2023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八上·宁波期末）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2023八上·长兴期末）如图，在中，，点D是边的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高.在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
7．（2022八上·宁波期中）如图，已知 △ABC和 △ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90° ，连结BD，CE交于点F，连结AF，下列结论：① BD=CE；② BF⊥CF；③ AF平分 ∠CAD；④ ∠AFE=45°
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
8．（2021八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2022八上·宝应期中）等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
10．（2023八上·南充期末）如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是 .
11．（2023八上·宁波期末）若等腰三角形中有两边长分别是3和6，则这个三角形的周长为 .
12．（2023八上·鄞州期末）如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B= °．
13．（2022八上·南宁开学考）如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为 ．
三、解答题
14．（2023八上·武义期末）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，求它的周长.
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
四、综合题
16．（2022八上·丰台期末）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
17．（2022八上·文峰月考）在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.
（1）如左上图，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如上中图，当点D在线段BC上，∠BAC=90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如右上图，若∠BCE=α，∠BAC=β.点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为80°时，底角为80°；
当这个等腰三角形的顶角为80°时，底角的度数为（180°-80°）=50°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为80°或50°.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为80°时；当这个等腰三角形的顶角为80°时；利用三角形的内角和定理求出这个等腰三角形的底角的度数即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥NBC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△DBE与△ECD中，
∵BD=CE，DE=ED，BE=CD，
∴△DBE≌△ECD（SSS），
∴∠DBE=∠ECD，
在△DBF与△ECF中，
∵∠DBE=∠ECD，∠DFB=∠EFC，BD=CE，
∴△DBF≌△ECF（AAS），
在△DBC与△ECB中，
∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB
∴△DBC≌△ECB（SAS），
综上图中全等的三角形有4对.
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，根据平行线性质得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，则∠ADE=∠AED，由等角对等边得AD=AE，从而推出BD=CE，用SAS推出△ABE≌△ACD，得BE=CD，再用SSS推出△DBE≌△ECD，得∠DBE=∠ECD，用AAS推出△DBF≌△ECF，用SAS推出△DBC≌△ECB，综上即可得出答案.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，点是边的中点，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，由余角的性质可得∠CAD=90°-∠C=25°，据此解答.
5．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N的延长线于点N，连接CF，
∵AB＝AC，AG是底边BC上的高，
∴AD平分∠BAC，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，∠DMA=∠DNA=90°
∵∠BAC＝30°，
∴∠MDN＝180° 30°＝150°，
∵∠CDE＝150°，
∴∠MDN＝∠CDE＝150°，
∴∠MDE＝∠NDC，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴ED＝CD，
∵DF是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF＝CF，
当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．
在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，
∴CF＝AC＝×4＝2．
即线段EF的最小值为2．
故答案为：D.
【分析】如过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC的延长线于N，连接CF，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，易得∠MDN＝∠CDE＝150°，则∠MDE＝∠NDC，用ASA判断出△MDE≌△NDC，得ED＝CD，再用SAS证明△EDF≌△CDF，得EF＝CF，进而根据垂线段最短及含30°角直角三角形的性质即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过A作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠FBC＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90，
∴BF⊥CF，故②正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∵AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∵BF⊥CF，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFE＝45°，故④正确；
没有足够的条件证明∠EAF＝∠BAF，
∴AF不一定平分∠CAD，故③不正确.
故答案为：B.
【分析】过A作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，由SAS证明△BAD≌△CAE，得到EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，据此可判断①；进而根据角的和差及三角形的面积和定理可得∠BFC＝90，即BF⊥CF，据此可判断②；根据全等三角形的面积相等及两个三角形的第边相等，可得AM＝AN，进而根据角平分线的判定定理可判断FA平分∠EFB，结合∠EFB=90° 即可判断④，从而即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故答案为：D．
【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.
9．【答案】30或110
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
10．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴BC=EC，∠BCE=∠ACD，
∴∠B=∠CEB=75°，
∴∠BCE=180°-∠B-∠CEB=30°，
∴∠ACD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据旋转的性质得BC=EC，∠BCE=∠ACD，由等边对等角得∠B=∠CEB=75°，进而根据三角形的内角和定理算出∠BCE的度数即可得出答案.
11．【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若3为腰，，不满足构成三角形的条件；
②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为.
故答案为15.
