2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八下·长乐期末）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，A错误；
B、∵，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，B错误；
C、∵ ，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，C错误；
D、∵ ，
∴ 该选项中的三条线段可以构成直角三角形，D正确；
故选：D.
【分析】 根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
2．（2023七下·天桥期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：SB=225-81=144，所以 字母B所代表的正方形的边长是：。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直接求得正方形B的面积，即正方形B的边长的平方，再求出算术平方根即可。
3．（2023八下·齐齐哈尔期中）直角三角形两直角边边长分别为和，则斜边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形两直角边边长分别为和 ，
∴斜边长为=5cm；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理计算即可.
4．（2023八下·泸县期末）如图，与是等腰直角三角形，，A，E，D在一条直线上，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在等腰直角△CDE中，CD=3，
∴DE=
∵，
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠BOE，
在△ACE和△BCD中：
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∵
∴AE=，
∴AD=AE+DE=，
∴在Rt△ABD中，AB=
在等腰直角△ABC中：2AC2=AB2，
∴2AC2=，
∴AC=.
故答案为：C。
【分析】根据等腰直角三角形的性质，得出DE=，根据△ACE≌△BCD，得出AE=BD=，在在Rt△ABD中，根据勾股定理可求得AB的长，最后根据等腰三角形的性质，可求得AC的值。
5．（2023八下·泸县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
∵，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=21，
∵a2+b2=13，
∴2ab=8，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-8=5，
∴小正方形的面积=（a-b）2=5.
故答案为：C。
【分析】由题意知，本题也就是本题已知和a2+b2=13，求（a-b）2，根据完全平方公式，灵活变形，即可求得（a-b）2，也就是小正方形的面积。
6．（2019八下·端州月考）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出。
如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，
在Rt△AEC中， （米）。
故答案为：B。
【分析】根据题意，四边形EBDC为矩形，结合矩形的性质，利用勾股定理即可得到AC的长度。
7．（2023八下·蜀山期末）在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，∴∴△ABC的面积为：
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理求出另一条直角边BC，然后根据直角三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。
8．（2019八上·南山期中）如图4，在 中， ， ．将其绕 点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：圆环的面积为πAB2-πBC2，
=π（AB2-BC2），
=πAC2，
=32π，
=9π．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．
二、填空题
9．（2023八下·南宁月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=1，BC=，则CD的长为 .
【答案】1
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°， AC=1，BC= ，
∴AB==2，
∵ 点D是AB的中点 ，
∴CD=AB=1；
故答案为：1.
【分析】由勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此解答即可.
10．（2023八下·滨海期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=7m，BC=5m，
由勾股定理得AB==m，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
11．（2017八下·巢湖期末）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有 米。
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC= =15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
【分析】根据勾股定理计算出折断部分的长度。
12．（2023八下·龙岗月考）如图，将一根有弹性的皮筋自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点竖直向上拉升到点，如果皮筋自然长度为（即），则此时 ．
【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵把皮筋中点C竖直向上拉升5cm到点D，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD，
∴AD==13cm.
故答案为：13.
【分析】由题意可得CD是AB的垂直平分线，则∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算即可.
13．（2023八下·南浔期末）如图，，点A在直线上，点B、C在直线上，．如果，，那么平行线、之间的距离为 ．
【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵．，，
∴，
∴平行线、之间的距离为3，
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理算出AC的长度， 平行线、之间的距离即为AC的长度.
三、计算题
14．（2023八下·蜀山期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
【答案】（1）解：连接，
∵，，，，，
∴在中，
在中，而，
∴，
∴，
则
；
答：空地的面积为．
（2）解：需费用（元），
答：总共需投入39900元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）连接，先根据勾股定理结合题意即可得到 ，进而根据勾股定理的逆定理即可得到，再运用即可求解；
（2）根据（1）中的结果结合题意即可求解。
四、解答题
15．（2022八下·长乐期末）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
【答案】解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为：
（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 根据电线杆与地面垂直得∠B=90°，由题意得BC=5m，AC=7m，利用勾股定理求得AB的长即可．
16．（2023八下·泸县期末）如图，某学校矩形停车位边上有一块空地（阴影部分）需要绿化．测得，，，，求需要绿化部分（阴影部分）的面积．
【答案】解：在中，．
∵，，
∴，
∴
∴需要绿化部分的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC，然后根据勾股定理的逆定理，判断出△ACE是直角三角形，且∠ACE=90°，然后用Rt△ACE的面积减去Rt△ABC的面积即可求得绿化部分的面积。
五、综合题
17．（2023八下·颍州期末）法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数．如就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数： ， ；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么，以为三边的三角形为直角三角形（即为勾股数），请你加以证明．
【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴
，
即为勾股数．
∴以为三边的三角形为直角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：（1）如：5，12，13或7，24，25；
故答案为：5，12，13；7，24，25（答案不唯一）.
