2023-2024学年初中数学八年级上册 17.5 反证法 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
3．（2023八下·杭州月考）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
4．（2023八下·萧山期末）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中至少有两个角为直角
B．一个三角形中没有一个角为直角
C．一个三角形中至少有两个角为锐角
D．一个三角形中至少有两个角为钝角
5．（2023八下·嘉兴期末）用反证法证明“在中，若，则”时，则应假设（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
7．（2023八下·南海期中）下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若，则”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
8．（2022八下·辽阳期末）用反证法证明“在同一平面内，有三条直线a，b，c，若，，则”时，应先假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
二、填空题
9．（2023七下·志丹月考）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的三条直线a，b，c，若，，则 ．”
10．（2023七下·福清期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题.
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴ ▲
∵是偶数，可得是偶数.
∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数.
∴可设，代入，得 ▲ .可得 ▲
∴ ▲ .这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾.
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 .（填上序号）
①； ②； ③是偶数； ④.
11．（2023八下·安源期中）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．
12．（2022八上·德惠期末）用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 ．
13．（2022八下·盐湖期中）用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 ．
三、解答题
14．（2022九上·寒亭期中）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
15．（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”
本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” .事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.
如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.
假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.
根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.
这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.
解决问题：若且，请你用以上方法说明：.
四、综合题
16．（2022九下·长沙期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的.九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了.
已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF.
证明：假设 （1），
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ//CD（（2）），
∵AB//CD，且AB也过点G，
∴与（（3））矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF.
请完成上面（1）、（2）、（3）空：
（1） ；
（2） ；
（3）请选择合理的依据（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
17．（2013·扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ，d（10﹣2）= ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（ ）=d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
= （a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）= ，d（5）= ，d（0.08）= ；
（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 用反证法证明某个命题时，应先假设结论不成立，因此应首先假设.
故选：B.
【分析】利用反证法的定义即可得到答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断。
4．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设一个三角形中至少有两个角为直角，
故答案为：A.
【分析】假设命题不成立，可由''最多有一个角为直角''得到相反条件''至少有两个角为直角''.
5．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C”时，应假设∠B≠∠C.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此解答.
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．可知：以上步骤符合反证法的步骤，
∴推理使用的证明方法是反证法，
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用反证法的意义及步骤判断求解即可。
7．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质、角平分线的判断、不等式的性质及反证法逐项判断可得答案。
8．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法时应假设结论不成立，即假设a//c的对立面a与c相交．
故答案为：C．
【分析】根据反证法的要求及书写方法求解即可。
9．【答案】
【知识点】平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：在同一平面内的三条直线a，b，c，
若a⊥b，b∥c，则a⊥c，
故答案为：a⊥c.
【分析】根据平行线的性质“一条直线与两条平行线中的一条垂直，则这条直线与另一条直线也垂直”补充完整即可.
10．【答案】②①④③
【知识点】实数及其分类；反证法
【解析】【解答】 证明：假设 是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得，
于是，
∴ ，
∵是偶数，可得是偶数，
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得 ，可得
，
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
所以应该依次填入： ，，， 是偶数；
故填： ②①④③．
【分析】 根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
11．【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵“一个三角形中至少有一个角不小于60°”不成立，
∴则一个三角形中每个角都小于60°，
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°
【分析】根据反证法的定义即可直接求解。
12．【答案】在一个三角形中，可以有两个内角为钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为钝角”．
故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角．
【分析】利用反证法的证明方法求解即可。
13．【答案】三角形的三个内角中至少有两个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个钝角，
故答案为：三角形的三个内角中至少有两个钝角；
【分析】根据反证法的定义及书写要求求解即可。
14．【答案】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理、论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确.
15．【答案】解：假设，
∵，
∴，
即x=0或y=0，
这与且相矛盾，
∴假设不成立，
于是：.
【知识点】完全平方公式及运用；反证法
【解析】【分析】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.
16．【答案】（1）∠BGF≠∠DH
（2）同位角相等，两直线平行
（3）C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；反证法
【解析】【解答】解：（1） 用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DH
故答案为：∠BGF≠∠DH，
（2）根据同位角相等，两直线平行，可以由 ∠PGF＝∠DHF 得出AB∥CD，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
故答案为：C.
【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立即∠BGF≠∠DHF；
（2）根据平行线的判定条件即可解答；
（3）根据平行公理的推论即可选择.
