2023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·南宁期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
2．（2023·包头）如图，直线，直线与直线a，b分别相交于点A，B，点在直线上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023七下·云梦期末）如图，在中，，，，两点分别在边，上，平分，.图中的等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2023七下·泉港期末）在等腰中，，.则的周长为（ ）
A． B． C． D．或
5．（2023七下·绥德期末）如图，在四边形ABCD中，，若的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分，延长AE交BC的延长线于F．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C．E为CD的中点 D．
6．（2023七下·嘉定期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD
C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB
7．（2023七下·虹口期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
B．等腰三角形中，底边上的高是它的对称轴
C．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．在两个三角形中，如果有两个内角及一条边相等，那么这两个三角形全等
8．（2023七下·宝山期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
二、填空题
9．（2023七下·清远期末）在中，，，则 .
10．（2023七下·宁阳期末）一个等腰三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长为 cm．
11．（2023七下·南山期末）一个等腰三角形的两边长分别是2cm和4cm，则它的周长为 cm.
12．（2023七下·大渡口期中）等腰三角形两边长分别为，，求此等腰三角形的周长 ．
13．（2023七下·和平期末）如图，在 中，，点为的中点，∠C=65° ，则∠BAD= ．
三、解答题
14．（2023七下·光明期末）某数学兴趣小组把两个同样大小的含30°角的三角尺斜边重合水平放置，如图2所示，其中E是与的交点，F是的中点，请你探究，的数量关系，将下面的推理过程中横线空白处补充完整．
解：因为与是同样大小的含30°角的直角三角形（已知），
所以，， ▲ ，
所以，
所以（等量代换），
即平分（ ），
在与中，
因为，（ ），（已知），
所以（ ），
所以 ▲ ，
所以是等腰三角形（等腰三角形的定义），
又因为F是的中点，
所以 ▲ （等腰三角形“三线合一”），
因为，
所以，
又因为，，，
所以 ▲ （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
15．（2023八下·武功期末）如图，在四边形中，，连接，求证：．
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，已知中，.请用尺规作图法在边上找一点，使为等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
五、综合题
17．（2023七下·惠来期末）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点．
（1）试说明：≌；
（2）试说明：；
（3）试说明：点到边，所在直线的距离相等．
18．（2023七下·宁阳期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
（1）请添加一个条件 使，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为15时，等腰三角形的三边分别是15，15，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+15+7=37；
当等腰三角形的腰为7时，等腰三角形的三边分别是15，7，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+7+7=29，
∵7+7＜15，
∴此时三角形不存在.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，再根据三角形三边关系知，7，7，15不能组成三角形，应舍去，从而得出等腰三角形的周长为37.
2．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠1=32°，
∴
∵a∥b，
∴∠2=∠ABC=74°.
故答案为：C.
【分析】由CA=CB知△ABC是等腰三角形，进而得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数.
3．【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴，三角形ABC为等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】利用AB=AC可以证得三角形ABC为等腰三角形，然后由BD平分∠ABC，DE∥AB，根据角平分线的性质以平行线的性质，即可求出各个内角的度数，然后即可判断有几个等腰三角形.
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=5cm为腰长时，三角形的三边分别为5、5、7，能构成三角形，周长为5+5+7=17cm；
当BC=7cm为腰长时，三角形的三边分别为5、7、7，能构成三角形，周长为5+7+7=19cm；
故答案为：D.
【分析】分AB、BC分别为腰长，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴∠FAD=∠BFE，∠ABF+∠DAB=90°
∵AE平分∠DAB， BE平分
∴∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠DAE
∴∠BFE=∠BAE，∠ABE+∠AEB=90°
∴AB=FB，∠AEB=90°，故D错误；
∴BE⊥AE
∴FE=AE
∵∠AED=∠FEG
∴
∴AD=CF，E为CD的中点，故C错误；
∵FB=FC+BC
∴FB=AD+BC
∵AB=FB
∴AB=BC+FC，故A错误；
故答案为：B.
【分析】由AD∥BC，得到∠FAD=∠BFE，∠ABF+∠DAB=90°，结合AE平分∠DAB， BE平分，推出∠AEB=90°，AB=FB，结合BE⊥AE，得到FE=AE，从而证明，推出AD=CF，E为CD的中点，根据FB=FC+BC，得到AB=BC+FC，由于∠BCE不一定等于∠CEB，所以BC不一定等于CE.