【分析】分3为腰、6为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
12．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE＋∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF＋∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴4x＋6x＋6x＝180°，
解得，
∴∠B=，
故答案为：.
【分析】设∠ECF＝x，根据等边对等角得∠EFC＝∠ECF＝x，根据三角形外角的性质得∠EFC＝∠ECF＝x，同理可得∠BDC＝∠BCD＝5x，根据角的和差得∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，再根据等边对等角得∠B＝∠ACD＝6x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得x的值，从而就不难求出答案了.
13．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
.
故答案为：8.
【分析】延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，根据四边形内角和为360°可得∠ABD+∠ACD=180°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，两式相加可得∠ABD=∠ACD=90°，证明△DCE≌△CBM，得到DE=DM，∠CDE=∠BDM，进而证明△EDN≌△MDN，得到EN=MN，则AM+AN+MN=AB+AC，据此解答.
14．【答案】解：①当是腰长时，
∵另一边长为：，
∴三角形的三条边分别为：，，，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长，
②当为底边时，
三角形的三边分别为，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长，
综上所述，周长为或者.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分8cm为腰长、8cm为底边，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
15．【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°-20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE-∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x-y，
∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝2x-2y，
∵∠CAE＝∠DAE-∠CAD＝x-y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE-∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
16．【答案】（1）；CG
（2）解：，证明如下：
如图，在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，射线，的夹角为，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
②如图，连接，
∵点B关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】（1）①根据即可求解；②连接，根据SAS证明，可得CG=B'G；
（2） ，证明： 在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，证明，可得，利用即可求解.
17．【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
（2）解：90°
（3）解：同(1)的方法得，△ABD≌△ACE(SAS) ，
∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在△ABC中，
∵AB= AC，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC =（180°-β）= 90°- β，
∴∠ABD= 180° - ∠ABC= 90°+β，
∴∠ACE=∠ACB +α= 90°- β+α，
∵∠ACE=∠ABD = 90°+β，
∴90°- β+α= 90°+β，
∴α = β.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）∵AB= AC，∠BAC= 90° ，
∴∠ABC=∠ACB = 45°，
由(1)知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABC= 45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 90°；
【分析】（1）根据题意得到∠BAD＝∠CAE，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD＝45°，结合图形根据角的和差得到答案；
（3）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据三角形的外角性质及等腰三角形的性质即可证明结论．
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.1 等腰三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·宝应期中）如图，中，，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=（180°-40°）÷2=70°
∵BD=BC
∴∠BDC=∠C=70°
∴∠DBC=180°-70°×2=40°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-40°=30°
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和为180°，分别求出∠ABC=70°，∠DBC=40°，最后再根据∠ABD=∠ABC-∠DBC，求出∠ABD即可.
2．（2023八上·宁波期末）等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的底角为 （ ）
A．80°或50° B．80° C．50° D．50°或20°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当这个等腰三角形的底角为80°时，底角为80°；
当这个等腰三角形的顶角为80°时，底角的度数为（180°-80°）=50°，
∴这个等腰三角形的底角的度数为80°或50°.
故答案为：A
【分析】分情况讨论：当这个等腰三角形的底角为80°时；当这个等腰三角形的顶角为80°时；利用三角形的内角和定理求出这个等腰三角形的底角的度数即可.
3．（2023八上·南充期末）如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥NBC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
在△ABE与△ACD中，
∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE=CD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE，
在△DBE与△ECD中，
∵BD=CE，DE=ED，BE=CD，
∴△DBE≌△ECD（SSS），
∴∠DBE=∠ECD，
在△DBF与△ECF中，
∵∠DBE=∠ECD，∠DFB=∠EFC，BD=CE，
∴△DBF≌△ECF（AAS），
在△DBC与△ECB中，
∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB
∴△DBC≌△ECB（SAS），
综上图中全等的三角形有4对.
故答案为：C.
【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，根据平行线性质得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，则∠ADE=∠AED，由等角对等边得AD=AE，从而推出BD=CE，用SAS推出△ABE≌△ACD，得BE=CD，再用SSS推出△DBE≌△ECD，得∠DBE=∠ECD，用AAS推出△DBF≌△ECF，用SAS推出△DBC≌△ECB，综上即可得出答案.
