2023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 直角三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·建华期末）如图所示，在中，于于，点是的中点，的周长是10，则是（ ）
A． B． C． D．18
2．（2023八下·龙沙期末）如图，在中，，点为斜边上的中点，则为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．4
3．（2023·通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
4．（2023七下·绥德期末）一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，，，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
5．（2023七下·张店期末）如图，在中，，点在边上，点在内部，且是等边三角形，．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2022八上·江都月考）如图，∠MON＝90°，OB＝4，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两条角平分线所在的直线相交于点F，则点A在运动过程中线段BF的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．2
8．（2021九上·台州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP = 6，则PC的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·叶县期末）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
10．（2023七下·黄浦期末）如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是 ．
11．（2023八下·阳西期末）如图，将放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么的度数是 .
12．（2023七下·金堂期末）如图，，均为等腰直角三角形，，，若四边形的面积为，的面积为，则与的数量关系为 ．
13．（2023·绥化）已知等腰，，.现将以点B为旋转中心旋转45°，得到，延长交直线于点D.则的长度为 .
三、解答题
14．（2023八下·萧山期末）如图1，放在墙角的立柜的上下底面是等腰直角三角形，如图2所示，若腰长为1m，现要将这个立柜搬过宽为0.8m的通道，你觉得能通过吗？请说明理由．
15．（2023七下·黄浦期末）如图，已知在中，，是的高，点E在边上，与交于点F，且，试说明．
解：∵是的高（已知）
∴（垂直的意义）
∵，
∴∠▲
∴．
在和中
（请继续完成以下说理过程）
四、综合题
16．（2023八下·福田期末）在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．
（1）【探索发现】如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想，，之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】如图②，若点在线段上（不与点，重合），试猜想，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【灵活应用】当，时，直接写出线段的长为
17．（2023七下·金牛期末）已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且
（1）如图1，若平分，延长、交于点F，求证：；
（2）如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上；
（3）如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数．
18．（2022八上·宝应期中）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
（1）【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由；
（2）【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系： ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=BC=3.
∵点D是AB的中点，
∴DF=AB.
∵BE⊥AC，F为BC的中点，点D是AB的中点，
∴EF=BC=3，DE=AB.
∵△DEF的周长为10，
∴DE+DF+EF=10，
∴AB+AB+3=10.
∵AB=AC，
∴AB=7，
∴AF==，
∴S△ABC=BC·AF=×6×=.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF=BC=3，由直角三角形斜边上中线的性质可得DF=AB，EF=BC=3，DE=AB，根据周长的意义可得DE+DF+EF=10，代入可求出AB的值，由勾股定理求出AF，再利用三角形的面积公式进行计算.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=10，点D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=5.
故答案为：C.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此计算.
3．【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，
∴OC为Rt△ABC斜边上的中线，
∴OC=AB，
∴OC=OA=OB，
∴点A、C、B在以AB为直径的圆上.
故答案为：D.
【分析】由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，则O为AB的中点，OC为OC为Rt△ABC斜边上的中线，据此判断.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ∵ ，∠A=30°，∠F=45°
∴∠ACB=60°，∠EDF=45°
∵BE∥DF
∴∠ACB=∠CDF=60°
∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=15°.
故答案为：D.