17．【答案】（1）1；﹣2
（2）3；0.6020；0.6990；﹣1.0970
（3）解：若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）=2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）=a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，
d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．
【知识点】整式的混合运算；反证法
【解析】【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；
故答案为：1，﹣2；
2） = =3；
因为d（2）=0.3010
故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，
d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，
d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；（2）根据d（a3）=d（a a a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得 的值；（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.5 反证法 同步分层训练基础卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·南海期末）用反证法证明“若，则”时，应首先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 用反证法证明某个命题时，应先假设结论不成立，因此应首先假设.
故选：B.
【分析】利用反证法的定义即可得到答案.
2．（2023八下·江北期末）用反证法证明“在中，若，则”时，以下三个步骤正确的排列顺序是（ ）
步骤如下：
①假设在△ABC中，∠B≥90° .
②因此假设不成立，：∴∠B<90°.
③由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°，∴∠A+∠B+∠C> 180°，这与“三角形三个内角的和等于180°”产生矛盾.
A．①③② B．①②③ C．③①② D．③②①
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：由题意知，第2步是反证法的结论，
∴排除B和D选项，
所以B和D选项，错误.
∵第3步既有原因又有结果，不能作为假设的结果，
∴C选项错误.
故答案为：A.
【分析】根据反证法的一般步骤即可求出，一般步骤为：假设命题成立；根据假设出发，推理论证，得出矛盾；由矛盾判断假设不成立，原命题正确.
3．（2023八下·杭州月考）用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 B．每一个内角都小于
C．有一个内角大于 D．有一个内角小于
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】 解：反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中每一个内角都小于60°，
故选：B.
【分析】 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断。
4．（2023八下·萧山期末）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角为直角”时，应先作出的假设是（ ）
A．一个三角形中至少有两个角为直角
B．一个三角形中没有一个角为直角
C．一个三角形中至少有两个角为锐角
D．一个三角形中至少有两个角为钝角
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设一个三角形中至少有两个角为直角，
故答案为：A.
【分析】假设命题不成立，可由''最多有一个角为直角''得到相反条件''至少有两个角为直角''.
5．（2023八下·嘉兴期末）用反证法证明“在中，若，则”时，则应假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C”时，应假设∠B≠∠C.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明时，应先假设结论不成立，据此解答.
6．（2023·衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．可知：以上步骤符合反证法的步骤，
∴推理使用的证明方法是反证法，
故答案为：A.
【分析】根据题意，利用反证法的意义及步骤判断求解即可。
7．（2023八下·南海期中）下列说法，错误的是（ ）
A．一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等
B．“若，则”的逆命题是假命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一个三角形两边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等，故本选项说法正确，不符合题意；
B、“若，则”的逆命题是若，则是假命题，例如，而，故本选项说法正确，不符合题意；
C、在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，不符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中每一个内角都大于，故本选项说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据垂直平分线的性质、角平分线的判断、不等式的性质及反证法逐项判断可得答案。
8．（2022八下·辽阳期末）用反证法证明“在同一平面内，有三条直线a，b，c，若，，则”时，应先假设（ ）
A． B． C．与相交 D．与相交
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法时应假设结论不成立，即假设a//c的对立面a与c相交．
故答案为：C．
【分析】根据反证法的要求及书写方法求解即可。
二、填空题
9．（2023七下·志丹月考）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的三条直线a，b，c，若，，则 ．”
【答案】
【知识点】平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：在同一平面内的三条直线a，b，c，
若a⊥b，b∥c，则a⊥c，
故答案为：a⊥c.
【分析】根据平行线的性质“一条直线与两条平行线中的一条垂直，则这条直线与另一条直线也垂直”补充完整即可.
10．（2023七下·福清期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题.
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴ ▲
∵是偶数，可得是偶数.
∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数.
∴可设，代入，得 ▲ .可得 ▲
∴ ▲ .这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾.
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 .（填上序号）
①； ②； ③是偶数； ④.
