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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·潜山期末）如图，在中，平分，且．以下判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，∴EB=EH，由AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AB=AH，又∵EA=EC，EH⊥AC，∴AC=2AH，∴AC=2AB.
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的性质得出EB=EH，再根据HL判定Rt△ABE≌Rt△AHE，得到AB=AH，最后根据等腰三角形的性质得出AC=2AH，再等量代换为AC=2AB。
2．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
3．（2023八下·宿州月考）如图，在中．．，平分，于点E，则下列结论：①平分；②；③平分；④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，平分，，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴平分，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∴不平分，故③不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断即可。
4．（2022八上·海曙期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠OMP=∠ONP=90°，利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等可得到∠MOP=∠NOP，即可证得OP平分∠AOB.
5．（2018八上·衢州月考）△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当△ABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
故
【分析】△ABC是等腰三角形，由AB边上的高为CD，则△ABC的顶角A是锐角或钝角，分两种情况画出图形求解即可.
6．（2019八上·凤山期末）如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BC=6，AD=4，AB=5，BE平分∠ABC，若M，N分别是BE，BC上的动点，则CM+NM的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3.6 D．4.8
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作CF⊥AB交BE于M，作MN⊥BC于点N，如图：
∵ BE平分∠ABC，CF⊥AB，MN⊥BC，
∴MN=MF，
∴CM+NM=CM+MF=CF，
在Rt△CFB中，
∵BC=6，
∴sin∠ABD==，
∵AD⊥BC ，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵AB=5，AD=4，
∴sin∠ABD==，
∴=，
∴CF==4.8，
即CM+NM=4.8.
故答案为：D.
【分析】作CF⊥AB交BE于M，作MN⊥BC于点N，根据角平分线性质得MN=MF，从而可得CM+NM=CM+MF=CF，在Rt△CFB、Rt△ADB中，根据正弦定义可得=，解之即可得出答案.
7．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH=
∴S△AED= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.
二、填空题
8．（2023七下·宁阳期末）如图，中，，平分交于点，交的延长线于点，交于点．若，，．则的长为 ．
【答案】8
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，且DF⊥AB与F，DC⊥AC于C，∴DC=DF=3，又AC=4，∴，又因为BE⊥AD，∴在Rt△BDF和Rt△BDE中，BD=BD，BF=BE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE，∴DE=DF=3，∴AE=AD+DE=5+3=8.
故第1空答案为：8.
【分析】先根据角平分线的性质定理得到DC=DF=3，根据勾股定理，求出AD的长，然后再通过证明Rt△BDF≌Rt△BDE，得出DE=DF=3，最后把AD+DE即可求出AE的长。
9．（2022八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝ .
【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝84°，
∴∠BDC＝∠EDF＝96°，
故答案为：96°.
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而利用HL判断Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质得∠BDE＝∠CDF，根据四边形的内角和可得∠EAF+∠EDF＝180°，据此就不难算出答案了.
10．（2022八上·吉林期中）如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D作于点F，在上取一点G，使，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．
【答案】7
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作 于H，
由作图痕迹得 平分 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （HL），
在 和 中，
，
∴ （HL），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为：7．
【分析】由作图痕迹得 平分 ，过D点作 于H，根据角平分线的性质得出 ，再证明 （HL）， （HL），则 ， ，代入计算即可。
11．（2022八上·南宁期中）如图，，请你添加一个条件 ，利用“”，证明.
【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.
由图可知：和斜边为公共边，即，
∴应添加：或，
故答案为：或.
【分析】如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，据此解答.
12．（2022八上·富阳期中）在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，AD是△ 的角平分线， ⊥ 于点E.若△ 的面积为9，则△ 的面积为 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，
设AC=5x，BC=12x，AB=13x，
∴AC2+BC2=25x2+144x2=169x2，AB2=169x2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，
∴BE=AB-AE=13x-5x=8x，
∴
∴
解之：S△ADC=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=CD，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质可证得AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，同时可表示出BE的长；利用三角形的面积公式可求出，由此可得到，代入计算求出△ACD的面积.
