期末）在下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022八上·顺义期末）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．下图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·抚远期末）下面这些钢架雪车运动标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020八上·绵阳期末）如图，在四边形 ABCD 中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
8．（2020八上·西湖期末）如图， ，点B关于 的对称点E恰好落在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B． C． D．
二、填空题
9．（2022八上·冠县期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若，则的大小为 ．
10．（2022八上·定南期中）如图是一个轴对称图形，若，则 ．
11．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点.
12．（2021八上·鼓楼月考）如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
13．（2020八上·武进月考）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
三、解答题
14．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
15．（2020八上·云县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（3，﹣3），C（4，3）．
( 1 )在平面直角坐标系中标出A、B、C三点，画出△ABC；
( 2 )作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1三点坐标．
四、作图题
16．（2019八上·天台期中）已知：如图，△AOB的顶点O在直线 上，且AO=AB.
（1）画出△AOB关于直线 成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在(1)画出的图形中，AC与BD的位置关系是 ；
（3）在(1)画出的图形中连接AD，如果∠ABD=2∠ADB.
求证：△AOC是等边三角形，并直接写出∠DAO∶∠DAB的值.
五、综合题
17．（2021八上·绵阳期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G.
（1）写出与BG相等的线段，并证明.
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF.根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE.
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系.
18．（2021八上·乾安期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （不必证明）；
（3）运用与发现：
已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵把各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标都不变，
∴则两个三角形关于y轴对称.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此判断.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C都不是轴对称图形，不符合题意；D是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
5．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义，结合图形可知：文，多，友，化，四个字的甲骨文，最接近轴对称图形的是：文；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
6．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
7．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=70°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=70°，
∴∠EAF=110°-70°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=70°，即可得出答案．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE.
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB=AE，BC=EC，
∴∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.
∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED.
设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.
∴∠DAE=∠DAB-∠EAC-∠BAC= .
∵∠AED=∠EAC+ECA=x+y，∴∠D=x+y.
∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，∴ +x+y+x+y=180°，
∴ =180°，
∴x= （180°-α）=90° .
即∠ACB=90° .
故答案为：D.
【分析】连接BE.由轴对称的性质得到AC垂直平分BE，进而得到∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.根据等腰三角形的性质得到∠D=∠AED.设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.然后根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得α+2x=180°，即可得到结论.
9．【答案】130°
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是轴对称图形，
∴，
∴．
故答案为：130°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠BCA的度数，再利用轴对称的性质可得，最后利用角的运算可得。
10．【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵图形是一个轴对称图形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】根据轴对称的性质可得，再利用三角形的内角和可得。
11．【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则 4 个点中， 可以反弹击中N球的是：D.
故答案为：D.
【分析】可做点N关于桌面一边AB的对称点N'，连接对称点与M的线段交桌面一边AB于一点，则交点即为所求.
12．【答案】31
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
13．【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH.
故答案为：5.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此进行解答即可.
14．【答案】解：如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于x轴的对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ；
（2）如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于y轴对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于x轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可；
（2）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可。
15．【答案】解：⑴如图所示，△ABC即为所求；
；
⑵如图所示，△A1B1C1即为所求，A1、B1、C1三点坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，﹣3），（﹣4，3）．
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，直接作出△ABC即可；
（2）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1、B1、C1的坐标即可。
16．【答案】（1）解：如图
（2）平行
（3）设∠ABO=x，
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
则∠BAO=180°-2x=180°-2x=2(90°-x)，
∵∠COD=∠AOB=x，
∠DOB=360°-∠AOC-∠COD-∠AOB=360°-60°-2x=300°-2x，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD==x-60°，
∴∠ABD=∠ABO+∠OBD=x+x-60°=2x-60°，
∴∠ADB=∠ABD=x-30°，
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-（3x-90°）=270°-3x=3(90°-x).，
∴∠DAO=∠DAB-∠BAO=3(90°-x)-2(90°-x)=90°-x，
∴∠DAB=3∠DAO，即∠DAO∶∠DAB=1：3 .
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（2）∵AC与BD是对应点的连线，
∴AC∥BD.
故答案为：平行.
【分析】（1）分别作出A、O、B关于l的对称点C、O、D，然后顺次连接三点即可；
（2）根据对称的性质，由于l垂直平分AC和BD，由两条直线同时垂直一条直线，则AC和BD平行；
（3） 根据对称的性质，得出 ∠ABO=∠CDO，∠OBD=∠ODB，结合∠ABD=2∠ADB ，推出DA是∠CDB的平分线，结合AC平行BD ，可得CD=AD，再结合△ABO和△COD对称且AB=AO，从而可得CA=CO=AO，则△AOC是等边三角形；设∠ABO=x， 设而不求，运用统一量的思想，通过等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理，分别把∠BAO、∠DOB、∠OBD、∠ABD和∠DAO全部用含x的代数式表示，最后求 ∠DAO和∠DAB的比值即可.
