第七章三角函数的图象和性质 复习课讲义（含解析）

编号：051 课题: 三角函数的图象和性质复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握任意角与弧度制；
2.掌握同角三角函数基本关系和诱导公式的应用；
3.理解并掌握三角函数的图象与性质；
4.理解并掌握三角函数的图象变换问题．
本节重点难点
重点：三角函数的图象与性质；
难点：三角函数的图象变换问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1．弧度制：一弧度角的定义(半径为r的扇形的弧长等于r时的角)；弧长公式为：______
扇形面积公式为_____________________.
2．角度制与弧度制的换算（_________弧度,1弧度＝_______________）；
3.特殊角的三角函数值：
0
sin 0
cos 1 0
tan 0 1 不存在
4.轴线角及象限角的有关概念
轴线角的表示：，其中，当k＝4n（，以下n的范围均为正整数）时，终边落在x轴的正半轴上；当k＝4n＋1，终边落在y轴的正半轴上；当k＝4n＋2时，终边落在x轴的负半轴上；当k＝4n＋3时，终边落在y轴的负半轴上.
象限角的表示：
第一象限的角的表示——_______________________________________，
第二象限的角的表示——________________________________________，
第三象限的角的表示——_________________________________________，
第四象限的角的表示——___________________________________________.
5.六种三角函数在各个象限的符号判断：
判断法则：正弦、余割上（第一、第二象限）正下（第三、第四象限）负，余弦、正割右（第一、第四象限）正左（第二、第三象限）负，正切、余切奇（第一、第三象限）正、偶（第二、第四象限）负.
6.已知角位于第一，二，三，四象限，问，分别位于哪一象限？
分别位于一与三，一与三，二与四，二与四象限，分别位于一与二与三，一与二与四，一与三与四，二与三与四象限.
7．同角三角函数的基本关系式：⑴平方关系——
_____________________________________________________________
⑵倒数关系——__________________________________________________
⑶商数关系——______________________________________________
8．诱导公式记忆方法： 纵（奇）变横（偶）不变，符号看象限.
补充：9.
名称 正弦函数 余弦函数 正切函数
解析式
图象
定义域
值域
最值 时， 最大值为1 时， 最大值为1 既无最大值， 也无最小值
时， 最大值为 时， 最大值为
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 增区间： 增区间： 增区间：
减区间： 减区间：
周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
对称性 对称中心： 对称中心： 对称中心：
对称轴： 直线 对称轴： 直线
10.作出下列函数的图象1），2)
3）；
11．函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期________；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期___________.函数____________，_______________
_________________________(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期____________.
【课堂检测达标】
题1. 已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为( )
A．()° B．60°
C．1 D．2
题2．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除了可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于原点对称
题3．设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
题4．已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且sin θ＝ ，则 ( )
A． B． C．－ D．－
题5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d等于( )
A．5sin B．10sin
C．5sin D．10sin
题6．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)＝3 000·cos ()＋4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
题7．若sin (π－α)＋cos (－α)＝ ，α∈(0，π)，则tan ( π－α)的值为( )
A．－ 或－ B．－
C．－ D．
题8．若，则sin αcos α＝( )
A．－ B．
C．－ 或1 D． 或－1
题9(多选题)．下列结论正确的有( )
A．sin ( ＋α)＝cos ( －α)
B．cos ( ＋θ)＋sin ( －θ)＝0
C．sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝1
D．sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝1
题10(多选题)．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是( )
x
ωx＋φ 0 π 2π
f(x) 3 1
A.函数的解析式为f(x)＝2sin (2x＋)＋1
B．函数f(x)图象的一条对称轴为x＝－
C．(－，2)是函数f(x)的一个对称中心
D．函数f(x)的图象向左平移 个单位，再向下平移2个单位所得的函数为偶函数
题11(多选题)．定义设函数，给出f(x)以下四个论断，其中正确的是( )
A．是最小正周期为2π的奇函数
B．图象关于直线x＝对称，最大值为
C．是最小值为－1的偶函数
D．在区间上是增函数
题12(多选题)．已知函数f(x)＝tan x＋，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)的最小正周期为
B．点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心
