华东师大版九年级下册全部教案

第二十六章 二次函数
[本章知识要点]
1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．
2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念．
3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．
4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．
5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．
6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题．
26．1 二次函数
[本课学习要点]
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
[ 新课导入 ]
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？
（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．
[实践与探索]
例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：．
解 若函数是二次函数，则
．
解得 ，且．
因此，当，且时，函数是二次函数．
回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解 （1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数；
（2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数；
（3）由题意，得 （x≥0且是正整数），
其中y是x的一次函数；
（4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数．
例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．
解 （1）；
（2）当x=3cm时，（cm2）．
[当堂课内练习]
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1） （2）
（3） （4）
2．当k为何值时，函数为二次函数？
3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
[本课课外作业]
1． 已知函数是二次函数，求m的值．
2． 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．
3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．
4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．
26．2 二次函数的图象与性质（1）
[本课学习要点]
会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
[ 新课导入 ]
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、
，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
解 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 18 8 2 0 2 8 18 …
… -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 …
分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
例2．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴．
解 （1）由题意，得， 解得k=2．
（2）二次函数为，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得．
列表：
C 2 4 6 8 …
1 4 …
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
[当堂课内练习]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） （2） （3）
2．（1）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；
（2）函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．
3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．
[本课课外作业]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
（1） （2）
2．填空：
（1）抛物线，当x= 时，y有最 值，是 ．
（2）当m= 时，抛物线开口向下．
（3）已知函数是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x的增大而增大．
3．已知抛物线中，当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4．已知抛物线经过点（1，3），求当y=9时，x的值．
26．2 二次函数的图象与性质（2）
[本课学习要点]
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[ 新课导入 ]
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？ ．
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解 列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 18 8 2 0 2 8 18 …
… 20 10 4 2 4 10 20 …
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数与的图象之间的关系吗？
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
解 列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… -8 -3 0 1 0 -3 -8 …
… -10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．
可以看出，抛物线是由抛物线向下平移两个单位得到的．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2），
因此所求函数关系式可看作， 又抛物线经过点（1，1），
所以，， 解得．
故所求函数关系式为．
回顾与反思 （a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
开口方向 对称轴 顶点坐标
[当堂课内练习]
1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
， ， ．
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？
