2023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·蜀山期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·福田期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交，于点和点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ）
A．2.2 B． C． D．
4．（2023八下·东阳期末）如图，小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2023八下·南浔期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形和正方形．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且，，，，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即，，，．若平分，正方形和正方形的边长比为，若“新型数学风车”的四个叶片面积和是，则正方形EFGH的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·黄州期末）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023·聊城）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、填空题
9．（2023八下·蜀山期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米.
10．（2023八下·大冶期末）如图，点是的角平分线上的一点，过点作交于点C，，若，，则 ．
11．（2023八下·湖北期末）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的实数是 ．
12．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
13．（2023八上·义乌期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为 cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为 cm．
三、解答题
14．（2023八下·大竹月考）直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，若，直角三角形的面积为，求它的各边长．
15．（2022八上·苍南月考）已知，，为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形.
四、综合题
16．（2023七下·张店期末）如图，在中，，D是边上一点，，在上截取，连接并延长交于点E．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，请求出的长．
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是 ．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵。
故答案为：B。
【分析】只需要分析哪个被开方数能分成两个完全平方数的和即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，垂直平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤可知MN是AC的垂直平分线，以此可得AE=CE，再设BE=x，进而表示CE的长度，然后通过勾股定理解得BE的长度.
3．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点对应的数是1， ，
∴AB=1，∠ABC=90°，
∴AC===，
∴AD=AC=，
∴ 点表示的数为 ；
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AC的长，由题意知AD=AC，继而得解.
4．【答案】C
【知识点】七巧板；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线为2，
∴①和②的直角边都为1，
∴长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的对角线长为.
故答案为：C
【分析】观察图形正方形，利用正方形的对角线长为2，可得到①和②的两直角边的长，再观察长方形，可知长方形的长为2，宽为1，然后利用勾股定理求出长方形的对角线长.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH边长为：5a，设AE=BF=CG=DH=x，
在中，，
解得：
∴BE=4a，BF=3a，EF=5a
∵FM平分∠BFE，
∴的高为BM，
解得：
∵"新型数学风车”的四个叶片面积和是，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，计算出BE、BF、EF；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得：的高为BM；根据，计算出BM；根据，得出正方形ABCD的边长，继而得到正方形EFGH的边长，即可求得答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得BC=5m，AB=12m，
由勾股定理得AC==13m，
∴ 这棵大树在折断前的高度为 13+5=18cm，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理计算即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，
∴△FDA≌△EBA，
∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，
∴∠CAF=∠CAE，
∴垂直平分，①正确；
∵，
∴∠FAE=60°，
∴为等边三角形，②正确；
∵，
∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠AEB=67.5°，
∵DF=EB，CD=BC，
∴EC=FC，
∴∠FEC=45°，
∴，③正确；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，④正确；
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴CB=CA=1，
当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=2，GD=1，
由勾股定理得，
∴n=，
当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=4，GD=5，
由勾股定理得，
∴m=，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到CB=CA=1，进而分类讨论：当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线；当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线；再结合题意运用勾股定理求出m和n即可求解。
9．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=AB+4，BC=10，∴在Rt△ABC中，AC2-AB2=BC2，∴（AB+4）2-AB2=102，∴
故第1空答案为：
【分析】首先根据题意得出AB和AC之间的关系，即AC=AB+4，然后在直角三角形中，根据勾股定理，列出关于AB的等式，即可求得AB的高度。
10．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PD⊥OA，
∴PD=PE，∠BOP=∠AOP=∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠OPC=∠BOP=30°，
∴OC=PC=6，
∴∠PCE=∠BOP+∠OPC=30°+30°=60°，
∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-60°=30°，
∴CE=PC=3，
在Rt△PCE中，
.
故答案为：
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，利用角平分线的定义和性质可证得PD=PE，∠BOP=∠AOP=30°，利用平行线的性质可推出∠AOP=∠OPC=∠BOP=30°，利用等角对等边可求出PC的长，利用三角形的外角的性质可得到∠PCE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠CPE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CE的长；然后利用勾股定理求出PE的长.