C．f(x)的值域为[0，＋∞)
D．不等式f(x)＞2的解集为(＋kπ，＋kπ)()
题13(多选题)．下列命题中正确的是 (　 　)
A．零角的终边与始边重合 B．90°～180°间的角不一定是钝角
C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角
题14(多选题)．下列命题正确的有 (　 　)
A．sin 2＋cos 2＝1 B．tan ＝1
C．θ为第三或第四象限角当且仅当<0 D．钝角一定是第二象限角
题15(多选题)．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．
已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是 (　 　)
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝
题16(多选题)．下列各函数，其中符号为正的是 (　 　)
A．
题17(多选题)．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是 (　 　)
A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2
题18．已知角α终边上一点P的坐标为(sin 2，cos 2)，则α是第____________象限角，sin α＝____________．
题19．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)部分图象如图所示，则ω＝__________，为了得到偶函数y＝g(x)的图象，至少要将函数y＝f(x)的图象向右平移__________个单位长度．
题20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒 的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒 的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________．
题21．已知α∈(－π，π)，满足tan α是关于x的方程x2＋ ＋1＝0的两个根中较小的根，则α的值为____________．
题22．已知sin (α－π)是方程6x＝1－ 的根，求 的值．
题23．已知函数y＝sin (－ －2x).求：
(1)函数y＝sin (－ －2x)的单调递减区间，对称轴，对称中心；
(2)当x∈[，]时，函数的值域．
题24．如图，已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，点A，B分别是f(x)的图象与y轴，x轴的交点，C，D分别是f(x)的图象上横坐标为的两点，CD∥x轴，且A，B，D三点共线．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若f(α)＝，α∈，求f(α－).
题25．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin .
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
编号：051 课题: 三角函数的图象和性质复习课
教学课时安排
1、上课时间：_________________．
2、课时安排：_________________．
3、上课班级___________________．
学科目标要求
1.理解并掌握任意角与弧度制；
2.掌握同角三角函数基本关系和诱导公式的应用；
3.理解并掌握三角函数的图象与性质；
4.理解并掌握三角函数的图象变换问题．
本节重点难点
重点：三角函数的图象与性质；
难点：三角函数的图象变换问题．
学科素养目标
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形．特别值得一提的是诱导公式的推导．首先提出问题：“由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识结构简图
教学过程赏析
基础知识积累
1．弧度制：一弧度角的定义(半径为r的扇形的弧长等于r时的角)；弧长公式为：
扇形面积公式为
2．角度制与弧度制的换算（弧度,1弧度＝）；
3.特殊角的三角函数值：
0
sin 0
cos 1 0
tan 0 1 不存在
4.轴线角及象限角的有关概念
轴线角的表示：，其中，当k＝4n（，以下n的范围均为正整数）时，终边落在x轴的正半轴上；当k＝4n＋1，终边落在y轴的正半轴上；当k＝4n＋2时，终边落在x轴的负半轴上；当k＝4n＋3时，终边落在y轴的负半轴上.
象限角的表示：
第一象限的角的表示——，
第二象限的角的表示——，
第三象限的角的表示——，
第四象限的角的表示——
5.六种三角函数在各个象限的符号判断：
判断法则：正弦、余割上（第一、第二象限）正下（第三、第四象限）负，余弦、正割右（第一、第四象限）正左（第二、第三象限）负，正切、余切奇（第一、第三象限）正、偶（第二、第四象限）负.
6.已知角位于第一，二，三，四象限，问，分别位于哪一象限？
分别位于一与三，一与三，二与四，二与四象限，分别位于一与二与三，一与二与四，一与三与四，二与三与四象限.
7．同角三角函数的基本关系式：⑴平方关系——
⑵倒数关系——
⑶商数关系——
8．诱导公式记忆方法： 纵（奇）变横（偶）不变，符号看象限.
补充：9.
名称 正弦函数 余弦函数 正切函数
解析式
图象
定义域
值域
最值 时， 最大值为1 时， 最大值为1 既无最大值， 也无最小值
时， 最大值为 时， 最大值为
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 增区间： 增区间： 增区间：
减区间： 减区间：
周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为
对称性 对称中心： 对称中心： 对称中心：
对称轴： 直线 对称轴： 直线
10.作出下列函数的图象1），2)
3）；
11．函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.函数，
(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.
【课堂检测达标】
题1. 已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为( )
A．()° B．60°
C．1 D．2
【解析】选D.设扇形的弧长为l，面积为S，半径为R，圆心角为α，
根据条件可知：l＋2R＝2，所以S＝ lR＝(2－2R)R＝－R2＋R＝－(R－)2＋，
所以当R＝ 时S有最大值，此时l＝2－2R＝1，所以α＝ ＝2.