4．（2023八上·长兴期末）如图，在中，，点D是边的中点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，点是边的中点，
∴，，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，由余角的性质可得∠CAD=90°-∠C=25°，据此解答.
5．（2023八上·义乌期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，AG是底边BC上的高.在AG的延长线上有一个动点D，连接CD，作∠CDE＝150°，交AB的延长线于点E，∠CDE的角平分线交AB边于点F，则在点D运动的过程中，线段EF的最小值（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N的延长线于点N，连接CF，
∵AB＝AC，AG是底边BC上的高，
∴AD平分∠BAC，
又∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，∠DMA=∠DNA=90°
∵∠BAC＝30°，
∴∠MDN＝180° 30°＝150°，
∵∠CDE＝150°，
∴∠MDN＝∠CDE＝150°，
∴∠MDE＝∠NDC，
∴△MDE≌△NDC（ASA），
∴ED＝CD，
∵DF是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠CDF，
∵DF＝DF，
∴△EDF≌△CDF（SAS），
∴EF＝CF，
当CF⊥AB时，CF最短，此时EF最短．
在Rt△CAF中，∠BAC＝30°，
∴CF＝AC＝×4＝2．
即线段EF的最小值为2．
故答案为：D.
【分析】如过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC的延长线于N，连接CF，根据等腰三角形的三线合一得AD平分∠BAC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DM=DN，易得∠MDN＝∠CDE＝150°，则∠MDE＝∠NDC，用ASA判断出△MDE≌△NDC，得ED＝CD，再用SAS证明△EDF≌△CDF，得EF＝CF，进而根据垂线段最短及含30°角直角三角形的性质即可得出答案.
6．（2023八上·内江期末）如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE.连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G.若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ADC＝∠AEB B．
C．DE＝GE D．CD＝BE
【答案】C
【知识点】平行线的判定；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
在和中
∴
∴
故A、D正确；
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故B正确；
∴选项C错误.
故答案为：C.
【分析】易得∠BAE=∠CAD，用SAS证△ABE≌△ACD，得∠ADC=∠AEB，∠ACD=∠ABE，BE=CD，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理得∠ABC=72°，由角平分线的定义得∠ABE=36°，进而根据三角形的内角和定理及等量代换可得∠DCB+∠CBA=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得CD∥AB，从而一一判断得出答案.
7．（2022八上·宁波期中）如图，已知 △ABC和 △ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=90° ，连结BD，CE交于点F，连结AF，下列结论：① BD=CE；② BF⊥CF；③ AF平分 ∠CAD；④ ∠AFE=45°
其中结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过A作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC＋∠ACB＝90°，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠FBC＋∠BCF＝90°，
∴∠BFC＝90，
∴BF⊥CF，故②正确；
∵△BAD≌△CAE，
∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，
∵AM⊥BD，AN⊥EC，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠EFB，
∵BF⊥CF，
∴∠EFB＝90°，
∴∠AFE＝45°，故④正确；
没有足够的条件证明∠EAF＝∠BAF，
∴AF不一定平分∠CAD，故③不正确.
故答案为：B.
【分析】过A作AM⊥BD于点M，AN⊥EC于点N，由SAS证明△BAD≌△CAE，得到EC＝BD，∠ABD＝∠ACE，据此可判断①；进而根据角的和差及三角形的面积和定理可得∠BFC＝90，即BF⊥CF，据此可判断②；根据全等三角形的面积相等及两个三角形的第边相等，可得AM＝AN，进而根据角平分线的判定定理可判断FA平分∠EFB，结合∠EFB=90° 即可判断④，从而即可得出答案.
8．（2021八上·克东期末）如图，直线a，b相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
①当时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b在O点两侧各有一个交点，此时B点有2个；
②当时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b有另外一个交点，此时B点有1个；
③当时，作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个，
综上，B点总共有4个，
故答案为：D．
【分析】分三种情况：①当时，②当时③当时。据此分别求解即可.
二、填空题
9．（2022八上·宝应期中）等腰中，，顶角A为，平面内有一点P，满足且，则的度数为 ．
【答案】30或110
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SSS）
【解析】【解答】解：分类讨论：当点P在AB的左侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠PBA+∠ABC=110°；
当点P在AB的右侧时，如图，
∵AB=AC，BP=BA，∠BAC=40°，
∴AC=BP，∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，
在△ABC和△BAP中，∵BC=AP，AC=BP，AB=AB，
∴△ABC≌△BAP（SSS），
∴∠PBA=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC-∠PBA=30°.