三、解答题
13．如图，线段、相交于点，连接、，已知，求证：．
【答案】证明：连接BC，如图所示：
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】【分析】先利用HL证Rt△ABC≌Rt△DCB，得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边即可得解.
14．（2023八下·定边期末）如图，在四边形ABCD中，，连接AC，且，点E在边BC上，连接DE，过点A作，垂足为F，.求证：.
【答案】证明：∵，∴.
在和中，
，
∴，
∴，∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠B=∠DFA=90°，由已知条件可知AD=AC，AB=AF，利用HL证明△ADF≌△ACB，得到∠DAF=∠CAB，然后根据角的和差关系进行证明.
四、综合题
15．（2023八下·西安月考）问题探究：
（1）如图1，中，，，是高，求证：.
（2）如图2，在（1）条件下，、分别是和上的点，且，如果，那么四边形的面积是 ；
（3）如图3，四边形中，平分，，，，求的值.
【答案】（1）证明：∵，是高，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）2
（3）解：延长，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
则，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：2.
【分析】（1）由等腰三角形三线合一可得AD=CD=AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC，于是结论可求解；
（2）由三角形内角和定理可得∠A=∠C=×90°，由等腰三角形三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ABC，于是∠EBD=∠C，根据同角的余角相等可得∠EDB=∠FDC，结合（1）的结论用角边角可证，根据图中四边形面积的构成S四边形EDFB====BD×CD可求解；
（3）延长BA，过点D作DE⊥BA于点E，过点D作DF⊥BC于点F，结合已知根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=BD，用勾股定理可求得BF的值，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，用HL定理可证，则BE=BF，用同角的补角相等可得∠EAD=∠C，结合已知用角角边可证，于是可得AE=CF，然后根据线段的构成AB+BC=AB+BF+CF=AB+AE+BF=BE+BF可求解.
16．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
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2023-2024学年初中数学八年级上册 17.4 直角三角形全等的判定 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·潜山期末）如图，在中，平分，且．以下判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·西安月考）如图，在中，，，，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则的长度为（ ）
A．2 B． C． D．
3．（2023八下·宿州月考）如图，在中．．，平分，于点E，则下列结论：①平分；②；③平分；④，正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2022八上·海曙期中）如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB 的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM≌△PON，OP平分∠AOB．以上依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．（2018八上·衢州月考）△ABC中，AB=AC，CD为AB上的高，且△ADC为等腰三角形，则∠BCD等于（ ）
A．67.5° B．22.5°
C．45° D．67.5°或22.5°
6．（2019八上·凤山期末）如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BC=6，AD=4，AB=5，BE平分∠ABC，若M，N分别是BE，BC上的动点，则CM+NM的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3.6 D．4.8
7．（2021八上·汇川期末）如图 是 的角平分线， 于E，点F，G分别是 ， 上的点，且 ， 与 的面积分别是10和3，则 的面积是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
8．（2023七下·宁阳期末）如图，中，，平分交于点，交的延长线于点，交于点．若，，．则的长为 ．
9．（2022八上·江油月考）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝84°，则∠BDC＝ .
10．（2022八上·吉林期中）如图，尺规作图痕迹与的边、分别交于点D、E，过点D作于点F，在上取一点G，使，若的面积为，的面积为，则的面积为 ．
11．（2022八上·南宁期中）如图，，请你添加一个条件 ，利用“”，证明.
12．（2022八上·富阳期中）在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，AD是△ 的角平分线， ⊥ 于点E.若△ 的面积为9，则△ 的面积为 .
三、解答题
13．如图，线段、相交于点，连接、，已知，求证：．
14．（2023八下·定边期末）如图，在四边形ABCD中，，连接AC，且，点E在边BC上，连接DE，过点A作，垂足为F，.求证：.
四、综合题
15．（2023八下·西安月考）问题探究：
（1）如图1，中，，，是高，求证：.
（2）如图2，在（1）条件下，、分别是和上的点，且，如果，那么四边形的面积是 ；
（3）如图3，四边形中，平分，，，，求的值.
16．（2023八上·吴忠期末）如图，在△ABC中，AB＝AC， 点M在△ABC内，点P在线段MC上，∠ABP＝2∠ACM.
