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2023-2024学年初中数学八年级上册 16.3 角的平分线 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八上·苍溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴S△ABD＝ ＝ ＝40，
故答案为：B.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝CD＝5，进而根据三角形的面积等于底×高÷2即可算出答案.
2．（2022八上·文峰月考）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）.
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为点F、D、E，
由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，
故答案为：C.
【分析】过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为点F、D、E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，进而根据三角形的面积计算公式可得等高三角形的面积之比就是底之比即可得出答案.
3．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
4．（2023八上·蜀山期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，，，
∴G点到的距离等于的长，即G点到的距离为1，
∴的面积．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质可得G点到的距离为1，再利用三角形的面积公式求解即可。
5．（2019八下·杜尔伯特期末）如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP=∠APQ，PR=PS，下面的结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】连接AP，
∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS=AR，
又AQ=PQ，
∴∠2=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故答案为：A．
【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．
6．（2023八上·扶沟期末）如图，在四边形中，，，连接，，垂足为C，并且，点E是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作交于点H，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∴点C是直线外一点，
∴当点E在上运动时，点E运动到与点H重合时最短，其长度为长等于3，
即长的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥AD交AD于点H，根据内角和定理可得∠D+∠ACD+∠CAD=180°，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，由已知条件可知∠ACB=∠D，则∠BAC=∠DAC，推出AC是∠BAD的角平分线，由角平分线的性质可得CH=BC=3，然后结合垂线段最短的性质可得CE的最小值.
7．（2022八上·东阿期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得。
8．（2022八上·瑞安月考）如图，利用尺规作图作一个角等于已知角，其依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接BC，EF，
由作图可知
AB=AC=DE=DF，BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D
故答案为：A
【分析】利用作一个角等于已知角的作图方法可知AB=AC=DE=DF，BC=EF，利用SSS可证得△ABC≌△DEF，利用全等三角形的对应角相等可得到∠A=∠D，即可求解.
二、填空题
9．（2023八上·汉阴期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
10．（2023八上·岳池期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是
【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，
又∵ AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=，
∴，
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程，求解即可.
11．（2022八上·源城期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，则点D到AB的距离为 ．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD=5，
即点D到AB的距离是5．
故答案为：5．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD=5，即可得到点D到AB的距离是5。
12．（2022八上·江宁月考）如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线.若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为 m2.
【答案】240
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320m2，
∴，解得：，
∴，
∴△ACD的面积为.
故答案为：240.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据三角形的面积计算公式并结合△ABD的面积算出DE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可算出△ACD的面积.
13．（2022八上·冠县期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】当时，最小，根据角平分线的性质可得，从而得解。
三、解答题
14．（2022八上·文峰月考）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？
【答案】解：点P在的平分线上.
理由：过点P分别向，作垂线，
∵，，，，
∴，
∴点P是在的平分线上.
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】 点P在∠AOB的平分线上，理由：过点P分别向OA，OB作垂线，根据三角形的面积计算公式，当两个三角形的面积相等的时候，如果其底相等，则高也相等可得PH=PE，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可得结论.
四、作图题
15．（2023八上·韩城期末）如图，已知和直线，请用尺规作图法在直线上找一点P，使得点P到两边的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：如图，
点P即为所求.
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上，又该点在直线MN上，故点P应该是∠AOB角平分线与直线NM的交点，从而利用尺规作图法，作出∠AOB的角平分线OP，交MN于点P.
16．（2022八上·东阿期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置．
【答案】解：连接并作的垂直平分线，同时作的角平分线交点即为P点如图所示．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
五、综合题
17．（2022八上·长顺期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E.
（1）若，，求的度数；
（2）证明：.
【答案】（1）解：∵是的外角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）证明：∵是的外角，是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质∠DCE=∠B+∠E求得∠DCE的度数，由角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE，于是在三角形ACE中，用三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质∠DCE=∠B+∠E，∠BAC=∠E+∠ACE，结合角平分线的性质可求解.
18．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中，，，点是上一点，连结设：，当分别满足下列条件时，求的值.
（1）AD为边上的中线；
（2）AD为的平分线.
【答案】（1）解：为边上的中线，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点于点，
为的平分线，
，
的面积，的面积，
，
，，
，
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中线的概念可得BD=CD，则，据此可得k的值；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，根据角平分线的性质可得DM=DN，结合三角形的面积公式可得，据此求解.
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2023-2024学年初中数学八年级上册 16.3 角的平分线 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八上·苍溪期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ）
A．80 B．40 C．20 D．10
2．（2022八上·文峰月考）如图，的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（ ）.
A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
3．（2022八上·温州期中）如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·蜀山期末）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2019八下·杜尔伯特期末）如图，在△ABC中，P为BC上一点，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∠CAP=∠APQ，PR=PS，下面的结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
6．（2023八上·扶沟期末）如图，在四边形中，，，连接，，垂足为C，并且，点E是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4
7．（2022八上·东阿期中）如图，在中，，，是的平分线，设和的面积分别是，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022八上·瑞安月考）如图，利用尺规作图作一个角等于已知角，其依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
二、填空题
9．（2023八上·汉阴期末）如图，射线是的角平分线，是射线上一点，于点，，若点是射线上一点，，则的面积是 .
10．（2023八上·岳池期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E．若S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是
11．（2022八上·源城期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DC＝5，则点D到AB的距离为 ．
12．（2022八上·江宁月考）如图，地块△ABC中，边AB＝40 m，AC＝30 m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线.若地块△ABD的面积为320 m2，则地块△ACD的面积为 m2.