【分析】根据，∠A=30°，∠F=45°，得到∠ACB=60°，∠EDF=45°，利用BE∥DF，得到∠CDF=60°，因此可以算出∠CDE=15°.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，在BC的延长线上取一点F，使∠DFA=60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°，∴∠ADF+∠BDE=120°，又∠ADF+∠DAF=180°-∠DFA=180°-60°=120°，∴∠DAF=∠BDE，在△ADF和△DEB中，∵∠DFA=∠EBC=60°，∠DAF=∠BDE，AD=DE，∴△ADF≌△DEB，∴DF=EB=3，AF=DB，设CF=x，则CD=3-x，BD=BC-CD=5-（3-x）=2+x，∴AF=2+x，在△ACF中，∠ACF=∠ACB=90°，∠DFA=60°，∴∠CAF=30°，∴AF=2CF=2x，∴2+x=2x，∴x=2，∴BD=4，CF=2，AF=4，∴，∴
故答案为：C。
【分析】在BC的延长线上取一点F，使∠DFA=60°，证明△ADF≌△DEB，设CF=x，则可得出AF=2x=2+x，从而得出BD、AC的长，利用三角形面积公式，可求得△ABD的面积。
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：当点A在射线OM上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，
如图1所示：
∵AF与BF分别是∠MAB与∠ABN的角平分线，
∴FH＝FG，FG＝FE，
∴FH＝FE，
∴点F在∠MON的角平分线上；
当点A在射线OM的反向延长线上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB交AB的延长线于G，
如图2所示：
∵AF与BF分别是∠MAB与∠ABN的角平分线，
∴FH＝FG，FG＝FE，
∴FH＝FE，
∴点F在∠MON的角平分线上；
综上所述，点F在∠MON的角平分线上，
∴当BF⊥OF时，BF取最小值，
∵∠MON＝90°，OB＝4，
∴∠FON＝∠MON＝45°，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴BF＝OB＝2；
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当点A在射线OM上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，由角平分线的性质得出FH＝FG，FG＝FE，得出FH＝FE，证出点F在∠MON的角平分线上；当点A在射线OM的反向延长线上时，同理得出点F在∠MON的角平分线上；当BF⊥OF时，BF取最小值，证出△BOF是等腰直角三角形，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，
则AP'=AP，BP=BP'，∠PBP'=90°，∠AP'B=∠CPB，
∴△PP'B是等腰三角形，
∴∠PP'B=45°，
∵∠BAP=∠CBP，
∴∠BAP=∠CBP，
∴BP'∥AP，
∴APB=90°，
当P、P'、C在同一条直线上时，且AP'⊥P'C时，AP'最短，
∴∠AP'B=90°+45°=135°，
∴∠PAP'=180°-∠AP'B=45°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
∴AP=AP'=6，
∴PC=AP'=3.
故答案为：D.
【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP'，把PC转化为PA，连接PP'得到△PP'B是等腰直角三角形，推出当P'、P、C在同一直线上，且AP'⊥P'C时，AP'最短，即PC有最小值，可得△APP是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，即可求解.
9．【答案】30
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意可得AC=BC，∠ACD=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC.
∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=21+9=30cm.
故答案为：30.
【分析】由题意可得AC=BC，∠ACD=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，利用AAS证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE=9cm，DC=BE=21cm，然后根据DE=DC+CE进行计算.
10．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵ AD平分∠CAB ，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，∴BD+DE=BD+DC=BC，
在Rt△ACD和Rt△AED中：AD=AD，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∴BD+DE=BC=AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+EB=AE+EB=AB=.
故第1空答案为：。
【分析】根据角平分线的性质定理得出DC=DE，再根据三角形全等得出BD+DE=BC=AC=AE，最后得出△DEB的周长也就是线段AB的长度即可。
11．【答案】45°
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：.
【分析】先利用网格图求出三角形边长，再利用勾股定理判定三角形的形状，然后根据等腰直角三角形的性质得到的度数.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC交CA的延长线于F，过点E作EH⊥AB，
∴∠F=∠EAH=90°，
∵ ，
∴∠FAH=90°，
∴∠DAF+∠EAF=∠EAF+∠EAH=90°，
∴∠DAF=∠EAH，
∵AD=AB，
∴△DFA≌△EHA（AAS）
∴DF=EH，
∵△DAC的面积=AC·DF，△AEB的面积=AB·EH，AC=AB，
∴△DAC的面积=△AEB的面积= ，
∵，均为等腰直角三角形， 且 ，
∴△ABC的面积=×6×6=18，△ADE的面积=×3×3=，
∴ 四边形的面积为 =△DAC的面积+△AEB的面积+△ABC的面积+△ADE的面积=++18+，
∴ ；
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC交CA的延长线于F，过点E作EH⊥AB，证明△DFA≌△EHA（AAS），可得
DF=EH，由△DAC的面积=AC·DF，△AEB的面积=AB·EH，AC=AB，可得△DAC的面积=△AEB的面积= ，利用等腰直角三角形及三角形的面积公式分别求出△ABC的面积=18，△ADE的面积=，根据四边形的面积为 =△DAC的面积+△AEB的面积+△ABC的面积+△ADE的面积即可求解.
13．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，
∵△ABC为等腰三角形，∠A=120°，AB=2，
∴∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠ABC=30°，
∴∠DA′B=60°.
由旋转可得∠A′BA=45°，
∴∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°.
∵∠A′BC=∠DA′B+∠D，
∴60°+∠D=75°，
∴∠D=15°.