17．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
.
（2）解：如图2示，点D为线段BC的中点，连接DF，
证明：是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
.
（3）解：结论：.
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）结论：.
理由：如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于.
，关于对称，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
.
【分析】(1)先根据余角的性质求出 ，再利用ASA证明△CBG≌△ACD，即可得出BG=CD；
(2)连接DF，利用SAS证明△BFD≌△BFG，得出∠BDF=∠G，再由△CBG≌△ACD，得出∠ADC=∠G，即可得出∠BDF＝∠CDE；
(3)结论：. 在上取一点，使得，连接，过点作于，于，利用AAS证明，得出，则可得到，再由△CBG≌△ACD，得出AD=CG，最后根据线段间的和差关系即可得出结论.
18．【答案】（1）（3，5）；（5，-2）
（2）(b，a)
（3）解：由(2)得，D(1，-3) 关于直线l的对称点 的坐标为(-3，1)，连接 E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小。
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】(1)如图：B′C′（3，5）、C′（5，-2）
【分析】（1）根据轴对称的性质写出关于直线l对称的点的坐标；
（2）根据（1）中三组坐标的规律写出答案即可；
（3）根据轴对称的性质计算即可。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 16.2 线段的垂直平分线 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八上·渭滨期末）把各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标都不变，所得图形是下列答案中的（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵把各顶点的横坐标都乘以-1，纵坐标都不变，
∴则两个三角形关于y轴对称.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此判断.
2．（2023八上·海曙期末）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．共 B．力 C．齐 D．心
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．（2023八上·江北期末）下列数学符号中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B．> C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
4．（2023八上·慈溪期末）在下列交通标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、B、C都不是轴对称图形，不符合题意；D是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
5．（2022八上·顺义期末）甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式，有时候也被认为是汉字的书体之一，也是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字．下图为甲骨文对照表中的四个字，若把这四个甲骨文的文字抽象为几何图形，其中最接近轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：由轴对称图形的定义，结合图形可知：文，多，友，化，四个字的甲骨文，最接近轴对称图形的是：文；
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
6．（2022八上·抚远期末）下面这些钢架雪车运动标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可。
7．（2020八上·绵阳期末）如图，在四边形 ABCD 中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF 的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C=70°，∠B=∠D=90°，
∴∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=70°，
∴∠EAF=110°-70°=40°，
故答案为：B．
【分析】根据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠EAA′+∠A″AF=70°，即可得出答案．
8．（2020八上·西湖期末）如图， ，点B关于 的对称点E恰好落在 上，若 ，则 的度数为（ ）
A．45° B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BE.
∵点B关于AC的对称点E恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BE，
∴AB=AE，BC=EC，
∴∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.
∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED.
设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.
∴∠DAE=∠DAB-∠EAC-∠BAC= .
∵∠AED=∠EAC+ECA=x+y，∴∠D=x+y.
∵∠DAE+∠AED+∠D=180°，∴ +x+y+x+y=180°，
∴ =180°，
∴x= （180°-α）=90° .
即∠ACB=90° .
故答案为：D.
【分析】连接BE.由轴对称的性质得到AC垂直平分BE，进而得到∠BAC=∠EAC，∠BCA=∠ECA.根据等腰三角形的性质得到∠D=∠AED.设∠EAC=y，∠ACB=x，则∠BAC=y，∠ACE=x.然后根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得α+2x=180°，即可得到结论.
二、填空题
9．（2022八上·冠县期中）如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若，则的大小为 ．
【答案】130°
【知识点】角的运算；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形ABCD是轴对称图形，
∴，
∴．
故答案为：130°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠BCA的度数，再利用轴对称的性质可得，最后利用角的运算可得。
10．（2022八上·定南期中）如图是一个轴对称图形，若，则 ．
【答案】120°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵图形是一个轴对称图形，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
【分析】根据轴对称的性质可得，再利用三角形的内角和可得。
11．（2022八上·广西壮族自治区期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 点.
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，
则 4 个点中， 可以反弹击中N球的是：D.
故答案为：D.
【分析】可做点N关于桌面一边AB的对称点N'，连接对称点与M的线段交桌面一边AB于一点，则交点即为所求.
12．（2021八上·鼓楼月考）如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
【答案】31
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
13．（2020八上·武进月考）如图，在 的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的 ，请你找出格纸中所有与 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个.
【答案】5
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，
分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH.
故答案为：5.
【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形，据此进行解答即可.