2．抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
[本课课外作业]
1．已知函数， ， ．
（1）分别画出它们的图象；
（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（3）试说出函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
2． 不画图象，说出函数的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数通过怎样的平移得到的．
3．若二次函数的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？
26．2 二次函数的图象与性质（3）
[本课学习要点]
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[ 新课导入 ]
我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
… 0 2 8 …
… 8 2 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
回顾与反思 对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
例2．不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗
解 抛物线的顶点坐标为（0，0）；抛物线的顶点坐标为（-2，0）．
因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线．抛物线是由向左平移2个单位而得的．
回顾与反思 （a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：
开口方向 对称轴 顶点坐标
[当堂课内练习]
1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
[本课课外作业]
1．已知函数，， ．
（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）分别讨论各个函数的性质．
2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线和？
3．函数，当x 时，函数值y随x的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
4．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
26．2 二次函数的图象与性质（4）
[本课学习要点]
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
[ 新课导入 ]
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
[实践与探索]
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 0 2 …
… 8 2 0 2 …
… 6 0 -2 0 …
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．
+k 开口方向 对称轴 顶点坐标
例2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．
分析 抛物线的顶点为（0，0），只要求出抛物线的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．
解 ．
向上平移2个单位，得到，
再向左平移4个单位，得到，
其顶点坐标是，而抛物线的顶点为（0，0），则
解得
探索 把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．
[当堂课内练习]
1．将抛物线如何平移可得到抛物线 （ ）
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ．
3．抛物线可由抛物线向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．
[本课课外作业]
1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．
3．将抛物线如何平移，可得到抛物线？
26．2 二次函数的图象与性质（5）
[本课学习要点]
1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
[ 新课导入 ]
我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？
[实践与探索]
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -10 0 6 8 6 0 -10 …
描点、连线，如图26．2．7所示．
回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．
（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
解 ，
则抛物线的顶点坐标是．
当顶点在x轴上时，有 ，
解得 ．
当顶点在y轴上时，有 ，
解得 或．
所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是 –2，4，8．
[当堂课内练习]
1．（1）二次函数的对称轴是 ．
（2）二次函数的图象的顶点是 ，当x 时，y随x的增大而减小．
（3）抛物线的顶点横坐标是-2，则= ．
2．抛物线的顶点是，则、c的值是多少？
[本课课外作业]
1．已知抛物线，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象．
2．利用配方法，把下列函数写成+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
（1） （2）
（3） （4）
3．已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大．
（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．
26．2 二次函数的图象与性质（6）
[本课学习要点]
1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
[ 新课导入 ]
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如
问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗
[实践与探索]
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．
解 （1）二次函数中的二次项系数2＞0，
因此抛物线有最低点，即函数有最小值．
因为=，
所以当时，函数有最小值是．
（2）二次函数中的二次项系数-1＜0，
因此抛物线有最高点，即函数有最大值．
因为=，
所以当时，函数有最大值是．
回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元） 130 150 165
y（件） 70 50 35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