6．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB ，∴AB=AC，又图中又有公共角∠A=∠A，所以要判定 △ABE和△ACD 全等，需要再添加一个条件，
A、∵AE=AD，∠A=∠A，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），A可以判定全等；
B、BE=CD，AB=AC，∠A=∠A，满足两边及其中一边的对角对应相等，B不能判定△ABE和△ACD 全等；
C、∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB -∠OCB，即∠ABE=∠ACD，又AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA），C可以判定全等；
D、∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠CEB =∠A+∠ABE，又∠BDC＝∠CEB ，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABE，∴∠ABE=∠ACD，由C知，可以判定全等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的几种判定方法，进行判定，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 ，所以A不正确；
B、 等腰三角形中，底边上的高所在的直线是它的对称轴 ，所以B不正确；
C、 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ，C正确；
D、 在两个三角形中，如果有两个内角及一条边对应相等，那么这两个三角形全等，这里没说对应，所以D不正确。
故正确答案为：C。
【分析】分别根据平行线的性质，对称轴的定义，垂线段性质及全等三角形判定，分别进行判断，即可得出答案。
8．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为7cm时，三边长为7cm，7cm，3cm，
∵3+7＞7，∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为7+7+3=17cm；
当腰长为3cm时，三边长为7cm，3cm，3cm，
∵3+3＜7，∴不能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为17cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：当腰长为7cm时和当腰长为3cm时，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行解答即可.
9．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠C=70°，
∴∠C=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，据此解答.
10．【答案】4
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分成两种情况：①2cm的边长为腰，则第三边为腰也为2cm，此时2+2=4，不符合三角形三边关系，所以不成立；②4cm的边长为腰，则第三边长为腰也为4cm，此时2+4＞4，可以组成三角形。
故第一空答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，可分类讨论，得出答案。
11．【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：2+2=4(cm)，4cm=4cm，不符合三角形三边条件，
∴这等腰三角形的两条腰长是4cm，
∵4+4+2=10(cm) ，
∴这个等腰三角形的周长是10cm.
故答案为：10.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，所以这个等腰三角形的两条腰长应该是4cm，由此把三条边加起来即可.
12．【答案】17cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形两边长分别为，，
∴根据三角形的三边关系可求出另外一条边的长为7cm，
∴等腰三角形的周长为：3+7+7=17（cm），
故答案为：17cm.
【分析】根据题意先求出另外一条边的长为7cm，再利用三角形的周长公式计算求解即可。
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等腰三角形的性质得到和的度数，进而求得的度数.
14．【答案】解：因为与是同样大小的含30°角的直角三角形（已知），
所以，，，
所以，
所以（等量代换），
即平分（角平分线的定义），
在与中，
因为，（对顶角相等），（已知），
所以（角角边），
所以，
所以是等腰三角形（等腰三角形的定义），
又因为F是的中点，
所以（等腰三角形“三线合一”），
因为，
所以，
又因为，，，
所以（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由题意可得∠C=∠D=90°，∠CAB=∠DBA=60°，∠1=∠2=30°，根据角的和差关系可得∠CAE=∠2，推出AD平分∠CAB，利用AAS证明△ACE≌△BDE，得到AE=BE，有等腰三角形三线合一的性质可得EF⊥AB，然后根据角平分线的性质可得结论.
15．【答案】证明：，
即，
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，由已知条件可知∠ACD=∠ABD，结合角的和差关系可得∠DCB=∠DBC，据此证明.
16．【答案】解：由题意得，画图如下，则等腰即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义和线段垂直平分线的作法，即可求出等腰三角形PAB.
17．【答案】（1）解：，
，
，
与是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，
，
由知，≌，
，
，
，
（3）解：≌，
，的面积的面积，
点到边，所在直线的距离相等．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）首先判断出，再根据SAS即可证明；
（2）首先根据可判断出，再由可知，，进而求出∠OBD+∠ODB=90°，即可证明；
（3）根据，可知，的面积与的面积相等，可得点A到边，所在直线的距离相等．
18．【答案】（1）理由如下：∵，，，∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）分析△ADF和△BCE中的已知条件：一边对应相等，且这组对应边的一组邻角对应相等，所以根据三角形全等的判定可再增加一组对应相等的条件，比如AD=BC，这样就满足了SAS（答案不唯一）；
（2）由（1）知△ADF≌△BCE，可得AF=BE，且∠F=∠CEB，又∠CEB和∠AEF对顶，从而得到∠F=∠AEF，根据等角对等边得出AF=AE，从而等量代换得出AE=BE。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023七下·南宁期末）等腰三角形的两条边长分别为15和7，则它的周长等于（ ）
A．22 B．29 C．37 D．29或37
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为15时，等腰三角形的三边分别是15，15，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+15+7=37；
当等腰三角形的腰为7时，等腰三角形的三边分别是15，7，7，
∴此时等腰三角形的周长等于15+7+7=29，
∵7+7＜15，
∴此时三角形不存在.
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论，再根据三角形三边关系知，7，7，15不能组成三角形，应舍去，从而得出等腰三角形的周长为37.
