第6课 全等三角形的识别（复习课）
学习目标：能灵活运用全等三角形的识别方法进行全面综合的证明。
重点与难点：分析题意的能力及解题能力的提高
教学过程：
一、公理及定理回顾：
1、一般三角形全等的判定（如图）
(1) 边角边（SSS） A
AB=A′B′ BC=B′C ′ _______=_____
△ABC≌△A′B′C′
（2）边角边（SAS）
AB=A′B′ ∠B=∠B′ _______=_____ B C
△ABC≌△A′B′C′
A′
(3) 角边角（ASA）
∠B=∠B′ ____=_____ ∠C=∠C′
△ABC≌△A′B′C′
B ′ C′
(4) 角角边（AAS）
∠A=∠A′ ∠C=∠C′ _______=_____
△ABC≌△A′B′C′
2、直角三角形全等的判定： A A′
斜边直角边定理（HL）
AB=AB _____=_____
Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
B C B′ C′
二、全等三角形的性质
1、全等三角形的对应角＿＿＿＿＿
2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿＿
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
练习：
1、 判断下列各组里的两个图形是否全等：
1、三角形一边上的中线把这个三角形分成的两个三角形 （ ）
2、有两边和一角分别对应相等的两个三角形 （ ）
3、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形 （ ）
4、等腰三角形的顶角的平分线把这个等腰三角形分成的两个三角形 （ ）
5、边长相等的两个等边三角形 （ ）
6、两条直角边分别对应相等的两个直角三角形 （ ）
2、 填空：
1、如图：OA=OD,OC=OB,_____=______, 则△AOC≌△DOB。
2、如图：CD=BD,若△ACD≌△ABD，则还需有＿＿＿＿＿
3、如图：AB=AD,BC=DC，要证∠B=∠D，则需要连结_________，从而可证＿＿＿＿≌＿＿＿
A D C B
O A D 1 A C
C B B D
第1题 第2题 第3题
4、如图，△ABC≌△DEF, ∠B=30°, ∠D=70°,则∠ACB=__________
5、如图，OA=OC,OB=OD,则图中有_________≌__________，还有_________≌__________，根据是＿＿＿＿＿＿__
6、如图，△ABC≌△DEF, △ABC的周长为25cm，AB=6cm,CA=8cm,则DE=____,DF=___,EF=____.
A A D
A D
B C E F O
B C
D B E C F
第4题 第5题 第6题
7、要使下列各对三角形全等，请填写需要增加的条件。
（1） （2）
∠A=∠D,
∠B=∠F,
_________;
∠A=∠D,
AB=DE,
_________;
1、 如图：AD与BE交于点C，CD=CA,CB=CE,求证：AB=DE
证明： CA=CD(已知) A B
∠1=∠2 （ ） 1
CB=CE（已知） 2 C
△＿＿＿＿≌△＿＿＿＿（ ）
AB=DE E D
9、如图：BC平分∠ABD，AB=DB,P为BC上任意一点，
求证：△PAC≌△PDC
证明： BC平分∠ABD A
∠______＝∠______
又 AB=DB ( )
BP=_________( ) B P C
△ABP≌___________( )
＿＿＿＝＿＿,∠APB＝∠＿＿＿， D
即：＿＿＿＝＿＿,∠APC＝∠＿＿＿，
又＿＿＿＝＿＿( )
则△PAC≌△PDC( )
三、选择：
1、下列条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A AB=DE,BC=EF, ∠A=∠D B ∠A=∠D, ∠C=∠F,AC=EF
C ∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF D AB=DE,BC=EF, △ABC的周长等于△DEF的周长
2、以下三对元素对应相等的两个三角形，不能判定它们全等是（ ）
A 一边两角 B 两边和夹角 C 三个角 D 三条边
3、下列命题中，正确的是（ ）
A三个角对应相等的两个三角形全等 B周长和一边对应相等的两个三角形全等
C三条边对应相等的两个三角形全等 D面积和一边对应相等的两个三角形全等
4、已知四边形ABCD中，AB∥CD,AB=DC,AC与BD交于点O，则全等三角形共有（ ）
A 1对 B 2对 C 3对 D 4对
5、能判定两个三角形全等的是（ ）
A ∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′ B BC=B′C′,AC=A′C′,∠B=∠B′
C AC=A′C′,∠A=∠A′,∠B=∠B′ D ∠A=∠A′,∠B=∠C′,AC=A′C′
6、在△ABC中，D是BC边中点，ADBC于D，则下列结论不正确的是（ ）
A △ABD≌△ACD B ∠B=∠C C AD平分∠BAC D AB=BC=AC
7、已知：在A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边，在直线的同侧作等边三角形ABE和BCD，连结AD、CE，分别交BE于M，交BD于N，下列结论错误的是（ ）
A △ABD≌△EBC B △NBC≌△MBD C ∠ABD=∠EBC D △ABE≌△BCD
8、已知△ABC，分别AB、AC以为边，向形外作等边三角形ABD和ACE，连结BE、DC，其中∠DAB=∠EAC=60°，则△ADC≌△ABE的根据是（ ）
A SSS B SAS C ASA D AAS
9、下列命题正确的是（ ）
（1）有两边和一角对应相等的两个三角形全等
（2）有两角和一边对应相等的两个三角形全等
（3）两个等边三角形一定全等
（4）全等三角形的对应线段相等。
A(1)和（3） B (2)和（3） C (1)和（2） D (2)和（4）
3、 证明：1、如图，已知AB＝AC，BD＝CE，说明△ABD与△ACE全等的理由.
(第1题)
2、如图：已知AB与CD相交于O，∠A＝∠D，CO＝BO，说明△AOC与△DOB全等的理由.
（第2题）
3、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,AB∥ED,AC∥FD,求证：AB=DE,AC=DF
A
B F C E
D
4、如图：AB=AC,DB=DC,F是的AD延长线上一点，求证：BF=CF
A
D
B C
F
5如：△ABC△ABE和△DBC的顶点A和D在BC的同旁，AB=DC,AC=DB,AC和DB相交于点O,，求证：OA=OD
A D
O
B C
第7课 命题与证明（一）
学习目标：1、了解定义与命题的概念，并能区分定义与命题。
2、掌握命题的构成。（如果……那么……）
3、了解公理与定理的概念，并能区分公理与定理。
重点与难点：1、能区分定义与命题。
2、能掌握命题的构成。
3、能区分公理与定理。
教学过程：
一、定义：
试一试
观察图24.3.1中的图形，找出其中的平行四边形．
图24.3.1
答：上图中的平行四边形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
你的根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
一般地，能明确指出概念含义或特征的句子，称为定义.
注意：1、定义必须是严密的．一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”、“大概”、
“差不多”等不能在定义中出现．
2、正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．
练习：
判断下列各句是否属于定义：
（1） 有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．（ ）
（2） 有六条边的多边形，叫做六边形．（ ）
（3） 在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．（ ）
二、命题：
思 考
试判断下列句子是否正确．
（1）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；（ ）
（2）三角形的内角和是180°；（ ）
（3）同位角相等；（ ）
（4）平行四边形的对角线相等；（ ）
（5）菱形的对角线相互垂直．（ ）
像这样可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
练习：
1、判断下列语句是命题吗？
（1） 画一个角等于两已知角的和；（ ）
（2） 钝角总大于直角；（ ）
（3） 过点A作直线AB∥CD;（ ）
（4） 相等并且互补的两个角是直角．（ ）
2、指出下列命题中的真命题和假命题.
（1） 同位角相等，两直线平行；
（2） 多边形的内角和等于180°；
（3） 如果两个三角形有三个角分别相等，那么这两个三角形全等.
答：真命题有：有＿＿＿＿假命题有：＿＿＿＿
1、在数学中，许多命题是由题设（或条件）和结论两部分组成的．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这种命题常可写成“如果……那么……”的形式．
例如：
“平行四边形的对角线互相平分”可以写作：“如果一个四边形是＿＿＿＿＿＿，那么这个平行四边形的＿＿＿＿＿＿＿＿＿”。
2、用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论．
例如：
在“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”中，＿＿＿＿＿＿＿＿是题设，“＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是结论．
例1 把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果……那么……”的形式，并分别指出命题的题设与结论．
解 这个命题可以写成：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练习：
1. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论.
（1） 全等三角形的对应边相等；
（2） 平行四边形的地边相等.
（3） 三角形全等，对应边相等；
（4） 菱形的对角线相互垂直；
解：
三、公理及定理：
数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．（即：公理是不需要证明的基本事实）有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理
例2：请判断下列各命题有哪些是公理，哪些是定理：
（1） 一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
（2） 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
（3） 如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；
（4） 两角及其一角的对边分别对应相等的两个三角形全等．
（5） 全等三角形的对应边、对应角分别相等．
解：公理有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，定理有＿＿＿＿＿＿＿＿＿
四、综合练习：
一、填空：
1、判断一件事情是正确的或是错误的句子叫做＿＿＿＿＿，正确的命题称为＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿的称为假命题。
2、有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的依据，这样的命题称为＿＿＿＿＿＿＿
1、 有些命题可以从公理或其他真命题出发，用＿＿＿＿的方法判断它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做＿＿＿＿＿＿
二、判断下列句子是否正确：
（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（ ）
（2）四边形的内角和是360°（ ）
（3）内错角相等（ ）
（4）菱形的对角线相等（ ）
（5）矩形的对角线相等且互相平分（ ）
三、选择：
1、下列语句不是命题的是（ ）
A三角形三条边上的中线的交点在这个三角形的内部
B画线段EF=6cm
C直角总比锐角大
D平行于同一条直线的两条直线互相平行
2、下列命题中真命题是（ ）
A钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
B等腰三角形一定是锐角三角形或直角三角形
C直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
D等边三角形一定不是钝角三角形也不是直角三角形
3、下列命题中，假命题是（ ）
A定理都是命题 B命题都是定理 C公理都是命题 D推理过程叫做证明
4、下列命题中，错误的命题是（ ）
A两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
B两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
D两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5、下列命题中是真命题的是（ ）
A互补的两个角一定是邻补角 B垂直于同一条直线的两条直线不平行
C两个角互为余角，则这两个角都等于45° D平行于同一条直线的两条直线平
6、如图：判断BA∥CE理由是( ) A E
A ∠B=∠ACE B ∠A=∠ECD
C ∠B=∠ACB D ∠A=∠ACE
B C D
四、解答题：
1、找出右图中的锐角，并试着对“锐角”写出一个确切的定义.
答：图中的锐角有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
锐角的定义为：
2、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出它的题设和结论.
(1)直角都相等（2）同旁内角互补（3）内错角相等
（4）等角的补角相等(5)三个内角都等于60°的三角形是等边三角形.
五、小结。(略)
六、布置作业。
第8课 命题与证明（二）
学习目标：1、了解证明的定义
2、会判断真假命题并能对假命题举一个反例加以说明.
3、能根据命题写出“已知”、“求证”
重点与难点：能根据命题写出“已知”、“求证”
教学过程：
一、知识回顾：
1、把命题“菱形的对角线平分每一组对角”改写成“如果……那么……”的形式
2、把命题“有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等”改写成“如果……那么……”的形式
二、证明
根据题设、定义以及公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。
要证明一个命题，首先要根据命题画图，然后写出已知（即题设）、求证（即结论）。
例1 证明： 一条直线截两条平行直线所得的内错角相等．
（析：该命题用“如果……那么……”表示为:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
已知：直线l1∥l2，直线l3分别和l1、l2相交于点A、B．
求证： ∠1＝∠3．
证明 l1∥l2（已知），
∠1＝∠2 （ ）．
又 ∠2＝∠3 （ ），
∠1＝∠3 （ ）．
练习：
1. 根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
（1） 两条边及其中一边上的中线分别对应相等的两个三角形全等；
（2） 在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
2、如图：AB∥CD, ∠ABC=∠ADC,求证：AD∥BC
证明：连结BD
AB∥CD ( ) A D
∠____＝∠______( ) 4
又∠ABC=∠ADC( ) 2
∠ABC-________=∠ADC-_________( ) 1
即∠______＝∠____ 3
AD∥BC （ ） B C
如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子就可以了，这称为“举反例”．
例如：请证明“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题，
解：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（举任意一个反例从而说明这个命题是假命题即可）
三、练习
1、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举一个反例加以说明.
（1） 两个锐角的和等于直角；
（2） 两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（3） 有两条边和一个角分别对应相等的两个三角形全等.
（4） 同位角相等
综合练习：
一、选择：
1、命题“等角的补角相等”的题设是（ ）
A两个角是等角 B两个角是补角 C两个角是等角的补角 D两个角相等
2、下列命题中，正确的是（ ）
A三个角对应相等的两个三角形全等 B周长和一边对应相等的两个三角形全等
C三条边对应相等的两个三角形全等 D面积和一边对应相等的两个三角形全等
3、下列命题正确的是（ ）
A有两边和一角对应相等的两个三角形全等 B有两角和一边对应相等的两个三角形全等
C两个等边三角形一定全等 D全等三角形的对应线段相等。
二、填空：
1、“如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．” 的题设为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2、“三个角都相等的三角形是等边三角形” 的题设为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
3、把“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
4、“等腰三角形底边中点到两腰的距离相等” 改写成“如果……那么……”的形式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
5、“同旁内角互补，两直线平行”的题设为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
6、“全等三角形的对应边相等” 的结论为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
三、解答题：
1、把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指了该命题是真命题还是假命题。
（1）内错角的平分线互相垂直（2）小于90°的角是锐角（3）互补的两个角都是邻补角
2、根据下列命题，画出图形并写出“已知”、“求证”（不必证明）；
（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）与两平行线中的一条垂直的直线，也垂直于另一条
（3）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半
3、判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举出一个反例说明．
（1） 两直线平行，同旁内角互补；
（2） 垂直于同一条直线的两直线平行；
（3） 相等的角是内错角；
（4） 有一个角是60°的三角形是等边三角形．
4、 证明：
1、 请在下面题目证明中的括号内填入适当的理由．
已知：如图24.3.6，AD＝BC，CE∥DF，CE＝DF．
求证： ∠E＝∠F．
证明： CE∥DF （ ），
∠1＝∠2 （ ）.
在△AFD和△BEC中，
DF＝CE （ ），
∠1＝∠2 （ ），
AD＝BC （ ），
△AFD≌△BEC （ ），
∠E＝∠F （ ）．
2、完成下列推理．
（1） 如图，已知∠1＝∠A，求证：∠2＝∠3．
证明： ∠1＝∠A，
__________∥____________（ ），
_________＝_____________（ ）．
（2） 如图，∠ADB＝∠CBD， ∠1＝50°，求∠C．
解： ∠ADB＝∠CBD （ ），
_________∥____________（ ），
____________＝∠1 （ ）．
∠1＝50°（ ），
∠C＝50°．
3、如图：直线AB和CD被直线EF所截，∠1+∠2=180°,求证：AB∥CD
E
3
A 1 B
2
C D
F
四、小结。(略)
五、布置作业。
PAGE
21课题 ：25.3.1 概率的含义（1）
【教学目标】：
1、通过实验，体会概率的意义；
2、在具体情境中进一步了解概率的意义，体会概率是描述不确定现象的数学模型；
3、了解一类事件发生概率的计算方法，并能进行简单计算。
【重点难点】：
1、重点：概率的意义；
2、难点：通过分析得出概率值。
【教学准备】：
两枚硬币、一枚正六面体骰子。
【教学过程】：
一、复习
叙述上一节课所学的知识。
二、新授
1、概率的概念
我们已经知道，抛掷一枚普通的硬币仅有两个可能的结果：“出现正面”和“出现反面”．这两个结果发生机会相等，所以各占50%的机会．50%这个数表示事件“出现正面”发生的可能性的大小．
表示一个事件发生的可能性大小的这个数，叫做该事件的概率。
人们通常用
例：你投掷手中的一枚普通的六面体骰子，“出现数字1”的概率是多少？
解：Ｐ（出现数字1）=
必然事件发生的概率为1，记作Ｐ（必然事件）=1；不可能发生的概率为O，
记作，记作Ｐ（不可能事件）=0；如果A为不确定事件，那么。
2、动手操作，体验新知
让我们一起实验，完成下表。（小黑板或投影或以材料形式发到学生手上）。
表25.3.1 做过的几个实验及其实验结果
让我们不要通过实验，看看是否能完成下表。（小黑板或投影或以材料形式发到学生手上）。
完成此表后，你有何体会？
（原来动手实验观察到的频率值也可以动脑筋分析出来。）
完成此两表后，你发现了什么？
学生各抒己见后，总结要计算概率最关键的有两点：
（1） 要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；
（2） 要清楚所有机会均等的结果．
（1）、（2）两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率，如
P（掷得“6”）＝，读作：掷得“6”的概率等于；
P（拼成房子）＝，读作：拼成房子的概率等于
3、提出问题
问题1：掷得“6”的概率等于表示什么意思？
有同学说它表示每6次就有1次掷出“6”，你同意吗？请做投掷骰子实验（或模拟实验），一旦掷到“6”，就算完成了一次实验，然后数一数你投掷了几次才得到“6”的．看看能否发现什么．
小明的实验结果如表25.3.2所示，在他十次实验中，有时很迟才掷得“6”，有时很早就掷得“6”，平均一下的话，平均每5.4次掷得一个“6”．你是平均几次掷得“6”的？
从实验中，你有什么收获？
（“6”的概率等于表示：如果掷很多次的话，那么平均每6次有1次掷出“6”）。
4、思 考
（1）已知掷得“6”的概率等于，那么不是“6”（也就是1～5）的概率等于多少呢？这个概率值又表示什么意思？
（2）我们知道，掷得“6”的概率等于也表示：如果重复投掷骰子很多次的话，那么实验中掷得“6”的频率会逐渐稳定到附近. 这与“平均每6次有1次掷出‘6’”互相矛盾吗？
（等于表示：如果掷很多次的话，那么平均每6次有5次掷出不是“6”，没有矛盾。）
三、巩固练习
Ｐ127 练习
四、小结
学生谈谈学到什么，还存在什么疑惑。明白概率的意义，如何通过分析清楚一个事件关注的是发生哪个或哪些结果与所有机会均等的结果，从而计算出一个事件的概率。
五、作业
Ｐ128 习题25.3 1、2、3课题 ：25.1.2 这样抽样调查合适吗
【教学目标】：
使学生知道在抽样调查时，所选取的样本必须具有代表性，并能掌握科学的抽样方法，即具有代表性，样本容量必须足够大避免遗漏某一群体，使得所抽取的样本比较合理，能比较准确地反映总体的特征。
【重点难点】：
重点、难点：判断所选取的样本是否具有代表性，是否能够反映总体的特征。
【教学过程】：
一、用例子说明如何进行抽样比较合理
例1、老师布置给每个小组一个任务，用抽样调查的方法估计全班同学的平均身高．坐在教室最后面的小胖为了争速度，立即就近向他周围的三个同学作调查，计算出他们四个人的平均身高后就举手向老师示意已经完成任务了．
分析 因为小胖他们四个坐在教室最后面，所以他们的身高平均数就会大于整个班级的身高平均数，这样的样本就不具有代表性了．
现实生活中，用简单的随机抽样方法选中的样本可能不愿意参加或者没空配合你作调查，所以，在不太影响样本代表性的前提下，人们也经常采取调查周围人的抽样方法．但是，要注意这些调查对象在总体中是否有代表性．
例2 甲同学说：“6， 6， 6…啊！真的是6！你只要一直想某个数，就会掷出那个数．”
乙同学说：“不对，我发现我越是想要某个数就越得不到这个数，倒是不想它反而会掷出那个数．”
分析 这两位同学的说法都不正确．因为几次经验说明不了什么问题。
在这里请同学掷骰子，来验证上述两位同学的说法不正确。
例3 小强的自行车失窃了，他想知道所在地区每个家庭平均发生过几次自行车失窃事件．为此，他
和同学们一起，调查了全校每个同学所在家庭发生过几次自行车失窃事件．
分析 这样抽样调查是不合适的．虽然他们调查的人数很多，但是因为排除了所在地区那些没有中学
生的家庭，所以他们的调查结果不能推广到所在地区的所有家庭。
想一想：小强和他的同学们的调查反映哪些家庭失窃自行车的情况？
这个例子告诉我们，开展调查之前，要仔细检查总体中的每个个体是否都有可能成为调查对象。
例4、1936年，美国《文学文摘》杂志：根据1000万电话和从该杂志订户所收回的意见，断言兰登将以370：161的优势在总统竞选中击败罗斯福，但结果是，罗斯福当选了，《文学文摘》大丢面子，原因何在呢？
原来，1936年能装电话和订阅《文学文摘》杂志的人，在经济上相对富裕，而引入不太高的的大多数选民选择了罗斯福。《文学文摘》的教训表明，抽样调查时，既要关注样本的大小，又要关注样本的代表性。
二、练习
判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由：
1、一食品厂为了解其产品质量情况，在其生产流水线上每隔100包选取一包检查其质量；
2、一手表厂欲了解6－11岁少年儿童戴手表的比例，周末来到一家业余艺术学校调查200名在那里学习的学生.