解 由表可知x+y=200，
因此，所求的一次函数的关系式为．
设每日销售利润为s元，则有
．
因为，所以．
所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．
回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．
例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此
．
（2）由∥，得，即，
所以，，x的取值范围是．
（3），
所以，当x=2时，S有最大值8．
[当堂课内练习]
1．对于二次函数，当x= 时，y有最小值．
2．已知二次函数有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ）
A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定
3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
[本课课外作业]
1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）； （2）．
2．已知二次函数的最小值为1，求m的值．，
3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：．y值越大，表示接受能力越强．
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是多少？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
[本课学习要点]
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．
[ 新课导入 ]
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？
[实践与探索]
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．
解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得
所以 ．
因此，函数关系式是．
例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
解 （1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到
解这个方程组，得
a=2，b= -1．
所以，所求二次函数的关系式是．
（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为，
又由于抛物线与y轴交于点（0，1），可以得到
解得 ．
所以，所求二次函数的关系式是．
（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），
所以设二此函数的关系式为．
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到
．
解得 ．
所以，所求二次函数的关系式是．
（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．
回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点、时可利用此式来求．
[当堂课内练习]
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，10），求此二次函数的关系式．
[本课课外作业]
1．已知二次函数的图象经过点A（-1，12）、B（2，-3），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
2．已知二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点P（2，m）、Q（n，-8），如果抛物线的对称轴是x= -1，求该二次函数的关系式．
3．某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2．8m，装货宽度为2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．
4．已知二次函数，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
26 . 3 实践与探索（1）
[本课学习要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
[ 新课导入 ]
生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
[实践与探索]
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
解 （1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系．设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交点为C（如图26．3．3）．
由题意得，A（0，1．25），B（1，2．25），
因此，设抛物线为．
将A（0，1．25）代入上式，得，
解得
所以，抛物线的函数关系式为．
当y=0时，解得 x=-0．5（不合题意，舍去），x=2．5，
所以C（2．5，0），即水池的半径至少要2．5m．
（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为．
由抛物线过点（0，1．25）和（3．5，0），可求得h= -1．6，k=3．7．
所以，水流最大高度应达3．7m．
[当堂课内练习]
1．在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1．9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5．5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？
2．在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
[本课课外作业]
1．在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2．44米，问能否射中球门？
2．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程．
下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；
（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？
3．如图，一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2．5m时，达到最大高度3．5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3．05m．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；
（2）该运动员身高1．8m，在这次跳投中，球在头顶上方
0．25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？
26 . 3 实践与探索（2）
[本课学习要点]
