2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
2．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
3．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
4．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
5．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
6．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
与的和为，
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠BDF=∠ADC=90°，由已知条件可知BF=AC，DF=DC，利用HL证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF∠2，BD=AD，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠DAB=45°，然后根据∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA进行计算.
7．（2022八上·武清期中）如图，在中，已知，，，的平分线与边交于点D，于点E，则的周长为（ ）
A． B．2 C． D．无法计算
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，是的平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：A．
【分析】由角平分线的性质可得DC=DE，从而得出，根据HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AE=AC=1，从而得出，由于的周长，代入数据即可求解.
8．（2022八上·滨海期中）如图所示，，下列结论：
其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在与中，
，
，
即．
故①符合题意；
又，
，
故②符合题意；
由知：，
又，
∴；
故④符合题意．
由于条件不足，无法证得③；
故正确的结论有：①②④；
故答案为：C．
【分析】根据HL证明Rt△AEB≌Rt△AFC，可得从而推出，再根据ASA证明，可得EM=FN，据此判断①②正确；由知，根据ASA证明，据此判断④正确；由于条件不足，无法证得，据此判断③.
二、填空题
9．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
10．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
11．（2022八上·宝应期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
【答案】BC=EF（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：已知∠A=∠D=90°，AB=DE，当添加添加条件BC=EF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
故答案为：BC=EF.
本题答案不唯一.
【分析】条件中已知直角相等和一条直角边相等，只需补充条件使得斜边相等即可.
12．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
13．（2020八下·通山期末）如图，正方形 的边长为 是 边上的一动点(不与 重合)，延长 至点F，使 过点F作 的垂线交 的平分线于点G，连接 交 于点H，连接 .有下列结论：
① ；
② ；
③ 的面积为 ；
④ 的周长为 .
其中正确的有 (把正确结论的序号都填上)
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
①∵∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，
∴∠GCF=45 ，
∴CF=GF，
∵ ，EC+CF=EC+BE，
∴EF=BC=AB(正方形各边相等) ，∠B=∠F=90 ，
∴ ，①在正确；
②∵ ，
∴AE=EG， ∠BAE=∠FEG，
∵∠BAE+∠BEA=90 ，
∴∠FEG+∠BEA=90 ，
∴∠AEG=180 -90 =90 ，
∴△EAG为等腰直角三角形，
∴∠EAG=45 ，②正确；
③ 的面积为 ，③错误；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90 至△AD ，
∴∠BAE=∠ AD，
∵∠BAE+HAD=45 ，
∴∠HA = AD+∠HAD=45 ，
∵AE=A ，AH=AH，
∴△EAH≌△ AH，
∴EH= H= D+DH=BE+DH，
∴ 的周长为：BE+EC+(CH+DH)=4，
故答案为：①②④.
【分析】根据∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，得出∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，即可得出再 ；由 得出AE=EG， ∠BAE=∠FEG，进而得出△EAG为等腰直角三角形，可得出∠EAG=45 ；利用三角形的面积公式可得出结论错误；将△ABE绕点A逆时针旋转90 至△AD ，进而得出△EAH≌△ AH，最后可求出 的周长.
三、解答题
14．（2023八上·岳池期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．
求证：∠DBE=∠DAC．
【答案】解：∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC= 90° ．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)
∴∠DBE=∠DAC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据三角形高的定义得∠BDE=∠ADC= 90° ，从而利用HL判断Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应角相等得∠DBE=∠DAC．
15．（2022八上·大兴期中）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证：平分．
【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得，再利用角平分线的判断方法可得平分。
四、综合题
16．（2023八上·余姚期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且.求证：
（1）是等腰三角形；
（2）点D在的角平分线上.
【答案】（1）解：证明：是边上的中点，
，
又，，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形
（2）证明：，
，
又，，
∴点D在的角平分线上.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得DB=DC，由垂直的概念可得∠BFD=∠CED=90°，利用HL证明△BDF≌△CDE，得到∠B=∠C，据此证明；
（2）由全等三角形的性质可得DF=DE，据此证明.
17．（2023八上·长兴期末）如图，在中，，平分交于点D，作于点E.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，，
，
，
，
，，
，，，
，
设，
，
，
，
解得，
，
的面积为：
.
