2023-2024学年初中数学八年级上册 17.5 反证法 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
2．（2022八下·宁波期中）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角”时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
3．（2022八下·柯桥期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是锐角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是钝角
4．（2022八下·榆次期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法
5．（2021八上·剑河月考）如图，点O是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在 的平分线上：②点O到 的三边的距离相等；③ ，以上结论正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
6．（2021七下·娄星期末）给出下列说法：
（ 1 ）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（ 2 ）不相等的两个角不是同位角；
（ 3 ）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（ 4 ）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2021八下·丽水期末）假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ）
A．a≠0 B．a≤0 C．a=0 D．a<0
8．（2021八下·嵊州期末）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立.所以∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
二、填空题
9．（2022八下·埇桥期中）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ．
10．（2021八下·衢州期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 60°（填“＞”“＜”或“＝”）.
11．（2020七下·北京期末）数学课上，同学提出如下问题：
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB= ．” 如图2，假设∠EOB≠ ，过点O作直线A'B'，使 = ，可得 ∥CD．这样过点O就有两条直线AB， 都平行于直线CD，这与基本事实 矛盾，说明∠EOB≠ 的假设是不对的，于是有∠EOB=∠ ． 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不符合题意，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
请补充上述证明过程中的基本事实：
12．（2020八下·凤县月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中 .“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 .
三、解答题
13．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明一个命题，首先应该假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和等于180°并结合各选项可求解.
3．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面即可.
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是反证法．
故答案为：D．
【分析】根据反证法的定义及书写要求求解即可。
5．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O分别作 ，如图，
点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
，
，
点O到△ABC的三边的距离相等；故②正确；
，OD=OF，
点O在∠A的平分线上，故①正确；
连接AO ，
假设 ，
， 是∠BAC的角平分线， ，
， ，
， ，
， ，
，
即 ，
不一定等于 ，
故③不成立；
故正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线的性质得OD=OE，OE=OF，推出OD=OE=OF，据此判断①②； 连接AO，假设OB=OC，易证△AOD≌△AOF，△ODB≌△OFC，得到AD=AF，DB=CF，推出AB=AC，据此判断③.
6．【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：（1）只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故此说法错误；
（2）当两条不平行的直线被第三条直线所截时，同位角不相等，即不相等的两个角也可以是同位角，故此说法错误；
（3）假设它与另一条平行，根据平行于同一直线的两直线平行可得它与第一条也平行，这与已知条件相矛盾，故平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，此说法正确；
（4）根据点到直线的距离的概念可知此说法正确.
故正确的说法有2个.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断（1）（2）；根据反证法可判断（3）；根据点到直线的距离的概念可判断（4）.
7．【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是a≤0.
故答案为： B.
【分析】a>0不成立，即a<0或a=0，据此解答.
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①假设在△ABC中，∠B≥90°，
②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
③∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
④因此假设不成立.
∴∠B＜90°，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立；即可得到这四个步骤正确的顺序的选项.
9．【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵用反证法来证明这个结论，且结论为∠B≠∠C，
∴假设．
故答案为：．
【分析】先假设∠B≠∠C结论不成立，即∠B=∠C.
10．【答案】＜
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于.
故答案为：＜.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个内角大于或等于60°的反面即可.
11．【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，依据基本事实 同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
12．【答案】有两个角是直角；内错角相等，两直线平行
【知识点】反证法；逆命题
【解析】【解答】解： ∵命题的结论是：不能有两个角是直角，∴第一步是假设这个三角形中有两个角是直角；
“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”.
【分析】反证法证明时，应先假设命题结论的反面成立，先找出原命题的结论，再假设它的反面成立即可；根据逆命题的定义，即逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，据此回答即可。
13．【答案】证明：假设 ，则 ，
这与已知 相矛盾，
假设不成立，
不平行于 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面（假设a∥b），从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与已知，定义、公理、定理矛盾（与已知∠1≠∠2矛盾），得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立.
14．【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
1 / 12023-2024学年初中数学八年级上册 17.5 反证法 同步分层训练培优卷(冀教版)
一、选择题
1．（2023八下·宁波期末）用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ）
A． B． C．a与b相交 D．a与c相交
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明：“在同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”时，首先应假设a与c相交.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明一个命题，首先应该假设命题结论的反面成立，据此可得答案.
2．（2022八下·宁波期中）用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角”时，下列假设正确的是（ ）
A．三角形中至少有两个角是钝角 B．三角形中没有一个角是钝角
C．三角形中三个角都是钝角 D．三角形中至少有一个角是钝角
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：根据反证法的步骤，则可假设三角形中至少有两个角是钝角.
故答案为：A.
【分析】根据三角形的内角和等于180°并结合各选项可求解.
3．（2022八下·柯桥期中）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，首先应该假设这个四边形中（ ）
A．有一个角是钝角或直角 B．每一个角都是锐角
C．每一个角都是直角 D．每一个角都是钝角
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法证明命题：“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，假设这个四边形中每一个角都是锐角.
故答案为：B.
【分析】用反证法证明的第一步为假设结论不成立，故只需找出“四边形中至少有一个角是钝角或直角”的反面即可.