题2．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除了可能重合外，还有可能( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线y＝x对称
D．关于原点对称
【解析】选A.如图：角α的终边与单位圆相交于点P，过点P作PM⊥x轴于点M，
由三角函数线的定义可知：OM＝cos α，
由图知：设角β的终边与单位圆相交于点P1，当角β的终边与角α的终边关于x轴对称时，过点P1作x轴的垂线，则垂足为点M，所以OM＝cos β，
所以当角α与β的终边关于x轴对称时，cos α＝cos β.
题3．设a＝cos ，b＝sin ，c＝tan ，则( )
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．b＜a＜c
【解析】选B.作出角 的三角函数线如图所示．
由图象知cos＜sin＜tan，
又sin＝sin，所以a＜b＜c.
题4．已知点A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B在第二象限．记∠AOB＝θ且sin θ＝ ，则 ( )
A． B． C．－ D．－
【解析】选C.依题意，θ是第二象限角，
而sin θ＝ ，cos θ＝－ ＝－ ，tanθ＝ ，
所以.
题5．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针绕点O匀速旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，当t∈[0，60]，A，B两点间的距离为d(单位：cm)，则d等于( )
A．5sin B．10sin
C．5sin D．10sin
【解析】选D.由题知，圆心角为，过O作AB的垂线，则AB＝2×5×sin 30＝10sin.
题6．某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而一年中的第n月的从事旅游服务工作的人数f(n)可以近似用函数f(n)＝3 000·cos ()＋4 000来刻画(其中正整数n表示一年中的月份).当该地区从事旅游服务工作人数在5 500或5 500以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么一年中是“旺季”的月份总数有( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解析】选B.令3 000cos ()＋4 000≥5 500，则cos ()≥ ，则 ，解得－6＋12k≤n≤－2＋12k， ，
因为1≤n≤12，所以6≤n≤10，因为n是正整数，所以n＝6，7，8，9，10共5个．
题7．若sin (π－α)＋cos (－α)＝ ，α∈(0，π)，则tan ( π－α)的值为( )
A．－ 或－ B．－
C．－ D．
【解析】选C.由sin (π－α)＋cos (－α)＝可得：sin α＋cos α＝，
平方得sin2α＋2sinαcos α＋cos2α＝，所以，
解得tanα＝－ 或tan α＝－ ，又α∈(0，π)，所以α∈( ，π)，又sin α＋cos α＝，
所以|sin α|＞|cos α|，所以，由勾股数3，4，5得sin α＝ ，cos α＝－ .
所以 .
题8．若，则sin αcos α＝( )
A．－ B．
C．－ 或1 D． 或－1
【解析】选A.由 ，
两边平方得 ＝3，
所以3(sin αcos α)2－2sin αcos α－1＝0，所以sin αcos α＝－ 或1，因为
sin αcos α＝ sin 2α∈[－，]，所以sin αcos α＝－ .