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．
[ 新课导入 ]
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
[实践与探索]
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；
（2）将（1）中所求出的二次函数配方成的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
解 （1）根据题意，得
(30≤x≤70)。
（2）。
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元） 0 1 2 …
y 1 1．5 1．8 …
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为。
由表中数据，得 。
解得。
所以所求二次函数关系式为。
（2）根据题意，得。
（3）。
由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
[当堂课内练习]
1．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为了获得最大利润，则应降价 （ ）
A、5元 B、10元 C、15元 D、20元
2．某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是是多少万元？
[本课课外作业]
1.某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t（件），
与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：t=-3x+204。
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
2．某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
26 . 3 实践与探索（3）
[本课学习要点]
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
[ 新课导入 ]
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为
观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
[实践与探索]
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
回顾与反思 （1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
请同学们完成填空．
回顾与反思 二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数根的问题，这可从计算根的判别式入手．
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析 （1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．
解 （1）⊿=，由，得，所以⊿＞0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点．
（2）由，得；由，得；又由（1），⊿＞0，因此，当时，两个交点都在原点的左侧．
（3）由，得m=2，因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y轴．
探索 第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何要求呢？请你根据它入手解本题．
[当堂课内练习]
1．已知二次函数的图象如图，
则方程的解是 ，
不等式的解集是 ，
不等式的解集是 ．
2．抛物线与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标为 ．
3．已知方程的两根是，-1，则二次函数与x轴的两个交点间的距离为 ．
4．函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标．
[本课课外作业]
1．已知二次函数，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题．
（1）方程的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0？
2．如果二次函数的顶点在x轴上，求c的值．
3．不论自变量x取什么数，二次函数的函数值总是正值，求m的取值范围．
4．已知二次函数，
求：（1）此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图；
（2）以此函数图象与x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积；
（3）x为何值时，y＞0．
5．你能否画出适当的函数图象，求方程的解？
26 . 3 实践与探索（4）
[本课学习要点]
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
[ 新课导入 ]
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
[实践与探索]
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；
（2）．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．
（2）先把方程化为
，然后在同一直角
坐标系中画出函数和
的图象，如图26．3．6，
得到它们的交点（，）、（2，4），
则方程的解为 ，2．
回顾与反思 一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)； （2）．
分析 （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．
解 （1）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．7，
得到它们的交点（，）、（1，1），
则方程组的解为．
（2）在同一直角坐标系中画出函数和的图象，如图26．3．8，
得到它们的交点（-2，0）、（3，15），则方程组的解为．
探索 （2）中的抛物线画出来比较麻烦，你能想出更好的解决此题的方法吗？比如利用抛物线的图象，请尝试一下．
[当堂课内练习]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1）（精确到0．1） ；
（2）．
2．利用函数的图象，求方程组的解：
[本课课外作业]
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） （2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）； （2）．
第二十六章小结与复习
一、本章学习回顾
1． 知识结构
2．学习要点
（1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。
3．需要注意的问题
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
二、本章复习题
一、填空题
1．已知函数，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．