13．（2022八上·冠县期中）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为 ．
三、解答题
14．（2022八上·文峰月考）如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？
四、作图题
15．（2023八上·韩城期末）如图，已知和直线，请用尺规作图法在直线上找一点P，使得点P到两边的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法）
16．（2022八上·东阿期中）如图，计划在某小区建一个智能垃圾分类投放点P，需要满足以下条件：附近的两栋住宅楼A，B到智能垃圾分类投放点P的距离相等，P点到两条道路，的距离相等．请在图中利用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），确定点P的位置．
五、综合题
17．（2022八上·长顺期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E.
（1）若，，求的度数；
（2）证明：.
18．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中，，，点是上一点，连结设：，当分别满足下列条件时，求的值.
（1）AD为边上的中线；
（2）AD为的平分线.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，
作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5，
∴S△ABD＝ ＝ ＝40，
故答案为：B.
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE＝CD＝5，进而根据三角形的面积等于底×高÷2即可算出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为点F、D、E，
由角平分线的性质定理得：，
的三边长分别是20，30，40，
，
故答案为：C.
【分析】过点O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为点F、D、E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得OD=OE=OF，进而根据三角形的面积计算公式可得等高三角形的面积之比就是底之比即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】垂线段最短；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过P点作PH⊥AB于H ，如图，
平分 ， ， ，
，
点E是边AB上一动点，
.
故答案为：D.
【分析】过P点作PH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PD=6，进而根据垂线段最短即可得出PE的取值范围.
4．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得平分，，，
∴G点到的距离等于的长，即G点到的距离为1，
∴的面积．
故答案为：A．
【分析】利用角平分线的性质可得G点到的距离为1，再利用三角形的面积公式求解即可。
5．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】连接AP，
∵PR=PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，
∴AP是∠BAC的平分线，∠1=∠2，
∴△APR≌△APS，
∴AS=AR，
又AQ=PQ，
∴∠2=∠3，
又∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴QP∥AR，
BC只是过点P，没有办法证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故答案为：A．
【分析】连接AP，由已知条件利用角平行线的判定可得∠1=∠2，由三角形全等的判定得△APR≌△APS，得AS=AR，由已知可得∠2=∠3，得到∠1=∠3，得QP∥AR，答案可得．
6．【答案】B
【知识点】垂线段最短；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点C作交于点H，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∴点C是直线外一点，
∴当点E在上运动时，点E运动到与点H重合时最短，其长度为长等于3，
即长的最小值为3.
故答案为：B.
【分析】过点C作CH⊥AD交AD于点H，根据内角和定理可得∠D+∠ACD+∠CAD=180°，∠ACB+∠B+∠BAC=180°，由已知条件可知∠ACB=∠D，则∠BAC=∠DAC，推出AC是∠BAD的角平分线，由角平分线的性质可得CH=BC=3，然后结合垂线段最短的性质可得CE的最小值.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D点作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】过D点作于E，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式可得。
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：连接BC，EF，
由作图可知
AB=AC=DE=DF，BC=EF，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠A=∠D
故答案为：A
【分析】利用作一个角等于已知角的作图方法可知AB=AC=DE=DF，BC=EF，利用SSS可证得△ABC≌△DEF，利用全等三角形的对应角相等可得到∠A=∠D，即可求解.
9．【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作DH⊥OB于点H，
是的角平分线，，，
，
的面积，
故答案为：10.
【分析】作DH⊥OB于点H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DH=DP=5，进而根据三角形的面积计算公式即可算出答案.
10．【答案】3
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F，
又∵ AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，
∴DE=DF=2，
∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=，
∴，
∴AC=3.
故答案为：3.
【分析】如图，过点D作DF⊥AC于点F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF=2，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD建立方程，求解即可.
11．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，BD平分∠ABC，
∴DE=CD=5，
即点D到AB的距离是5．
故答案为：5．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质可得DE=CD=5，即可得到点D到AB的距离是5。
12．【答案】240
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：作，
∵AD是的角平分线，
∴，
∵AB＝40 m，AC＝30 m，△ABD的面积为320m2，
∴，解得：，
∴，
∴△ACD的面积为.
故答案为：240.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据三角形的面积计算公式并结合△ABD的面积算出DE的长，最后再根据三角形的面积计算公式即可算出△ACD的面积.
13．【答案】6
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：当时，最小，
平分，，，
．
所以的最小值为6．
故答案为：6．
【分析】当时，最小，根据角平分线的性质可得，从而得解。
14．【答案】解：点P在的平分线上.
理由：过点P分别向，作垂线，
∵，，，，
∴，
∴点P是在的平分线上.
【知识点】角平分线的判定
【解析】【分析】 点P在∠AOB的平分线上，理由：过点P分别向OA，OB作垂线，根据三角形的面积计算公式，当两个三角形的面积相等的时候，如果其底相等，则高也相等可得PH=PE，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上，可得结论.
15．【答案】解：如图，
点P即为所求.
【知识点】角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上，又该点在直线MN上，故点P应该是∠AOB角平分线与直线NM的交点，从而利用尺规作图法，作出∠AOB的角平分线OP，交MN于点P.
16．【答案】解：连接并作的垂直平分线，同时作的角平分线交点即为P点如图所示．
【知识点】作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。
17．【答案】（1）解：∵是的外角，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴
（2）证明：∵是的外角，是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
∴
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质∠DCE=∠B+∠E求得∠DCE的度数，由角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE，于是在三角形ACE中，用三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质∠DCE=∠B+∠E，∠BAC=∠E+∠ACE，结合角平分线的性质可求解.
18．【答案】（1）解：为边上的中线，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点于点，
为的平分线，
，
的面积，的面积，
，
，，
，
.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据中线的概念可得BD=CD，则，据此可得k的值；
（2）过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，根据角平分线的性质可得DM=DN，结合三角形的面积公式可得，据此求解.
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