∵∠DA′B=60°，A′B=2，
∴∠A′BE=30°，
∴A′E=AB=1，
∴BE==.
∵HF为BD的垂直平分线，
∴DF=BF，
∴∠D=∠FBD=15°，
∴∠EFB=∠D+∠FBD=30°，
∴BF==2BE=，
∴DF=BF=，
∴EF==3，
∴A′D=AE+EF+DF=4+.
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，
由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，
∴∠A′BD=∠ABA′-∠ABC=15°，∠BA′D=60°.
∵DM⊥A′D，
∴∠A′DM=30°.
设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x.
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ=DQ，
∴∠A′BD=∠QDB=15°，
∴∠DQM=∠A′BD+∠QDB=30°，
∴DQ=BQ=2DM=x，
∴QM==3x.
∵A′M+QM+BQ=A′B，
∴x+3x+x=2，
∴x=2-，
∴A′D=2x=4-.
综上可得：A′D=4+或4-.
故答案为：4+或4-.
【分析】①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，由旋转的性质可得∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠A′BA=45°，则∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°，然后求出∠D的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得A′E，由勾股定理求出BE，根据垂直平分线的性质可得∠D=∠FBD=15°，则∠EFB=∠D+∠FBD=30°，BF==2BE=，由勾股定理求出EF，然后根据A′D=AE+EF+DF进行计算；②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x，DQ=BQ=2DM=x，QM=3x，根据A′M+QM+BQ=A′B可得x的值，进而可得A′D.
14．【答案】解：能，过点作，如图：
在等腰直角三角形中，
∵腰长为1m，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴能通过．
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出AB的值，再通过等面积法得到CD的长，然后进行判断即可.
15．【答案】解：∵是的高（已知）
∴（垂直的意义）
∵，
∴
∴．
在和中
∴
∴（全等三角形对应角相等）
∵（对顶角相等）
∴
∴．
【知识点】垂线；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理，求得∠BAD=∠ABD=45°，得到三角形ABD是等腰直角三角形，然后根据SAS证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形对应角相等得到∠DBF=∠CAD，最后得出∠AEF=∠BDF=90°，即BE⊥AC。
16．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）或；
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
（3）解：①如图，点在线段的延长线上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
②如图，点在线段上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
故答案为或.
【分析】(1)先由垂直的定义得到相等，再利用等腰直角三角形的性质通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(2)先利用等腰直角三角形的性质和垂直的定义得到相等，进而通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(3)由点是射线上的动点可知点D可能在线段AB上也可能在AB的延长线上，因此需对点D的位置进行分类讨论.先利用等腰三角形的性质和余角的性质通过ASA判定得到对应边相等，再通过线段的和差求得的长.
17．【答案】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，M是的中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上；
（3）解：如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴同理可得，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质结合题意得到，进而根据角平分线的性质即可得到，从而结合题意证明，进而运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，进而根据等腰直角三角形即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可证明，从而得到，再根据平行线的判定与性质证明即可得到，然后即可证明，再根据等腰直角三角形的性质结合题意进行转换即可求解；
（3）延长到K使得，连接，设直线与交于M，先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据题意即可得到平分，进而根据角平分线的性质即可求解。
18．【答案】（1）解： ED∥AB ，理由如下：
如图1，
和 是等腰直角三角形，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图2，
和 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】平行线的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
如图，在BF上截取一点G，使BG=AF，连接CG，
∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∵AC=BC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
在△ACF与△BCG中，
∵AF=BG，∠EAC=∠DBC，AC=BC，
∴△ACF≌△BCG（SAS），
∴∠ACF=∠BCG，CF=CG，
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG+∠ACF=90°，即∠FCG=90°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
∵BF=BG+FG，
∴BF=AF+CF.
故答案为：BF=AF+CF.
【分析】（1） ED∥BC ，理由如下：由等腰直角三角形性质得∠CDE=∠CBA=45°，进而根据同位角相等，两直线平行，得ED∥BC；
（2） ，理由如下：易得∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE， ，用SAS判断出△ACE≌△BCD，得AE=BD，进而根据线段和差及等腰直角三角形的性质可得结论；
（3），理由如下：如图，在BF上截取一点G，使BG=AF，连接CG，由等腰直角三角形的性质得∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE，推出∠BCD=∠ACE，从而用SAS判断出△ACE≌△BCD，得∠EAC=∠DBC，进而再用SAS判断出△ACF≌△BCG，得∠ACF=∠BCG，CF=CG，证出∠FCG=90°，得FCG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得FG=CF，然后根据线段的和差及等量代换即可得出结论.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.2 直角三角形 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·建华期末）如图所示，在中，于于，点是的中点，的周长是10，则是（ ）
A． B． C． D．18
【答案】B
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AF⊥BC，
∴BF=CF=BC=3.