3、 为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，用简单随机抽样法在全校所有的班级中抽取8个班级，调查这8个班级所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率；
4、为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况
三、小结
通过本节课的学习，同学们应明白在做抽样调查时，所选取的样本应具有代表性，应避免遗漏某一群体，同时样本的容易要足够大，这样样本才能反映总体的特性，才能反映事物的本来面目。
五、作业
Ｐ117 习题25.1 2、3、4课题：21.3.2 分式的加减法
【教学目标】：
1、 使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分母分式的加减运算。
2、 通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。
3、 渗透类比、化归数学思想方法，培养学生的能力。
【重点难点】：
重点：让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。
难点：分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。
【教学过程】：
一、同分母分式的加减法
1．回忆：同分母的分数的加减法
2．类似地，同分母的分式的加减法法则如下：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
3．例1计算：
（1）；（2）. （3）－
解（1） ＝
＝ ＝
（2）－
＝ ＝ ＝ ＝4.
4、练习：课本第11页练习1。
二、异分母分式的加减法
1． 回忆：异分母分数的加减法
计算：
2、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
通分时，最简公分母由下面的方法确定：
1 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
2 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
3 分母是多项式时一般需先因式分解。
3．例2 计算：
（1）＋； （2）.
解 （1）＋ ＝ ＝
（2）因为最简公分母是________________________________，所以
＝_____________________＝_____________________＝_____________________-.
4．练习：课本第11页练习2（1、2、3小题）
5、例3：计算
解：原式=
6、练习：计算
（1） （2）
（3） （4）
【本课小结】：异分母分式的加减法步骤：
1. 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。
2. 准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。
3. 用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。
4. 公分母保持积的形式，将各分子展开。
5. 将得到的结果化成最简分式。
【布置作业】：
课本第12页第2题。
异分母分式
的加减法
同分母分式
的加减法
分母不变
分子相加减
通分
法则(共24张PPT)
第24章 图形的全等
广州市骏景中学 顾桂新
老教材
全等三角形
命题、公理、定理
证明
逆命题、逆定理
尺规作图
基本作图
交轨法作图
新教材
图形的全等
全等三角形的识别
命题与证明
定义、命题与定理
证明
尺规作图
教材分析
1.教材内容
本章的主要内容包括图形的全等的概念、三角形全等的识别方法、命题与证明、尺规作图.几部分内容相对独立，也有相互间的内在联系.图形的全等的概念和三角形全等的识别方法两部分是一个整体，前者是给出一般性的概念，后者是对特殊图形的深入研究.命题与证明部分是本套教材关于图形部分处理方式的一个转折，在此之前图形部分的结论，大多是通过直观感知、操作确认得到的，自此部分以后，要用严格的逻辑推理方式对以前的结论加以证明.尺规作图部分主要介绍五种基本作图以及五种基本作图的简单应用，该部分与图形的全等有内在的联系，作法的合理性和正确性的解释需要全等的知识.
2、教材思路
“图形的全等”这一章，是图形变换与图形相似两部分内容的继续.让学生通过观察、操作与类比，探索并掌握全等图形具有的特征，特别是全等三角形的特征与性质以及识别方法，并与图形的相似加以比较，较为深入地认识几何图形.这一章也是前两年数学说理与推理的继续，在以前数学说理的基础上，进一步学习一些最主要的推理论证的方法，加强数学理性训练，初步提出了命题与证明，引导学生认识证明的必要性，学会由公理出发，证明有关的定理，解决一些简单的逻辑推理问题，使学生养成言必有据的正确思维习惯.在内容的处理上，删繁就简，摒弃过于繁琐的不必要内容，降低推理论证的难度.
3、教材特点
（1）本章三角形全等的几种识别方法的得到，不同于传统教材按严格的逻辑推理得出的处理方式，而是通过学生直观感知，操作确认的方式.这样的处理方式使学生容易接受结论.
（2）本章中三角形的全等被看作三角形相似的特殊情况，这样，把前后知识联系起来，使学生产生类比，利于三角形全等方法的学习.
（3）命题与证明一节中，通过三个事例说明证明的必要性，使学生认识到直观感知、操作确认获得结论的方法的局限性和利用逻辑推理进行证明的必要性，为进一步学好逻辑推理打下基础.
（4）本章中对尺规作图作了系统的总结，对尺规作图有了较全面的认识.
课时安排
本章教学大约需18课时，建议分配如下：
§24.1 图形的全等----------------1课时
§24.2 全等三角形的识别-------6课时
§24.3 命题与证明----------------4课时
§24.4 尺规作图-------------------3课时
复 习---------------------------------2课时
课题学习----------------------------2课时
教学目标与教学建议
§24.1图形的全等
【教学目标】
1、了解图形全等的概念，知道根据图形全 等的概念识别全等的图形；
2、知道全等图形的对应角、对应边相等 ；
3、会利用图形的全等解决一些简单的问题．
【教学建议】
本节主要是对全等图形、全等多边形、全等三角形的认识，使学生知道能够完全重合的图形是全等图形，而全等多边形的对应边、对应角分别相等．在教学中要注意以下几点：
1．日常生活中，学生接触图形全等的例子很多，如数学课本的封面、光盘的表面、名片等，教学中要充分让学生列举生活中的例子，并试着用一个名词概括这些例子，由此体验数学概念由具体现象抽象出来的过程，体验数学术语表达的精练、简洁．
2．教学中可以把相似多边形和全等多边形的概念特征相类比，认识相互之间的异同．相似多边形形状相同，而全等多边形不仅形状相同而且大小相同．当相似多边形的相似比为1时，相似多边形就变为全等多边形．相似多边形的对应边成比例、对应角相等；全等多边形的对应边相等、对应角相等．
3．教学中可以结合以前学过的的翻折、旋转、平移变换，这些变换只改变了图形的位置，图形的大小和形状都没有改变，变换前后的两个图形是全等的．
4．习题24.1中的第2题要求学生在方格图中画全等的四边形，教学时可以充分利用方格纸让学生画出全等的多边形，并让学生说出两个图形的变换过程．
§24.2全等三角形的识别
【教学目标】
1、经历三角形全等的识别方法（S.S.S.;S.A.S.;A.S.A.）的探索过程，并会运用这些方法识别三角形的全等；
2、经历直角三角形全等的特殊识别方法（H.L.）的探索过程，并会运用各种方法识别直角三角形的全等．
【教学建议】
1．教学中注意把三角形全等的识别方法和三角形相似的识别方法相对照.三边对应成比例，三角形相似；三边对应相等，三角形全等.两边对应成比例且夹角相等，三角形相似；两边对应相等且夹角也相等，三角形全等.两角对应相等，三角形相似；两角对应相等且夹边对应相等，三角形全等.这样做的好处：一是把全等看成相似的特例，使学生把知识前后连贯起来，形成知识系统，便于掌握；二是让学生逐步学会运用“类比”思考问题，学会思考问题的方法.
2．根据三角形全等的概念，判定两个三角形是否全等，要检验两个三角形的对应边和对应角是否分别相等，这样检验起来比较复杂．能否有简便的方法？这是我们解决问题时常用的思维方式，化繁为简，化难为易．教学时要让学生体验这种方法．本节中先从满足一对量对应相等（边或角）入手，看是否全等，再从满足两对量对应相等，看是否全等，这样，就逐步获得问题的答案．
3．在探索比较简便的识别三角形全等方法的时候，还利用一个非常重要的数学思想，那就是分类思想．分类要有标准，标准不同，分出的结果也不同．在分类讨论时，要注意标准的一致性，做到讨论的对象不重复、不遗漏、不交叉．教学时让学生体验这种思想方法．如教材中思考题：如果两个三角形有三个部分（边或角）分别对应相等，有几种情况，尽量让学生独自解决．
4．对于已知三边画三角形，教材中的“做一做”给出了三边的具体长度，便于学生的统一操作和比较．课堂教学中，可以让学生自己选择三边长度，可能有的学生选出的长度作不出三角形，可以引发学生进一步的思考．
5.“如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等”的结论没有作为黑体字出现，教学时可让学生通过简单的说理推出这一结论．
6．直角三角形是特殊的三角形，因此，一般三角形全等的识别方法都适用于直角三角形．解决问题时，可根据具体条件选用．
§24.3命题与证明
【教学目标】
1、了解命题、定义、公理、定理的含义 ；
2、会区分命题的题设和结论；
3、理解证明的必要性，初步掌握综合法证明的书写格式 ；
4、体会证明的过程要步步有据．
【教学建议】
1．教学可以让学生体验定义的含义与作用，并让学生尝试给一些数学概念下定义．
2．命题教学的重点是让学生分清命题的条件和结论，通过大量的例子让学生逐步熟悉命题的表达方式．
3．推理要有前提，数学推理的前提建立在公理之上．按课程标准的要求，本教材把四条基本事实作为公理，这些是以后推理证明的依据，另外，等式、不等式的有关性质以及等量代换都作为我们今后推理的依据．
4．证明某件事情或结论，可以有多种方法，找权威人士验证、查资料、自己设计实验验证等．本节中的证明指的是逻辑推理证明．关于逻辑推理证明的必要性，教材中举了三个例子，教学中还可再举出一些例子．
5．证明中所举的一些例子是把以前通过直观感知、操作确认的结论，利用我们承认的基本事实进行证明．本节涉及的主要是有关平行线的结论，三角形与四边形的结论将在第六册加以逻辑推理证明．
6．学生证明的书写格式可按教材的例题书写．要求每步都要在后面括号里注明依据．
§24.4尺规作图
【教学目标】
1、掌握五大基本作图：画一条线段等于已知线段、画一个角等于已知角、画一条线的垂线、画线段的垂直平分线、画角的平分线；
2、会利用基本作图画三角形：已知三边画三角形；已知两边及其夹角画三角形；已知两角及其夹边画三角形；已知底边及底边上的高画等腰三角形；
3、了解尺规作图的步骤，对一些简单的尺规作图，会写出主要画法过程，不要求证明．
【教学建议】
1．教学时要求学生画图要规范，要保留尺规作图的画图痕迹．
2．要注意区分对不同学生的要求，一般的学生只要求学生会画，并能写出主要画法；而对于一些学有余力的学生，可以引导他们说明这样画图的理由．
课题学习 “图形中的趣题”
这个课题学习既是这一章所学内容的直接运用，也是对学生的数学思维能力的进一步拓展. 观察图形，分析思考所得到的数据，探索发现其中所隐含的数量关系.在这样的用数学、做数学的整个过程中，在解决“图形中的趣题”的同时，进一步激发学生学习数学的兴趣，提高分析问题、解决问题的能力.
谢谢大家！课题 ：25.4.1 概率的预测
【教学目标】：
1、使学生掌握通过逻辑分析用计算的办法预测概率；
2、经历各种疑问的解决，体验如何预测一类事件发生概率；
3、培养学生分析问题与解决问题的能力。
【重点难点】：
1、重点：通过逻辑分析用计算的办法预测概率；
2、难点：要能够看清所有机会均等的结果，并能指出其中你所关注的结果。
【教学过程】：
一、引入
问题：前面几节课，你们是如何计算概率？在计算过程中，你有何发现？
同学各抒己见后，总结：在以前的学习中，我们主要是通过大数次的实验，用观察到的频率来估计机会值的．这样做的优点是能够用很直观的方法解决许多日常生活中与随机性有关的问题，如游戏公平性问题、中奖机会问题等．它的缺点是估计值必须在实验之后才能得到，无法预测。
这一节，我们主要学习在最简单的问题情境下如何预测概率。
二、新授
例1、班级里有20个女同学，22个男同学，班上每个同学的名字都各自写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀．如果老师闭上眼睛随便从盒中取出一张纸条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大？
分析 全班42个学生名字被抽到的机会是均等的．
解 P（抽到男同学名字）＝=,
P（抽到女同学名字）＝=,
所以抽到男同学名字的概率大．
思 考
1、抽到男同学名字的概率是表示什么意思？
（抽很多次的话，平均每21次抽到11次次男同学名字）
2、P（抽到女同学名字）＋P（抽到男同学名字）＝100％吗？如果改变男女生的人数，这
个关系还成立吗？
（等于100%，改变男女生人数，这个关系成立）
3、下面两种说法你同意吗？如果不同意，想一想可以采用哪些办法来说服这些同学．
（1） 有同学说： 抽到男同学名字的概率应该是，因为“抽到男同学名字”与“抽到女同
学名字”这两个结果发生的机会相同．
（不同意，因为抽到“男同学名字”与“抽到女同学名字”这两个结果发生的机会
不相同）
（2） 有同学说： 虽然抽到男同学名字的概率略大，但是，只抽一张纸条的话，概率实
际上是一样大的
（不同意，只抽一张纸条，抽到男同学名字的机会大）。
学生上台分析讲解例2。
例2 一只口袋中放着8只红球和16只黑球，这两种球除了颜色以外没有任何区别．袋中的球已经搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，取出黑球与红球的概率分别是多少？
几个同学相互补充，教师加以指导。
（解 P（取出黑球）＝=,
P（取出红球）＝1－P（取出黑球）＝，
所以，取出黑球的概率是，取出红球的概率是．
例3 甲袋中放着22只红球和8只黑球，乙袋中则放着200只红球、80只黑球和10只白球，这三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀．蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
思 考：小明认为选甲袋好，因为里面的球比较少，容易取到黑球； 小红认为选乙袋好，因为里面的球比较多，成功的机会也比较大； 小丽则认为都一样，因为只摸一次，谁也无法预测会取出什么颜色的球．你觉得他们说得有道理吗？
解：在甲袋中，P（取出黑球）＝=,
在乙袋中，P（取出黑球）＝=＞,
所以，选乙袋成功的机会大
三、讨论
问题：抛掷一枚普通的硬币三次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会
是一样的．你同意吗？
1、请问“先两个下面再一个反面”就是“两个正面一反面”吗？
（不是）
2、你猜一猜机会一样吗？
3、你是如何陈述理由。把你的陈述在小组内交流。
（解： 抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：
正正正， 正正反，正反正，反正正，
正反反，反正反， 反反正， 反反反，
P（正正正）＝P（正正反）＝，
所以，这一说法正确）。
四、巩固练习
1、李琳的妈妈在李琳上学时总是叮咛她：“注意，别被来往的车辆碰着”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300万人口，每天的交通事故只有几十件，事件发生的可能性太小，概率为0。”你认为她的想法对不对？
2、甲、乙两人进行掷骰子游戏，甲的骰子六个面有两个面是红色，其余面是黄、蓝、白、黑；乙的骰子六个面中，分别是红、黄、蓝、白、黑、紫，规则是各自掷自己的骰子，红色向上的得2分，其他各色向上都是1分，共进行10次，得分高的胜，你认为这个规则公平吗？
（李琳的想法不对；不公平，红色向上概率对于甲骰子是，而其他色向上的概率是。）
五、小结
本节学习了通过逻辑分析计算概率。同学们对本节的知识还存哪些疑问吗？通过本节学习你们还有何感想呢？
五、作业
Ｐ131 习题25.4 1、2、3课题 ：23.1.1:圆的基本元素
学习目标:理解圆的基本概念.熟悉圆的基本元素
学习过程:
一.本节课的知识点:
二．知识巩固：
1.下面的四个判断中，正确的一个是（ ）
(A)过圆内的一点的无数条弦中，有最短的弦，没有最长的弦。
(B)过圆内的一点的无数条弦中，有最长的弦，没有最短的弦。
(C)过圆内的一点的无数条弦中，有且只有一条最长的弦，也有且只有一条最短的弦。
(D)过圆内的一点的无数条弦中，既没有最长的弦，也没有最短的弦。
2.下列命题正确的个数是（ ）
①直径不是弦； ②半圆不是弧； ③能够完全重合的弧是等弧；④面积相等的两个圆是等圆；
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
3.已知：如图，在⊙O中，AB、CD为直径，则AD与BC的关系是（ ）
(A)AD＝BC (B)AD∥BC (C)AD BC (D)不能确定
4.线段a、b分别为⊙O的弦和直径的长，则（ ）
(A)ab (D)a≤b
5．若圆的弦长等于这个圆的半径，则此弦所对的圆心角是 度。
6.下列说法正确的是( )
(A)长度相等的两条弧是等弧 (B)优弧一定大于劣弧
(C)不同的圆中不可能有相等的弦 (D)直径是弦且是同一个圆中最长的弦
7.一个圆的三条直径把圆分成的劣弧的条数是( )
(A)6 (B)8 (C)4 (D)12
8.下列命题中,正确的是( )
(A)若⊙O 的半径为r,当OP≤r时,点P不在⊙O外 (B)平行四边形的四个顶点在同一个圆
(C)梯形的四个顶点一定在同一个圆上 (D)矩形的四边中点一定在同一个圆上
9. 在右图中,弦共有_______条,它们分别是_________________________,
劣弧共有_______条．它们分别是____________________________________.
10.如下图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥AC，交BC于D，AC＝6厘米，求OD的长．
11.已知点P到圆的最远距离是5㎝，最近距离是1㎝，则此圆的半径是（ ）
(A)3㎝ (B)2㎝ (C)3㎝或2㎝ (D)2.5㎝或1.5㎝
12.判断题：
(1)过圆心的线段是直径 ； （ ）
(2)一个圆中，半圆是最大的弧（ ）
(3)相等的两条弦所对的弧也相等（ ）
(4)如果两个圆心角相等，那么这两个圆心角所对的弦也相等（ ）
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是：
1、 理解圆的基本概念.