11．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形BCDE，
∴DE=BE=1，∠BED=90°，
∴，
∴EA=，
∴点A对应的实数是.
故答案为：
【分析】利用正方形的性质可知DE=BE=1，∠BED=90°，利用勾股定理求出DA的长，可得到AE的长，即可得到点A对应的实数.
12．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
13．【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点P，
由题意可知CD与水平面垂直，当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，
∴∠DPE＝∠DPF＝90°，
∵∠EDC＝150°，
∴∠PDE＝30°，
∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，
∴PE＝DE＝10cm，FE＝GE GF＝26cm，cm，
∴PF＝FE PE＝16cm，
∴cm，
如图，作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，
∵FD＝FE，
∴DL＝EL＝DE＝10cm，
∵∠DLR＝∠ELF＝90°，
∴DR=2LR，cm，
∴102＋LR2＝（2LR）2，
∴cm，cm，cm，
∴作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，
∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，
∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，
∴cm，cm，
∴cm，
作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，
∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，
∴四边形EQKI、四边形EQTO都是矩形，
∴cm，
∵，
∴cm，
∴cm，
连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，
∵MN∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，
∴WT＝HG＝10cm，
∴cm.
故答案为：，.
【分析】延长CD交EF于点P，则当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，FE＝GE GF＝26cm，则PF＝16cm，根据勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根据勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，则EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，则QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，则cm，cm，cm，连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的长即可．
14．【答案】解：∵ 直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，
∴a2+b2=c2，
∴b2=c2-a2，
∵ ，
∴3（a+b+c）=4（a+c），
∴3b=a+c，
∴9b2=（a+c）2，
∴9（c2-a2）=（a+c）2，
整理得9（c-a）=c+a，
∴a=，
∴b=，
∵ 直角三角形的面积为，
∴，
∴，
解得c=（负值已舍） ，
∴a=2，b=，c=.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理得b2=c2-a2，由已知得3b=a+c，则9b2=（a+c）2，进而可得9（c2-a2）=（a+c）2，整理求解可用含c的式子表示出a、b，然后根据三角形的面积计算公式建立方程，求出c的值，此题得解.
15．【答案】证明：证法1：将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，
即.
，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】证法一： 将①②两式相乘可得 ，根据有理数的乘法法则可得 或或，即或或，根据勾股定理的逆定理即可判断得出结论；证法二：结合已知条件可得a=16，或b=16，或c=16， 结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a，根据勾股定理的逆定理即可判断得出结论.
16．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）证明：∵，而，，
在与中，
，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，通过计算可判定出△ABD为等腰直角三角形；
（2）根据SAS可判定两个三角形全等；
（3）根据中垂线的性质，求得AC=AB，即可得出结果；
17．【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.3 勾股定理 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·蜀山期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵。
故答案为：B。
【分析】只需要分析哪个被开方数能分成两个完全平方数的和即可得出答案。
2．（2023八下·福田期末）如图，中，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线，分别交，于点和点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得，垂直平分，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】根据作图步骤可知MN是AC的垂直平分线，以此可得AE=CE，再设BE=x，进而表示CE的长度，然后通过勾股定理解得BE的长度.
3．（2023八下·前郭尔罗斯期末）如图，数轴上点对应的数是0，点对应的数是1，，垂足为，且，以为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为（ ）
A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵点对应的数是1， ，
∴AB=1，∠ABC=90°，
∴AC===，
∴AD=AC=，
∴ 点表示的数为 ；
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出AC的长，由题意知AD=AC，继而得解.
4．（2023八下·东阳期末）如图，小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形，则长方形的对角线长为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【知识点】七巧板；勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线为2，
∴①和②的直角边都为1，
∴长方形的长为2，宽为1，
∴长方形的对角线长为.