3．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．
4．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线上的是 ．
5．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是 ．
6．把函数的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为 ．
7．已知二次函数的最小值为1，那么m的值等于 ．
8．二次函数的图象在x轴上截得的两交点之间的距离为 ．
9．抛物线的对称轴是 ，根据图象可知，当x 时，y随x的增大而减小．
10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为 ．
11．若二次函数的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．
12．抛物线的开口方向向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ，当x= 时，y有最 值是 ．
13．抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，，若，那么c值为 ，抛物线的对称轴为 ．
14．已知函数．当m 时，函数的图象是直线；当m
时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．
15．一条抛物线开口向下，并且与x轴的交点一个在点A（1，0）的左边，一个在点A（1，0）的右边，而与y轴的交点在x轴下方，写出这条抛物线的函数关系式 ．
二、选择题
16．下列函数中，是二次函数的有 （ ）
① ② ③ ④
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
17．若二次函数的图象经过原点，则m的值必为 （ ）
A、-1或3 B、-1 C、3 D、无法确定
18．二次函数的图象与x轴 （ ）
A、没有交点 B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
19．二次函数有 （ ）
A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2
20．在同一坐标系中，作函数，，的图象，它们的共同特点是
（D ）
A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
21．已知二次函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）
A、 B、且
C、 D、且
22．二次函数的图象可由的图象 （ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）
A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
24．若抛物线的所有点都在x轴下方，则必有 （ ）
A、 B、
C、 D、
25．抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）
A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）
三、解答题
A组
26．已知二次函数．
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）作出函数图象的草图；
（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？
27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．
28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．
29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积．
30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：
（1）； （2）．
31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
B组
一、选择题
32．若所求的二次函数的图象与抛物线有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）
A、 B、
C、 D、
33．二次函数，当x=1时，函数y有最大值，设，（是这个函数图象上的两点，且，则 （ ）
A、 B、
C、 D、
34．若关于x的不等式组无解，则二次函数的图象与x轴 （ ）
A、没有交点 B、相交于两点
C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点
二、解答题
35．若抛物线的顶点在x轴的下方，求m的值．
36．把抛物线的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，求m、n．
37．如图，已知抛物线，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，
（1）求m的值；
（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．
38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．
第二十六章自我检测题
（时间45分钟，满分100分）
一、精心选一选（每题5分，共25分）
1．抛物线的顶点坐标是 （ ）
A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）
2．若（2，5）、（4，5）是抛物线上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数的图象经过的象限是 （ ）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
4．抛物线与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线相同，则的函数关系式为 （ ）
A、 B、
C、 D、
5．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线，则 （ ）
A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若是二次函数，则m= 。
7．二次函数的开口 ，对称轴是 。
8．抛物线的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大。
9．已知二次函数的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个。
10．若y与成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为 。
11．抛物线与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 。
13．抛物线与直线只有一个公共点，则b= 。
14．已知抛物线与x轴交点的横坐标为 –1，则= 。
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）
、 。
三、认真答一答（第17题8分，其余各11分）