2．（2023·包头）如图，直线，直线与直线a，b分别相交于点A，B，点在直线上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵CA=CB，∠1=32°，
∴
∵a∥b，
∴∠2=∠ABC=74°.
故答案为：C.
【分析】由CA=CB知△ABC是等腰三角形，进而得出∠ABC的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数.
3．（2023七下·云梦期末）如图，在中，，，，两点分别在边，上，平分，.图中的等腰三角形共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴，三角形ABC为等腰三角形，
∵BD平分∠ABC，
∴，
∵，
∴，
∴
∴为等腰三角形，
故答案为：D.
【分析】利用AB=AC可以证得三角形ABC为等腰三角形，然后由BD平分∠ABC，DE∥AB，根据角平分线的性质以平行线的性质，即可求出各个内角的度数，然后即可判断有几个等腰三角形.
4．（2023七下·泉港期末）在等腰中，，.则的周长为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当AB=5cm为腰长时，三角形的三边分别为5、5、7，能构成三角形，周长为5+5+7=17cm；
当BC=7cm为腰长时，三角形的三边分别为5、7、7，能构成三角形，周长为5+7+7=19cm；
故答案为：D.
【分析】分AB、BC分别为腰长，根据三角形的三边关系以及等腰三角形的性质确定出三角形的三边长，进而可得周长.
5．（2023七下·绥德期末）如图，在四边形ABCD中，，若的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分，延长AE交BC的延长线于F．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C．E为CD的中点 D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC
∴∠FAD=∠BFE，∠ABF+∠DAB=90°
∵AE平分∠DAB， BE平分
∴∠ABE=∠FBE，∠BAE=∠DAE
∴∠BFE=∠BAE，∠ABE+∠AEB=90°
∴AB=FB，∠AEB=90°，故D错误；
∴BE⊥AE
∴FE=AE
∵∠AED=∠FEG
∴
∴AD=CF，E为CD的中点，故C错误；
∵FB=FC+BC
∴FB=AD+BC
∵AB=FB
∴AB=BC+FC，故A错误；
故答案为：B.
【分析】由AD∥BC，得到∠FAD=∠BFE，∠ABF+∠DAB=90°，结合AE平分∠DAB， BE平分，推出∠AEB=90°，AB=FB，结合BE⊥AE，得到FE=AE，从而证明，推出AD=CF，E为CD的中点，根据FB=FC+BC，得到AB=BC+FC，由于∠BCE不一定等于∠CEB，所以BC不一定等于CE.
6．（2023七下·嘉定期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（ ）
A．AD＝AE B．BE＝CD
C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB ，∴AB=AC，又图中又有公共角∠A=∠A，所以要判定 △ABE和△ACD 全等，需要再添加一个条件，
A、∵AE=AD，∠A=∠A，AB=AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），A可以判定全等；
B、BE=CD，AB=AC，∠A=∠A，满足两边及其中一边的对角对应相等，B不能判定△ABE和△ACD 全等；
C、∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB -∠OCB，即∠ABE=∠ACD，又AB=AC，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA），C可以判定全等；
D、∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠CEB =∠A+∠ABE，又∠BDC＝∠CEB ，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABE，∴∠ABE=∠ACD，由C知，可以判定全等。
故答案为：B.
【分析】根据三角形全等的几种判定方法，进行判定，即可得出答案。
7．（2023七下·虹口期末）下列说法正确的是（ ）
A．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补
B．等腰三角形中，底边上的高是它的对称轴
C．联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
D．在两个三角形中，如果有两个内角及一条边相等，那么这两个三角形全等
【答案】C
【知识点】垂线段最短；平行线的性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、 如果两条平行直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补 ，所以A不正确；
B、 等腰三角形中，底边上的高所在的直线是它的对称轴 ，所以B不正确；
C、 联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 ，C正确；
D、 在两个三角形中，如果有两个内角及一条边对应相等，那么这两个三角形全等，这里没说对应，所以D不正确。
故正确答案为：C。
【分析】分别根据平行线的性质，对称轴的定义，垂线段性质及全等三角形判定，分别进行判断，即可得出答案。
8．（2023七下·宝山期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当腰长为7cm时，三边长为7cm，7cm，3cm，
∵3+7＞7，∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为7+7+3=17cm；
当腰长为3cm时，三边长为7cm，3cm，3cm，
∵3+3＜7，∴不能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为17cm；
故答案为：D.
【分析】分两种情况：当腰长为7cm时和当腰长为3cm时，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行解答即可.
二、填空题
9．（2023七下·清远期末）在中，，，则 .
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵∠C=70°，
∴∠C=70°.
故答案为：70°.
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，据此解答.