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠C，则∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度数；
（2）根据角平分线的性质可得DB=DE，利用HL证明△ABD≌△AED，由全等三角形的性质可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，设BD=DE=x，则CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出x的值，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2022八上·黄冈月考）如图，已知，添加下列条件后不能使的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022八上·永善期中）如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充的条件是（ ）
A．AC=AD或BC=BD B．AC=AD且BC=BD
C．∠BAC=∠BAD D．以上都不对
3．（2022八上·南宁期末）如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023八上·杭州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E点，DF⊥AC于点F，则下列四个结论：①AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等； ②AD⊥BC且BD＝CD；③∠BDE＝∠CDF；④AE＝AF.其中正确的有（ ）
A．②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
5．（2022八上·汾阳期末）如图，在四边形中，，平分，，，，分别是，上的动点，当取得最小值时，的长是（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
6．（2022八上·嘉兴期中）如图，在中于点，为上一点连结交于点，若，，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022八上·武清期中）如图，在中，已知，，，的平分线与边交于点D，于点E，则的周长为（ ）
A． B．2 C． D．无法计算
8．（2022八上·滨海期中）如图所示，，下列结论：
其中下列结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023八上·苍溪期末）如图，某小区广场有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上，已知左边滑梯水平方向的长度AB与右边滑梯的高度DE相等.若右边滑梯与地面的夹角∠DFE＝55°，则∠ABC的度数为 °.
10．（2022八上·温州期中）如图，为中斜边上的一点，且，过点作的垂线，交于点，若，，则 .
11．（2022八上·宝应期中）如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，若用“”判定，则添加的一个条件是 ．
12．（2023八上·海曙期末）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，则BD的长是 .
13．（2020八下·通山期末）如图，正方形 的边长为 是 边上的一动点(不与 重合)，延长 至点F，使 过点F作 的垂线交 的平分线于点G，连接 交 于点H，连接 .有下列结论：
① ；
② ；
③ 的面积为 ；
④ 的周长为 .
其中正确的有 (把正确结论的序号都填上)
三、解答题
14．（2023八上·岳池期末）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，E为AD上一点，且BE=AC，DE=DC．
求证：∠DBE=∠DAC．
15．（2022八上·大兴期中）如图，在中，是的中点，，，垂足分别是点、，．求证：平分．
四、综合题
16．（2023八上·余姚期末）如图，在中，D是边上的中点，，，垂足分别是点E，F且.求证：
（1）是等腰三角形；
（2）点D在的角平分线上.
17．（2023八上·长兴期末）如图，在中，，平分交于点D，作于点E.
（1）若，求的度数；
（2）若，，求的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：∵，，
A、若添加，则可以判定，故A不符合题意；
B、若添加，则可以判定，故B不符合题意；
C、若添加，不能判定，故C符合题意；
D、若添加，则可以判定，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】题干给出了∠ADB=∠BCA=90°，图形中有公共边AB=BA，要判断Rt△ABD≌Rt△BAC，利用AAS可以添加∠DAB=∠CBA或∠CAB=∠DBA，利用HL可以添加AD=BC或AC=BD，从而一一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
在Rt△ABC与Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：A.
【分析】根据“HL”得出添加AC=AD或BC=BD，再结合隐含的条件AB=AB，证出Rt△ABC≌Rt△ABD，即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故答案为：C.
【分析】两个三角形中斜边AB=AC，AD是公共直角边，故利用HL即可直接判断出△ABD≌△ACD.
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵平分，
∴上任意一点到、的距离相等（角平分线上的点到角两边的距离相等），故①正确.
∵，平分，
∴，且，故②正确.
∵，，
∴，
在和中，
∴≌（HL），
∴故③正确，，
∴，即，故④正确，
故答案为：D.
【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可判断①；由等腰三角形的性质可得AD⊥
BC，BD=CD，据此判断②；利用HL证明△BDE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可判断③；根据全等三角形的性质可得BE=CF，结合线段的和差关系可判断④.
5．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：作点Q关于的对称点，
，
，
当C、P、三点共线，且时，有最小值，
此时，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】作点Q关于的对称点，当C、P、三点共线，且时，有最小值，利用“HL”证明，可得，再结合，可得。
6．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：于点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
与的和为，
故答案为：C.
【分析】根据垂直的概念可得∠BDF=∠ADC=90°，由已知条件可知BF=AC，DF=DC，利用HL证明△BDF≌△ADC，得到∠DBF∠2，BD=AD，由等腰三角形的性质可得∠DBA=∠DAB=45°，然后根据∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA进行计算.
7．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，，是的平分线，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故答案为：A．
【分析】由角平分线的性质可得DC=DE，从而得出，根据HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，可得AE=AC=1，从而得出，由于的周长，代入数据即可求解.