16．已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。
17．根据下列条件，求二次函数的关系式：
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；
（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。
18．已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。
实际问题
二次函数的图象
二次函数
二次函数的性质
二次函数的应用
PAGE《三角形中位线》教案
课题：§4.13 三角形的中位线
一、教学理念：
　　为学生营造一个宽松和谐的环境，使他们经历猜想、推理、发现和总结等求知过程，养成用数学思想去解决实际问题的习惯，感受数学的价值和探索学习的乐趣。
　　二、教学目标：
　　1、认知目标：认识三角形中位线，掌握三角形中位线定理。
　　2、能力目标：培养学生的发散、创新思维能力和相互协作意识。
　　3、情感目标：创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；在交流中认识自我，发现自身价值，增强自信心、成就感和愉悦感。
　　三、教学重点、难点：
　　重点：三角形中位线定理证明和运用。
　　难点：灵活地添加辅助线，构建中位线模型来解决问题。
　　四、教材与教法分析：
　　（1） 教材地位：
　　本节教材在华东师大版第28章《证明》中出现，是继三角形的相似、全等和平行四边形内容之后，作为其内容的综合应用和深化。三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理，对进一步学习很有用，它是我们证明两直线平行或线段倍分关系又一有效途径，今后会经常用到此定理。
　　（2）学情状况：我所教的班是海口市景山学校九年级中素质较好的班，学生的水平相对较好。他们对数学学习的兴趣浓厚，课堂气氛活跃。敢于设想，善于探究，能大胆地发表自己独特的见解，以创新求异为乐。这些表现，也是新课改带来的巨大变化。
　　（3）教法分析：
　　（A）启发探究式教学。坚持还课堂给学生，让学生去亲身体验知识的形成过程，鼓励、启发学生进行创造性思维，引导学生学习大胆猜想，多方求证。根据学生的实际，无论是对三角形中位线的理解还是教材中的证明方法的探索，都不是难点，不用耗费大量精力。更多的精力应该放在该定理的其它证法探究和定理的应用上，使学生在求知的过程中不断获得快乐感和成就感。
　　（1）猜想验证法：给学生一个实际问题，制造悬念，激发求知欲望。通过直观感知三角形中位线与第三边的位置关系和大小关系，进行合理猜想，积极求证。从知识的获取过程中受到启迪，获得快感。
　　（2）小组讨论法：在教师指导下，各小组围绕问题发表自己的见解，寻找不同的解题办法和最佳解题途径，相互学习，共同提高，和谐发展。
教学方式：启发、引导、探究
教学过程：
一、诱发
画一画，观察与思考：
1.画△ABC边AC上的中线BE，取边AB上的中点D,连结DE，线段DE是中线吗？
2.尝试定义
以上线段DE叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并比较三角形的中位线和中线的区别。
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点。
3. 实践与猜想
请度量DE和BC的长度。猜想：DE和BC的关系（位置关系和数量关系）。
让学生通过实践体会和感知出：DE∥BC，DE= BC。
问题：你凭什么猜出：DE∥BC？（看出来的）
二、释疑：
1.试证明你的猜想
引导学生写出已知、求证，并启发分析。
（已知：△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC；DE= BC）
启发1：证明直线平行的方法有那些？
启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。
启发2：证明线段的倍分的方法有那些？（截长或补短）
学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程。强调还有其他证法。
证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF。易证△ADE≌△CFE（或证四边形ADCF为平行四边） 得AD∥ FC，又∵AD=DB，∴DB∥FC，
∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC。
∵ DE= DF，∴ DE ∥ BC
2.启发学生归纳定理，并用文字语言表述：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
【点评】上述教学过程通过学生亲自动手画、量，猜想发现了三角形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到了证明中位线定理的方法。并由学生自己完成了证明过程，充分发挥了学生主动学习，合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质。
三、转化应用：
1.练一练：
已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？由本题的图形你能否联想到一般性的结论？（如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DGE的周长是多少？）
2.例题
求证：顺次连结任意四边形中点所得的四边形是平行四边形。（学生边画图边观察，划线部分请学生猜想）
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
你能证明它是平行四边形吗？当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢？四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢？使学生能够连结对角线。
学生议论后口述证明，教师板书证题过程（估计学生可能添两条对角线或一条对角线来证明）。
证明：连结BD。
∵ E、F分别为AB、DA的中点，
∴ EF∥ BD（三角形中位线性质定理）
同理 GH∥ BD
∴ EF∥GH
∴四边形EFGH是平行四边形。（一组对边平行且相等四边形是平行四边形）
变式：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边的中点得到一个四边形，继续作下去，所得到的四边形依次是什么特殊四边形，请填空 ，由此得到的结论是 。
要求学生动手画图，猜想结论，再在小组内相互讨论、交流。
【点评】通过例2变式题的形容讨论不仅培养了学生应用数学知识，解决数学问题的能力，而且还培养了学生的归纳推理，猜测论证能力，（循环重复上述四种特殊四边形），亲身体验数学活动充满着探索性、创造性和趣味性。
巩固练习：1、第218页 练一练 2
2、课余探究：E、G是△ABC中,AB边上的三等分点，H、F是AC边上的三等分点。 H、F是AC边上的三等分点。
①GH与EF； ②GH与BC； ③EF与BC，有什么数量关系和位置关系？
【点评】该问题的设置具有一定的挑战性，有助于学生利用已有知识经验指导解决新问题。对发展学生的想象能力，推理猜测能力有所脾益。
该节课的学习，贯彻了“数学课程标准”中的思想。对学生要掌握的知识与技能，学习思考、解决问题，情感与态度四大目标有较好的体现，有一定的推广意义。
四、教学回顾：
1.基础知识：
= 1 \* GB2 ⑴三角线的中位线、以及它与三角形中线的区别；