【分析】（1）答案不唯一，只需写出符合条件的勾股数即可；
（2）只需通过计算证明x2+y2=z2即可。
18．（2023八下·凤阳期末）已知：如图，点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与，分别交于E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵C是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
在中，由勾股定理得．
解得．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△ACE≌△BCF，然后根据全等三角形得出CE=CF即可；
（2）设AE=x，则可得出AC=BC=BF=AE=x ，即AB=2x，BF=x，然后在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，也就是AE的长。
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八下·长乐期末）由下列线段为边组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．13，14，15 D．30，40，50
2．（2023七下·天桥期末）如图，所有的四边形都是正方形，三角形是直角三角形，字母所代表的正方形的边长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·齐齐哈尔期中）直角三角形两直角边边长分别为和，则斜边长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八下·泸县期末）如图，与是等腰直角三角形，，A，E，D在一条直线上，．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·泸县期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2019八下·端州月考）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
7．（2023八下·蜀山期末）在中，，则的面积为（ ）
A．30 B．32.5 C．60 D．65
8．（2019八上·南山期中）如图4，在 中， ， ．将其绕 点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环．该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023八下·南宁月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AC=1，BC=，则CD的长为 .
10．（2023八下·滨海期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ．
11．（2017八下·巢湖期末）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有 米。
12．（2023八下·龙岗月考）如图，将一根有弹性的皮筋自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点竖直向上拉升到点，如果皮筋自然长度为（即），则此时 ．
13．（2023八下·南浔期末）如图，，点A在直线上，点B、C在直线上，．如果，，那么平行线、之间的距离为 ．
三、计算题
14．（2023八下·蜀山期中）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
（1）求出空地的面积；
（2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？
四、解答题
15．（2022八下·长乐期末）如图，要从电线杆离地面5m处向地面拉一条7m的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离（结果保留小数点后一位）．
16．（2023八下·泸县期末）如图，某学校矩形停车位边上有一块空地（阴影部分）需要绿化．测得，，，，求需要绿化部分（阴影部分）的面积．
五、综合题
17．（2023八下·颍州期末）法国数学家费尔马早在世纪就研究过形如的方程，显然，这个方程有无数组解．我们把满足该方程的正整数的解叫做勾股数．如就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数： ， ；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果表示大于1的整数，，，，那么，以为三边的三角形为直角三角形（即为勾股数），请你加以证明．
18．（2023八下·凤阳期末）已知：如图，点C是线段的中点，于A，于B，过点C的直线与，分别交于E，F．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、∵，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，A错误；
B、∵，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，B错误；
C、∵ ，
∴ 该选项中的三条线段无法构成直角三角形，C错误；
D、∵ ，
∴ 该选项中的三条线段可以构成直角三角形，D正确；
故选：D.
【分析】 根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
2．【答案】A
【知识点】算术平方根；勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得：SB=225-81=144，所以 字母B所代表的正方形的边长是：。
故答案为：A。
【分析】根据勾股定理可直接求得正方形B的面积，即正方形B的边长的平方，再求出算术平方根即可。
3．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形两直角边边长分别为和 ，
∴斜边长为=5cm；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理计算即可.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：在等腰直角△CDE中，CD=3，
∴DE=
∵，
∴∠ACE=∠BCD=90°-∠BOE，
在△ACE和△BCD中：
∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∵
∴AE=，
∴AD=AE+DE=，
∴在Rt△ABD中，AB=
在等腰直角△ABC中：2AC2=AB2，
∴2AC2=，
∴AC=.