（1）若∠PBC＝10°，∠BAC＝80°，求∠MPB的值
（2）若点M在底边BC的中线上，且BP＝AC，试探究∠A与∠ABP之间的数量关系，并证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AC于点H，∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，∴EB=EH，由AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AHE（HL），∴AB=AH，又∵EA=EC，EH⊥AC，∴AC=2AH，∴AC=2AB.
故答案为：B。
【分析】首先根据角平分线的性质得出EB=EH，再根据HL判定Rt△ABE≌Rt△AHE，得到AB=AH，最后根据等腰三角形的性质得出AC=2AH，再等量代换为AC=2AB。
2．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：过点D作，如图所示：
根据题意可得：，
∴平分，
∵，，，
又∵，
∴为直角三角形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长度为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】过点D作DE⊥AC，由题意可得∠BAD=∠CAD，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°，由角平分线的性质可得DE=BD，利用HL证明△ADB≌△ADE，得到AE=AB=4，则CE=AC-AE=1，设DB=DE=x，则CD=3-x，然后在Rt△CDE中，由勾股定理进行计算.
3．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵，平分，，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴平分，故①符合题意；
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
∵，
∴，
∴不平分，故③不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，故④符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用全等三角形的判定与性质，对每个结论一一判断即可。
4．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；作图-角的平分线
【解析】【解答】解：∵过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，
∴∠OMP=∠ONP=90°，
在Rt△OMP和Rt△ONP中
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）
∴∠MOP=∠NOP，
∴OP平分∠AOB.
故答案为：D
【分析】利用垂直的定义可证得∠OMP=∠ONP=90°，利用HL证明Rt△OMP≌Rt△ONP，利用全等三角形的对应角相等可得到∠MOP=∠NOP，即可证得OP平分∠AOB.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图1，
当△ABC是锐角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
②如图2，当△ABC是钝角三角形时，
∵CD⊥AB，且△ADC为等腰三角形，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴ ，
又∵AB=AC，
∴ ，
∴ .
故
【分析】△ABC是等腰三角形，由AB边上的高为CD，则△ABC的顶角A是锐角或钝角，分两种情况画出图形求解即可.
6．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：作CF⊥AB交BE于M，作MN⊥BC于点N，如图：
∵ BE平分∠ABC，CF⊥AB，MN⊥BC，
∴MN=MF，
∴CM+NM=CM+MF=CF，
在Rt△CFB中，
∵BC=6，
∴sin∠ABD==，
∵AD⊥BC ，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，
∵AB=5，AD=4，
∴sin∠ABD==，
∴=，
∴CF==4.8，
即CM+NM=4.8.
故答案为：D.
【分析】作CF⊥AB交BE于M，作MN⊥BC于点N，根据角平分线性质得MN=MF，从而可得CM+NM=CM+MF=CF，在Rt△CFB、Rt△ADB中，根据正弦定义可得=，解之即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC
∴DF=DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF=S△GDH=3，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF=S△ADH=
∴S△AED= ，
故答案为：A.
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可.
8．【答案】8
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】∵AD平分∠BAC，且DF⊥AB与F，DC⊥AC于C，∴DC=DF=3，又AC=4，∴，又因为BE⊥AD，∴在Rt△BDF和Rt△BDE中，BD=BD，BF=BE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE，∴DE=DF=3，∴AE=AD+DE=5+3=8.
故第1空答案为：8.
【分析】先根据角平分线的性质定理得到DC=DF=3，根据勾股定理，求出AD的长，然后再通过证明Rt△BDF≌Rt△BDE，得出DE=DF=3，最后把AD+DE即可求出AE的长。
9．【答案】96°
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝84°，
∴∠BDC＝∠EDF＝96°，
故答案为：96°.
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得DE=DF，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BD=CD，进而利用HL判断Rt△DEB≌Rt△DFC，根据全等三角形的性质得∠BDE＝∠CDF，根据四边形的内角和可得∠EAF+∠EDF＝180°，据此就不难算出答案了.
10．【答案】7
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过D点作 于H，
由作图痕迹得 平分 ，
∵ 平分 ， ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （HL），
在 和 中，
，
∴ （HL），
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
故答案为：7．
【分析】由作图痕迹得 平分 ，过D点作 于H，根据角平分线的性质得出 ，再证明 （HL）， （HL），则 ， ，代入计算即可。
11．【答案】或
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等.