2、 熟悉圆的基本元素
四、布置作业
教材P．47练习题1、2。
课题 ：23.1.2:圆的对称性性(第一课时)
教学目标：
1、本节课使学生理解圆的对称性性；
2、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理，并能应用这些关系定理证明一些问题．
3、通过本节课的教学进一步培养学生观察、比较、归纳、概括问题的能力．
教学重点：
圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理．
教学难点：
“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解．
教学过程：
一、新课引入：
同学们请观察老师手中的圆形图片．AB为⊙O的直径．①我把⊙O沿着AB折叠，两旁部分互相重合，我们知道这个圆是一个轴对移图形．②若把⊙O沿着圆心O旋转180°时；两旁部分互相重合，这时我们可以发现圆又是一个中心对称图形．由学生总结圆不仅是轴对称图形，圆也是中心对称图形．
若一个圆沿着它的圆心旋转任意一个角度，都能够与原来图形互相重合，这就是我们本节课要讲的内容：圆的一条特殊性质，即圆的对称性性．从圆的对称性性出发，推出圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，这是本节课我们所要学习的圆的又一条性质．
二、新课讲解：
首先出示圆形图片，引导学生观察：
下面我们来学习圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系．
提问两名中下生回答弧、弦的概念．
接着教师一边画图，一边引导学生观察，由学生总结出：
圆心角定义：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距．教师通过图片（图7-21）演示，从学生观察中得到圆的旋转不变性，到圆心角、弦心距的两个概念，其目的是要求学生学会从观察、比较到归纳分析知识的能力，这样可以充分调动学生学习几何的积极性．
教师为了使学生真正了解图中圆心角、弧、弦、弦心距之间的内在联系，有意识找两位差一些的学生回答：“指出圆心角∠AOB所对的弧是______，所对的弦是______，所对弦的弦心距是______．
接下来我们来讨论：在⊙O中，如果圆心角∠AOB=∠A′OB′，那么它们所对的 和 ，弦AB和A′B′、弦心距OM和OM′是否也相等呢？
教师利用电脑演示，一边讲解，我们把∠AOB连同AB沿着圆心O旋转，使射线OA与OA′重合．由圆的旋转不变性，射线OB与OB′重合．因为∠AOB=∠A′OB’，OA=OA′，OB=OB′，∴点A与点A′重合，AB与A′B′重合，从点O到AB的垂线OM和点O到A′B′的垂线OM′也重合．
即， = ，AB=A′B′，OM=OM′．
于是由一名学生总结定理内容，教师板书：
定理：在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
同样也可得到：
在一个圆中，如果弧相等，那么它所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．
在一个圆中，如果弦相等，那么它所对的圆心角相等，圆心角所对的弧相等，所对弦的弦心距也相等．
值得注意的是：在运用这个定理时，一定不能丢掉“在一个圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论．
通过举出反例强论对定理的理解，请一名同学画一个只能是圆心角相等的这个条件的图，虽然∠AOB=∠A′OB′，但由于OA≠OA′，OB≠OB′．
事实上，由于在“在一个圆中”这个前提下，将题设和结论中任何一项交换都是正确的．于是得到了这个定理的推论，
为了巩固所学习的定理，黑板上出示例1：
例1 如图7-23，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和C、D．求证：AB=CD．
这道题的证明思路，教师引导学生分析：要证明两弦AB=CD，根据本节课所学的定理及推论，只要能证出圆心角、弧、弦心距三个量之中的一个相等即可．由于已知PO是∠EPF的平分线，利用角平分线的性质可知点O到AB、CD的距离相等，即弦心距相等，于是可证明AB=CD．
学生回答证明过程，教师板书。
课堂练习：教材P．49中练习1、2．
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是
（1）圆的对称性性；
（2）在一个圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系．
四、布置作业
教材P．49练习题1、2。
课题 ：23.1.2:圆的对称性(第二课时)
教学目的：
1、 知识目标
使学生通过圆的轴对称性理解并掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。
掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。
2、 能力目标
通过探究、发现定理，培养学生观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力
提高学生的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养学生思维的灵活性。
3、 情感目标
通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。
师生共同探究定理，充分发挥学生学习的主体作用，激发学生探究数学问题的兴趣。
二、教材教法
1、 教学重点：垂径定理的内容、应用及有关辅助线的作法。
2、 教学难点：理解垂径定理的题设和结论及垂径定理的证明方法。
3、 教具：小黑板
三、教学过程：
1、复习引入：（小黑板）
① 圆是 对称图形，又是 对称图形，还是 对称图形。
② 勾股定理的内容是，直角三角形中，两直角边的平方和等于 ，常见的勾股数有：3、4、 ；5、12、 ；7、24、 等。
③圆中我们已经学了哪种辅助线作法？
④如图3已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，OE垂直平分AB，OE=3cm，求⊙O的半径长。
2、定理的发现：
圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。
（1） 提问： 观察图（1）在⊙O中任意一条弦AB将圆周分为哪几部分？
、观察图（2）垂直于弦AB的直径CD和弦AB将圆周分为哪几部分？这几部分间存在什么关系？EA与EB存在什么关系？
（2）点题（板书）垂径定理
（3）在教师的指导下，由学生总结出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。
3、定理的应用
（Ⅰ）范例精讲：
例1：如图3已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
师生共同分析求解（口述）对照复习4解题过程
并讨论以下问题。
例1做了哪两条辅助线？
这两条辅助线把垂径定理与什么定理结合起来？
归纳： 圆的半径r、圆心到弦的距离d、弦a、
三个量之间存在什么关系？
例2 ，已知：如图4，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，试说明：AC=BD。
分析：引导使用常作辅助线 学生板演
练习：已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB=40 cm ，CD=48cm，求弦AB与CD之间的距离。
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是：这节课学习了什么定理？内容是什么？
在解弦的有关问题时，常常需要怎样作辅助线？这样作辅助线的目的是什么？
解题中的直角三角形的三条边是由哪三个量构成的？这三个量满足什么定理？
四、布置作业
教材P．52中习题3。
课题 ：23.1.3:圆周角
学习目标:理解圆周角的概念。掌握圆周角的性质，并能熟练地运用它们进行论证和计算。
学习过程:
一.本节课的知识点:
二.知识巩固:
1.选择题:
(1)下列说法正确的是( )
(A)相等的圆周角所对的弧相等 (B)同弦或等弦所对的圆周角相等
(C)等弧所对的圆周角相等 (D)圆心角等于2倍的圆周角
(2)如图,弦AD=BC,则下列结论不成立的是( )
(A) (B)AB=CD (C) ∠A=∠D (D)DE=BE
(3)在同圆中,同弦所对的圆周角( )
(A)相等 (B)互补 (C)相等或互补 (D)互余
(4)一条弦分圆周为5:7,这弦所对的两个圆周角的度数为( )
(A)150 ,120 (B) 75 ,105 (C) 60 ,120 (D) 120 ,240
2. 填空题:
（1）如图, 在⊙O中, ∠BAC=35 ∠ABC=105 ,则∠AOB=_______ .∠OBC=_______
(2)弦长等于半径的弦所对的圆心角度数为_________,这弦所对的劣弧所对的
圆周角度数为________.
(3)如图, 在⊙O中, ∠A=120 ,弦BC= ，那么该圆的直径为_________.
(4)已知AB、 CD为⊙O的两条直径，弦CE//AB , 的度数为40°，
则∠BOC= 。
(5)已知B、C为⊙O上的两点, ∠BOC=90°,BC= , 则⊙O的直径为 .
(6)圆内接四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数比为3：2：7，则∠D的度数为 。
3．解答题:
(1)已知：如图，AB为半圆的直径,弦ＣＤ∥AB，∠CAD＝30°，若ＡＢ长为８cm，求△ACD的面积。
(2)如图，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、E都是⊙Ｏ上的点，且AB＝BC＝CD，
如果∠ＢＡＤ＝54°，求∠ＡＥＤ的度数。
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是：
1、理解圆周角的概念。
2、掌握圆周角的性质，并能熟练地运用它们进行说理和计算。
四、布置作业
教材P．52中习题4、6。
课题 ：23.2.1:点与圆的位置关系
学习目标:
1、点与圆的位置关系
2、掌握三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
学习过程:
一.本节课的知识点:
二.知识巩固:
1.选择题:
(1)三角形外接圆的圆心是这个三角形的( )
(A)内角平分线的交点 (B)高的交点
(C)三条边中线的交点 (D) 三条边垂直平分线的交点．
(2)如图,ABC内接于圆,AB为圆的直径,∠ADC=55°, ∠ACD=65°,
AB交CD于K,则∠AKC=( )
(A) 60° (B) 75° (C) 80° (D) 100°
(3)下列图形一定有外接圆的是( )
(A)对角线相等的四边形 (B)平行四边形 (C)任意的等腰梯形 (D)菱形
(4)如图,在ABC中,A=30,B=90,以AC的中点O为圆心,以OA为半径作⊙O,则点B的位置在( )
(A) ⊙O 内 (B) ⊙O 外
(C) ⊙O 上 (D)不能确定
(5)下列命题：①矩形的四个顶点在同一个圆上；②菱形四边的中点在同一个圆上；③等腰梯形的四个顶点在同一个圆上；④平行四边形的四边中点在同一个圆上，其中真命题是（ ）
(A)① (B)①② (C)①②③ (D)①②③④
(6)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则它的外心与顶点的距离为（ ）
(A)5 (B)2.5 (C) (D)不能确定
2.填空题:
(1)过点A可以作_______个圆,过两点A、B可以作_______个圆,且圆心在线段AB的______________上.
(2)过A、B、C三点,当这三点_______________时,能且只能作一个圆,且圆心是____________________.
(3)直角三角形两条直角边分别为8cm和15cm,则其外接圆半径长为_________.
(4)若一个直角三角形的面积为12cm2，周长为12 cm，则这个直角三角形外接圆的半径是_________cm..
(5)设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则
①点在圆外d r；②点在圆上d r；③点在圆内d r
(6)若⊙O的半径是3㎝，且OP＝4㎝，OQ＝3㎝，，则点P、Q、R与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ，点Q在⊙O ，点R在⊙O 。
(7)若一直角三角形的两条直角边分别为3㎝和4㎝，则此三角形的外心是 ___ 的中点，外接圆的半径是 ㎝；
(8)一个三角形有 个外接圆，一个圆有 个内接三角形。
3.作图题
有一残缺的圆形铁片，为使它得到充分应用，如何寻找它的圆心和确定它的半径。
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是：
1、点与圆的位置关系。
2、理掌握三角形的外接圆，三角形的外心，圆的内接三角形的概念。
四、布置作业
教材P．55中练习1、2。
，
课题 ：23.2.2:直线和圆的位置关系
教学目标：
1、使学生理解直线和圆的位置关系．
2、初步掌握直线和圆的位置关系的数量关系定理及其运用．
3、通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。
教学重点：
使学生正确理解直线和圆的位置关系，特别是直线和圆相切的关系，是以后学习中经常用到的一种关系．
教学难点：
直线和圆的位置关系与圆心到直线的距离和圆的半径大小关系的对应，它既可做为各种位置关系的判定，又可作为性质，学生不太容易理解．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习过用点到圆心的距离和圆半径的大小关系来判断点和圆的位置关系，现在我们用同样的数学思想方法来研究直线和圆的位置关系，请同学们回忆：1．点和圆有哪几种位置关系？2．怎样判定点和圆的位置关系？
我们已经了解了平面上点和圆共有三种位置关系①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内．如果我们设⊙O的半径为r，则有下面点与圆位置的数量关系．
二、新课讲解：
实际上，太阳从地平线上缓缓升起时，太阳与地平线的位置关系；铁轨上飞奔的列车，它的轮子与铁轨之间的位置关系；都给了我们直线和圆的位置关系的印象，那么平面上给定一个圆和一条运动着的直线或给定一条定直线和一个运动着的圆，它们之间虽然有着若干种不同的位置关系，如果从数学角度看，它的若干种位置关系能分为几大类？请同学们打开练习本，画一画互相研究一下．
学生动手画，教师巡视，当所有学生都把三种位置关系画出来时，教师可以用计算机或幻灯机给同学们作演示，演示的过程一定要用两种方法．一是给定直线圆在动；另一方面是给定圆，直线在动，这样学生才能从运动的观点去研究问题．
最终教师指导学生从直线和圆的公共点的个数来完成直线和圆的位置关系的定义．
1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．直线叫做圆的割线．
2、直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．直线叫圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
3．直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
（三）重点、难点的学习与目标完成过程
在直线和圆的位置关系中，直线和圆相切是非常重要的位置关系，在今后的学习中有重要意义，务使每位同学都要清楚．除从直线和圆的公共点的个数来判断直线是否与圆相切外，是否还有其它的判定方法呢？可提示学生，从点和圆的位置关系去考察，特别要从点到圆心的距离与圆半径的关系去考察，若该直线l到圆心O的距离为d，⊙O半径为r，指导学生观察已经确定的直线和圆的三种位置关系，很容易得到所需的结果：
但是反过来，若先给定了直线到圆心的距离与圆的半径的数量关系，判断直线和圆的位置关系时，学生可能有一定的困难．这时可引导学生点到直线的距离，有助于学生对困难的解决．从而完成符号的左边“ ”．向学生介绍符号“ ”的意义及读法．
练习一，已知圆的直径为12cm，如果直线和圆心的距离为（1）5.5cm；（2）6cm；（3）8cm；那么直线和圆有几个公共点？为什么？
此题是直接运用性质进行判断．
答案：（1）两个公共点，（2）一个公共点，（3）没有公共点．
练习二，已知⊙O的半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，能否判断直线l和⊙O相切？为什么？
此题再一次强调定理中是圆心到直线的距离，这是学生容易出现问题的地方．
答案：不能确定．结合具体图形指导学生发现．当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线的距离时，直线l是⊙O的切线．
例题在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2cm，（2）r=2.4cm，（3）r=3cm
指导学生在对题目进行分析时指出，题中所给的Rt△在已知条件下各元素已为定值，以直角顶点C为圆心的圆，随半径的不断变化，将与斜边AB所在的直线产生各种不同的位置关系，帮助学生分析好，d是点C到AB所在直线的距离，也就是直角三角形斜边上的高CD，在求直角三角形斜边上的高CD时用到三角形面积公式．这个方法在今后的证明时常常用到．要求学生学会这种思考问题的方法．
三、课堂小结：
让学生总结出本课学习的主要内容：
1．从图形公共点看，直线和圆有两个公共点，直线和圆相交，直线是圆的割线；直线和圆有唯一公共点，直线和圆相切，直线是圆的切线；直线和圆没有公共点，直线和圆相离．
2．直线和圆的位置关系的数量关系：即直线l和⊙O相交 d＜r；直线l和⊙O相切 d=r；直线l和⊙O相离 d＞r．
3．目前判断一条直线是圆的切线的方法有二：其一是直线和圆有唯一公共点，特别要强调“唯一”一词的意义；其二是圆心到直线的距离等于圆的半径．
四、布置作业
教材P．56练习题1、2、3。
课题 ：23.2.3:切线(第一课时)
教学目标：
1、使学生理解切线的判定定理；
2、使学生理解圆的切线垂直于经过切点的半径．
3、通过演示直线和圆相切，培养学生观察图形并能从图形的位置去判断图形的性质的能力．
教学重点：
使学生全面了解圆的切线的判定方法，特别是本课学到的切线的判定定理，是以后学习中经常用到的圆的切线的一种判定方法．
教学难点：
切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素：一是经过半径外端；二是直线垂直于这条半径；学生开始时掌握不好并极容易忽视．
教学过程：
一、新课引入：
我们已经学习切线的一些判定方法，本节课我们将继续学习切线的判定方法．
在前面的学习中我们学习了圆的切线的判定方法有几种呢？
当直线和圆有唯一公共点时，直线是圆的切线；当直线和圆心的距离等于该圆半径时，直线是圆的切线．如果换一个角度，我们从另一个侧面去观察，那就是直线和圆的位置怎样时，直线也是圆的切线呢？
如上图，直线l到圆心O的距离OC等于圆O的半径，直线l是⊙O的切线．这时我们来观察直线l与⊙O的位置．发现（1）直线l经过半径OC的外端点C（2）直线l垂直于半径OC．这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理．
二、新课讲解：
1、定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
在切线的三种判定方法中，切线的判定定理最为重要，应用最为广泛．务使每个学生清楚，除了从直线和圆的公共点的个数；直线到圆心的距离等于该圆半径之外，还有其它的判定方法．可提示学生从直线与圆的位置关系来观察，从而发现切线的判定定理．尤其是要指导学生理解好一条直线必须经过半径的外端，并且垂直于这条半径的两大要素缺一不可．
2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径
指导学生对题目进行分析．要证直线是圆的切线．
实际上我们学到的圆的切线的定义，本身就产生了切线的一种性质．那就是圆的切线和圆只有一个公共点．除此之外，圆的切线还有哪些性质呢？请同学们动手在练习本上画一画想一想．
学生动手画，教师巡视全班，若只有少数几个学生产生结论，教师可适当点拨学生围绕切线、切点、过切点的半径、半径所在直线，广泛展开讨论．
最终教师指导学生完成切线的性质
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
分清定理中题设和结论中涉及到的三个要点：切线、切点、垂直．结合“过已知点只有一条直线与已知直线垂直”，通过演示、观察得到三个要点中只要发生两个，定能产生第三个．
例题1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
例题2 AB是⊙O的直径，∠ABC=45°，AC=AB，直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
这个题目中已知AB是⊙O的直径，可以直接理解出OA是一条半径．而所要证明的直线AC已经和⊙O有了公共点A，只要证明AC⊥OA即可．
三、课堂小结：
本节课主要学习的内容是：
1切线的定义。
2经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3圆的切线垂直于经过切点的半径
四、布置作业
教材P．58练习题3。
课题 ：23.2.3:切线(第二课时)
教学目标：
1、理解切线长定义；
2、理解切线长定理并能应用．
3、理解三角形的内切圆、内心，圆的外切三角形等概念。
教学过程:
一、新课引入：
观察从圆外一点所引圆的切线上，有一条线段，线段的端点一边是已知点，一边是切点．务必使学生清楚，我们是把这样的一条线段的长度定义为切线长．提醒学生注意，直线是没有长度的事实．然后让学生观察从圆外一点引圆的两条切线会产生什么样的结论？开始不要害怕学生的语言不简炼，教师最终指导学生把握“从”、“引”、“它们”、“连线平分”、“夹角”，完成切线长定理．
1． 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，
叫做这点到圆的切线长．
如图所示:PA与⊙O相切于点A,则线段PA的长就是点P到圆的切线长.
2． 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
如图所示: 用几何语言表示:
∵PA、PB是⊙O的切线,
∴PA=PB,且∠APO=∠BPO.
3.探究教材P．59的试一试，然后引出三角形的内切圆、内心，圆的外切三角形等概念
练习:
1.已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P和⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
2.已知：如图,P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．
分析：欲证AC∥OP．题中已知BC为⊙O的直径，可想到CA⊥AB，若能证出OP⊥AB，问题便得到解决．可指导学生考虑切线长定理，证三角形PAB为等腰三角形，再根据“三线合一”的性质，证得OP⊥AB.