∵点D是AB的中点，
∴DF=AB.
∵BE⊥AC，F为BC的中点，点D是AB的中点，
∴EF=BC=3，DE=AB.
∵△DEF的周长为10，
∴DE+DF+EF=10，
∴AB+AB+3=10.
∵AB=AC，
∴AB=7，
∴AF==，
∴S△ABC=BC·AF=×6×=.
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得BF=CF=BC=3，由直角三角形斜边上中线的性质可得DF=AB，EF=BC=3，DE=AB，根据周长的意义可得DE+DF+EF=10，代入可求出AB的值，由勾股定理求出AF，再利用三角形的面积公式进行计算.
2．（2023八下·龙沙期末）如图，在中，，点为斜边上的中点，则为（ ）
A．10 B．3 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=10，点D为斜边AB的中点，
∴CD=AB=5.
故答案为：C.
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此计算.
3．（2023·通辽）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
已知：如图1，在中，． 求作：的外接圆． 作法：如图2． （1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； （2）作直线，交于点O； （3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【知识点】直线的性质：两点确定一条直线；作图-线段垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，
∴OC为Rt△ABC斜边上的中线，
∴OC=AB，
∴OC=OA=OB，
∴点A、C、B在以AB为直径的圆上.
故答案为：D.
【分析】由作图可得：PQ是AB的垂直平分线，则O为AB的中点，OC为OC为Rt△ABC斜边上的中线，据此判断.
4．（2023七下·绥德期末）一副直角三角板按如图所示的方式放置，点E在边BC的延长线上，，，则的度数为（ ）
A．30° B．25° C．20° D．15°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形；等腰直角三角形
【解析】【解答】解： ∵ ，∠A=30°，∠F=45°
∴∠ACB=60°，∠EDF=45°
∵BE∥DF
∴∠ACB=∠CDF=60°
∴∠CDE=∠CDF-∠EDF=15°.
故答案为：D.
【分析】根据，∠A=30°，∠F=45°，得到∠ACB=60°，∠EDF=45°，利用BE∥DF，得到∠CDF=60°，因此可以算出∠CDE=15°.
5．（2023七下·张店期末）如图，在中，，点在边上，点在内部，且是等边三角形，．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，在BC的延长线上取一点F，使∠DFA=60°，∵△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∠ADE=60°，∴∠ADF+∠BDE=120°，又∠ADF+∠DAF=180°-∠DFA=180°-60°=120°，∴∠DAF=∠BDE，在△ADF和△DEB中，∵∠DFA=∠EBC=60°，∠DAF=∠BDE，AD=DE，∴△ADF≌△DEB，∴DF=EB=3，AF=DB，设CF=x，则CD=3-x，BD=BC-CD=5-（3-x）=2+x，∴AF=2+x，在△ACF中，∠ACF=∠ACB=90°，∠DFA=60°，∴∠CAF=30°，∴AF=2CF=2x，∴2+x=2x，∴x=2，∴BD=4，CF=2，AF=4，∴，∴
故答案为：C。
【分析】在BC的延长线上取一点F，使∠DFA=60°，证明△ADF≌△DEB，设CF=x，则可得出AF=2x=2+x，从而得出BD、AC的长，利用三角形面积公式，可求得△ABD的面积。
6．（2022八上·海曙期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：；为等腰三角形；；；，其中正确结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）；三角形全等的判定（ASA）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ， ， ，
， ， ，
，
平分 ，
，
，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
，
是 的垂直平分线，
，
，
为 斜边上的中线，
，
为等腰三角形，
正确；
连接 ，如图，
，
，
，
.