由图可知：和斜边为公共边，即，
∴应添加：或，
故答案为：或.
【分析】如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等，据此解答.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵在△ 中，已知 ： ： =5：12：13，
设AC=5x，BC=12x，AB=13x，
∴AC2+BC2=25x2+144x2=169x2，AB2=169x2，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）
∴AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，
∴BE=AB-AE=13x-5x=8x，
∴
∴
解之：S△ADC=.
故答案为：
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，∠C=90°，过点D作DE⊥AB于点E，利用角平分线的性质可证得DE=CD，利用HL证明Rt△ADC≌Rt△ADE，利用全等三角形的性质可证得AE=AC=5x，S△ADC=S△ADE，同时可表示出BE的长；利用三角形的面积公式可求出，由此可得到，代入计算求出△ACD的面积.
13．【答案】证明：连接BC，如图所示：
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】【分析】先利用HL证Rt△ABC≌Rt△DCB，得∠ACB=∠DBC，再由等角对等边即可得解.
14．【答案】证明：∵，∴.
在和中，
，
∴，
∴，∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】由垂直的定义可得∠B=∠DFA=90°，由已知条件可知AD=AC，AB=AF，利用HL证明△ADF≌△ACB，得到∠DAF=∠CAB，然后根据角的和差关系进行证明.
15．【答案】（1）证明：∵，是高，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）2
（3）解：延长，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：
则，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定（AAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据解析（1）可知，，
∴，
∴，
∴
.
故答案为：2.
【分析】（1）由等腰三角形三线合一可得AD=CD=AC，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC，于是结论可求解；
（2）由三角形内角和定理可得∠A=∠C=×90°，由等腰三角形三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ABC，于是∠EBD=∠C，根据同角的余角相等可得∠EDB=∠FDC，结合（1）的结论用角边角可证，根据图中四边形面积的构成S四边形EDFB====BD×CD可求解；
（3）延长BA，过点D作DE⊥BA于点E，过点D作DF⊥BC于点F，结合已知根据30度角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=BD，用勾股定理可求得BF的值，由角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DF，用HL定理可证，则BE=BF，用同角的补角相等可得∠EAD=∠C，结合已知用角角边可证，于是可得AE=CF，然后根据线段的构成AB+BC=AB+BF+CF=AB+AE+BF=BE+BF可求解.
16．【答案】（1）解：∵ AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°.
∵∠PBC=10°，
∴∠ABP=40°.
∵∠ABP=2∠ACM，
∴∠ACM=20°.
∴∠BCM=30°.
∴∠MPB=∠PBC＋∠BCM= 40°；
（2）解：∠BAC＋∠ABP=120°.
证明：过点A作底边BC的中线AD，
∵AB=AC，
∴AD是∠BAC的平分线.
∵点M在底边BC的中线上，
∴点M在∠BAC的平分线AD上.
即AM平分∠BAC.
∴∠CAM=∠BAM.
∴连接BM，又AM是公共边
△ABM≌△ACM.
∴∠ACM=∠ABM.
∠ABP=2∠ACM，
∴∠ABP=2∠ABM.
∴∠ABM=∠PBM.
∵BP=AC，
∴BP=AB.
∴△ABM≌△PBM.
∴∠AMB=∠PMB.
又∵△ABM≌△ACM，
∴∠AMB=∠AMC.
∴∠AMB=∠AMC=∠PMB.
∴∠AMB=120°.
∴∠BAM＋∠ABM=60°.
∵∠BAC=2∠BAM，
∠ABP=2∠ABM，
∴∠BAC＋∠ABP=120°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形全等的判定（HL）；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝50°，又∠PBC＝10°，∠ABP＝2∠ACM，可求∠BCM＝30°，由三角形的外角性质即可求解；
（2）过点A作BC边上的中线AD，根据等腰三角形三线合一的性质，可得∠CAM＝∠BAM，从而可证△ABM≌△ACM，进而证明△ABM≌△PBM，可证出∠AMB＝120°，进而得结论．
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