请给出你的证明:
3.已知：如图7-70，在△ABC中，BC=14cm，AC=9cm，AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD、CE的长．
分析：这是一道利用几何图形的性质，采用代数的解题方法的一道计算题．引导学生通过解三元一次方程组来得到切线长．
三、课堂小结：
1．切线长定义: 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，
叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理及其应用．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
3. 三角形的内切圆、内心，圆的外切三角形等概念
四、布置作业
教材P．63习题12。
课题 ：23.2.4:圆与圆的位置关系
学习目标：
1、复习点与圆、直线与圆的位置关系；
2、学习圆与圆的几种位置关系；
3、通过类比点与圆、直线与圆位置关系，理解圆与圆的位置是两圆心的距
决定；
学习过程：
一、温故知新
1、点与圆位置关系有 种
如图1所示，⊙O的半径为r，
A点在 ，OA r
B点在 ，OB r
C点在 ，OC r
2、如图2所示，r为⊙O的半径，为直线到圆心的距离
在图2（1）中，∵ ，∴直线与⊙O
在图2（2）中，∵ ，∴直线与⊙O
在图2（3）中，∵ ，∴直线与⊙O
3、在同一平面，
点和圆的位置关系由这个点到 的距离决定；
直线和圆的位置关系由 到 的距离决定。
二、新课学习——圆与圆的位置关系
（一）、试一试（画图工具：圆规、铅笔）
画一大一小两个圆，分别满足下列情况（尽可能画多种画法）
1、 没有公共点
2、 只有一个公共点
3、有两个公共点
（二）、圆与圆的位置关系
1、两个圆没有公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的
2、两个圆有一个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的
3、两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 ，如图3的
4、如图3，更具体的说可以分成 种情况：
（三）、圆与圆的位置与圆心距d的对应关系
1、用数轴表示圆与圆的位置与圆心距d之间的对应关系
（填出各区域对应圆与圆的位置名称）
2、要据数轴填表（其中r1>r2）
两圆的位置关系 数量关系及其识别方法
外 离 d＞r1＋r2
外 切
相 交
内 切
内 含
三、巩固练习
1、填表：在同一平面内，两圆的半径分别为r1=3、r2=1，圆心距为d，试判断下列情况下两圆的位置关系
r1+r2= ，r1-r2=
圆心距d 在数轴上表示圆心距d的位置 数量关系 两圆的位置关系 公共点的个数
1
2
3
4
5
2、填表：在同一平面内，两圆的半径分别为r1、r2，圆心距为d，试判断下列情况下两圆的位置关系
r1 r2 d r1+r2 r1-r2 在数轴上表示圆心距d的位置 数量关系 位置关系
2 1 3
5 4 6
6 4 1
8 7 1
10 9 21
3、思考、讨论：
当r1＝r2时，两圆一共有几种位置关系，具体是哪些，试通过画图来说明？
四、本节小结：
通过类比点与圆、直线与圆位置关系，理解圆与圆的位置是两圆心的距
决定
五、布置作业
教材P． 62练习题1、2、3。
课题 ：23.3.1:弧长和扇形的面积(第一课时)
教学目标：
1、复习圆周长公式；
2、理解弧长公式．
3、通过弧长公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
教学重点：
弧长公式．
教学难点：
正确理解弧长公式．
教学过程：
一、新课引入：
前一阶段我们学习了圆的有关概念，知道圆上两点之间的部分叫做弧．弧的度数前面已经学过了，弧应当有长度，弧的长度应如何求呢？小学我们学了圆周长公式，怎样通过圆周长求出弧长，这正是我们这节课所要研究的内容．
二、新课讲解：
复习提问：
1．已知⊙O半径为R，⊙O的周长C是多大？(C=2πR)，
2．已知⊙O的周长是C，⊙O的半径R等于多少？
我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角，因为同圆中相等的圆心角所对弧相等。
（学生计算，然后回答）
1．边长6cm的正三角形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周
2．边长4cm的正方形，它的内切圆周长是___；它的外接圆的周长
3．周长6πcm的⊙O，其内接正六边形的边长是___；(3cm)
4．已知⊙O的周长6πcm，则它的外切正方形的周长是___；(24cm)
的半径是___(2cm)
示1°的n倍，由于2°是1°的2倍，3°是1°的3倍，n°是1的n倍
请同学们计算一下，已知圆的半径R=10cm，求18°的圆心角所对的弧长．
三、课堂小结：
本堂课复习了小学就学会的圆周长公式，在此基础上又学习了弧长公式。
四、布置作业
教材P．69练习题1。
课题 ：23.3.1:弧长和扇形的面积(第二课时)
教学目标：
1、复习圆面积公式，并在它的基础上推导扇形面积公式．
2、应用圆面积公式和扇形面积公式进行一些有关计算．
3、通过扇形面积公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；
4、通过一些有关圆面积和扇形面积的计算培养学生正确、迅速的运算能力．
5、通过扇形面积公式的灵活运用，培养学生发散思维能力．
教学重点：
扇形面积公式的导出及应用．
教学难点：
对有关练习题的分析．
教学过程：
一、新课引入：
前面我们在推导弧长公式时是将360°的圆心角分成360等份，这些角的边将圆周分成360等分，每一等份，我们称其为1°的弧．在此基础上，我们推导了弧长公式．大家想想看，将360°的圆心角分成360等份后，这些角的边不仅将周长分成360等份，面积不也同时分成360等份了吗？圆被这些角的边分割后所成的图形就是我们今天所要学习的扇形．
二、新课讲解：
由于在推导弧长公式中，若将360°的圆心角360等分，就得到了360等份的弧．在这个过程中不难发现圆周被分割成360等份的同时，面积也被分割成360等份，于是就要研究这每一份的面积，从而推导了扇
由于扇形应用很广泛，它同其它规则图形一样是一些不规则图形的组成部分，尤其是跟圆弧有关的不规则图形中，在分解这些图形过程中扇形起着举足轻重的作用，而且它还是后面要学习的圆锥的基础，所以扇形面积公式的推导与计算是我们这堂课的重点．
如下图，圆心角的两边将圆分割成两部份，分割后所成的图形，我们称之为扇形．
哪位同学能给扇形下一个定义？(生回答：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形．)
将360°的圆心角分成360等份，这360条半径将圆分割成360个
哪位同学记得圆的面积公式？(生回答：S=πR2)
哪位同学知道，圆心角1°的扇形其面积应等于什么？
如果一个扇形的圆心角为n°，则它的面积又应该是多少？
公式中的“n”与弧长公式中的“n”意义完全相同，它表示1°的倍数，n的值与n°的值相同．
练习：
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，则这个扇形的面积，S扇=____．
R=____．
=____．
S扇=____．
长=____．
例1 如下图，已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
练习题：
1．已知正方形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；
2．已知正五边形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
三、课堂小结：
四、布置作业：
教材P．69练习题2。
课题 ：23.3.2: 圆锥的侧面积和全面积
教学目标：
1、使学生了解圆锥的特征，了解圆锥的侧面、底面、高、母线等概念，了解圆锥的侧面展开图是扇形．
2、使学生会计算圆锥的侧面积或全面积．
3、通过圆锥的形成过程的教学，培养学生观察能力、抽象思维能力和概括能力；
教学重点：
(1)圆锥的形成过程和圆锥的母线、高等概念及其性质；
(2)会进行圆锥侧面展开图的计算，计算圆锥的表面积．
教学难点：
准确进行圆锥有关数据与展开图有关数据的转化．
教学过程：
一、新课引入：
在小学，同学们除了学习圆柱之外还学习了一个几何体——圆锥，在生活中我们也常常遇到圆锥形的物体，涉及到这些物体表面积的计算．这些圆锥形物体的表面积是怎样计算出来的？这就是本节课“7．21圆锥的侧面展开图”所要研究的内容．
和圆柱一样，圆锥也是日常生活或实践活动中常见物体，在学生学过圆柱的有关计算后，进一步学习圆锥的有关计算，不仅对培养学生的空间观念有好处，而且能使学生体会到用平面几何知识可以解决立体图形的计算，为学习立体几何打基础．
圆锥的侧面展开图不仅用于圆锥表面积的计算，而且在生产中常用于画图下料上，因此圆锥侧面展开图是本课的重点．
本课首先在小学已具有圆锥直观感知的基础上，用直角三角形旋转运动的观点给出圆锥的一系列概念，然后利用圆锥的模型，把其侧面展开，使学生认识到圆锥的侧面展开图是一个扇形，并能将圆锥的有关元素与展开图扇形的有关元素进行相互间的转化，最后应用圆锥及其侧面展开图之间对应关系进行计算．
二、新课讲解：
在小学我们已学过圆锥，哪位同学能说出圆锥有哪些特征？[安排举手的学生回答：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，从圆锥的顶点到底面圆的距离是圆锥的高．]
[教师边演示实物，边讲解]：大家观察Rt△SOA，绕直线SO旋转一周得到的图形是什么？[生回答：圆锥．]大家观察圆锥的底面，它是Rt△SOA的哪条边旋转而成的？[生回答：OA]圆锥的侧面是Rt△SOA的什么边旋转而得的？[生回答，斜边]大家观察一下，连接圆锥顶点与底面圆心的线段就是圆锥的高．圆锥的侧面是Rt△SOA的斜边绕直线SO旋转一周得到的，同圆柱相类似，斜边SA应叫做圆锥的什么？[生回答：母线．]给一圆锥，如何找到它的母线？[生回答：连结圆锥顶点与底面圆任意一点的线段都是母线．]圆锥的母线应具有什么性质？[生回答：圆锥的母线长都相等．]
[教师边演示实物，边启发提问]：现在我把这圆锥的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，哪位同学发现这个展开图是什么图形？[生回答：扇形．]请同学们仔细观察：并回答：1．圆锥展示图——扇形的弧长l等于圆锥底面圆的什么？扇形的半径其实是圆锥的什么线段？[生回答：扇形的弧长是底面圆的周长，即l=2πr，扇形
弧长已知，圆锥母线已知则展开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧面积，因此圆锥的侧面积也就可求．当然展开图扇形的圆心角也可求．
例2 一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以
S侧＝×2πr×a＝πra；
S底＝πr2；
S＝πra＋πr2．
答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr2．
三、课堂小结：
请同学们回顾一下，本堂课我们学了些什么知识？[1．圆锥的特征；2．圆锥的形成及有关概念；3．圆锥的展示图；]
四、布置作业
教材P．70练习题1、2。
初三数学备课本
教材：华东师大版九年级（上）
内容：第21章至23章
科任： 曾 楚 璧
班级：初三（5）、（6）班
时间：2005至2006第一学期
1.圆的有关概念: 在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点P随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的
端点O叫做圆心，线段OP叫做半径，以点O为圆心的圆，记作
⊙O，读作“圆O”．圆的位置由圆心O确定,圆的大小由半径OP
的长确定；半径相等的两个圆为等圆。
2．连结圆上任意两点间的线段（如线段AB）叫做弦；
经过圆心的弦（如CD）叫直径；直径是圆内最大的弦。
3．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，圆的任意一条直径的两个
端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优
弧（用三个字母表示 :如弧AnB，记作 ），小于半圆的弧叫做
劣弧（用三个字母或两个字母表示,如弧AmB，记作 或 ）。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
4．顶点在圆心上的角叫做圆心角。（如∠AOB）
1.顶点在圆上并且角的两边都和圆相交的角叫做圆周角。
如图：在⊙O中，∠A，∠B ∠C ∠D都是圆周角
2．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
用几何语言表示: ∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
或者 ∵∠ACB=90°
∴AB是⊙O的直径
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；
圆周角的度数=所对的弧的度数的一半.
如图：在⊙O中，∠A=∠B=∠COD= 的度数.
4．在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
如图：在⊙O中，∵∠A=∠B
∴
5.圆的内接四边形的对角互补,一个外角等于它的内对角
如图：在⊙O中，∵四边形ABCD内接于圆
∴∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°且∠CBE=∠D
1.过一点可以作无数个圆。
2.两点可以作无数个圆。
3.过不在同一直线上的三点可以作一个圆；
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一
个圆，并且只能画一个圆。
4.经过三角形三个项点的圆叫做三角形的外接圆,
三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三
角形叫做这个圆的内接三角形,三角形的外心就是
三角形三条边的垂直平分线的交点．
5. 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则:
点在圆内d＜r
点在圆上d=r
点在圆外d＞r
PAGE
27课题：25.1.1 简单的随机抽样
【教学目标】：
使学生了解简单的随机抽样的操作过程，理解简单的随机抽样的含义，能用随机抽样的方法从总体中抽取样本。
【重点、难点】：
用简单的随机抽样的方法从总体中抽取样本。
【教学过程】：
一、用例子说明有些调查不适宜做普查，只适宜做抽样调查
例1：妈妈为了知道饼熟了没有，从刚出锅的饼上切下一小块尝尝，如果这一小块熟了，那么可以估计整张饼熟了。
例2：环境检测中心为了了解一个城市的空气质量情况，会在这个城市中分散地选择几个点，从各地采集数据。
例3：农科站要了解农田中某种病虫害的灾情，会随意地选定几块地，仔细地检查虫卵数，然后估计一公顷农田大约平均有多少虫卵，会不会发生病虫害。
例4：某部队要想知道一批炮弹的杀伤半径，会随意地从中选取一些炮弹进行发射实验，以考察这一批炮弹的杀伤半径。
以上的例子都不适宜做普查，而适宜做抽样调查。
二、如何从总体中选取样本
1、什么是简单的随机抽样
上面的例子不适宜做普查，而需要做抽样调查，那么应该如何选取样本，使它具有代表性，而能较好地反映总体的情况呢？
要想使样本具有代表性，不偏向总体中的某些个性，有一个对每个个体都公平的方法，决定哪些个体进入样本，这种思想的抽样方法我们把它称为简单的随机抽样
2、用简单的随机抽样方法来选取一些样本。
假设总体是某年级300名学生的数学考试成绩，我们已经按照学号顺序排列如下：
97 92 89 86 93 73 74 72 60 98 70 90 89 90 91 80 69 92 70 64 92 83 89 93 72 77 79 75 80 93 93 72 87 76 86 82 85 82 87 86 81 88 74 87 92 88 75 92 89 82 88 86 85 76 79 92 89 84 93 75 93 84 87 90 88 90 80 89 72 78 73 79 85 78 77 91 92 82 77 86 90 78 86 90 83 73 75 67 76 55 70 76 77 91 70 84 87 62 91 67 88 78 82 77 87 75 84 70 80 66 80 87 60 78 76 89 81 88 73 75 95 68 80 70 78 71 80 65 82 83 62 72 80 70 83 68 74 67 67 80 90 70 82 85 96 70 73 86 87 81 70 69 76 68 70 68 71 79 71 87 60 64 62 81 69 63 66 63 64 53 61 41 58 60 84 62 63 76 82 76 61 72 66 80 90 93 87 60 82 85 77 84 78 65 62 75 64 70 68 66 99 81 65 98 87 100 64 68 82 73 66 72 96 78 74 52 92 83 85 60 67 94 88 86 89 93 99 100 79 85 68 60 74 70 78 65 68 68 79 77 90 55 80 77 67 65 87 81 67 75 57 75 90 86 66 83 68 84 68 85 74 98 89 67 79 77 69 89 68 55 58 63 77 78 69 67 80 82 83 98 94 96 80 79 68 70 57 74 96 70 78 80 87 85 93 80 88 67 70 93。
用简单抽样的方法选取三个样本，每个样本含有5个个体，老师示范完成了第一个样本的选取，请同学们继续完成第二和第三个样本的选取。
第一个样本：
随机数（学号） 111 254 167 94 276
成绩 80 86 66 91 67
第二个样本：
随机数（学号）
成绩
第三个样本：
随机数（学号）
成绩
课堂活动：用简单的随机抽样方法从300名学生的数学成绩的总体中选取两个样本，每个样本含有20个个体。
第一个样本：
随机数（学号）
成绩
第二个样本：
随机数（学号）
成绩
同学们从刚才的活动中可以体会到，抽样之前，同学们不能预测到哪些个体会被抽中，像这样不能够预先预测结果的特性叫做随机性。所以统计学家把这种抽样的方法叫做随机抽样。
三、小结
本节课我们学习了什么是随机抽样，如何从总体中随机选取一些样本，通过对这些样本的研究，可以反映总体中的特性。
四、作业：
课本P117习题25.1的第1、5题。课题 ：25.5.1 回顾与思考
【教学目标】：
通过复习，使学生系统地回顾本章所学的知识，通过例题和练习，使学生能够运用所学的知识解决问题。
【重点难点】：
重点、难点：对所学的知识进行梳理，深刻理解每一部分的内容，从而运用所学的知识分析问题和解决问题。
【教学过程】：
一、知识回顾（以问题的形式回顾知识）
1、为什么说用简单的随机抽样很公平？你是否会进行简单的随机抽样？
由于是用抽签的方法决定哪一个个体进入样本，这使得每个个体都有均等的机会被选入样本，因此随机抽样是公平的。
2、样本的选取应注意什么问题？
其一是要留意样本在总体中是否具有代表性，其二是样本容量必须足够大，其三是注意样本避免遗漏某一群体。
3、是否会根据样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差？
4、概率的定义是什么？大量重复实验时频率是否可作为事件发生的概率？你能计算简单事件的概率吗？
表示一个事件发生的可能性大小的数值叫做该事件的概率，用“Ｐ”来表示，大量重复实验时频率可作为事件发生的概率。
5、如何进行概率预测？
列出所有机会均等均等的结果以及其中所关注的结果，求出后者与前者的个数之比。
加权平均数。
对于一组数据，如果出现，出现次，…，出现次，那么
（其中）
二、例题
例1、判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由。
（1）小黄同学想了解其所在地区初中学生在家复习功课的时间，调查了他所在学校初三年级的60位同学；
（2）某位同欲了解我国老年人的健康状况，调查了10位老年人健康情况；
（3）某电视台需要在本市了解某节目的收视率，对一所大学的学生进行了调查。
例2、以下是某位同学的实习作业（了解当地中学初三年级男生的身高情况）他从其中的一所学校这所学校共有134名男生）随机选取60位同学的身高作为样本，具体的数据如下：
158、163、160、175、167、165、172、155、158、164、170、166、148
164、171、166、165、162、159、179、170、163、164、157、155、163、166
169、163、169、171、161、166、165、164、167、169、172、173、154、149
169、161、161、163、166、164、177、163、150、162、163、154、166、170
166、159、161、166、158
请你对这些数据进行整理、分析，用样本估计总体的思想，估计当地中学初三年级男生的身高情况。
解：样本
标准差
以下是频数分布直方图：
根据样本平均数可以估计，该地区初中三年级同学的平均身高为。
例3、布袋里有红色球30个，白色球24个，如果一个同学随便从布袋中取出一个球，那么取出的红球的概率大还是白球的概率大？
分析：54个球被取到的机会是均等的。
解：Ｐ（取到红球）
Ｐ（取到白球）
所以，取到红球的概率比取出白球的概率大。
三、练习
1、在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片，试求下列事件的概率。
（1）该卡片上的数字是整数；
（2）该卡片上数字是分数；
（3）该卡片上的数字是7的倍数；
（4）该卡片上的数字是偶数。
2、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17位运动员的成绩如下表所示：
成绩（单元：米） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 1.85 1.90
人数 2 3 2 3 4 1 1 1
求这些运动员成绩的平均数。
3、转动下面的两个转盘各一次，将所得的数字相加，它们的和是奇数的概率是多少？
四、小结
通过复习，同学们应更加体会用样本估计总体的思想，在选取样本时，样本必须具有代表性，样本容量必须足够大以及注意样本避免遗漏某一群体。理解概率的意义，要能计算简单事件的概率，并能运用它解决一些实际问题。
五、作业
Ｐ133 复习题 2、3课题 ：25.2.2 用样本估计总体
【教学目标】：
通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。
【重点难点】：
重点、难点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。
【教学过程】：
一、课前准备
问题：2002年北京的空气质量情况如何？请用简单随机抽样方法选取该年的30天，记录并统计这30天北京的空气污染指数，求出这30天的平均空气污染指数，据此估计北京2002年全年的平均空气污染指数和空气质量状况。请同学们查询中国环境保护网，网址是http://www.zhb. ( http: / / www.zhb. )。
二、新课
师生用随机抽样的方法选定如下表中的30天，通过上网得知北京在这30天的空气污染指数及质量级别，如下表所示：
这30个空气污染指数的平均数为107，据此估计该城市2002年的平均空气污染指数为107，空气质量状况属于轻微污染。
讨论：同学们之间互相交流，算一算自己选取的样本的污染指数为多少？根据样本的空气污染指数的平均数，估计这个城市的空气质量。
2、体会用样本估计总体的合理性
下面是老师抽取的样本的空气质量级别、所占天数及比例的统计图和该城市2002年全年的相应数据的统计图，同学们可以通过比较两张统计图，体会用样本估计总体的合理性。
经比较可以发现，虽然从样本获得的数据与总体的不完全一致，但这样的误差还是可以接受的，是一个较好的估计。
练习：同学们根据自己所抽取的样本绘制统计图，并和2002年全年的相应数据的统计图进行比较，想一想用你所抽取的样本估计总体是否合理？
显然，由于各位同学所抽取的样本的不同，样本的污染指数不同。但是，正如我们前面已经看到的，随着样本容量（样本中包含的个体的个数）的增加，由样本得出的平均数往往会更接近总体的平均数，数学家已经证明随机抽样方法是科学而可靠的. 对于估计总体特性这类问题，数学上的一般做法是给出具有一定可靠程度的一个估计值的范围，将来同学们会学习到有关的数学知识。
3、加权平均数的求法
问题1：在计算20个男同学平均身高时，小华先将所有数据按由小到大的顺序排列，如下表所示：
然后，他这样计算这20个学生的平均身高：
小华这样计算平均数可以吗？为什么？
问题2：假设你们年级共有四个班级，各班的男同学人数和平均身高如表25.2.4所示.