故答案为：C
【分析】观察图形正方形，利用正方形的对角线长为2，可得到①和②的两直角边的长，再观察长方形，可知长方形的长为2，宽为1，然后利用勾股定理求出长方形的对角线长.
5．（2023八下·南浔期末）将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形和正方形．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且，，，，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即，，，．若平分，正方形和正方形的边长比为，若“新型数学风车”的四个叶片面积和是，则正方形EFGH的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，则正方形EFGH边长为：5a，设AE=BF=CG=DH=x，
在中，，
解得：
∴BE=4a，BF=3a，EF=5a
∵FM平分∠BFE，
∴的高为BM，
解得：
∵"新型数学风车”的四个叶片面积和是，
∴，
解得：，
∴，
∴
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，计算出BE、BF、EF；根据角平分线上的点到角两边的距离相等得：的高为BM；根据，计算出BM；根据，得出正方形ABCD的边长，继而得到正方形EFGH的边长，即可求得答案.
6．（2023八下·黄州期末）如图，一棵大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，则这棵大树在折断前的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得BC=5m，AB=12m，
由勾股定理得AC==13m，
∴ 这棵大树在折断前的高度为 13+5=18cm，
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理计算即可.
7．（2023八下·新田期中）如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，
∴△FDA≌△EBA，
∴∠FAD=∠EAB，FD=EB，
∴∠CAF=∠CAE，
∴垂直平分，①正确；
∵，
∴∠FAE=60°，
∴为等边三角形，②正确；
∵，
∴∠FAD=∠EAB=∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠AEB=67.5°，
∵DF=EB，CD=BC，
∴EC=FC，
∴∠FEC=45°，
∴，③正确；
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，④正确；
∴其中正确的结论有4个，
故答案为：D
【分析】先根据正方形的性质得到∠CAD=∠CAB=45°，DC=CB=DA=BA，∠D=∠DCB=∠BAD=∠B=90°，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到∠FAD=∠EAB，FD=EB，进而根据等腰三角形的性质即可判断①；根据题意求出∠FAE=60°，进而即可根据等边三角形的判定判断②；根据题意结合三角形内角和公式即可判断③；先根据题意得到，进而根据勾股定理得到，从而即可判断④。
8．（2023·聊城）如图，已知等腰直角，，，点C是矩形与的公共顶点，且，；点D是延长线上一点，且．连接，，在矩形绕点C按顺时针方向旋转一周的过程中，当线段达到最长和最短时，线段对应的长度分别为m和n，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵△ABC为等腰直角三角形，，
∴CB=CA=1，
当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=2，GD=1，
由勾股定理得，
∴n=，
当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线，如图所示：
∴GB=4，GD=5，
由勾股定理得，
∴m=，
∴，
故答案为：D
【分析】先根据等腰直角三角形的性质结合题意即可得到CB=CA=1，进而分类讨论：当BG达到最短时，点G在点C上方，B，G，C共线；当BG达到最长时，点G位于点C的下方，B，G，C共线；再结合题意运用勾股定理求出m和n即可求解。
二、填空题
9．（2023八下·蜀山期末）如图，立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B点 10米处的一点C，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB的高度为 米.
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意知：AC=AB+4，BC=10，∴在Rt△ABC中，AC2-AB2=BC2，∴（AB+4）2-AB2=102，∴
故第1空答案为：
【分析】首先根据题意得出AB和AC之间的关系，即AC=AB+4，然后在直角三角形中，根据勾股定理，列出关于AB的等式，即可求得AB的高度。
10．（2023八下·大冶期末）如图，点是的角平分线上的一点，过点作交于点C，，若，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：过点P作PE⊥OB于点E，
∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，PD⊥OA，
∴PD=PE，∠BOP=∠AOP=∠AOB=30°，
∵PC∥OA，
∴∠AOP=∠OPC=∠BOP=30°，
∴OC=PC=6，
∴∠PCE=∠BOP+∠OPC=30°+30°=60°，
∴∠CPE=90°-∠PCE=90°-60°=30°，
∴CE=PC=3，
在Rt△PCE中，
.