8．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：在与中，
，
，
即．
故①符合题意；
又，
，
故②符合题意；
由知：，
又，
∴；
故④符合题意．
由于条件不足，无法证得③；
故正确的结论有：①②④；
故答案为：C．
【分析】根据HL证明Rt△AEB≌Rt△AFC，可得从而推出，再根据ASA证明，可得EM=FN，据此判断①②正确；由知，根据ASA证明，据此判断④正确；由于条件不足，无法证得，据此判断③.
9．【答案】35
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△DEF中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠ACB＝∠DFE＝55°，
∵∠ABC+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝90°-55°＝35°.
故答案为：35.
【分析】首先利用HL判断Rt△ABC≌Rt△DEF，根据全等三角形的对应角相等得∠ACB＝∠DFE＝55°，进而根据直角三角形两锐角互余即可算出答案.
10．【答案】10
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
故答案为：10.
【分析】连接BE，用HL判断出Rt△DBE≌Rt△ABE，根据全等三角形的对应边相等得DE=AE=6cm，进而在Rt△CDE中，利用勾股定理算出CE的长.
11．【答案】BC=EF（答案不唯一）
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：已知∠A=∠D=90°，AB=DE，当添加添加条件BC=EF时，Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
故答案为：BC=EF.
本题答案不唯一.
【分析】条件中已知直角相等和一条直角边相等，只需补充条件使得斜边相等即可.
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AC＝4，AB＝5，∠C＝90°，
∴，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
解得，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理可得BC，根据角平分线的性质可得CD=DE，利用HL证明△DCB≌△DEB，得到BC=BE=3，则AE=AB-BE=2，设CD=DE=x，则AD=4-x，然后在Rt△ADE、Rt△DEB中，由勾股定理求解即可.
13．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
①∵∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，
∴∠GCF=45 ，
∴CF=GF，
∵ ，EC+CF=EC+BE，
∴EF=BC=AB(正方形各边相等) ，∠B=∠F=90 ，
∴ ，①在正确；
②∵ ，
∴AE=EG， ∠BAE=∠FEG，
∵∠BAE+∠BEA=90 ，
∴∠FEG+∠BEA=90 ，
∴∠AEG=180 -90 =90 ，
∴△EAG为等腰直角三角形，
∴∠EAG=45 ，②正确；
③ 的面积为 ，③错误；
④将△ABE绕点A逆时针旋转90 至△AD ，
∴∠BAE=∠ AD，
∵∠BAE+HAD=45 ，
∴∠HA = AD+∠HAD=45 ，
∵AE=A ，AH=AH，
∴△EAH≌△ AH，
∴EH= H= D+DH=BE+DH，
∴ 的周长为：BE+EC+(CH+DH)=4，
故答案为：①②④.
【分析】根据∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，得出∠DCF=90 ，CG平分∠DCF，即可得出再 ；由 得出AE=EG， ∠BAE=∠FEG，进而得出△EAG为等腰直角三角形，可得出∠EAG=45 ；利用三角形的面积公式可得出结论错误；将△ABE绕点A逆时针旋转90 至△AD ，进而得出△EAH≌△ AH，最后可求出 的周长.
14．【答案】解：∵AD是△ABC的边BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE=∠ADC= 90° ．
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)
∴∠DBE=∠DAC．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】根据三角形高的定义得∠BDE=∠ADC= 90° ，从而利用HL判断Rt△BDE≌Rt△ADC，根据全等三角形的对应角相等得∠DBE=∠DAC．
15．【答案】解：∵ 是 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线．
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的判定
【解析】【分析】先利用“HL”证明Rt△DEB≌Rt△DFC，可得，再利用角平分线的判断方法可得平分。
16．【答案】（1）解：证明：是边上的中点，
，
又，，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形
（2）证明：，
，
又，，
∴点D在的角平分线上.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由中点的概念可得DB=DC，由垂直的概念可得∠BFD=∠CED=90°，利用HL证明△BDF≌△CDE，得到∠B=∠C，据此证明；
（2）由全等三角形的性质可得DF=DE，据此证明.
17．【答案】（1）解：平分，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：平分，，，
，
，
，
，，
，，，
，
设，
，
，
，
解得，
，
的面积为：
.
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角平分线的概念可得∠BAD=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠CAD=∠C，则∠BAD=∠CAD=∠C，∠BAC=2∠C，由∠BAC+∠C=90°可得∠C的度数；
（2）根据角平分线的性质可得DB=DE，利用HL证明△ABD≌△AED，由全等三角形的性质可得AE=AB=3，CE=AC-AE=2，利用勾股定理可求出BC的值，设BD=DE=x，则CD=4-x，然后在Rt△CDE中，根据勾股定理求出x的值，接下来根据三角形的面积公式进行计算.
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