在 和 中
，
≌ ，
，
，
正确；
由 知： ，
，
，
正确；
由 知： ≌ ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
正确，
综上，正确的结论有： ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质及等角的余角相等求出BD＝AD，∠DBF＝∠DAN，∠BDF＝∠ADN，利用ASA证△DFB≌△DAN，即可判断①；连接FN，利用等腰三角形的判定与性质得到AM⊥EF，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断②；通过证明△BAE≌△BNE可判定③；利用等腰三角形的判定定理和三角形的内角和定理可判定④；利用③④的结论和等腰直角三角形的性质可判定⑤．
7．（2022八上·江都月考）如图，∠MON＝90°，OB＝4，点A是直线OM上的一个动点，连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两条角平分线所在的直线相交于点F，则点A在运动过程中线段BF的最小值为（ ）
A．4 B． C．8 D．2
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰直角三角形；角平分线的判定
【解析】【解答】解：当点A在射线OM上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，
如图1所示：
∵AF与BF分别是∠MAB与∠ABN的角平分线，
∴FH＝FG，FG＝FE，
∴FH＝FE，
∴点F在∠MON的角平分线上；
当点A在射线OM的反向延长线上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB交AB的延长线于G，
如图2所示：
∵AF与BF分别是∠MAB与∠ABN的角平分线，
∴FH＝FG，FG＝FE，
∴FH＝FE，
∴点F在∠MON的角平分线上；
综上所述，点F在∠MON的角平分线上，
∴当BF⊥OF时，BF取最小值，
∵∠MON＝90°，OB＝4，
∴∠FON＝∠MON＝45°，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴BF＝OB＝2；
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当点A在射线OM上时，过F作FE⊥ON于E，FH⊥OM于H，FG⊥AB于G，由角平分线的性质得出FH＝FG，FG＝FE，得出FH＝FE，证出点F在∠MON的角平分线上；当点A在射线OM的反向延长线上时，同理得出点F在∠MON的角平分线上；当BF⊥OF时，BF取最小值，证出△BOF是等腰直角三角形，即可得出答案.
8．（2021九上·台州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点P在△ABC内一点，连接PA，PB，PC，若∠BAP=∠CBP，且AP = 6，则PC的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，
则AP'=AP，BP=BP'，∠PBP'=90°，∠AP'B=∠CPB，
∴△PP'B是等腰三角形，
∴∠PP'B=45°，
∵∠BAP=∠CBP，
∴∠BAP=∠CBP，
∴BP'∥AP，
∴APB=90°，
当P、P'、C在同一条直线上时，且AP'⊥P'C时，AP'最短，
∴∠AP'B=90°+45°=135°，
∴∠PAP'=180°-∠AP'B=45°，
∴△APP'是等腰直角三角形，
∴AP=AP'=6，
∴PC=AP'=3.
故答案为：D.
【分析】把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP'，把PC转化为PA，连接PP'得到△PP'B是等腰直角三角形，推出当P'、P、C在同一直线上，且AP'⊥P'C时，AP'最短，即PC有最小值，可得△APP是等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，即可求解.
二、填空题
9．（2022·叶县期末）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
【答案】30
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：由题意可得AC=BC，∠ACD=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC.
∵∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠BCE，AC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE=9cm，DC=BE=21cm，
∴DE=DC+CE=21+9=30cm.
故答案为：30.
【分析】由题意可得AC=BC，∠ACD=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，根据同角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，利用AAS证明△ADC≌△CEB，得到AD=CE=9cm，DC=BE=21cm，然后根据DE=DC+CE进行计算.
10．（2023七下·黄浦期末）如图，在中，，，，平分，于点，则的周长是 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵ AD平分∠CAB ，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，∴BD+DE=BD+DC=BC，
在Rt△ACD和Rt△AED中：AD=AD，DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE，∴BD+DE=BC=AC=AE，
∴△DEB的周长=BD+DE+EB=AE+EB=AB=.
故第1空答案为：。
【分析】根据角平分线的性质定理得出DC=DE，再根据三角形全等得出BD+DE=BC=AC=AE，最后得出△DEB的周长也就是线段AB的长度即可。
11．（2023八下·阳西期末）如图，将放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么的度数是 .
【答案】45°
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【解答】解：，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：.
【分析】先利用网格图求出三角形边长，再利用勾股定理判定三角形的形状，然后根据等腰直角三角形的性质得到的度数.
12．（2023七下·金堂期末）如图，，均为等腰直角三角形，，，若四边形的面积为，的面积为，则与的数量关系为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC交CA的延长线于F，过点E作EH⊥AB，
∴∠F=∠EAH=90°，
∵ ，
∴∠FAH=90°，
∴∠DAF+∠EAF=∠EAF+∠EAH=90°，
∴∠DAF=∠EAH，
∵AD=AB，
∴△DFA≌△EHA（AAS）
∴DF=EH，
∵△DAC的面积=AC·DF，△AEB的面积=AB·EH，AC=AB，
∴△DAC的面积=△AEB的面积= ，
∵，均为等腰直角三角形， 且 ，
∴△ABC的面积=×6×6=18，△ADE的面积=×3×3=，
∴ 四边形的面积为 =△DAC的面积+△AEB的面积+△ABC的面积+△ADE的面积=++18+，
∴ ；
故答案为：.