故答案为：
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，利用角平分线的定义和性质可证得PD=PE，∠BOP=∠AOP=30°，利用平行线的性质可推出∠AOP=∠OPC=∠BOP=30°，利用等角对等边可求出PC的长，利用三角形的外角的性质可得到∠PCE的度数，利用三角形的内角和定理求出∠CPE的度数，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出CE的长；然后利用勾股定理求出PE的长.
11．（2023八下·湖北期末）把一个边长为1的正方形如图所示放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧交数轴于点A，则点A对应的实数是 ．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形BCDE，
∴DE=BE=1，∠BED=90°，
∴，
∴EA=，
∴点A对应的实数是.
故答案为：
【分析】利用正方形的性质可知DE=BE=1，∠BED=90°，利用勾股定理求出DA的长，可得到AE的长，即可得到点A对应的实数.
12．（2023·菏泽）如图，在四边形中，，点E在线段上运动，点F在线段上，，则线段的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，如图所示：
∵，
∴CB∥DA，
∴∠BEA=∠EAD，
∵，
∴∠EBA=∠AFD=90°，
∴点F在圆O上运动，
∴BF'为BF的最小值，
∴OA=OF'=2，
由勾股定理得，
∴线段的最小值为，
故答案为：
【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接BO，设BO与圆O的交点为点F'，先根据题意结合平行线的判定与性质即可得到∠BEA=∠EAD，进而得到∠EBA=∠AFD=90°，从而得到点F在圆O上运动，BF'为BF的最小值，再根据题意即可得到OA=OF'=2，进而运用勾股定理即可求出BO，从而结合题意即可求解。
13．（2023八上·义乌期末）气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，AC，BC，DC，DE，HG是固定钢架，HG垂直桌面MN，GE是位置可变的定长钢架．DF是两端固定的伸缩杆，其中，DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，∠EDC是一个固定角为150°，当GE旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆DF的长度为 cm．点D的离地高度为60cm，HG＝10cm，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现FD＝FE，则桌面高度为 cm．
【答案】；
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，延长CD交EF于点P，
由题意可知CD与水平面垂直，当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，
∴∠DPE＝∠DPF＝90°，
∵∠EDC＝150°，
∴∠PDE＝30°，
∵DE＝20cm，GE＝39cm，GF＝13cm，
∴PE＝DE＝10cm，FE＝GE GF＝26cm，cm，
∴PF＝FE PE＝16cm，
∴cm，
如图，作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，
∵FD＝FE，
∴DL＝EL＝DE＝10cm，
∵∠DLR＝∠ELF＝90°，
∴DR=2LR，cm，
∴102＋LR2＝（2LR）2，
∴cm，cm，cm，
∴作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，
∵∠DQE＝∠FKR＝90°，∠FRK＝∠DRL＝60°，
∴EQ＝DE＝10cm，∠RFK＝30°，
∴cm，cm，
∴cm，
作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，
∵EQ∥FK∥GT，EO∥QT，∠EQK＝90°，
∴四边形EQKI、四边形EQTO都是矩形，
∴cm，
∵，
∴cm，
∴cm，
连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，
∵MN∥OG，WT⊥MN，HG⊥MN，
∴WT＝HG＝10cm，
∴cm.
故答案为：，.