【答案】②①④③
【知识点】实数及其分类；反证法
【解析】【解答】 证明：假设 是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得，
于是，
∴ ，
∵是偶数，可得是偶数，
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得 ，可得
，
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
所以应该依次填入： ，，， 是偶数；
故填： ②①④③．
【分析】 根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
11．（2023八下·安源期中）用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．
【答案】一个三角形中每个角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：∵“一个三角形中至少有一个角不小于60°”不成立，
∴则一个三角形中每个角都小于60°，
故答案为：一个三角形中每个角都小于60°
【分析】根据反证法的定义即可直接求解。
12．（2022八上·德惠期末）用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，第一步应假设 ．
【答案】在一个三角形中，可以有两个内角为钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在一个三角形中，不能有两个内角为钝角”时，应假设“在一个三角形中，可以有两个内角为钝角”．
故答案为：在一个三角形中，可以有两个内角为钝角．
【分析】利用反证法的证明方法求解即可。
13．（2022八下·盐湖期中）用反证法证明“三角形的三个内角中至多有一个钝角”时，应假设 ．
【答案】三角形的三个内角中至少有两个钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由题意应假设：三角形的三个内角中至少有两个钝角，
故答案为：三角形的三个内角中至少有两个钝角；
【分析】根据反证法的定义及书写要求求解即可。
三、解答题
14．（2022九上·寒亭期中）用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：，，是的三个内角．
求证：，，中不能有两个角是直角．
【答案】证明：假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，
则，这与三角形内角和为相矛盾，
不成立；
∴一个三角形中不能有两个直角．
【知识点】反证法
【解析】【分析】 反证法的一般步骤：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理、论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题正确.
15．（2022七下·镇江期中）阅读材料：怎样证实“两直线平行，同位角相等”
本节中，我们用叠合的方法发现了“两直线平行，同位角相等” .事实上，这个结论可以运用已有的基本事实，通过说理加以证实.
如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB//CD，∠1与∠2是同位角.
假设∠1∠2，那么可以通过直线AB与EF的交点O作直线GH，使∠EOH=∠2，直线GH与直线AB是两条直线.
根据基本事实“同位角相等，两直线平行”，由∠EOH=∠2，可以得到GH//CD.
这样，过点O就有两条直线AB、GH都与CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.
这说明∠1∠2的假设不正确，于是∠1=∠2.
解决问题：若且，请你用以上方法说明：.
【答案】解：假设，
∵，
∴，
即x=0或y=0，
这与且相矛盾，
∴假设不成立，
于是：.
【知识点】完全平方公式及运用；反证法
【解析】【分析】假设x2+y2=(x+y)2，根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+2xy+y2，则2xy=0，据此可得x=0或y=0，这与x≠0且y≠0相矛盾，故假设不成立，据此解答.
四、综合题
16．（2022九下·长沙期中）人教版初中数学教科书七年级下册第18－19页告诉我们平行线所具有的3个性质：
性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
其中性质2、3都是利用性质1推导出来的，但是书上却没给出性质1的推理过程，而是通过测量观察数据而得出的.九年级上册学习了反证法后，我们可以尝试给出证明了.
已知：直线AB//CD，直线EF分别交AB、CD于点G、H，求证：∠BGF＝∠DHF.
证明：假设 （1），
过点G作直线PQ，使得∠PGF＝∠DHF，
∴PQ//CD（（2）），
∵AB//CD，且AB也过点G，
∴与（（3））矛盾，
所以假设错误，即∠BGF＝∠DHF.
请完成上面（1）、（2）、（3）空：
（1） ；
（2） ；
（3）请选择合理的依据（ ）
A．两点确定一条直线
B．两直线平行，同位角相等
C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】（1）∠BGF≠∠DH
（2）同位角相等，两直线平行
（3）C
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定；反证法
【解析】【解答】解：（1） 用反证法证明问题，先假设结论不成立，即∠BGF≠∠DH
故答案为：∠BGF≠∠DH，
（2）根据同位角相等，两直线平行，可以由 ∠PGF＝∠DHF 得出AB∥CD，
故答案为：同位角相等，两直线平行；
（3）经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
故答案为：C.
【分析】（1）根据反证法先假设结论不成立即∠BGF≠∠DHF；
（2）根据平行线的判定条件即可解答；
（3）根据平行公理的推论即可选择.
17．（2013·扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）= ，d（10﹣2）= ；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（ ）=d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
= （a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）= ，d（5）= ，d（0.08）= ；
（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
【答案】（1）1；﹣2
（2）3；0.6020；0.6990；﹣1.0970
（3）解：若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）=2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）=a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，
d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．
【知识点】整式的混合运算；反证法
【解析】【解答】解：（1）d（10）=1，d（10﹣2）=﹣2；
故答案为：1，﹣2；
2） = =3；
因为d（2）=0.3010
故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，
d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，
d（0.08）=d（8×10﹣2）=3d（2）+d（10﹣2）=﹣1.0970；
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；（2）根据d（a3）=d（a a a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得 的值；（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
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