表25.2.4
小强这样计算全年级男同学的平均身高：
小强这样计算平均数可以吗？为什么？
练习：在一个班的40学生中，14岁的有5人，15岁的有30人，16岁的有4人，17岁的有1人，求这个班级学生的平均年龄。
三、小结
用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确。相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，随机抽样是经过数学证明了的可靠的方法，它对于估计总体特征是很有帮助的。
四、作业
Ｐ1236 习题25.2 1第9课 命题与证明（三）
学习目标：1、掌握逻辑推理的证明方法
2、掌握证明书写格式
3、能根据命题写出“已知”、“求证”，并能进行证明
重点与难点：1、能灵活运用所学公理及定理进行逻辑证明
2、根据命题写出“已知”、“求证”，并进行证明
教学过程：
一、知识回顾：
1、把命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式，并画图、写出“已知”、“求证”
2把命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“如果……那么……”的形式，并画图、写出“已知”、“求证”
二、新课讲解：
例2、内错角相等，两直线平行．
（析：该命题用“如果……那么……”表示为:＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿）
已知：直线l3分别交l1、l2于点A、点B，∠1＝∠2．
求证： l1∥l2．
证明 ∠1＝∠2 （已知），
∠1＝∠3 （ ），
∠2＝∠3 （ ），
l1∥l2（ ）．
例3 已知：如图24.3.5，AB和CD相交于点O，∠A＝∠B．
求证： ∠C＝∠D．
证明 ∠A＝∠B （已知），
AC∥BD （ ）．
∠C＝∠D （ ）．
三、练 习
一、填空：
1、如图：∠OBC=∠OCB,OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，求证：∠ABC=∠ACB
证明： OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（ ） A
∠ABC＝2∠＿＿，∠ACB＝2∠___( )
又 ∠OBC=∠OCB （ ） O
∠＿＿＝∠＿＿（ ） B C
2、如图：∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2,求：∠E=∠F
证明：∠BAP与∠APD互补（ ） A 1 B
AB＿＿＿＿CD ( )
∠BAP=∠APC( )
∠1=∠2( ) F E
∠BAP-∠1=∠APC-∠2( )
即__________=__________
AE＿＿＿＿＿PE 2
∠E=∠F ( ) C P D
3、证明：矩形的两条对角线相等.
已知：如图：＿＿＿＿＿＿为矩形，对角线AC、BD相交于点O,
求证：_______=_______
证明：＿＿＿＿＿＿为矩形（ ） A B
AD＝＿＿＿， O
∠ADC＝∠＿＿＿（ ）
又＿＿＿＿＝＿＿＿＿ D C
△ADC≌△__________( )
_______=_______
4、求证：角平分线上一点到这个角两边的距离相等
已知：如图：＿＿＿＿＿为∠ABC的平分线，________,
________,垂足分别为＿＿＿、＿＿＿ A
求证：＿＿＿＝＿＿＿
证明：＿＿＿＿＿为∠ABC的平分线( ) E C
∠_____＝∠＿＿＿（ ）
又________,________( ) P
∠_____＝∠＿＿＿＝90°
又OP＝＿＿＿ O F B
＿＿＿≌＿＿＿（ ）
＿＿＿＝＿＿＿（ ）
二、证明：
1、已知：如图，直线AB、CD被EF、GH所截，∠1＝∠2，求证：∠3＝∠4.
（第1题）
2、已知：如图，AB=AC, ∠BAO＝∠CAO.求证：OB＝OC.
（第2题）
3、证明：平行四边形的两组对边分别相等.（提示：连结AC）
(第3题)
4、如图，OA＝OB，PA＝PB，试证明：OP平分∠AOB.
（第4题）
1、 如图：DE∥BC,FG∥CD,求证：∠CDE=∠BGF
A
D E
F
B G C
6、如图，已知：DC＝AB，AD＝BC，点E、F在AC上，AE＝CF.试找出图中所有的全等三角形，并用有关全等三角形的基本事实加以证明（只需证明一对全等）.
（第6题）
7、 等腰三角形两底角的平分线相等。
8、已知： EG∥AB，DH∥AC， 求证：∠BDH＝∠CEG．
四、小结。(略)
五、布置作业。
第10课 尺规作图（一）
学习目标：
1、 画一条线段等于已知线段
2、 画一个角等于已知角
3、 画角平分线
重点与难点：
1、 画一个角等于已知角
2、 画角平分线
教学过程：
1、画一条线段等于已知线段
试一试
如图24.4.1，MN为已知线段，用直尺和圆规准确地画一条线段AC与MN相等。
步骤：
1、 画射线AB，
2、 然后用圆规量出线段MN的长，再在射线AB上截取AC＝MN，线段AC就是所要画的线段．
2、画一个角等于已知角
试一试
如图所示，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画∠A′O′B′等于∠AOB．
步骤：
1、 画射线O′A′．
2、 以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于C，交OB于D．
3、 以点O′为圆心，以OC长为半径画弧，交O′A′于C′．
4、 以点C′为圆心，以CD长为半径画弧，交前一条弧于D′．
5、 经过点D′画射线O′B′．∠A′O′B′就是所要画的角．
B
O A
3、画角平分线 A
做一做 利用直尺和圆规把一个角二等分.
已知：∠AOB，
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC
步骤：
1、 在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE O B
2、 分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C
3、 作射线OC，OC就是所求的射线。
练 习
如图，平分∠A 。（不写画法，保留作图痕迹）
A
4、综合练习
A组
1、已知知线段a和b，如下图，求作一线段，使它的长度等于a＋b.
a
b
2、已知线段a和b，如下图，求作一线段，使它的长度等于a-b.
a
b
3、已知线段AB和CD，如下图，求作一线段，使它的长度等于AB＋2CD.
4、如图，已知∠A、∠B，求作一个角，使它等于∠A＋∠B.
5、试把如图所示的角四等分．(首先把∠O二等分，再把得到的两部分分别再二等分即可)，请完成操作并写出画法．
O
5、如图，已知∠A，试画∠B＝∠A.（不写画法，保留作图痕迹）
(第5题)
6、画出图中三角形三个内角的角平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
（第6题）
7、请你利用直尺和圆规分别画出满足图24.4.4和图24.4.5中条件的三角形ABC.
（1）已知两边及夹角； （2）已知两角及夹边.
（1）
‘
（2）
B组
完成下列画图，并写出画法.
1、 一条线段，使其等于AB－2CD.
（第1题）
2、画一个角，使其等于∠A－2∠B.
（第2题）
3、画一个等腰三角形，使其腰长等于AB，底边长等于BC.
（第3题）
4、 如图，已知∠、∠及线段a，
求作: △ABC,使AC=a, ∠BAC=∠,∠ABC=∠，（不写作法）
a
第11课 尺规作图（二）
学习目标：
1、画已知线段的垂直平分线
2、经过一点作已知直线的垂线
重点与难点：
1、 经过一点作已知直线的垂线
教学过程：
1、画已知线段的垂直平分线
定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（或叫中垂线。）
做一做 如图所示，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
步骤：
1、 以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
2、 以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，
3、 两弧的交点分别记为C、D，连结CD，则CD是线段AB的垂直平分线．
2、经过一点作已知直线的垂线
（1）已知点在直线上：
试一试：如图所示，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
步骤：
1、 以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点，则C是线段AB的中点．
2、 点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
3、 以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，
两弧的交点分别记为M、N，连结MN，则MN是线段AB的垂直平分线．
（2）已知点在直线外
思考：如图所示，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
作法：
A
3、练 习
一、填空：
1、求作：线段MN的垂直平分线。
作法:（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿为圆心，＿＿＿＿＿为 M N
半径作弧，两弧相交于＿＿＿＿＿＿
（2）连＿＿＿＿，则＿＿＿＿为线段的垂直平分线。
B
2、如图：在△ABC中，∠ABC为钝角，求作：AB上的高CD。
作法：（1）以＿＿＿＿为圆心，适当长为半径，作弧交直 C
线AB于＿＿＿＿＿，
（2）分别以_______圆心，以大于_____的长为半径作弧，
两弧相交于点＿＿＿， A B
（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿，则即为所求。
综合练习：
一、根据题意完成下列尺规作图并填空： a
1、已知线段abc,，求作△ABC，使BC=a,CA=b,AB=c， b
作法：(1)作BC=__________, c
(2)在BC的同旁,以B为＿＿＿＿＿，以＿＿＿＿＿
为半径作＿＿＿，再以＿＿＿＿为圆心，以＿＿＿＿
为半径＿＿＿，两弧＿＿＿＿＿＿＿
（3）连结＿＿＿，＿＿＿＿
则△ABC就是所要求作的三角形。
2、已知点M，N,求作线段MN的中垂线。 M
作法：（1）连结点M、N
（2）分别以M、N为圆心，用大于＿＿＿＿长为半径画
弧，两弧相交A、B于两点
（3）作直线AB交MN于点C，则C是＿＿＿的＿＿＿， N
AB是的＿＿＿线。
二、
1、如图，过点P画∠O两边的垂线.
(第1题)
2、 如图，画△ABC边BC上的高.
（第2题）
3、 如图：求作已知锐角的余角。
4、 画一个直角三角形，使其直角边分别等于已知的两条线段.
(第4题)
5、 如图：求作一点，使并且使点到的两边距离相等。
A
D
O B
C
6、 如图：在钝角三角形ABC中，作出边AB上的高CD、中线CE、∠ACB的平分线CF
C
B A
7、画一个四边形，使其两组对边分别相等.
8、 画一个四边形，使它的面积等于已知三角形面积的2倍
1
40课题：21.5.2 科学记数法
【教学目标】：
1、 能较熟练地运用零指数幂与负整指数幂的性质进行有关计算。
2、 会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。
【重点难点】：
重点：幂的性质（指数为全体整数）并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数
难点：理解和应用整数指数幂的性质。
【教学过程】：
1、 复习练习：
1、 ；= ；= ，= ，= 。
2、（04苏州）不用计算器计算：÷（—2）2 —2 -1+
二、指数的范围扩大到了全体整数.
1、探 索
现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，在§14.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.
（1）； （2）(a·b)-3=a-3b-3； （3）(a-3)2=a(-3)×2
2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。
3、例1 计算(2mn2)-3(mn-2)-5并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。
解：原式= 2-3m-3n-6×m-5n10 = m-8n4 =
4 练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：
（1）(a-3)2(ab2)-3； （2）(2mn2)-2(m-2n-1)-3.
三、科学记数法
1、回忆： 在§2.12中，我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×105.
2、 类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10-n的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.
3、探索：
10-1=0.1
10-2=
10-3=
10-4=
10-5=
归纳：10-n=
例如，上面例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10-5.
4、例2、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
分 析 我们知道：1纳米＝米.由＝10-9可知，1纳米＝10-9米.
所以35纳米＝35×10-9米.
而35×10-9＝（3.5×10）×10-9
＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，
所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8米.
5、练 习
①用科学记数法表示：
（1）0.000 03；（2）-0.000 0064；（3）0.000 0314；（4）2013 000.
②用科学记数法填空：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒；
（2）1毫克＝_________千克；
（3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；
（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方米.
【本课小结】：
引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10. 其中n是正整数
【布置作业】：1课本第20页练习题2、3；
2第22页复习题A3。课题 ：25.2.1 抽样调查可靠吗
【教学目标】：
通过样本抽样，绘频数颁布直方图，计算样本平均数和标准差使学生认识到只有样本容易足够大，才能比较准确地反映总体的特性，这样的样本才可靠，体会只有可靠的样本，才能用样本去估计总体。
【重点难点】：
重点、难点：通过随机抽样选取样本，绘制频数分布直方图、计算平均数和标准差并与总体的频数分布直方图、平均数和标准差进行比较，得出结论。
【教学过程】：
一、复习上节课的内容
在上节课中，我们知道在选取样本时应注意的问题，其一是所选取的样本必须具有代表性，其二是所选取的样本的容量应该足够大，这样的样本才能反映总体的特性，所选取的样本才比较可靠。
二、新课
1、用例子说明样本中的个体数太少，不能真实反映的特性。
让我们仍以上一节300名学生的考试成绩为例，考察一下抽样调查的结果是否可靠。上一节中，老师选取的一个样本是：
随机数（学号） 111 254 167 94 276
成绩 80 86 66 91 67
它的频数分布直方图、平均成绩和标准差分别如下：
另外，同学们也分别选取了一些样本，它们同样也包含五个个体，如下表：
随机数（学号） 132 245 5 98 89
成绩 78 73 76 69 75
随机数（学号） 90 167 86 275 54
成绩 72 86 83 82 82
同样，也可以作出这两个样本的频数分布直方图、计算它们的平均成绩和校准差，如下图所示：
样本平均成绩为74.2分，标准差为3.8分 样本平均成绩为80.8分，标准差为6.5分
从以上三张图比较来看，它们之间存在明显的差异，平均数和标准差与总体的平均数与标准差也相去甚远，显然这样选择的样本不能反映总体的特性，是不可靠的。以下是总体的频数分布直方图、平均成绩和标准差，请同学们把三个样本的频数分布直方图、平均成绩和标准差与它进行比较，更能反映这样选取样本是不可靠的。
2、选择恰当的样本个体数目
下面是某位同学用随机抽样的方法选取两个含有40个个体的样本，并计算了它们的平均数与标准差，绘制了频数分布直方图，具体如下：
样本平均成绩为75.7分，标准差为10.2分 样本平均成绩为77.1分，标准差为10.7分
从以上我们可以看出，当样本中个体太少时，样本的平均数、标准差往往差距较大，如果选取适当的样本的个体数，各个样本的平均数、标准差与总体的标准差相当接近。）
三、课堂练习
请同学们在300名学生的成绩中用随机抽样的方法选取两个含有20个个体的样本，并计算出它们的平均数与标准差，绘制频数分布直方图，并与总体的平均数、标准差比较。
四、小结
一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也就越精确，相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也就越大，因此，在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出的代价的大小。
五、作业
Ｐ123 习题25.2 2、3、4课题：21.4.1可化为一元一次方程的分式方程（1）
【教学目标】：
1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.
【重点难点】：
1、使学生领会“ 转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.
2、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。
【教学过程】：
一、探究问题，引入分式方程的概念：
1、问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.
2、分析：
设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得
. （1）
3、概 括
方程（1）有何特点？
让学生观察分析后，发表意见，达成共识：
方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
教师提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
让学生举出分式方程的例子，根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。
4、辨析：判断下列各式哪个是分式方程．
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)
根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．
二、探究分式方程的解法
1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？
试动手解一解方程（1）.
方程（1）可以解答如下：
方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得
80（x-3）=60(x+3).
解这个整式方程，得
x=21.
所以轮船在静水中的速度为21千米/时.
2、概 括
上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
3、例1 解方程：.
解 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得
x+1=2.
解这个整式方程，得
x=1.
事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.
4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.
因此，在解分式方程时必须进行检验.
5．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
对于原分式方程的解来说，必须要求使方程中各分式的分母的值均不为零，但变形后得到的整式方程则没有这个要求.如果所得整式方程的某个根，使原分式方程中至少有一个分式的分母的值为零，也就是说使变形时所乘的整式（各分式的最简公分母）的值为零，它就不适合原方程，即是原分式方程的增根.
6、验根的方法
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.
如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.
7、有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程.
例2 解方程：（1） （2）
解： 解：方程两边同乘以 ，得
方程两边同乘以 ， ，
得 ． ，
∴ ∴ ．
检验：把x=5代入 x-5，得x-5≠0 检验：把x=2代入 x2—4，得x2—4=0。
所以，x=5是原方程的解. 所以，x=2是增根，从而原方程无解。.
8、练习：课本第页练习1、2
【本课小结】：
1、 什么是分式方程？举例说明
2、 解分式方程的一般步骤：
a. 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．
b. 解这个整式方程．
c.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．
3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？
【布置作业】：
课本第16页练习1、2题。初三数学备课本
教材:华东师大版九年级(上)
内容:第24章图形的全等(11课时)
科任:曾楚璧
班级:初三(5)、(6)班
时间:2005至2006第一学期
初三数学备课本
教材:华东师大版九年级(上)
内容:第25章样本与总体(9课时)
科任:曾楚璧
班级:初三(5)、(6)班
时间:2005至2006第一学期课题：21.2.1分式的基本性质（1）
【教学目标】：
1． 使学生经历分式概念的形成过程，了解分式、整式、有理式诸概念的区别与联系。
2． 使学生掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简分式的意义。
3．使学生掌握分式有意义的条件，认识事物的联系与制约关系。
【重点难点】：
重点：1，了解分式的形式 （A、B是整式）并理解分式概念中的“一个特点”：分母含有字母；“一个要求”：字母的取值要使分母的值不能为零；2，掌握分式约分方法并熟练进行分式约分。
难点：理解分式中的分母含有字母以及字母的取值要使分母的值不能为零；分子、分母是多项式的分式约分
【教学过程】：
一、做一做
（1）面积为2平方米的长方形一边长3米，则它的另一边长为_____米；
（2）面积为S平方米的长方形一边长a米，则它的另一边长为________米；
（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的售价是______元；
二、讲解分式的有关概念
形如(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子，叫做分式.
其中 A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.
整式和分式统称有理式。
注意：在分式中，分母的值不能是零。
例如，在分式中，a≠0；在分式中，m≠n.
一般的，对分式都有：分式有意义 B≠0。
分式没有意义 B=0。
分式的值为0A=0且B≠0。
三、例题讲解与练习
例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）； （2）； （3）； （4）.
例2、 当x取什么值时，下列分式有意义？
（1）； （2）。
例3、当x是什么数时，分式的值是零？
练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？
， ， 2a-3b, , ,
练习2 分式 ，当y 时，分式有意义；当y 时，分式没有意义；当y 时，分式的值为0。
练习3 讨论探索
当x取什么数时，分式 （1）有意义 （2）值为零？
四、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示是：
（ 其中M是不等于零的整式）。
与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.