【分析】延长CD交EF于点P，则当GE旋转至水平位置时，则PD⊥EF，先由∠EDC＝150°得∠PDE＝30°，而∠DPE＝90°，所以PE＝DE＝10cm，FE＝GE GF＝26cm，则PF＝16cm，根据勾股定理可求得PD＝cm即可求得DF＝cm；作FL⊥DE于点L，交CD的延长线于点R，由FD＝FE得DL＝EL＝DE＝10cm，可求得FL＝24cm，即可根据勾股定理求得LR作EQ⊥CD交CD的延长线于点Q，FK⊥CD交CD的延长线于点K，则EQ＝DE＝10cm，RK＝FR＝cm，由勾股定理求得DQ＝cm，则QK＝cm，作GT⊥CD交CD的延长线于点T，作EO⊥GT交GT的延长线于点O，交FK的延长线于点I，则cm，cm，cm，连结AB，延长CT交MN于点W，延长DC交AB于点J，则DJ＝60cm，WT＝HG＝10cm，由JW＝DJ＋WT＋DT求出JW的长即可．
三、解答题
14．（2023八下·大竹月考）直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，若，直角三角形的面积为，求它的各边长．
【答案】解：∵ 直角三角形的三边的长分别为a，b，c，其中c为斜边长，
∴a2+b2=c2，
∴b2=c2-a2，
∵ ，
∴3（a+b+c）=4（a+c），
∴3b=a+c，
∴9b2=（a+c）2，
∴9（c2-a2）=（a+c）2，
整理得9（c-a）=c+a，
∴a=，
∴b=，
∵ 直角三角形的面积为，
∴，
∴，
解得c=（负值已舍） ，
∴a=2，b=，c=.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由勾股定理得b2=c2-a2，由已知得3b=a+c，则9b2=（a+c）2，进而可得9（c2-a2）=（a+c）2，整理求解可用含c的式子表示出a、b，然后根据三角形的面积计算公式建立方程，求出c的值，此题得解.
15．（2022八上·苍南月考）已知，，为正数，满足如下两个条件：
①
②
证明：以，，为三边长可构成一个直角三角形.
【答案】证明：证法1：将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，即，
即，
所以或或，即或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
证法2 结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得，即，
代入③式，得，
即.
，
所以或或.
结合①式可得或或.
因此，以，，为三边长可构成一个直角三角形.
【知识点】因式分解的应用；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】证法一： 将①②两式相乘可得 ，根据有理数的乘法法则可得 或或，即或或，根据勾股定理的逆定理即可判断得出结论；证法二：结合已知条件可得a=16，或b=16，或c=16， 结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a，根据勾股定理的逆定理即可判断得出结论.
四、综合题
16．（2023七下·张店期末）如图，在中，，D是边上一点，，在上截取，连接并延长交于点E．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，请求出的长．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）证明：∵，而，，
在与中，
，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，通过计算可判定出△ABD为等腰直角三角形；
（2）根据SAS可判定两个三角形全等；
（3）根据中垂线的性质，求得AC=AB，即可得出结果；
17．（2023八下·齐齐哈尔期中）（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．
请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌，依据是 ．
A.；；；
由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ．
（2）【初步运用】
如图，是的中线，交于，交于，且若，，求线段的长．
（3）【灵活运用】
如图，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接试猜想线段三者之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）A，；1＜AD＜7
（2）解：如图，延长至，使，连接，
是的中线，
，
又，
≌，
，，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：线段、、之间的等量关系为：，理由如下：
延长到点，使，连接，，如图所示：
，，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
即，
在中，由勾股定理得：，
．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形三边关系；等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：【问题情境】 ∵CD=BD，DE=AD，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC≌△BDE（SAS），
∴BE=AC=6，
在△ABE中，8-6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案为：A，1＜AD＜7，
【分析】【问题情境】根据SAS证明△ADC≌△BDE，可得BE=AC=6，利用三角形三边关系可得8-6＜AE＜8+6，即得2＜2AD＜14，从而求解；
（1）【初步运用】 延长至，使，连接，根据SAS证明△ADC≌△MDB，可得BM=AC，∠CAD=∠M，由AE=EF，，可得，利用等腰三角形的性质可得BM=BF=AC=AE+CE，继而得解；
（2）【灵活运用】，理由：延长到点，使，连接，， 根据SAS证明△BDE≌△DCG，可得BE=CG，，从而求出∠GCF=90°，利用勾股定理可得，继而得解.
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