10．（2023七下·宁阳期末）一个等腰三角形的两边长分别是2cm和4cm，则第三边长为 cm．
【答案】4
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分成两种情况：①2cm的边长为腰，则第三边为腰也为2cm，此时2+2=4，不符合三角形三边关系，所以不成立；②4cm的边长为腰，则第三边长为腰也为4cm，此时2+4＞4，可以组成三角形。
故第一空答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形三边之间的关系，可分类讨论，得出答案。
11．（2023七下·南山期末）一个等腰三角形的两边长分别是2cm和4cm，则它的周长为 cm.
【答案】10
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：2+2=4(cm)，4cm=4cm，不符合三角形三边条件，
∴这等腰三角形的两条腰长是4cm，
∵4+4+2=10(cm) ，
∴这个等腰三角形的周长是10cm.
故答案为：10.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，所以这个等腰三角形的两条腰长应该是4cm，由此把三条边加起来即可.
12．（2023七下·大渡口期中）等腰三角形两边长分别为，，求此等腰三角形的周长 ．
【答案】17cm
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形两边长分别为，，
∴根据三角形的三边关系可求出另外一条边的长为7cm，
∴等腰三角形的周长为：3+7+7=17（cm），
故答案为：17cm.
【分析】根据题意先求出另外一条边的长为7cm，再利用三角形的周长公式计算求解即可。
13．（2023七下·和平期末）如图，在 中，，点为的中点，∠C=65° ，则∠BAD= ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：.
【分析】利用等腰三角形的性质得到和的度数，进而求得的度数.
三、解答题
14．（2023七下·光明期末）某数学兴趣小组把两个同样大小的含30°角的三角尺斜边重合水平放置，如图2所示，其中E是与的交点，F是的中点，请你探究，的数量关系，将下面的推理过程中横线空白处补充完整．
解：因为与是同样大小的含30°角的直角三角形（已知），
所以，， ▲ ，
所以，
所以（等量代换），
即平分（ ），
在与中，
因为，（ ），（已知），
所以（ ），
所以 ▲ ，
所以是等腰三角形（等腰三角形的定义），
又因为F是的中点，
所以 ▲ （等腰三角形“三线合一”），
因为，
所以，
又因为，，，
所以 ▲ （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
【答案】解：因为与是同样大小的含30°角的直角三角形（已知），
所以，，，
所以，
所以（等量代换），
即平分（角平分线的定义），
在与中，
因为，（对顶角相等），（已知），
所以（角角边），
所以，
所以是等腰三角形（等腰三角形的定义），
又因为F是的中点，
所以（等腰三角形“三线合一”），
因为，
所以，
又因为，，，
所以（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】由题意可得∠C=∠D=90°，∠CAB=∠DBA=60°，∠1=∠2=30°，根据角的和差关系可得∠CAE=∠2，推出AD平分∠CAB，利用AAS证明△ACE≌△BDE，得到AE=BE，有等腰三角形三线合一的性质可得EF⊥AB，然后根据角平分线的性质可得结论.
15．（2023八下·武功期末）如图，在四边形中，，连接，求证：．
【答案】证明：，
即，
【知识点】等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC，由已知条件可知∠ACD=∠ABD，结合角的和差关系可得∠DCB=∠DBC，据此证明.
四、作图题
16．（2023七下·陈仓期末）如图，已知中，.请用尺规作图法在边上找一点，使为等腰三角形.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】解：由题意得，画图如下，则等腰即为所求.
【知识点】等腰三角形的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据等腰三角形的定义和线段垂直平分线的作法，即可求出等腰三角形PAB.
五、综合题
17．（2023七下·惠来期末）如图，以的边、分别向外作等腰直角与等腰直角，，连接和相交于点，交于点，交于点．
（1）试说明：≌；
（2）试说明：；
（3）试说明：点到边，所在直线的距离相等．
【答案】（1）解：，
，
，
与是等腰直角三角形，
，，
在和中，
，
≌
（2）解：，
，
由知，≌，
，
，
，
（3）解：≌，
，的面积的面积，
点到边，所在直线的距离相等．
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】 （1）首先判断出，再根据SAS即可证明；
（2）首先根据可判断出，再由可知，，进而求出∠OBD+∠ODB=90°，即可证明；
（3）根据，可知，的面积与的面积相等，可得点A到边，所在直线的距离相等．
18．（2023七下·宁阳期末）如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
（1）请添加一个条件 使，并说明理由．
（2）在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）理由如下：∵，，，∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）分析△ADF和△BCE中的已知条件：一边对应相等，且这组对应边的一组邻角对应相等，所以根据三角形全等的判定可再增加一组对应相等的条件，比如AD=BC，这样就满足了SAS（答案不唯一）；
（2）由（1）知△ADF≌△BCE，可得AF=BE，且∠F=∠CEB，又∠CEB和∠AEF对顶，从而得到∠F=∠AEF，根据等角对等边得出AF=AE，从而等量代换得出AE=BE。
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