综上∠PBC的度数为30°或110°.
故答案为：30或110.
【分析】当点P在AB的左侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠PBA+∠ABC算出答案；当点P在AB的右侧时，由等腰三角形的性质及等量代换得AC=BP，∠ABC=70°，然后利用SSS判断出△ABC≌△BAP，得∠PBA=∠BAC=40°，然后根据∠PBC=∠CBA-∠ABP算出答案，综上即可得出答案.
10．（2023八上·南充期末）如图，绕点C旋转得到，点E在边AB上，若，则的度数是 .
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ △ABC绕点C旋转得到△DEC，
∴BC=EC，∠BCE=∠ACD，
∴∠B=∠CEB=75°，
∴∠BCE=180°-∠B-∠CEB=30°，
∴∠ACD=30°.
故答案为：30°.
【分析】根据旋转的性质得BC=EC，∠BCE=∠ACD，由等边对等角得∠B=∠CEB=75°，进而根据三角形的内角和定理算出∠BCE的度数即可得出答案.
11．（2023八上·宁波期末）若等腰三角形中有两边长分别是3和6，则这个三角形的周长为 .
【答案】15
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①若3为腰，，不满足构成三角形的条件；
②若6为腰，满足构成三角形的条件，则周长为.
故答案为15.
【分析】分3为腰、6为腰，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边，进而可得周长.
12．（2023八上·鄞州期末）如图，小丽从一张等腰三角形纸片ABC（AB=AC）中恰好剪出五个小等腰三角形，其中BC=BD，EC=EF=FG=DG=DA，则∠B= °．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠ECF＝x，
∵EC＝EF，
∴∠EFC＝∠ECF＝x，
∴∠GEF＝2x，
∵EF＝GF，
∴∠FGE＝∠GEF＝2x，
∴∠DFG＝∠FGE＋∠ECF＝3x，
∵DG＝GF，
∴∠GDF＝∠DFG＝3x，
∴∠AGD＝∠GDF＋∠ECF＝4x，
∵DG＝DA，
∴∠A＝4x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ECF＝5x，
∵BC＝BD，
∴∠BDC＝∠BCD＝5x，
∴∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝6x，
∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴4x＋6x＋6x＝180°，
解得，
∴∠B=，
故答案为：.
【分析】设∠ECF＝x，根据等边对等角得∠EFC＝∠ECF＝x，根据三角形外角的性质得∠EFC＝∠ECF＝x，同理可得∠BDC＝∠BCD＝5x，根据角的和差得∠ACB＝∠BCD＋∠ECF＝6x，再根据等边对等角得∠B＝∠ACD＝6x，最后根据三角形的内角和定理建立方程，求解可得x的值，从而就不难求出答案了.
13．（2022八上·南宁开学考）如图，在和中，，，，，以点为顶点作，两边分别交，于点，，连接，则的周长为 ．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
.
故答案为：8.
【分析】延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，根据四边形内角和为360°可得∠ABD+∠ACD=180°，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，两式相加可得∠ABD=∠ACD=90°，证明△DCE≌△CBM，得到DE=DM，∠CDE=∠BDM，进而证明△EDN≌△MDN，得到EN=MN，则AM+AN+MN=AB+AC，据此解答.
三、解答题
14．（2023八上·武义期末）已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，求它的周长.
【答案】解：①当是腰长时，
∵另一边长为：，
∴三角形的三条边分别为：，，，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长，
②当为底边时，
三角形的三边分别为，
∵，
∴能组成三角形，
∴周长，
综上所述，周长为或者.
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】分8cm为腰长、8cm为底边，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
15．（2022八上·龙港期中）根据以下素材，探索完成任务.
三角形背景下角的关系探索
素材1 如图，已知等腰△ABC中，BA＝BC，在腰BC的延长线上取点E，连结AE，作AE的中垂线交射线BC于点D，连结AD.
素材2 研究一个几何问题时，一般先根据几何语言画出几何图形.可能需要分类讨论.
素材3 当我们要论证一个一般性结论时，常常将问题先分成几种特例，在研究特例的过程中寻求规律，总结方法，猜测结论，再将规律、方法和结论迁移到一般情形中，这种数学推理方法叫做归纳法.