例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1） （2）（y≠—1）.
特别提醒：对，由已知分式可以知道x，因此可以用x去除以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调这个条件，再如是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件y+10下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调。
例5 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。
（1）； （2）.
例6 约分
（1）； （2）
解（2）＝＝.
说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.
练习：约分：
； ； ； ； ； 。
【本课小结】：
1、 式的概念和分式有意义的条件。
2、 请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质
3、 分式的约分运算，用到了哪些知识？
让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。
【布置作业】：课本第7页习练第1题课题：21.3.1分式的乘除法
【教学目标】：
1、 让学生通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。
2、 使学生理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算
2、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力。
【重点难点】：
重点：分式的乘除法、乘方运算
难点：分式的乘除法、混合运算，以及分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。
【教学过程】：
一、复习提问：
(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？
(2)：下列各式是否正确？为什么？
二、探索分式的乘除法的法则
1． 回忆：
计算：*/-9
2．例1计算：
（1）； （2）.
由学生先试着做，教师巡视。
3．概括：分式的乘除法用式子表示即是：
4. 例2计算：.
分析：①本题是几个分式在进行什么运算？
②每个分式的分子和分母都是什么代数式？
③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？
④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？
解 原式＝＝.
5．练习：
①课本第9页练习1。
②计算：
三、、探索分式的乘方的法则
1、 思 考
我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？
先做下面的乘法：
（1）＝＝（）3；
（2）＝＝（）k.
2、仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成下面的填空：
（）(k) =___________（k是正整数）
3、
4、练习：(1)判断下列各式正确与否：
(2)计算下列各题：
【学生小结】：
1、 怎样进行分式的乘除法？
2、 怎样进行分式的乘方？
【布置作业】：
课本第11页习题第1题。课题：21.4.3可化为一元一次方程的分式方程复习
【教学目标】：
1、 使学生能较熟练的列可化为一元一次方程的分式方程解应用题。
2、 提高分析问题和解决问题的能力。
【重点难点】：
分析应用题中的数量关系，提高思维能力。
【教学过程】：
1、 复习练习
1、(02苏州)某农场挖一条960m长的渠道，开工后每天比原计划多挖20m，结果提前4天完成了任务。若设原计划每天挖xm，则根据题意可列出方程（ ）
A. B. C. D.
2、（03苏州）为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为（ ）
A） －=5 B）－=5 C）－=5 D）－=5
二、例题讲解与练习巩固
1、例1 购一年期债券，到期后本利只获2700元，如果债券年利率12.5%，&127;那么利息是多少元
解：(1)设利息为x元，则本金为(2700-x)元，依题意列分式方程为：
?
解此方程得 x=300?
经检验x=300为原方程的根?
答：利息为300元。
练习：一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了，费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？
2、解一组方程，先用小计算器解20分钟，再改用大计算器解25分钟可解完，如果大计算器的运算速度是小计算器的4倍，求单用大计算器解这组方程需多少时间 ?
解：设单用大计算器解全部题x分钟可解完，则用小计算器用4x分才能解完，则大计算器的速度为，小计算器的速度为。
依题意列分式方程得：20﹒+25﹒=1? x=30?
经检验，x=30为原方程的解?
答：单用大计算器30分钟可解完这组方程。
讨论探索： 某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算：
（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；
（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；
（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。
在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？
3、例3 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
（1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？
（2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
解：（1）设这个学校八年级学生有x人.
由题意得，x≤300
x+60＞300
∴240 ＜x≤300
（2） 分析：
有两个数量关系：①批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同；
②用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60枝。
一般地，①用来设立未知数，②用来立方程。
解：设批发价每支y元，则零售价每支元。
由题意得，。
解之得，y=
经检验，y=为原方程的解。
所以，
答：（1）240人 ＜八年级的学生总数≤300人。
（2） 这个学校八年级学生有300人。
【本课小结】：
列分式方程解应用题的一般步骤：列方程解应用题注意分析题目中的数量，分清哪些是未知数，哪些是已知数，再找出这些数量间的关系，尽量找出多的数量关系，一般地，其中一个用来设立未知数，另一个用来立方程。
【布置作业】：
课本第23页12题。第3课 全等三角形的识别（二）（SAS）
一、学习目标：会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
二、重点与难点：1、会运用“边角边”公理证明三角形全等的简单问题
2、分清用两边一角证明三角形相似和全等的不同。
三、教学过程：
(一)知识回顾：
判别三角形相似的方法之二：
如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
(二)新课讲解：
做一做 以图24.2.5中的两条线段和一个角画一个三角形，使该角恰为这两条线段的夹角.
步骤：
1、 画一线段AB使它的长度等于4cm.
2、 以点A为顶点，作∠BAP=45°,在射线AP上截取AC＝3cm,
3、 连结BC.△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两条线段和一个角，用同样的方法试试，是否有同样的结论．
A C
A B
A
这样我们就得到识别三角形全等的另一种简便的方法
如果两个三角形有 _____边及其______分别对应＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为（S.A.S.）．
对比判别三角形相似的方法
如果两个三角形有 _____边对应＿＿＿＿＿＿，并且____相等，那么这两个三角形相似．
例2 如图24.2.6，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.
解 AD平分∠BAC A
∠_____＝∠_____，
又 AB＝AC，
AD为__________，
△ABD≌△ACD.（ ）
B
做一做 如图24.2.7，已知两条线段和一个角，以这两条线段为边，以这个角为其中一条边的对角，画一个三角形.
图24.2.7
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所有的三角形一定都会全等吗？
(三)练 习
1. 根据题目条件，判断下面的三角形是否全等？
(3) (4)
2. 点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，△AMD和△BMC全等吗？试说明你的理由？
(四)综合练习：
1、 填空： A
1、如图，AB=AD,AC=AE,则可得△ABC≌＿＿＿＿ E C
其理由是＿＿＿＿＿＿ B D
2、如图：OA=OD,OB=OC,求证：△ABO≌△DCO A B
证明： OA=OD OB=OC（ ）
＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿（ ） O
△ABO≌△DCO（ ）
C D
3、如图：已知AB=DC，∠ABC=∠DCB,求证：AC=BD
证明：AB=DC，∠ABC=∠DCB （ ） A D
BC=________( )
△BCD≌_______，( )
AC=________( ) B C
2、 选择：
1、在△ABC中，∠B=∠C,与△ABC全等的三角形有一个角是100°,那么△ABC中与这个角对应的角是（ ）
A ∠A B ∠B C ∠C D ∠B或∠D
2、如图：直线l是四边形ABCD的对称轴，如果，有下列 A
结论：(1)AB∥DC（2）AB=BC（3）ABBC（4） AO=OC， B O D
其中正确的结论有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 C
3、具有下列条件的两个等腰三角形，不能判定它们全等的是（ ）
A 顶角、一腰对应相等 B 底边、一腰对就相等
C 两腰对应相等 D 一腰、一底角、一底边对应相等
3、 证明：
1、如图，已知∠1＝∠2，AO＝BO，那么△AOP≌△BOP，为什么？
（第1题）
2、如图，AE＝DB，BC＝EF，BC∥EF，说明△ABC和△DEF全等的理由．
(五)小结。(略)
（第2题）
(六)布置作业:
P86、87页练习1、2。
第4课 全等三角形的识别（三）（ASA及AAS）
一、学习目标：会运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
二、重点与难点：能灵活运用“角边角”公理及其推论证明三角形全等的简单问题
三、教学过程：
(一)新课学习
做一做 如图24.2.9，已知两个角和一条线段，以这两个角为内角，以这条线段为两个角的夹边，画一个三角形.
步骤：
1、 一线段AB使它的长度等于4cm.
2、 分别以点A、B为顶点，作∠BAP=40°∠ABQ=60°,AP、BQ相交于点C,
3、 △ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学画的进行比较，所有的三角形都全等吗？
换两个角和一条线段， 用同样的方法试试看，是否有同样的结论．
A
B
A B
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.S.A.).
例3 如图所示，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，试说明△ABC≌△DCB.
解 ∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC， A D
BC是＿＿＿＿＿＿，
＿＿＿＿＿＿（ ）
B C
思 考
如图24.2.11，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，
那么这两个三角形是否一定全等？
图24.2.11
你的结论是_____________________________________________________
证明： ∠A＝∠D，∠C＝∠F，
∠B＝180°－＿＿＿＿＿＿，∠E＝180°－＿＿＿＿＿＿＿，
∠＿＿＿＿＝∠＿＿＿＿＿＿
又∠＿＿＿＝∠＿＿＿，AB＝＿＿＿＿
△ABC≌△DEF.（ ）
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿及其＿＿＿＿分别对应＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为(A.A.S.).
小结： 如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这时应该有两种不同的情况： 一种情况是两个角及两角的＿＿＿＿（ASA）； 另一种情况是两个角及其中一角的＿＿＿（AAS），两种情况都可以证明三角形全等。如图24.2.8所示．
图24.2.8
(二)练 习
1、 填空：
1、如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E， A F
DE=FE,FC∥AB, 求证：AE=CE,必先证
证明： FC∥AB（ ） D E
∠_____=∠_____,∠_____=∠_____, B C
又 DE=FE（ ）
△AED≌_______（ ）
AE=CE（ ）
2、如图：点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE,
AB∥ED,AC∥FD，求证：AB=DE A
证明： FB=CE（ ）
FB＋＿＿＿=CE＋＿＿＿＿（ ） B F C E
即：＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿
AB∥ED,AC∥FD
∠ABC=∠_______,∠ACB=∠_______ D
△ABD≌________,（ ）
AB=DE，（ ）
3、如图：AB=CD,AD=BC,EF过BD的中点O，求证：△OBF≌△ODE
证明： AB=CD,AD=BC( )
_________=__________( ) A E D
△ABD≌________,( )
∠CBD=_______ O
EF过BD的中点O( )
______=__________ B F C
又∠FOB=∠_____( )
△OBF≌_______( )
2、 选择
1、下列说法中，正确的是（ ）
A所有的等腰三角形全等 B有两边对应相等的两个等腰三角形全等
C有一边对应相等的两个等腰三角形全等 D腰和顶角对应相等的两个等腰三角形全等
2、在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=44°，∠B=67°,∠C′=69°,∠A′=44°,且AC=A′C′，那么这两个三角形（ ）
A 一定不全等 B 一定全等 C 不一定全等 D 以上都不对
E
3、如图：点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE
交AC于F，若∠1=∠2=∠3，AC=AE,则（ ） A 2
A △ABD≌△AFD B △AFE≌△ADC 1 F
C △AFE≌△DFC D △ABC≌△ADE 3
B D C
4、在△ABC和△DEF中，条件(1)AB=DE,(2)BC=EF,(3)AC=DF,(4) ∠A=∠D,(5) ∠B=∠E,(6) ∠C=∠F，则下列各组条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是（ ）
A(1) (2) (3) B (1) (2) (5) C (1) (3) (5) D(2) (5) (6)
三、证明与计算：
1. 根据题目条件，判别下面的两个三角形是否全等，并说明理由.
（1）
2. △ABC是等腰三角形，AD、BE分别是∠A、∠B的角平分线，△ABD和△BAE全等吗？试说明理由.
（第2题）
3、如图，AB＝DE，AC∥DF，BC∥EF，△ABC与△DEF全等吗？试说明理由.
(第3题)
4、如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，△ABC和△ADC全等吗？试说明理由。
(第4题)
5、已知： 如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证： ∠DAB＝∠ABC．
(第5题)
6、已知： 如图，∠BDA＝∠CEA，AE＝AD．求证： AB＝AC．
(第6题)
(四)小结。(略)
(五)布置作业:
P89页练习2。
第5课 全等三角形的识别（四）（HL）
一、学习目标：会运用“斜边、直角边公理” 证明三角形全等的简单问题
二、重点与难点：1、会运用“斜边、直角边公理”（HL） 证明三角形全等的简单问题
2、了解SSS、SAS、ASA、AAS也适用于直角三角形。
三、教学过程:
(一)知识回顾：
一、判别三角形相似的方法之三：
如果一个三角形的_______分别与另一个三角形的_______对应相等，那么这两个三角形相似．
我们知道，对于两个三角形，有“边、边、角”对应相等，是不能保证它们全等的．但是，在两个直角三角形中，当斜边及一条直角边分别对应相等时，也具有“边、边、角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形是否全等呢？
做一做 试以24.2.12中的两条线段AC、AB分别为直角边和斜边画一个直角三角形.
步骤：
1、 画∠MCN＝90°，
2、 在射线CM上截取AC的长度，
3、 以点A为圆心，以线段AB的长为半径画圆弧，交射线CN于点B，
4、 连结AB，△ABC即为所求.
把你画的图形与周围的同学画的比较一下，所画的图形都全等吗？请按照下题的步骤证明你的结论。
如图，AC＝DF，AB=DE,∠C＝∠F＝90°，试说明△ABC≌△DEF.
∠C＝∠F＝90°
BC=_________,EF=____________(勾股定理) A D
又 AC＝DF，AB=DE,
＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿
又∠＿＿＝∠＿＿，AC＝＿＿＿＿ B C E F
△ABC≌△DEF.（ ）
由此可以得到如下结论：
如果两个直角三角形的＿＿＿＿＿及一条＿＿＿＿＿＿分别对应相等，那么这两个直角三角形全等. 称为斜边、直角边公理，简记为（H.L.）.
注意：
1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。
2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。
例4 如图24.2.13，AB是圆O的直径，AC＝AD，试说
明△ABC和△ABD全等.
解 AB为⊙O的直径
∠ACB＝∠＿＿＿＝＿＿°．
又AC＝AD，＿＿＿＝＿＿＿，
△ABC≌△ABD．（ ）
(三)练 习
1. 如图，AC＝AD，∠C＝∠D＝90°，试说明BC与BD相等.
(第1题)
2. 以下面格点图中的格点为顶点，画出所有的直角三角形，并说明哪些直角三角形是全等的.
（第2题）
(四)综合练习：
一、填空：
1、 两条直角边对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿＿＿
2、 有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形＿＿＿＿＿，理由是＿＿＿＿＿＿
D
3、 如图：BAAC,CD∥AB,AB=CE,BC=DE,则△CDE≌______， B
理由是＿＿＿＿＿，且有∠ACB=________，∠ABC=_______,
由此可知BC与DE互相__________
A E C
4、 如图：AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′
二、选择：
1、两个直角三角形全等的条件是（ ）
A一锐角对应相等B两锐角对应相等C一条边对应相等D两条边对应相等
2、判断下列命题：（1）在Rt△ABC中，两锐角互余（2）有两个锐角不互余的三角形不是直角三角形（3）一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（4）有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、下列说法正确的有（ ）
（1）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等（2）一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等（3）两条边对应相等的两个直角三角形全等（4）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′,AB=A′B′,那么下列结论中正确的是（ ）
A AC=A′C′ B BC=B′C′ C AC=B′C′ D ∠A=∠A′
5、 下列叙述的图形中，是全等三角形的只有（
A 两个含60°角的直角三角形 B 腰对应相等的两个等腰三角形
C 有一边相等的两个等边三角形 D 面积相等的两个直角三角形
B
6、如图：△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB， E
交BC于D点，DEAB于点E，且AB=60cm，则△BED的
周长为（ ） D
A 100cm B 80cm C 60cm D 40cm A C
3、 证明：
1、如图：CEAB,DFAB,垂足分别为EF，AC∥DB,且AC=BD，求证：CE=DF
C
A E F
2、如图：△ABC是等腰三角形，AB=AC,AD是高，求证（1）BD=DC（2）∠BAD=∠CAD
A
B D C
3、如图，AB=CD,DEAC,BFAC,E、F是垂足，DE=BF,求证（1）AE=CF（2）AB∥CD
D C
F E
A B
4、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，求证：EB=FC
A
E F
B D C
5、如图：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°,CDAB,C′D′A′B′,且CD=C′D′,BC=B′C′，求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
C C′
B D A B′ D′ A′
(五)小结。(略)
(六)布置作业:
P90页练习1.、2、4。
PAGE
9课题：21.4.2 可化为一元一次方程的分式方程（2）
【教学目标】：
1、 进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。
2、 通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。
【重点难点】：
重点：让学生学习审明题意设未知数，列分式方程。
难点：在不同的实际问题中，设元列分式方程
【教学过程】：
1、 复习练习
解下列方程：
（1） （2）
解：方程两边同乘以 ，得
3－x=4＋x－2(x＋1) （3）
3－x=2－x
0·x=0 ．
因为任何有理数与0相乘，积都不可能是1，
所以此方程无解，即原方程也无解．
二、列方程解应用题
1、 学生回忆：列方程解应用题的一般步骤：
在学生回顾、回答的同时，教师板书：
1）、审清题意；
2）、设未知数；
3）、列式子，找出等量关系，建立方程；
4）、列方程；
5）、检查方程的解是否符合题意；
6）、作答。
这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。
2、例1某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得
＝.
解得 x＝11.
经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.
答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.
强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。
2、概括：列分式方程解应用题的一般步骤：
（1）审清题意；
（2）设未知数（要有单位）；
（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；
（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；
（5）写出答案（要有单位）。
3、练习：求解本章导图中的问题.
4、例2 A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。
分析：已知两边的速度之比为5：2，所以设大车的速度为2x千米/时，小说车的速度为5x千米/时，而A、B两地相距135千米，则大车行驶时间小时，小车行驶时间小时，由题意可知大车早出发5小时，又比小车早到30分钟，实际大车行驶时间比小车行驶时间多4.5小时，由此可得等量关系
解析：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得
－=5-解之得x=9
经检验x=9是原方程的解
当x=9时，2x=18，5x=45
答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时
5、练习：
（1）甲乙两人同时从 地出发，骑自行车到 地，已知 两地的距离为 ，甲每小时比乙多走 ，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走 ，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
【本课小结】：
1、 列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？
2、 你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？
【布置作业】：
课本第17页第2题。课题：21.2.2分式的基本性质（2）
【教学目标】：
1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。
2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；
【重点难点】：
重点：让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。
难点：几个分式最简公分母的确定。
【教学过程】：
1、 复习
1．分式中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的值为0。
2．分式的基本性质。
二、分式的的变号法则
例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：
（1）； （2）； （3）.
例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）； （2）.
注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
例3若x、y的值均扩大为原来的2倍，则分式的值如何变化？若x、y的值均变为原来的一半呢？
三、分式的通分
1．把分数通分。
解 ，，。
2．什么叫分数的通分？
答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的公分母。
4．讨论： （1）求分式的（最简）公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。
（2） 求分式与的最简公分母。
分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即
4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），
把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。
答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
5．练习：填空：
（1）； （2）； （3）。
求下列各组分式的最简公分母：
（1）； （2）；
（3）
6、例3 通分
（1），； （2），； （3），.
分析 ：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。
解：略
（3）因为 x2－y2＝________________, x2＋xy＝________________,
所以与的最简公分母为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，即x(x2-y2)，因此
＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿， ＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
练 习
1. 通分：
（1），； （2）， （3）.
【本课小结】：
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
【布置作业】：1课本第7页练习第2题
2课本第8页习题第4题课题: 21.5.1零指数幂与负整指数幂
【教学目标】：
1、 使学生掌握不等于零的零次幂的意义。
2、 使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。
3、 通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。
【重点难点】：
不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。
【教学过程】：
一、讲解零指数幂的有关知识
1、问题1 在§21.1中介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？
2、探 索
先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷52＝52-2＝50，
103÷103＝103-3＝100，
a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.