题9(多选题)．下列结论正确的有( )
A．sin ( ＋α)＝cos ( －α)
B．cos ( ＋θ)＋sin ( －θ)＝0
C．sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝1
D．sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝1
【解析】选ABD.sin(＋α)＝sin (＋α－)＝cos (α－)＝cos (－α)，A正确；
因为cos (＋θ)＝－sin (＋θ)＝－sin [π－(－θ)]＝－sin (－θ)，
所以cos (＋θ)＋sin (－θ)＝0，B正确；
因为sin (15°－α)＝sin [90°－(75°＋α)]＝cos (75°＋α)，
所以sin2(15°－α)＋cos2(75°＋α)＝2cos2(75°＋α)，其值不一定为1，C错误；
sin2(15°－α)＋sin2(75°＋α)＝cos2(75°＋α)＋sin2(75°＋α)＝1，D正确．
题10(多选题)．已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分自变量、函数值如表所示，下列结论正确的是( )
x
ωx＋φ 0 π 2π
f(x) 3 1
A.函数的解析式为f(x)＝2sin (2x＋)＋1
B．函数f(x)图象的一条对称轴为x＝－
C．(－，2)是函数f(x)的一个对称中心
D．函数f(x)的图象向左平移 个单位，再向下平移2个单位所得的函数为偶函数
【解析】选BC.由表格数据可得：A sin ＋B＝A＋B＝3，A sin ＋B＝－A＋B＝1，
解得A＝1，B＝2，由 ω＋φ＝ ， ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝ ，
所以函数的解析式为f(x)＝sin (2x＋)＋2，故选项A不正确；
令，解得k＝－1∈，
所以x＝－ 是函数f(x)图象的一条对称轴，故选项B正确；令，解得k＝0∈，所以(－，2)是函数f(x)的一个对称中心，故选项C正确；
函数f(x)的图象向左平移 个单位可得y＝sin [2(x＋)＋]＋2＝sin (2x＋π)＋2＝2－sin 2x，再向下平移2个单位可得y＝2－sin 2x－2＝－sin 2x，是奇函数，故选项D不正确．
题11(多选题)．定义设函数，给出f(x)以下四个论断，其中正确的是( )
A．是最小正周期为2π的奇函数
B．图象关于直线x＝对称，最大值为
C．是最小值为－1的偶函数
D．在区间上是增函数
【解析】选BD.sin x≤cos x sin x－cos x＝ sin (x－ )≤0，2kπ－π≤x－ ≤2kπ，2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈，同理可得sin x≥cos x时，2kπ＋≤x≤2kπ＋， ，
所以
作出函数的图象，如图，
由图象可知，周期是2π，函数不具有奇偶性，x＝是对称轴，最大值是，
在x∈时，f(x)＝sin x是增函数，BD正确，AC错误．
题12(多选题)．已知函数f(x)＝tan x＋，则下列结论中正确的有( )
A．f(x)的最小正周期为
B．点(－，0)是f(x)图象的一个对称中心
C．f(x)的值域为[0，＋∞)
D．不等式f(x)＞2的解集为(＋kπ，＋kπ)()
【解析】选CD.f(x)＝tan x＋，
作出f(x)的图象，如图，观察图象
f(x)的最小正周期为π，A错误；f(x)的图象没有对称中心，B错误；
f(x)的值域为[0，＋∞)，C正确；
不等式f(x)＞2，即x∈[kπ，＋kπ)(k∈Z)时2tan x＞2，得tan x＞1，
解得＋kπ＜x＜＋kπ，，所以f(x)＞2的解集为(＋kπ，＋kπ)()，D正确．
题13(多选题)．下列命题中正确的是 (　 　)
A．零角的终边与始边重合 B．90°～180°间的角不一定是钝角
C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角
【解析】选AB.A显然正确；90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；终边和始边都相同的两个角相差k·360°，k∈Z，故C错误；120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．
题14(多选题)．下列命题正确的有 (　 　)
A．sin 2＋cos 2＝1 B．tan ＝1
C．θ为第三或第四象限角当且仅当<0 D．钝角一定是第二象限角
【解析】选AD.sin 2＋cos 2＝＋＝1，故A正确；tan ＝tan ＝tan ＝－1，故B不正确；当<0，即当此时θ是第四象限角，或此时θ是第二象限角，故C不正确；钝角的范围是，为第二象限角，故D正确．
题15(多选题)．定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．
已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是 (　 　)
A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝
【解析】选AC.
因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，若α＋β＝，则β＝－α.
A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件；
B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件；
C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故C符合条件；
D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件．
题16(多选题)．下列各函数，其中符号为正的是 (　 　)
A．sin(－1 000°) B．cos (－2 200°) C．tan D．
【解析】选ABD.sin (－1 000°)＝sin 80°＞0；cos (－2 200°)＝cos 40°＞0；
tan ＝tan ＜0；＝＝＞0.
题17(多选题)．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值是 (　 　)
A．－2　 B．－1　 C．1　 D．2
【解析】选AD.当k＝2n，n∈Z时，
A＝＋＝＋＝2，当k＝2n＋1，n∈Z时，
A＝＋＝＋＝－2.
题18．已知角α终边上一点P的坐标为(sin 2，cos 2)，则α是第____________象限角，sin α＝____________．
【解析】由于＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0，故P点在第四象限，也即α为第四象限角．
由三角函数的定义有sin α＝＝cos2.