问题解决
任务1 补全图形 请根据素材1，把图形补全.你画的点D在点C的 ▲ 侧.
任务2 特例猜想 有下列条件：①AB＝AC；②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；④∠CEA＝50°；请从中选择你认为合适的一个或两个条件作为已知条件，求出∠BAD和∠CAE的大小，并猜测∠BAD与∠CAE的数量关系.
任务3 一般结论 请根据你在任务1中所画的一般情况下的图形，写出∠BAD与∠CAE的数量关系，并说明理由.
任务4 拓展延伸 除了你在任务1中所画的情形外，点D相对于点C的位置还有不同的情形吗？若有，请画出图形，并直接写出∠BAD与∠CAE的数量关系.
【答案】解：任务一：右；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°.
∵BA＝BC，∠B＝40°，
∴∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°，
∵DA＝DE，
∴∠DAE＝∠E＝20°，
∵∠ACB＝∠E+∠CAE，
∴∠CAE＝70°-20°＝50°，
∴∠CAD＝∠CAE-∠DAE＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝70°+30°＝100°.
猜想：∠BAD＝2∠CAE；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝y+2x，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2x+2y，
∵∠CAE＝∠CAD+∠DAE＝x+y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE.
理由：设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y.
∵BA＝BC，
∴∠ACB＝∠BAC＝∠CAE+∠E＝2x-y，
∴∠BAD＝∠BAC-∠CAD＝2x-2y，
∵∠CAE＝∠DAE-∠CAD＝x-y，
∴∠BAD＝2∠CAE.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：任务一：图形如图所示：点D在点C的右侧.
故答案为：右；
【分析】任务一：画出图形可得结论；
任务二：选择②∠B＝40°；③∠CEA＝20°；根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得 ∠BAC＝∠BCA＝（180°-40°）＝70°， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得DA=DE，再根据等边对等角得∠DAE＝∠E＝20°， 根据三角形外角性质得∠ACB＝∠E+∠CAE， 进而根据角的和差，由 ∠CAD＝∠CAE-∠DAE ， ∠BAD＝∠BAC+∠CAD 算出∠BAD的度数，从而即可得出结论；
任务三：结论：∠BAD＝2∠CAE，设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可；
任务四：有，如图所示：结论：∠BAD＝2∠CAE， 设∠E＝∠DAE＝x，∠CAD＝y ，利用等边对等角及角的和差定义，三角形的外角的性质求解即可.
四、综合题
16．（2022八上·丰台期末）在中，，，射线，的夹角为，过点作于点，直线交于点，连结．
（1）如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含有的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，则线段与图1中已有线段 的长度相等；
（2）如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）；CG
（2）解：，证明如下：
如图，在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴.
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①∵，射线，的夹角为，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
②如图，连接，
∵点B关于直线的对称点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：
【分析】（1）①根据即可求解；②连接，根据SAS证明，可得CG=B'G；
（2） ，证明： 在射线上取一点P，是，连接，则垂直平分，证明，可得，利用即可求解.
17．（2022八上·文峰月考）在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.
（1）如左上图，当点D在线段BC上时，写出△ABD≌△ACE的理由；
（2）如上中图，当点D在线段BC上，∠BAC=90°，直接写出∠BCE的度数；
（3）如右上图，若∠BCE=α，∠BAC=β.点D在线段CB的延长线上时，则α、β之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
【答案】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠DAC=∠DAE - ∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
（2）解：90°
（3）解：同(1)的方法得，△ABD≌△ACE(SAS) ，
∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在△ABC中，
∵AB= AC，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC =（180°-β）= 90°- β，
∴∠ABD= 180° - ∠ABC= 90°+β，
∴∠ACE=∠ACB +α= 90°- β+α，
∵∠ACE=∠ABD = 90°+β，
∴90°- β+α= 90°+β，
∴α = β.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（2）∵AB= AC，∠BAC= 90° ，
∴∠ABC=∠ACB = 45°，
由(1)知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABC= 45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE= 90°；
【分析】（1）根据题意得到∠BAD＝∠CAE，利用SAS定理证明△ABD≌△ACE；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD＝45°，结合图形根据角的和差得到答案；
（3）根据全等三角形的性质得到∠ACE＝∠ABD，根据三角形的外角性质及等腰三角形的性质即可证明结论．
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