【分析】过点D作DF⊥AC交CA的延长线于F，过点E作EH⊥AB，证明△DFA≌△EHA（AAS），可得
DF=EH，由△DAC的面积=AC·DF，△AEB的面积=AB·EH，AC=AB，可得△DAC的面积=△AEB的面积= ，利用等腰直角三角形及三角形的面积公式分别求出△ABC的面积=18，△ADE的面积=，根据四边形的面积为 =△DAC的面积+△AEB的面积+△ABC的面积+△ADE的面积即可求解.
13．（2023·绥化）已知等腰，，.现将以点B为旋转中心旋转45°，得到，延长交直线于点D.则的长度为 .
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，
∵△ABC为等腰三角形，∠A=120°，AB=2，
∴∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠ABC=30°，
∴∠DA′B=60°.
由旋转可得∠A′BA=45°，
∴∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°.
∵∠A′BC=∠DA′B+∠D，
∴60°+∠D=75°，
∴∠D=15°.
∵∠DA′B=60°，A′B=2，
∴∠A′BE=30°，
∴A′E=AB=1，
∴BE==.
∵HF为BD的垂直平分线，
∴DF=BF，
∴∠D=∠FBD=15°，
∴∠EFB=∠D+∠FBD=30°，
∴BF==2BE=，
∴DF=BF=，
∴EF==3，
∴A′D=AE+EF+DF=4+.
②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，
由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，
∴∠A′BD=∠ABA′-∠ABC=15°，∠BA′D=60°.
∵DM⊥A′D，
∴∠A′DM=30°.
设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x.
∵PQ为BD的垂直平分线，
∴BQ=DQ，
∴∠A′BD=∠QDB=15°，
∴∠DQM=∠A′BD+∠QDB=30°，
∴DQ=BQ=2DM=x，
∴QM==3x.
∵A′M+QM+BQ=A′B，
∴x+3x+x=2，
∴x=2-，
∴A′D=2x=4-.
综上可得：A′D=4+或4-.
故答案为：4+或4-.
【分析】①当△ABC绕点B逆时针旋转45°得到△A′BC′，过B作BE⊥A′D于点E，作BD的垂直平分线HF交DB于点H，交A′D于点F，连接BF，由旋转的性质可得∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，∠A′BA=45°，则∠A′BC=∠A′BA+∠ABC=75°，然后求出∠D的度数，根据含30°角的直角三角形的性质可得A′E，由勾股定理求出BE，根据垂直平分线的性质可得∠D=∠FBD=15°，则∠EFB=∠D+∠FBD=30°，BF==2BE=，由勾股定理求出EF，然后根据A′D=AE+EF+DF进行计算；②当△ABC绕点B顺时针旋转45°得到△A′BC′，过D作DM⊥A′D于点。作AD的垂直平分线PQ交A′B于点Q，由旋转可得∠ABA′=45°，∠BA′C′=∠A=120°，A′B=AB=2，设∠A′M=x，则A′D=2A′M=2x，DM=x，DQ=BQ=2DM=x，QM=3x，根据A′M+QM+BQ=A′B可得x的值，进而可得A′D.
三、解答题
14．（2023八下·萧山期末）如图1，放在墙角的立柜的上下底面是等腰直角三角形，如图2所示，若腰长为1m，现要将这个立柜搬过宽为0.8m的通道，你觉得能通过吗？请说明理由．
【答案】解：能，过点作，如图：
在等腰直角三角形中，
∵腰长为1m，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴能通过．
【知识点】等腰直角三角形
【解析】【分析】先利用等腰直角三角形的性质求出AB的值，再通过等面积法得到CD的长，然后进行判断即可.