三、解答题
14．（2021八上·临沭期中） 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上，点B的坐标为 ．
（ 1 ）作出 关于x轴对称的 ，并写出点 的坐标；
（ 2 ）作出 关于y轴对称的 ，并写出点 的坐标，
【答案】解：如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于x轴的对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ；
（2）如图， 的点坐标分别为： ， ， ，所以关于y轴对称点分别为： ， ， ，顺次连接，则 即为所求；
点 的坐标 ．
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于x轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可；
（2）先根据轴对称的性质找出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接并直接写出点 的坐标即可。
15．（2020八上·云县期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，1），B（3，﹣3），C（4，3）．
( 1 )在平面直角坐标系中标出A、B、C三点，画出△ABC；
( 2 )作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1三点坐标．
【答案】解：⑴如图所示，△ABC即为所求；
；
⑵如图所示，△A1B1C1即为所求，A1、B1、C1三点坐标分别为（﹣1，1），（﹣3，﹣3），（﹣4，3）．
【知识点】作图﹣轴对称；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据点A、B、C的坐标，直接作出△ABC即可；
（2）利用轴对称的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点A1、B1、C1的坐标即可。
四、作图题
16．（2019八上·天台期中）已知：如图，△AOB的顶点O在直线 上，且AO=AB.
（1）画出△AOB关于直线 成轴对称的图形△COD，且使点A的对称点为点C；
（2）在(1)画出的图形中，AC与BD的位置关系是 ；
（3）在(1)画出的图形中连接AD，如果∠ABD=2∠ADB.
求证：△AOC是等边三角形，并直接写出∠DAO∶∠DAB的值.
【答案】（1）解：如图
（2）平行
（3）设∠ABO=x，
∵OA=AB，
∴∠AOB=∠ABO，
则∠BAO=180°-2x=180°-2x=2(90°-x)，
∵∠COD=∠AOB=x，
∠DOB=360°-∠AOC-∠COD-∠AOB=360°-60°-2x=300°-2x，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD==x-60°，
∴∠ABD=∠ABO+∠OBD=x+x-60°=2x-60°，
∴∠ADB=∠ABD=x-30°，
∴∠DAB=180°-∠ADB-∠ABD=180°-（3x-90°）=270°-3x=3(90°-x).，
∴∠DAO=∠DAB-∠BAO=3(90°-x)-2(90°-x)=90°-x，
∴∠DAB=3∠DAO，即∠DAO∶∠DAB=1：3 .
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】（2）∵AC与BD是对应点的连线，
∴AC∥BD.
故答案为：平行.
【分析】（1）分别作出A、O、B关于l的对称点C、O、D，然后顺次连接三点即可；
（2）根据对称的性质，由于l垂直平分AC和BD，由两条直线同时垂直一条直线，则AC和BD平行；
（3） 根据对称的性质，得出 ∠ABO=∠CDO，∠OBD=∠ODB，结合∠ABD=2∠ADB ，推出DA是∠CDB的平分线，结合AC平行BD ，可得CD=AD，再结合△ABO和△COD对称且AB=AO，从而可得CA=CO=AO，则△AOC是等边三角形；设∠ABO=x， 设而不求，运用统一量的思想，通过等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理，分别把∠BAO、∠DOB、∠OBD、∠ABD和∠DAO全部用含x的代数式表示，最后求 ∠DAO和∠DAB的比值即可.
五、综合题
17．（2021八上·绵阳期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC.D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G.
（1）写出与BG相等的线段，并证明.
（2）若点D为线段BC的中点，其余条件不变，连接DF.根据题意，先在图2中补全图形，再证明：∠BDF＝∠CDE.
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系.
【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
.
（2）解：如图2示，点D为线段BC的中点，连接DF，
证明：是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
.
（3）解：结论：.
【知识点】三角形全等的判定；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（3）结论：.
理由：如图3中，在上取一点，使得，连接，过点作于，于.
，关于对称，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
.
【分析】(1)先根据余角的性质求出 ，再利用ASA证明△CBG≌△ACD，即可得出BG=CD；
(2)连接DF，利用SAS证明△BFD≌△BFG，得出∠BDF=∠G，再由△CBG≌△ACD，得出∠ADC=∠G，即可得出∠BDF＝∠CDE；
(3)结论：. 在上取一点，使得，连接，过点作于，于，利用AAS证明，得出，则可得到，再由△CBG≌△ACD，得出AD=CG，最后根据线段间的和差关系即可得出结论.
18．（2021八上·乾安期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
（1）实验与探究：
由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5，3)、C(-2，5)关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′ 、C′ ；
（2）归纳与发现：
结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a，b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （不必证明）；
（3）运用与发现：
已知两点D(1，-3)、E(-1，-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小.
【答案】（1）（3，5）；（5，-2）
（2）(b，a)
（3）解：由(2)得，D(1，-3) 关于直线l的对称点 的坐标为(-3，1)，连接 E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小。
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】(1)如图：B′C′（3，5）、C′（5，-2）
【分析】（1）根据轴对称的性质写出关于直线l对称的点的坐标；
（2）根据（1）中三组坐标的规律写出答案即可；
（3）根据轴对称的性质计算即可。
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