故答案为：C。
【分析】根据等腰直角三角形的性质，得出DE=，根据△ACE≌△BCD，得出AE=BD=，在在Rt△ABD中，根据勾股定理可求得AB的长，最后根据等腰三角形的性质，可求得AC的值。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】
∵，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=21，
∵a2+b2=13，
∴2ab=8，
∴（a-b）2=a2+b2-2ab=13-8=5，
∴小正方形的面积=（a-b）2=5.
故答案为：C。
【分析】由题意知，本题也就是本题已知和a2+b2=13，求（a-b）2，根据完全平方公式，灵活变形，即可求得（a-b）2，也就是小正方形的面积。
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出。
如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，
过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，
∴EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米，
在Rt△AEC中， （米）。
故答案为：B。
【分析】根据题意，四边形EBDC为矩形，结合矩形的性质，利用勾股定理即可得到AC的长度。
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，∴∴△ABC的面积为：
故答案为：A。
【分析】首先根据勾股定理求出另一条直角边BC，然后根据直角三角形的面积计算公式，求出△ABC的面积即可。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；圆的面积
【解析】【解答】解：圆环的面积为πAB2-πBC2，
=π（AB2-BC2），
=πAC2，
=32π，
=9π．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理，得两圆的半径的平方差即是AC的平方．再根据圆环的面积计算方法：大圆的面积减去小圆的面积，即9π．
9．【答案】1
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°， AC=1，BC= ，
∴AB==2，
∵ 点D是AB的中点 ，
∴CD=AB=1；
故答案为：1.
【分析】由勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，据此解答即可.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=7m，BC=5m，
由勾股定理得AB==m，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理进行计算即可.
11．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】因为AB=9米，AC=12米，根据勾股定理得BC= =15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
【分析】根据勾股定理计算出折断部分的长度。
12．【答案】13
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵把皮筋中点C竖直向上拉升5cm到点D，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD，
∴AD==13cm.
故答案为：13.
【分析】由题意可得CD是AB的垂直平分线，则∠ACD=90°，AC=BC=AB=12cm，AD=BD，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理计算即可.
13．【答案】3
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵．，，
∴，
∴平行线、之间的距离为3，
故答案为：3.
【分析】根据勾股定理算出AC的长度， 平行线、之间的距离即为AC的长度.
14．【答案】（1）解：连接，
∵，，，，，
∴在中，
在中，而，
∴，
∴，
则
；
答：空地的面积为．
（2）解：需费用（元），
答：总共需投入39900元．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）连接，先根据勾股定理结合题意即可得到 ，进而根据勾股定理的逆定理即可得到，再运用即可求解；
（2）根据（1）中的结果结合题意即可求解。
15．【答案】解：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离为：
（米）．
答：地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离为4.9米．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】 根据电线杆与地面垂直得∠B=90°，由题意得BC=5m，AC=7m，利用勾股定理求得AB的长即可．
16．【答案】解：在中，．
∵，，
∴，
∴
∴需要绿化部分的面积为：
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC，然后根据勾股定理的逆定理，判断出△ACE是直角三角形，且∠ACE=90°，然后用Rt△ACE的面积减去Rt△ABC的面积即可求得绿化部分的面积。
17．【答案】（1）；
（2）证明：∵，，
∴
，
即为勾股数．
∴以为三边的三角形为直角三角形．
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理的逆定理；勾股数
【解析】【解答】解：（1）如：5，12，13或7，24，25；
故答案为：5，12，13；7，24，25（答案不唯一）.
【分析】（1）答案不唯一，只需写出符合条件的勾股数即可；
（2）只需通过计算证明x2+y2=z2即可。
18．【答案】（1）证明：∵C是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
在中，由勾股定理得．
解得．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据ASA证明△ACE≌△BCF，然后根据全等三角形得出CE=CF即可；
（2）设AE=x，则可得出AC=BC=BF=AE=x ，即AB=2x，BF=x，然后在直角三角形ABF中，根据勾股定理，得出关于x的方程，解方程即可求出x的值，也就是AE的长。
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