15．（2023七下·黄浦期末）如图，已知在中，，是的高，点E在边上，与交于点F，且，试说明．
解：∵是的高（已知）
∴（垂直的意义）
∵，
∴∠▲
∴．
在和中
（请继续完成以下说理过程）
【答案】解：∵是的高（已知）
∴（垂直的意义）
∵，
∴
∴．
在和中
∴
∴（全等三角形对应角相等）
∵（对顶角相等）
∴
∴．
【知识点】垂线；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】首先根据三角形内角和定理，求得∠BAD=∠ABD=45°，得到三角形ABD是等腰直角三角形，然后根据SAS证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形对应角相等得到∠DBF=∠CAD，最后得出∠AEF=∠BDF=90°，即BE⊥AC。
四、综合题
16．（2023八下·福田期末）在等腰中，，点是射线上的动点，垂直于直线于点，交直线于点．
（1）【探索发现】如图①，若点在的延长线上，点在线段上时，请猜想，，之间的数量关系为 ；
（2）【拓展提升】如图②，若点在线段上（不与点，重合），试猜想，，之间的数量关系，并说明理由：
（3）【灵活应用】当，时，直接写出线段的长为
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
（3）或；
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为；
（3）解：①如图，点在线段的延长线上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴ ，
②如图，点在线段上，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
故答案为或.
【分析】(1)先由垂直的定义得到相等，再利用等腰直角三角形的性质通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(2)先利用等腰直角三角形的性质和垂直的定义得到相等，进而通过ASA判定得到对应边相等，然后利用线段的和差证得CF、BD、AB的数量关系.
(3)由点是射线上的动点可知点D可能在线段AB上也可能在AB的延长线上，因此需对点D的位置进行分类讨论.先利用等腰三角形的性质和余角的性质通过ASA判定得到对应边相等，再通过线段的和差求得的长.
17．（2023七下·金牛期末）已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且
（1）如图1，若平分，延长、交于点F，求证：；
（2）如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上；
（3）如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵都是等腰直角三角形，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵M是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵是等腰直角三角形，M是的中点，
∴，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点M在线段的垂直平分线上；
（3）解：如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分，
∴同理可得，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质结合题意得到，进而根据角平分线的性质即可得到，从而结合题意证明，进而运用等腰三角形的性质即可求解；
（2）在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，进而根据等腰直角三角形即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而结合题意即可证明，从而得到，再根据平行线的判定与性质证明即可得到，然后即可证明，再根据等腰直角三角形的性质结合题意进行转换即可求解；
（3）延长到K使得，连接，设直线与交于M，先根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再根据题意即可得到平分，进而根据角平分线的性质即可求解。
18．（2022八上·宝应期中）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
（1）【初步探究】如图1，试探究与的位置关系，并说明理由；
（2）【深入探究】如图2，当、、三点共线时，请探究此位置时线段、、之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】如图3，当、、三点不共线时，连接，延长交于点，连接，请猜想此位置时线段、、之间的数量关系： ．
【答案】（1）解： ED∥AB ，理由如下：
如图1，
和 是等腰直角三角形，
，
；
（2）解： ，理由如下：
如图2，
和 是等腰直角三角形，
， ， ， ，
，
，
，
，
；
（3）
【知识点】平行线的判定；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：（3），理由如下：
如图，在BF上截取一点G，使BG=AF，连接CG，
∵△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△ACE与△BCD中，
∵AC=BC，∠BCD=∠ACE，CD=CE，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
在△ACF与△BCG中，
∵AF=BG，∠EAC=∠DBC，AC=BC，
∴△ACF≌△BCG（SAS），
∴∠ACF=∠BCG，CF=CG，
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠ACG+∠ACF=90°，即∠FCG=90°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
∵BF=BG+FG，
∴BF=AF+CF.
故答案为：BF=AF+CF.
【分析】（1） ED∥BC ，理由如下：由等腰直角三角形性质得∠CDE=∠CBA=45°，进而根据同位角相等，两直线平行，得ED∥BC；
（2） ，理由如下：易得∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE， ，用SAS判断出△ACE≌△BCD，得AE=BD，进而根据线段和差及等腰直角三角形的性质可得结论；
（3），理由如下：如图，在BF上截取一点G，使BG=AF，连接CG，由等腰直角三角形的性质得∠DCE=∠ACB=90°，AC=BC，CD=CE，推出∠BCD=∠ACE，从而用SAS判断出△ACE≌△BCD，得∠EAC=∠DBC，进而再用SAS判断出△ACF≌△BCG，得∠ACF=∠BCG，CF=CG，证出∠FCG=90°，得FCG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得FG=CF，然后根据线段的和差及等量代换即可得出结论.
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