4．（2022八下·榆次期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是反证法．
故答案为：D．
【分析】根据反证法的定义及书写要求求解即可。
5．（2021八上·剑河月考）如图，点O是 的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在 的平分线上：②点O到 的三边的距离相等；③ ，以上结论正确的有（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；反证法；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过点O分别作 ，如图，
点O是△ABC的两个外角平分线的交点，
，
，
点O到△ABC的三边的距离相等；故②正确；
，OD=OF，
点O在∠A的平分线上，故①正确；
连接AO ，
假设 ，
， 是∠BAC的角平分线， ，
， ，
， ，
， ，
，
即 ，
不一定等于 ，
故③不成立；
故正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】过点O分别作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根据角平分线的性质得OD=OE，OE=OF，推出OD=OE=OF，据此判断①②； 连接AO，假设OB=OC，易证△AOD≌△AOF，△ODB≌△OFC，得到AD=AF，DB=CF，推出AB=AC，据此判断③.
6．（2021七下·娄星期末）给出下列说法：
（ 1 ）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（ 2 ）不相等的两个角不是同位角；
（ 3 ）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（ 4 ）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做该点到直线的距离；
其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；反证法
【解析】【解答】解：（1）只有两条平行线被第三条直线所截，同位角才相等，故此说法错误；
（2）当两条不平行的直线被第三条直线所截时，同位角不相等，即不相等的两个角也可以是同位角，故此说法错误；
（3）假设它与另一条平行，根据平行于同一直线的两直线平行可得它与第一条也平行，这与已知条件相矛盾，故平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，此说法正确；
（4）根据点到直线的距离的概念可知此说法正确.
故正确的说法有2个.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可判断（1）（2）；根据反证法可判断（3）；根据点到直线的距离的概念可判断（4）.
7．（2021八下·丽水期末）假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是（ ）
A．a≠0 B．a≤0 C．a=0 D．a<0
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设命题“a>0"不成立，那么a与0的大小关系只能是a≤0.
故答案为： B.
【分析】a>0不成立，即a<0或a=0，据此解答.
8．（2021八下·嵊州期末）已知△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立.所以∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB=AC，得∠C=∠B≥90°，即∠B+∠C≥180°. 这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：
①假设在△ABC中，∠B≥90°，
②由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B＋∠C≥180°，
③∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，
④因此假设不成立.
∴∠B＜90°，
故答案为：D.
【分析】利用反证法的步骤：假设命题反面成立；从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立；即可得到这四个步骤正确的顺序的选项.
二、填空题
9．（2022八下·埇桥期中）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设 ．
【答案】
【知识点】反证法
【解析】【解答】∵用反证法来证明这个结论，且结论为∠B≠∠C，
∴假设．
故答案为：．
【分析】先假设∠B≠∠C结论不成立，即∠B=∠C.
10．（2021八下·衢州期末）用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设命题不成立，即三角形的三个内角都 60°（填“＞”“＜”或“＝”）.
【答案】＜
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于.
故答案为：＜.
【分析】用反证法证明的第一步为：假设结论不成立，故只需找出至少有一个内角大于或等于60°的反面即可.
11．（2020七下·北京期末）数学课上，同学提出如下问题：
老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：
如图1，我们想要证明“如果直线AB，CD被直线所截EF，AB∥CD，那么∠EOB= ．” 如图2，假设∠EOB≠ ，过点O作直线A'B'，使 = ，可得 ∥CD．这样过点O就有两条直线AB， 都平行于直线CD，这与基本事实 矛盾，说明∠EOB≠ 的假设是不对的，于是有∠EOB=∠ ． 小贴士 反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不符合题意，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法．
请补充上述证明过程中的基本事实：
【答案】经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'=∠EO'D，依据基本事实 同位角相等，两直线平行，可得A'B'∥CD．这样过点O就有两条直线AB，A′B′都平行于直线CD，这与基本事实： 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不对的，于是有∠EOB=∠EO'D．
故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
【分析】直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案．
12．（2020八下·凤县月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中 .“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 .
【答案】有两个角是直角；内错角相等，两直线平行
【知识点】反证法；逆命题
【解析】【解答】解： ∵命题的结论是：不能有两个角是直角，∴第一步是假设这个三角形中有两个角是直角；
“两直线平行，内错角相等”的逆命题是“内错角相等，两直线平行”.
【分析】反证法证明时，应先假设命题结论的反面成立，先找出原命题的结论，再假设它的反面成立即可；根据逆命题的定义，即逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，据此回答即可。
三、解答题
13．已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
【答案】证明：假设 ，则 ，
这与已知 相矛盾，
假设不成立，
不平行于 .
【知识点】反证法
【解析】【分析】反证法的步骤：假设命题的反面（假设a∥b），从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或与已知，定义、公理、定理矛盾（与已知∠1≠∠2矛盾），得出假设命题不成立是错误的，即可求证命题成立.
14．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）阅读下列文字，回答问题。
题目：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC=BC，
∠A≠45°，∠C=90°，∴∠A≠∠B
∴AC≠BC，这与假设矛盾，∴AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正。
【答案】解：有错误。改正：
假设AC=BC，则∠A=∠B
又∵∠C=90° ∠B=∠A=45°，这与∠A≠45°矛盾，
∴.AC=BC不成立， AC≠BC。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；反证法
【解析】【分析】根据反证法证明方法，先连结DE，假设AC=BC，根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理证明即可.
1 / 1