3、概 括
我们规定：
50=1，100=1，a0=1（a≠0）.
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
二、讲解负指数幂的有关知识
1、探 索
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：
52÷55， 103÷107，
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得
52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
52÷55＝＝＝， 103÷107＝＝＝.
2、概 括
由此启发，我们规定： 5-3＝， 10-4＝.
一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数)
这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.
三、例题讲解与练习巩固
1、例1计算：
（1）810÷810； （2）10-2； （3）
解 （1）810÷810＝810-10＝80＝1.
（2）10-2＝＝.
（3）＝1×＝.
练 习：计算：
（1）（-0.1）0；（2）；（3）2-2；（4）.
2、例2计算：
⑴ ； ⑵ 。
解： ⑴。
⑵
。
练习：计算
（1）
（2）
（3）（03苏州）计算：16÷（—2）3—（）-1+（-1）0
2、例3、用小数表示下列各数：
（1）10-4； （2）2.1×10-5.
解 （1）10-4＝＝0.0001.
（2）2.1×10-5＝2.1×＝2.1×0.00001＝0.000021.
3、练习：用小数表示下列各数：
（1）-10-3×（-2） （2）（8×105）÷（-2×104）3
【本课小结】：
1、 同底数幂的除法公式am÷an=am-n (a≠0,m>n)当m=n时，am÷an = 当m < n 时，am÷an =
2、 任何数的零次幂都等于1吗？
3、 规定其中a、n有没有限制，如何限制。
【布置作业】：
课本第20页习题第2题。课题 ：21.1 .1同底数幂的除法
【教学目标】：
1、 使学生经历同底数幂的除法性质的探索过程。
2、 使学生掌握同底数幂的除法性质，会用同底数幂除法法则进行计算。
【重点难点】：
1、难点：同底数幂除法法则及应用
2、重点：同底数幂的除法法则的概括。
【教学过程】：
1、 引入
现要装配30台机器，在装配好6台后，采用了新的技术，每天的工作效率提高了一倍，结果共用了3天完成任务。如果设原来每天能装配x台机器，那么不难列出方程：
这个方程左边的式子已不再是整式，这就涉及到分式与分式方程的问题.
2、 探索同底数幂除法法则
1、 们知道同底数幂的乘法法则：，那么同底数幂怎么相除呢？
2、试一试
用你熟悉的方法计算：
（1）___________；（2）___________；（3）___________（a≠0）
3、概 括
由上面的计算，我们发现:
23= ; 104= ; .
在学生讨论、计算的基础上，教师可提问，你能发现什么？
由学生回答，教师板书，发现
23=25-2
104=107-3;
a4=a7-3.
你能根据除法的意义来说明这些运算结果是怎么得到的吗？
分组讨论：各组选出一个代表来回答问题，师生达成共知识，除法与乘法是逆运算，所以除法的问题实际上“已知乘积和一个乘数，去求另一个乘数”的问题，于是上面的问题可以转化为乘法问题加以解决。即
（ ）×= （ ）×= （ ）×=
一般地，设m、n为正整数，m>n，a≠0，有
.
这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减。
4、利用除法的意义来说明这个法则的道理。（让学生仿照问题3的解决过程，讲清道理，并请几位同学业回答问题，教师加以评析）
因为除法是乘法的逆运算，am÷an=am-n实际上是要求一个式子（ ），使 an·（ ）= am
而由同底数幂的乘法法则，可知 an·am-n＝an+(m-n) =am,
所以要求的式（ ），即商为am-n，从而有.
3、 例题讲解与练习巩固
例1 计算：
（1） a8÷a3; （2）(-a)10÷(-a) 3; （3）(2a)7÷(2a)4; （4）x6÷x
例2 计算：（1） (2)(-x)6 ÷x2 (3)（a+b）4÷(a+b)2
例3 计算： (-a2)4÷(a3)2×a4
例4 计算：（1）273×92÷312 （2）
说明 底数不同的情况下不能运用同底数幂的除法法则计算.
练习1：计算: x8÷x4 = ， b5÷b5 = 6y3÷y3 = (-x)4÷(-x) =
(ab)6÷(ab)2= ， yn+2÷yn = ， (m3)4 ÷(m2)3 = ，
252÷52 = ， y9 ÷(y7 ÷y3) =
练习2：选择题
1. 下面运算正确的是( )
A． B． C． D．
2．在下列计算中，① ② ③
④正确的有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
例4：讨论探索：（1）已知xm=64.xn=8，求xm-n （2）已知 ， ，求
【本课小结】：
运用同底数幂的除法性质时应注意以下问题：
（1）运用法则的关键是看底数是否相同，而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数；
（2）因为零不能作除数，所以底数a≠0，这是此性质成立的前提条件；
（3）注意指数“1”的情况，如 ，不能把 的指数当做0；
（4）多个同底数幂相除时，应按顺序计算.
【布置作业】：课本第4页习题第1题课题 ：25.3.2 概率的含义（2）
【教学目标】：
1、使学生掌握用树状图的方法分析一类事件、计算概率的方法；
2、经历用实验的方法验证树状分析、计算概念的可行性。体会研究、探讨问题的方法。
【重点难点】：
1、重点：用树状图的方法分析并计算概率；
2、难点：引导学生试验并收集试验数据，分析试验结果。
【教学过程】：
一、复习
1、什么是概率？
（表示一个事件发生的可能性大小的数）
2、你是如何计算一类事件发生的概率。
（要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；要清楚所有机会均等的结果；这两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率。）
3、一副象棋，正面朝下，任意取其中一只，取到“马”的概率是多少？
[Ｐ（取到“马”）=]
二、提出问题
问题：“石头、剪刀、布”是个广为流传的游戏，游戏时甲乙双方每次做“石头”、
“剪刀”、“布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负须继续比赛．假定甲乙两人每次都是等可能地做这三种手势，那么一次比赛时两人做同种手势（即不分胜负）的概率是多少？请先用树状图的方法解决，再用重复实验的方法，计算平均多少次中有一次会出现不分胜负的情况，比较以上两个结果，看能否互相验证。
三、问题解决
1、作出树状图
甲 乙 结果
石头 （石头，石头）
石头 剪刀 （石头，剪刀）
布 （石头，布）
石头 （剪刀，石头）
剪刀 剪刀 （剪刀，剪刀）
布 （剪刀，布）
石头 （布，石头）
布 剪刀 （布，剪刀）
布 （布，布）
所有机会均等的结果有9个，其中的3个——（石头，石头）、（剪刀，剪刀）、（布，布）是我们关注
的结果，所以P（同种手势）＝＝
2、实验
（1）填空：重复实验的办法模拟游戏，那么需要的实验材料是＿＿＿＿，也可以用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿或者用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿作实验．实验的步骤是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
请同学们发挥各自的聪明才智，谈谈各自的想法，如：用摸球的形式（球上标有石头、剪刀、布）。
（2）实验：两位同学之间进行“石头”、“剪刀”、“布”的游戏，并将实验数据记录下表中。（表格可由同学们自行设计）
游 戏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 18 19
有胜负√无胜负× 在
由实验中统计出数据，完成填空：平均______次中有_______次双方不分胜负，经过十八次实验，估计这个概率是________. 这个估计值与用树状图分析得到的概率值_________。
3、对比。
实验得出的概率估计值与用树状图分析得到的概率值对比一下，你发现了什么？得到了什么？
（发现实验得出的估计值与分析得出的概率值非常接近，得到用树状图分析并计算简单事件发生的概率的可行性。）
四、例题
从壹角、伍角、壹圆3枚硬币中任取2枚，其面值和大于壹圆，这个事件发生的概率是多少？请画出树状图。
解：
所有机会均等的结果有6个，其中4个是我们关注的结果，所以Ｐ（面值和大于壹圆）=。
五、巩固练习
1、在口袋装有两个不同编号的白球，两个不同编号的黑球（这四球的形状、大小、质量都相同），从中任取两球，恰好颜色相同。这个事件发生的概率是多少，请你画出树状图。
2、接连三次抛掷一枚硬币，正反面轮番出现，事件发生的概率是多少？请用树状图求出其概率。
六、小结
本节你们有何收获、体会与疑惑。进一步明确本节学习了并验证了用树状图分析并计算简单事件的概率。
五、作业
Ｐ128 习题25.3 3课题：21.1.2 单项式除以单项式
【教学目标】：
1、 使学生掌握单项式除以单项式的方法，并且能运用方法熟练地进行计算。
2、 探索多项式除以单项式的方法，培养学生的创新精神。
3、 培养学生应用数学的意识。
【重点难点】：
重点：单项式除以单项式，多项式除以单项式方法的总结以及运用方法进行计算是重点。
难点：运用方法进行计算以及多项式除以单项式方法的探求是难点。
【教学过程】：
1、 复习提问
1、 叙述并写出幂的运算性质及怎样用公式表示？
2、 叙述单项式乘以单项式的法则
3、 叙述单项式乘以多项式的法则。
4、练习
x6÷x2= ， （—b）3÷b = 4y2÷y2 = (－a)5÷(－a) 3=
yn+3÷yn = ， (－xy)5÷(-xy)2 = ，（a+b）4÷（a+b）2= ,
y9 ÷(y4 ÷y) = ；
二、创设问题情境
问 题
地球的质量约为5.98×1024千克，木星的质量约为1.9×1027千克.问木星的质量约是地球的多少倍？（结果保留三个有效数字）
分 析
本题只需做一个除法运算：（1.9×1027）÷（5.98×1024），我们可以先将1.9除以5.98，再将1027除以1024，最后将商相乘.
解 （1.9×1027）÷（5.98×1024）
＝（1.9÷5.98）×1027-24
≈0.318×103＝318.
答：木星的重量约是地球的318倍.
教师提问：对于一般的两个单项式相除，这种方法可运用吗？
概 括
两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除就可以了.
三、例1计算：
（1）6a3÷2a2； （2）24a2b3÷3ab； （3）-21a2b3c÷3ab.
分析：对于（1）、（2），可以按两个单项式相除的方法进行；对于（3），字母c只在被除数中出现，结果仍保留在商中。
解（1） 6a3÷2a2＝（6÷2）（a3÷a2）=3a.
（2） 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2-1b3-1=8ab2.
（3）-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)a2-1b3-1c= -7ab2c.
说明：解题的依据是单项式除法法则，计算时，要弄清两个单项式的系数各是什么，哪些是同底数幂，哪些是只在被除式里出现的字母，此外，还要特别注意系数的符号.
由学生归纳小结如：
一般地，单项式相除，把分数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除数里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
练习1：计算：
（1） （2）
练习2：计算：课本第4页练习1、2
例2：计算： （1）
解：（1）原式
练习：计算（1）
（2）
四、探索多项式除以单项式的一般规律
讨 论
有了单项式除以单项式的经验，你会做多项式除以单项式吗？
（1）计算（ma+mb+mc）÷m；
（2）从上面的计算中，你能发现什么规律？与同伴交流一下；
概括：多项式除以单项式运算的实质是把多项式除以单项式的运算转化为单项式的除法运算法则： 先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所有的商相加．
例3 (1)计算 (12x3－5ax2－2a2x)÷3x
(2)讨论探索： 已知一多项式与单项式－7x5y4 的积为21x5y7－28x6y5，求这个多项式。
说明：
（1） 多项式除以单项式所得商的项数与这个多项式的项数相同，即被除式有n项，商仍有n项，不要漏项；
（2） 要熟练地进行多项式除以单项式的运算，必须掌握它的基础运算，幂的运算性质是整式乘除法的基础，只有抓住关键的一步，才能准确地进行多项式除以单项式的运算
（3） 符号仍是运算中的重要问题，用多项式的每一项除以单项式时，要注意每一项的符号和单项式的符号。
（4） 可以利用乘除是互逆运算校验计算是否正确，每一步运算都尽量要求学生说出依据。
【教学小结】：
1、 单项式除以单项式，有什么方法？
2、 多项式除以单项式有什么规律？
【布置作业】：课本第5页习题第2题。第24章 图形的全等
第1课 图形的全等
一、学习目标：
1、了解全等形，全等三角形的概念，全等的表示法，能够找出全等三角形的对应元素，
2、了解全等三角形的性质。
3、掌握全等变换的三种形式：翻转、旋转、平移。
4、掌握相似和全等的不同点和相同点及其关系。
二、重点与难点：
1、 会找对应边和对应角
2、 了解全等三角形的对应边相等、对应角相等的性质。
三、教学过程：
(一)知识回顾：
1、 对应边＿＿＿＿对应角＿＿＿＿的多边形是相似多边形。对应边＿＿＿＿对应角＿＿＿＿的三角形是相似三角形。当相似比k＝1的时，称这两个三角形为＿＿＿＿＿
2、 相似多边形的性质：对应边＿＿＿＿对应角＿＿＿＿
(二)新课讲解：
例1、观察图24.1.1中的平面图形，找出其中的相似图形．在相似的图形中，有些图形不仅形状相同，而且大小也一样，你能把这些图形找出来吗？
图24.1.1
答：形状相同、大小也一样的两个图形有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
例2、
观察图24.1.2中的两对多边形，其中的一个可以经过怎样的运动和另一个图形重合？（图形的翻折、旋转、平移是图形的三种基本的运动）
图24.1.2
答：第一对图形其中的一个经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿运动之后与第二个图形重合
第二对图形其中的一个经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿运动之后与第二个图形重合，
由此得到：
1、 能够完全重合的两个图形就是全等图形，也称为全等多边形．
2、 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．
3、 全等用符号“≌”表示全等，读作“全等于”
4、 全等变换的三种形式：＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。经过这样的运动，＿＿＿＿＿发生改变，＿＿＿＿却没有改变。
例3、
如图24.1.3中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE＿五边形A′B′C′D′E′
图24.1.3
例4、
如图24.1.4中的两个三角形是全等的，则可以记作：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
图24.1.4
依据上面的分析，我们知道全等多边形的特征：
全等多边形的对应边、对应角分别＿＿＿＿．全等多边形的面积＿＿＿＿＿。
全等多边形的识别方法：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的两个多边形全等．
全等三角形的特征：
全等三角形的对应边＿＿＿＿、对应角＿＿＿＿．全等三角形的面积＿＿＿＿＿。
全等三角形的识别方法：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的两个＿＿＿形全等．
相似和全等的不同点和相同点及其关系：
1、全等三角形的对应边、对应角＿＿＿＿＿；全等三角形的对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿；全等三角形的面积＿＿＿＿＿＿，全等三角形是相似比为＿＿的两个特殊相似三角形。
2、相似三角形的对应边＿＿＿＿，对应角＿＿＿＿，相似三角形的对应中线、对应高、对应角平分线＿＿＿＿＿＿；相似三角形的面积比等于＿＿＿＿＿＿＿。
(三)练习：
一、选择：
1、下列所给的图形中，是全等图形的是（ ）
A 对应边相等的五边形 B 对应角相等的三角形
C 同一底片印出的同样的尺寸的照片 D 两本书
2、如图△ABC和△DEF是两个全等的三角形，顶点A与F，B与D，C与E能互相重合，则下列书写正确的是（ ）
A △ABC≌△DEF B △ABC≌△FDE C △ABC≌△DFE D △ABC≌△FED
3、已知△ABC≌△BAD，A和B，C和D是对应顶点，若AB＝6，BD＝5，AD＝4，那么BC的长是（ ）
A 6 B 5 C 4 D 无法确定
C E D C0
A B D F A B
第2题 第3题
二、填空：
1、 当两个相似图形的相似比K＝＿＿＿时，这两个图形是全等的。
2、 全等多边形的对应边、对应角＿＿＿＿＿。
3、 如图：四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，另外一组对应角是＿＿＿＿＿＿，对应边是＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿、＿＿＿＿。
4、 如图：已知△ABC≌△AED，那么对应角有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，对应边有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
D D′
C C′ D E
A
A B A′ B′ B C
第3题 第4题
5、 如图，已知△ABC≌△EFC，那么BC＝＿＿＿，AC＝＿＿＿，AB＝＿＿＿，∠B＝＿＿＿，∠A＝＿＿＿。
6、 如图：AB和CD相交于点O，△AOC≌△BOD，AC∥BD，AC＝＿＿，AO＝＿＿，CO＝＿＿。
7、 如图：△AOB≌△COD，点O是AC的中点，OB＝OD，那么AB＝＿＿＿＿，∠A＝＿＿＿＿，∠B＝＿＿＿，∠AOB＝＿＿＿。
A A D D B
F O
B C E C B A O C
第5题 第6题 第7题
三、解答题：
1、 如图：△AOC≌△BOD，试说出对应边和对应角。
C B
A O D
2、 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，试写出图中的全等三角形。
A B
O
C D
3、在方格图中画出两个全等的四边形.
(四)小结。(略)
(五)布置作业:P80页习题1。
第2课 全等三角形的识别（一）（SSS）
一、学习目标：掌握边边边公理，能用边边边公理证明三角形全等。
二、重点与难点：能用边边边公理证明三角形全等。
三、教学过程：
(一)知识回顾：
1、 判别三角形相似的方法之一：
1、 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的_____________________，那么这两个三角形相似．
(二)温故知新：
1、如图，点O是平行四边形ABCD的对角线的交点，△AOB绕O旋转180 ，可以与△___________重合，这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________，OB与__________，BA与__________；对应角是∠AOB与________，∠OBA与_________,∠BAO与___________.
(第1题)
（第2题）
2、如图，△ABC是等腰三角形，AD是底边上的高，△ABD和△ACD全等吗？试根据等腰三角形的有关知识说明理由.
证明：△ABC是等腰三角形
＿＿＿＝＿＿＿＿，∠＿＿＝∠＿＿
又 AD是底边上的高
∠ADB＝∠＿＿＝＿＿°，∠BAD＝∠＿＿，BD＝＿＿＿（ ）
又AD＝＿＿＿
△ABD≌△ACD（ ）
(三)新课讲解：
我们知道： 若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等．那么我们能不能找到一些较为简便的方法，用来识别三角形的全等呢？有没有类似于相似三角形的识别方法呢？
做一做
给你三条线段a、b、c，以这三段线段为边画一个三角形.
c
b
a
步骤：
1. 画一线段AB使它的长度等于c.
2. 以点A为圆心，以线段b的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a的长为半径画圆弧；两弧交于点C.
3. 连结AC、BC.△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学的图形相比较，它们全等吗？
换三条线段，用同样的方法，再试试看，是否有同样的结论．
c
b
a
这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法：
如果两个三角形的＿＿＿＿＿＿＿分别＿＿＿＿＿，那么这两个三角形全等．简记为（S.S.S.）.
例1 如图24.2.2，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，试说明△ABC≌△CDA.