答案：四 cos 2
题19．已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)部分图象如图所示，则ω＝__________，为了得到偶函数y＝g(x)的图象，至少要将函数y＝f(x)的图象向右平移__________个单位长度．
【解析】由题图可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×[6－(－2)]＝16，所以ω＝ ，
则f(x)＝2sin ( ＋φ)，由于函数f(x)的图象过点(－2，0)且在x＝－2附近单调递增，所以，－2× ＋φ＝2kπ( )，可得φ＝2kπ＋ ( )，因为－ ＜φ＜ ，所以φ＝ ，所以f(x)＝2sin ( ＋ )，假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，且g(x)＝f(x－t)＝2sin [ (x－t)＋ ]＝
2sin ( x－ ＋ )，所以 ，解得t＝－2＋8k( )，因为t＞0，当k＝1时t取最小值6.
答案： 6
题20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，动点P以每秒 的角速度从点A出发，沿半径为2的上半圆逆时针移动到B，再以每秒 的角速度从点B沿半径为1的下半圆逆时针移动到坐标原点O，则上述过程中动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为__________．
【解析】由三角函数的定义可得：当动点P在半径为2的上半圆上运动时，t∈(0，2]，终边OP对应的角度为 t，所以P点坐标为(2cos t，2sin t)，
当动点P在半径为1的下半圆上运动时，t∈(2，5]，终边OP对应的角度为 (t－2)＋π，
所以P点坐标为(－1＋cos [ (t－2)＋π]，sin [ (t－2)＋π])，
综上：动点P的纵坐标y关于时间t的函数表达式为
答案：
题21．已知α∈(－π，π)，满足tan α是关于x的方程x2＋ ＋1＝0的两个根中较小的根，则α的值为____________．
【解析】因为tan α是关于x的方程x2＋＋1＝0的较小根，且由根与系数的关系可知两根乘积为1，所以方程的较大根是，
因为 ，所以，
即，cos α≠0
所以sin α＝－ ，所以α＝2kπ－ 或2kπ＋ ( )，
当α＝2kπ＋π()时，tan α＝ ， ；
当α＝2kπ－ (k∈Z)时，tan α＝－ ，；
由，所以α＝2kπ＋π()，
因为α∈(－π，π)，所以α＝－ .
答案：－
题22．已知sin (α－π)是方程6x＝1－ 的根，求 的值．
【解析】6x＝1－ 即6( )2＋ －1＝0，解得，x＝ ，
sin (α－π)＝－sin α＝ ，sin α＝－ ，
，因为sin α＝－ ，所以原式值为9.
题23．已知函数y＝sin (－ －2x).求：
(1)函数y＝sin (－ －2x)的单调递减区间，对称轴，对称中心；
(2)当x∈[，]时，函数的值域．
【解析】(1)化简可得y＝sin (－－2x)＝－sin (2x＋)，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以函数y＝sin (－－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)；
令2x＋＝kπ＋ ，可得x＝＋，故函数的对称轴为x＝＋，k∈Z；
令2x＋＝kπ，得x＝－＋，
故函数的对称中心为(－＋，0)，k∈Z.
(2)当x∈[，]时，2x＋∈[，]
所以sin (2x＋)∈[，1]，
所以－sin (2x＋)∈[－1，－]，
所以函数的值域为.
题24．如图，已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)，点A，B分别是f(x)的图象与y轴，x轴的交点，C，D分别是f(x)的图象上横坐标为的两点，CD∥x轴，且A，B，D三点共线．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)若f(α)＝，α∈，求f(α－).
【解析】(1)根据题意，点A与点D关于点B对称，所以B点的横坐标为 .
又点C与点D关于直线x＝ 对称，所以f(x)的最小正周期T满足 ，
解得T＝π，即ω＝2.又f(0)＝sin φ，f()＝sin (2×＋φ)＝sin
＝－sin＝－sin φ，即sin (＋φ)＝sin φ，又0＜φ＜π，
所以(＋φ)＋φ＝π，所以φ＝.
所以f(x)＝sin；
(2)由(1)知，函数f(x)＝sin，所以f(α)＝sin，
又α∈ ，所以2α＋∈，所以cos，
所以f(α－)＝sin [2(α－)＋]＝sin (2α－)＝sin [－]＝－cos (2α＋)＝ ，所以.
题25．一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin .
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
【解析】(1)周期T＝ ＝1(s).
列表：
t 0 1
2πt＋ π 2π 2π＋
6sin 3 6 0 －6 0 3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期).
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