解 AD＝BC，＿＿＿＿＿，
＿＿＿＿＿(公共边)
△ABC≌△CDA.（ ）
思 考
若两个三角形的三个内角对应相等，那么这两个三角形是否全等？为什么？
答：
(四)练 习
1. 根据条件判定下面的三角形是否全等？
2. 如图，（1）若四边形ABCD是平行四边形，△ABC和△CDA是否全等？（2）若四边形ABCD是菱形，△ABC和△CDA是否全等？（3）若四边形ABCD是矩形，△ABC和△CDA是否全等？（4）若四边形ABCD是等腰梯形，△ABC和△CDA是否全等？
(五)综合练习： B
一、填空：
1、 如图：已知AB=AD,BC=CD,BD交AC于E， C E A
则图中全等三角形共有＿＿＿＿对。 D
A D
2、 如图：AB=CD,AD=BC,E、F是BD上两点, E F
BF=DE,AE=CF,则图中全等三角形共有＿＿＿＿对。
B C
3、 如图：已知AB=DC,还需补充条件 A D
＿＿＿＿＿＿＿，则△ABC≌△DCB
B C
4、 在△ABC 和△A′B′C′中，若AB＝A′B′，BC＝ B′C′，那么需要补充的条件是＿＿＿＿＿＿，则△ABC≌△A′B′C′。
5、如图：(1)AB＝CD，要证明△ABD≌△CDB, A E D
还需补充条件＿＿＿＿＿＿＿
(2)若点O是BD的中点,且OE=OF，要证明 O
△OED≌△OFB, 还需补充条件＿＿＿＿＿
B F C
2、 选择：
1、具备下列条件的两个三角形，能判定它们全等的是（ ）
A 三条边对应成比例 B 三条边对应相等
C 三个角对应城比例 D 三个角对应相等
2、 如图所示：MP=MQ,PN=QN,MN交PQ于点O, P
则下列结论中，不正确的是（ ）
A △MPN≌△MQN B OP=OQ M O N
C MQ=NQ D MPN=MQN
Q
3、 证明:
1、如图，AC＝BD，BC＝AD，说明△ABC和△BAD全等的理由．
证明： AC＝BD BC＝AD （ ） D C
＿＿＿＝＿＿＿（ ）
＿＿＿＿≌＿＿＿＿（ ）
A B
2、如图：△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连结点A与BC中点D的支架，求证：ADBC。
证明： AD是连结点A与BC中点D的支架（ ） A
＿＿＿＝＿＿＿（ ）
又 AB＝AC（ ）
＿＿＿＝＿＿＿＿（ ） B D C
＿＿＿＿≌＿＿＿＿（ ）
＿＿＿＝＿＿＿
又＿＿＿＋＿＿＿＝180°
＿＿＿＝＿＿＿＝90°
ADBC
3、 如图：AB=DC,AC=DF,C是BF的中点，求证：△ABC≌△DCF
证明： C是BF的中点（ ） A D
＿＿＿＿＝＿＿＿＿（
又 AB=DC AC=DF（ ）
△ABC≌△DCF（ ） B C F
4、如图：点A、C、B、D在同一条直线上，AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证：AM∥CN,BM∥DN
M N
A C B D
5、、如图：AB=DC,AE=DF,CE=FB,求证：△AEB≌△DFC
A D
C E F B
(六)小结。(略)
(七)布置作业:P82页练习1、2。
PAGE
3课题 ：22.1 一元二次方程
教学目标：
1、知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式（≠0）2、在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。3、会用试验的方法估计一元二次方程的解。
重点难点：
1．一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
2． 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。
教学过程：
一 做一做：
1．问题一 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
分 析：设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得 x2＋10x－900=0. （1）
2．问题2
学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.
解：设这两年的年平均增长率为x，我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x）倍，即5（1＋x）(1＋x)＝5(1＋x)2万册.可列得方程
5（1＋x）2=7.2,
整理可得 5x2＋10x－2.2=0. （2）
3．思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
（ 学生分组讨论，然后各组交流 ）共同特点：（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
二、 一元二次方程的概念
上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程）.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0(a、b、c是已知数，a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。.
三、 例题讲解与练习巩固
1．例1下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（1） （2） （3） （4）
2．例2 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
1） 2）（x-2）(x+3)=8 3）
说明： 一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：一是方程的右边为0；二是左边的二次项系数不能为0。此外要使学生意识到：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
3．例3 方程（2a—4）x2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
本题先由同学讨论，再由教师归纳。
解：当≠2时是一元二次方程；当＝2，≠0时是一元一次方程；
4．例4 已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+3x-5m+4=0有一根为2，求m。
分析：一根为2即x=2,只需把x=2代入原方程。
5．练习一 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项
2x(x-1)=3(x-5)-4
练习二 关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
本课小结：
1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为（≠0），一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。
3、在实际问题转化为数学模型（ 一元二次方程 ） 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
布置作业：课本第27页习题第2题。
课题 ：22.2.2一元二次方程的解法
教学目标：
1、会用直接开平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。
重点难点：
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程。
教学过程：
问：怎样解方程的？
让学生说出作业中的解法，教师板书。
解：1、直接开平方，得x+1=±16
所以原方程的解是x1＝15，x2＝－17
2、原方程可变形为
方程左边分解因式，得
（x+1+16）(x+1－16)=0
即可（x+17）(x－15)=0
所以x＋17=0，x－15=0
原方程的蟹 x1＝15，x2＝－17
二、例题讲解与练习巩固
1、例1 解下列方程
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分 析 两个方程都可以转化为（a≠0,ab≥0）
的形式，从而用直接开平方法求解.
解 （1）原方程可以变形为
（x＋1）2＝4，
直接开平方，得
x＋1＝±2.
所以原方程的解是 x1＝1，x2＝－3.
原方程可以变形为
________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.
2、说明：（1）这时，只要把看作一个整体，就可以转化为（≥0）型的方法去解决，这里体现了整体思想。
3、练习一 解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0； （2）(x－1)2－18＝0；
（3）(1－3x)2＝1； （4）(2x＋3)2－25＝0.
三、读一读
四、讨论、探索：解下列方程
（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 — x+2 =0
（4）(2x+1)2=(x-1)2 （5）。
本课小结：
1、对于形如（a≠0,a≥0）的方程，只要把看作一个整体，就可转化为（n≥0）的形式用直接开平方法解。
2、当方程出现相同因式（单项式或多项式）时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解。
布置作业：课本第37页习题1（1、3、4、6）。
课题 ：22.2.3一元二次方程的解法
教学目标：
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程．
2、使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。
3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。
重点难点：
使学生掌握配方法，解一元二次方程。
把一元二次方程转化为
教学过程：
一、复习提问
解下列方程，并说明解法的依据：
（1） （2） （3）
通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型：
根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
如
请说出完全平方公式。
。
二、引入新课
我们知道，形如的方程，可变形为，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．
三、探索：
1、例1、解下列方程：
＋2x＝5； （2）－4x＋3＝0.
思 考
能否经过适当变形，将它们转化为
= a 的形式，应用直接开方法求解？
解（1）原方程化为＋2x＋1＝6， （方程两边同时加上1）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为－4x＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
三、归 纳
上面，我们把方程－4x＋3＝0变形为＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。
那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？
四、试一试：对下列各式进行配方：
；
；
；
通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。
五、例题讲解与练习巩固
1、例2、 用配方法解下列方程：
（1）－6x－7＝0； （2）＋3x＋1＝0.
2、练习：
①.填空：
（1） （2）－8x＋（ ）＝（x- ）2
（3）＋x＋（ ）＝（x＋ ）2； （4）4－6x＋（ ）＝4（x－ ）2
② 用配方法解方程：
（1）＋8x－2＝0 （2）－5 x－6＝0.
（3）
六、试一试
用配方法解方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0).
先由学生讨论探索，教师再板书讲解。
解：移项，得 x2＋px＝－q，
配方，得 x2＋2·x·＋()2＝()2－q,
即 (x＋) 2＝.
因为 p2－4q≥0时，直接开平方，得
x＋＝±.
所以 x＝-±,
即 x＝.
思 考：这里为什么要规定p2－4q≥0？
七、讨 论
1、如何用配方法解下列方程？
4x2－12x－1＝0;
请你和同学讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
2、关键是把当二次项系数不为1的一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程。
先由学生讨论探索，再教师板书讲解。
解：（1）将方程两边同时除以4，得 x2－3x－＝0
移项，得 x2－3x＝
配方，得 x2－3x+（）2＝+（）2
即 (x—) 2＝
直接开平方，得 x—＝±
所以 x＝±
所以x1＝，x2=
3，练习：用配方法解方程：
（1） （2）3x2＋2x－3＝0.
（3） （原方程无实数解）
本课小结： 让学生反思本节课的解题过程，归纳小结出配方法解一元二次方程的步骤：1、把常数项移到方程右边，用二次项系数除方程的两边使新方程的二次项系数为1；2、在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
如果方程的右边整理后是非负数，用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。
布置作业：P38页习题2.（3）、（4）、（5）、（6）。
课题 ：22.2 .4一元二次方程的解法
教学目标：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系，渗透辩证唯物广义观点。
重点难点：
1、难点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程；
2、重点：对文字系数二次三项式进行配方；求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时,代入求根公式常出符号错误。
教学过程：
一、复习旧知，提出问题
1、用配方法解下列方程：
（1） (2)
2、用配方解一元二次方程的步骤是什么？
3、用直接开平方法和配方法解一元二次方程，计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法，迅速求得一元二次方程的实数根呢？
二、探索同底数幂除法法则
问题1：能否用配方法把一般形式的一元二次方程转化为呢？
教师引导学生回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：
因为，方程两边都除以，得
移项，得
配方，得
即
问题2：当，且时，大于等于零吗？
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当时，因为，所以，从而。
问题3：在研究问题1和问题2中，你能得出什么结论？
让学生讨论、交流，从中得出结论，当时，一般形式的一元二次方程的根为，即。
由以上研究的结果，得到了一元二次方程的求根公式： （）
这个公式说明方程的根是由方程的系数、、所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数、、的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
思考：当时，方程有实数根吗？
三、例题
例1、解下列方程：
1、； 2、；
3、； 4、
教学要点：（1）对于方程（2）和（4），首先要把方程化为一般形式；
（2）强调确定、、值时，不要把它们的符号弄错；
（3）先计算的值，再代入公式。
例2、（补充）解方程
解：这里，，，
因为负数不能开平方，所以原方程无实数根。
让学生反思以上解题过程，归纳得出：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程没有实数根。
四、课堂练习
1、Ｐ35练习。
2、阅读Ｐ39“阅读材料”。
小结:
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下。
作业:
Ｐ38习题4.（5）、（6）、（7）、（8）。
课题 ：22.2 .5一元二次方程的解法
教学目标：
1、使学生能根据量之间的关系，列出一元二次方程的应用题。
2、提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、培养学生数学应用的意识。
重点难点：
认真审题，分析题中数量关系，适当设未知数，寻找等量关系，布列方程是本节课的重点，也是难点。
教学过程：
一、复习旧知，提出问题
1、叙述列一元一次方程解应用题的步骤。
2、用多种方法解方程
让学生尝试用多种方法解方程，归结为：
解法1：将方程化为，直接开平方，得
解得，。
解法2：将方程化为一般形式，进而转化为，用配方法可求方程的解。
解法3：将方程化为一般形式，用公式法求解，其中。
提问：用哪种方法解方程更简便？
3、现在，你能解决§22.1的问题1了吗？
二、解决问题
请同学们先看看Ｐ26页问题1，要想解决§22.1的问题1，首先要解方程，同学伞能解这个方程吗？
让学生动手解题并口答结果：,
提问：
1、所求、都是所列方程的解吗？
2、所求、都符合题意吗？
让学生思考、分析，真正理解负数根不符合题意，应舍去符合题意的解是：
3.1和2说明了什么问题？
让学生交流讨论、体会到把实际问题转化为数学问题来解决，求得方程的解，不一定是原问题的解答，因此，要注意是检验解是否符合题意。
作为应用题，还应作答。
三、例题
例1．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长。
解：设截去正方形的边长x厘米，底面（图中虚线线部分）长等于 厘米，宽等于 厘米，底面= 。
请同学们自己列出方程并解这个方程，讨论它的解是否符合题意。
由学生回答解题过程，教师板书：
解 设截去正方形的边长为x厘米，根据题意，得
(60－2x) (40－2x) ＝800
解方程得
，，
经检验，不符合题意，应舍去，符合题意的解是
答：截去正方形的边长为10厘米。
四、课堂练习
Ｐ36 练习1、2
小结：
让学生反思、归纳、总结，应用一元二次方程解实际问题，要认真审题，要分析题意，找出数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决。求得方程的解之后，要注意检验是否任命题意，然后得到原问题的解答。
作业：Ｐ38 习题5、6。
课题 ：22.2 .6一元二次方程的解法(六)
教学目标：
1、使学生会列出一元二次方程解有关变化率的问题。
2、培养学生分析问题、解决问题的能力，提高数学应用的意识。
重点难点：
本节课的重点和难点都是列出一元二次方程，解决有关变化率的实际问题。
教学过程：
一、创设问题情境
百分数的概念在生活中常常见到，而量的变化率更是经济活动中经常接触，下面，我们就来研究这样的问题。
问题：某商品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率一样。求每次降价的百分率。（精确到0.1%）
二、探索解决问题
分析：“两次降价的百分率一样”，指的是第一次和第二次降价的百分数是一个相同的值，即两次按同样的百分数减少，而减少的绝对数是不相同的，设每次降价的百分率为，若原价为，则第一次降价后的零售价为，又以这个价格为基础，再算第二次降价后的零售价。
思考：原价和现在的价格没有具体数字，如何列方程？请同学们联系已有的知识讨论、交流。
解 设原价为1个单位，每次降价的百分率为x.根据题意，得
(1－x) 2＝
解这个方程，得
x＝
由于降价的百分率不可能大于1，所以x＝不符合题意，因此符合本题要求的x为≈29.3%.
答：每次降价的百分率为29.3%.
三、拓展引申
某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%）
解，设原价为元，每次升价的百分率为，根据题意，得
解这个方程，得
由于升价的百分率不可能是负数，所以不符合题意，因此符合题意要求的为
答：每次升价的百分率为9.5%。
四、巩固练习
Ｐ37 练习1、2
小结：
关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为，设平均变化率为，经第一次变化后数据为；经第二次变化后数据为。在依题意列出方程并解得值后，还要依据的条件，做符合题意的解答。
作业：略。
课题 ：22.3 .1实践与探索(一)
教学目标：
1、学生在已有的一元二次方程的学习基础上，能够对生活中的实际工资问题进行数学建模解决问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型。
2、让学生积极主动参与课堂自主探究和合作交流，并在其中体验发现问题、提出问题及解决问题的全过程，培养学生的数学应用能力。
3、学生感受数学的严谨性，形成实事求是的态度及进行质疑和激发思考的习惯；获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心。
重点难点：
1、重点：利用一元二次方程对实际问题进行数学建模，从而解决实际问题。
2、难点：学生分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案。
教学过程：
一、巩固旧知识
1、解方程，并叙述解一元二次方程的解法。
2、说说你对实践问题的解决时，有何经验，有何体会？
二、创设问题情境
小明把一张边长为的正方形硬纸板的四周剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方形盒子。
（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？
（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
三、尝试解决问题
1、长方形的底面、正方形的边长与正方形硬纸板中的什么量有关系？
（长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长有关系）
2、长方形的底面正方形的边长与正方形硬纸板的边长存在什么关系？
（长方形的底面正方形的边长等于正方形硬纸板的边长减去剪去的小正方形边长的2倍）
3、你能否用数量关系表示出这种关系呢？并求出剪去的小正方形的边长。
解：设剪去的正方形边长为，依题意得：
，
因为正方形硬纸板的边长为，
所以剪去的正方形边长为。
4、请问长方体的高与正方形硬纸板中的什么量有关系？求出此时长方体的体积。
（长方体的高与正方形硬纸板式剪去的小正方形的边长一样；体积为）
5、完成表格，与你的同伴一起交流，并讨论剪去的正方形边长发生什么样的变化？折合成的长方体的体积又会发生什么样的变化？
6、在你观察到的变化中、你感到折合而成的长方体的体积会不会有最大的情况？以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体体积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点，看看与你的感觉是否一致。
四、试一试
如图，的边，高，长方形DEFG的一边EF落在BC上，顶点D、G分别落在AB和AC上，如果这长方形面积，试求这长方形的边长。
五、拓展练习
什么情况下，长方形的面积最大。
小结：
1、谈谈本节的收获。
2、谈谈本节的体会。
3、谈谈本节的疑惑。
作业：
Ｐ42 习题1
课题 ：22.3 .2实践与探索(二)
教学目标：
1、使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型。
2、让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中等量关系来建立一元二次方程。
3、通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神。
重点难点：
1、重点：列一元二次方程解决实际问题。
2、难点：寻找实际问题中的相等关系。
教学过程：
一、考考你
1、有一个两位数，它的十位上的数学字比个位上的数字大3，这两个数位上的数字之积等于这两位数的，求这个两位数。（这个两位数是63）
2、如图，一个院子长，宽，要在它的里沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的，试求这花圃的宽度。（花圃的宽度为）
二、创设问题情境
阳江市市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？
三、尝试探索，合作交流，解决问题
1、翻一番，你是如何理解的？
（翻一番，即为原净收入的2倍，若设原值为1，那么两年后的值就是2）
2、“平均年增长率”你是如何理解的。
（“平均年增长率”指的是每一年净收入增长的百分数是一个相同的值。即每年按同样的百分数增加，而增长的绝对数是不相同的）
3、独立思考后，小组交流，讨论。
4、展示成果，相互补充。
解：设平均年增长率应为，依题意，得
，
，
因为增长率不能为负数
所以增长率应为。
四、拓展应用
若调整计划，两年后的财政净收入值为原值的1.5倍、1.2倍、…，那么两年中的平均年增长率相应地调整为多少？
又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收入翻一番？
独立思考完成后，与同伴交流，教师分析示范与学生交流。
五、做一做
1、某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
2、某种药品，原来每盒售价96元，由于两次降价；现在每盒售价54元。平均每次降价百分之几？
小结：
谈谈你对本节所探讨的知识有何体会，你能否结合你的体会编制一道应用题，在小组内交流。请一些小组展示成果。
作业：
Ｐ42 习题2
课题 ：22.3 .1实践与探索(三)
教学目标：
1、引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。
2、通过观察、实践、讨论等活动，经历从发现问题，发现关系的过程。
3、在积极参与数学活动的过程中，初步体验发现问题，总结规律的态度以及养成质疑和独立思考的习惯。
重点难点：
1、重点：启发学生，观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系，猜想一般性质、指导学生用求根公式加以确证。
2、难点：对根与系数这一性质进行应用。
教学过程：
一、提出问题
解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，你发现表格中两个解的和与积和原来的方程有什么联系？
（1）x2－2x＝0；
（2）x2＋3x－4＝0；
（3）x2－5x＋6＝0
二、尝试探索，发现规律
1、完成如上表格。
2、猜想一元二次方程的两个解的和与积和原来的方程有什么联系？小组交流。
同学各抒已见后，老师总结：两个根的和等于一元二次方程的一次项系数的相反数，两个根的积等于一元二次方程的常数项。
3、一般地，对于关于方程为已知常数，，试用求根公式求出它的两个解x1、x2，算一算x1＋x2、x1 x2的值，你能得出什么结果？与上面发现的现象是否一致。
解：
所以与上面猜想的结论一致。
三、知识应用
1、范例：
（1）不解方程，求方程两根的和两根的积：
①②
解：①
②
（2）已知方程的一个根是2，求它的另一个根及的值。
（3）不解方程，求一元二次方程两个根的①平方和；②倒数和。
（4）求一元二次方程，使它的两个根是。
解：所求方程是
即 或
2、巩固练习
（1）下列方程两根的和与两根的积各是多少？
①；②；③；④；
（2）已知方程的一个根是1，求它的另一个根及的值。
（3）设是方程的两个根，不解方程，求下列各式的值。
①；②
（4）求一个一元次方程，使它的两个根分别为：
①；②
（5）已知两个数的和等于，积等于，求这两个数
小结：
本节通过探索得出一元二次方程的解与系数存在的关系。并能灵活地用其解决方法解决一些问题。
作业：
Ｐ42 习题6
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