= 2 \* GB2 ⑵三角线中位线的性质及其应用；
2．基本技能：
证明 “中点四边形”的辅助线的方法，连结对角线。第二十八章 数据分析与决策
【本章学习要点】
1．能根据具体问题的需要借助媒体查找有关资料或亲自调查获得数据信息．
2．对日常生活中的某些数据，能对数据的来源、处理数据的方法以及由此得到的结果进行合理的质疑、发表自己的看法．
3．在具体情景中理解并会计算加权平均数；能根据具体问题选择合适的权重进行决策．
4．进一步掌握设计调查方案以及整理分析调查数据的方法，能根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．
5．经历提出问题、搜集数据、整理数据、分析数据、作出决策的全过程，认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题．
28.1借助媒体作决策（1）——查询数据作决策
【本课学习要点】
了解媒体是获取信息的一个重要渠道，学会从媒体上获取数据信息，包括上网、看电视、读报、听广播等，并通过对这些数据的分析进行决策．
【新课导入】
某集团公司为提升企业文化品位，本周六准备举行运动会，但考虑到现阶段是多雨季节，为了能保障运动会的顺利进行，请你帮助公司领导作出决策：运动会是否要改期进行？你的决策需要哪些数据信息？你能通过哪些方式获取相关信息？
此类问题的决策需要我们通过各种途径去获取信息——了解本周六的天气情况，而借助媒体则是一种获取数据信息的重要渠道．在这个问题中，我们可以通过听广播、看电视等途径了解天气变化情况，也可通过上网查询、电话查询等方式了解本周六的天气情况，当然还可以向一些有经验的老人请教……
【实践与探索】
例1．小张老师是个足球迷，2004年暑假期间恰逢第13届亚洲杯足球赛在中国举办，于是比赛期间他又成了电视迷……请问：小张老师可以靠什么渠道来选择自己要看的电视节目？
解：小张老师可以通过以下方式了解电视节目：看电视节目报、看电视本身的节目预告、上网查询等．
例2．小明家准备五月一日到外地旅游，通过上网调查，小明发现：旅游目的地的气温与海拔高度之间存在着密切关系．某日，该地日平均气温情况如下表所示：
海拔（单位：km） 0.5 1 1.2 1.5 2 2.4 2.6 3
气温（单位：℃） 18 15.1 13.8 12.1 9 6.6 5.3 3
若小明家有一旅游目标景点处于该地海拔4650米处，问按气温与海拔高度之间的变化规律，当日该景点处的日平均气温应该约为多少摄氏度？
分析：如图28.1.1所示，在平面直角坐标系内描点，可以看出这些点基本上处于一直线上，也就是说，气温y（℃）可以看作是海拔高度x（km）的一次函数．通过计算，我们可以求得气温y（℃）与海拔高度x（km）之间的近似函数关系式为．
当（km）时，
．
因此，我们可以估计当日该景点处的日平均气温应该约为℃．
回顾：由例2求得的函数关系式可以看出：海拔每升高1km，气温将下降6℃．
探索：某校准备在今年暑假组织全体初三教师去新、马、泰（新加坡、马来西亚、泰国）旅游，由1名校长带队．是学校组织团队前往还是联系旅行社出行呢？如果联系旅行社是首先考虑服务质量还是首先考虑旅行费用呢？最后通过本市有关报纸的介绍了解了全市几十家旅行社的服务质量，决定在服务质量最好的甲、乙两家旅行社中选择一家价格便宜的旅行社．该校校长通过上网查询得知两家旅行社的报价都是每人2800元，后通过电话查询了解到这两家旅行社暑期对于教师都可给予优惠，但优惠方案不同．具体优惠措施如下：甲旅行社可给予每位教师（包括一名带队校长）八五折优惠；乙旅行社可免去一名带队校长的费用，其余教师九折优惠．
（1）请你帮助校长作出选择：选择两家旅行社中的哪一家，使学校支付的旅游总费用最少．
（2）若初三教师共有21人（不包括带队校长），问应选哪家旅行社？这时应支付旅游总费用多少元？
分析：外出旅游既要价钱便宜又要舒适方便，从而真正体现“休闲”，玩得舒心．为了避免旅途中在交通、食宿安排等方面分配过多的精力，团队外出旅游一般都联系旅行社．至于选择哪家旅行社，我们可以通过丰富的媒体去调查了解服务质量，在服务质量保证的前提下，我们还可借助媒体了解价钱，综合运用我们所学的数学知识，帮助我们作出决策……
解：（1）设该校有x名初三教师在1名校长带领下去新、马、泰旅游，选择甲、乙旅行社的费用分别为、， 则由题意得： ， ．
①若，则，解得；
②若，则，解得；
③若，则，解得．
（2）由于21>18，所以选择甲旅行社，此时（元）．
答：（1）若初三教师为18人（不包括带队校长），则在甲、乙两家旅行社中任选一家；若初三教师人数少于18人，则选择乙旅行社；若初三教师人数超过18人，则选择甲旅行社．
（2）由于该校初三教师共有21人（不包括带队校长），超过18人，故选择甲旅行社较为便宜，这时应支付旅游总费用为52360元．
回顾与反思：
（1）有时作出一个决策需要许多信息，象上面的实际问题中，我们需要许多信息，如全市各家旅行社的服务质量、各旅行社的价钱比较等等，而借助媒体得到相关数据则是一种便捷的获取丰富、实时的信息的有效渠道与方式．
（2）从媒体上得到相关数据后，还必须结合实际情况加以分析，才能作出决策．如上面问题中，必须对该校初三教师的人数进行分类讨论，才能作出相应的决策．而这则需要我们具有“分类”的数学思想与“函数”的意识与方法．
【当堂课内练习】
1． 证券投资者可以通过哪些渠道了解股市行情，进行股票买卖决策？
2．2001年中国人民银行统计司就城镇居民对物价水平满意程度进行了抽样调查，结果如图所示．据此，可估计2001年城镇居民中对物价水平表示认可的约占_______%．
3．如果你的家庭计划在今年在五一长假期间外出旅游，那么你准备提供哪些方面的信息给家长以决定你们的旅游目的地？你将从哪些渠道查询相关数据以便作出决策？把你的决策过程写出来与同学们交流，看看你考虑得是否全面．
【本课课外作业】
1．你能通过哪些渠道了解2004年在雅典举行的第28届夏季奥运会各国运动员所获金牌情况？
2．在某市人才网上“人才招聘”栏目中有A、B两家工作环境相仿的公司登出了招聘条件基本相同的信息，但工资待遇有些差异：A公司，年薪12000元，从第二年起每年在上次年薪基础上提高20%；B公司，半年薪6000元，从第二年起每半年在上次半年薪基础上提高10%．如果你的情况恰好与这两家公司的招聘条件相符，单纯从经济角度考虑，你会选择哪家公司？
28.1借助媒体作决策（2）——全面分析媒体信息
【本课学习要点】
1．学会对来自媒体的数据信息进行合理的质疑，大胆发表自己的观点．
2．通过对来自媒体的数据的分析与交流，在全面分析信息、提高分析辨别能力的同时，增强合作学习的意识与能力．
【新课导入】
2003年5月，由于“非典”影响，北京海淀区教育网开通了网上教学．该区某校初三某班班主任为了了解学生上网学习时间，对本班40名学生某天上网学习时间进行了调查，如果只用这40名学生这一天上网学习时间作为样本去推断全国初三年级学生每天上网学习时间，这样的推断是否合理？为什么？
显然，这样的推断是不合理的．同学们，请思考一下：作为样本，该具有哪些特征呢？
【实践与探索】
例1．以下是一些来自媒体的信息，谈谈你读了之后有什么想法．
（1）某报社记者于2004年8月7日晚在2004年亚洲杯决赛现场北京工人体育场调查了2000名观众，调查数据显示：91%的中国人爱看中超联赛．
（2）某医院自办的小报刊载：由于98%的人认为目前医药费用比较合理，因此目前医院各项收费总体而言是合理的．（数据来源于对该市所有医院的医务人员的一项问卷调查）
分析：来自媒体的信息需要我们读者进行全面的分析，辨别真伪，作出自己的判断．
解：（1）91%这一数据明显偏高．因为调查对象缺乏代表性：由于是在足球比赛现场调查人们对足球的喜爱程度，相当于在“足球迷”中调查统计“足球爱好者”的比例，因此难以得到一个真实、恰当的数据．
（2）“目前医院各项收费总体而言是合理的”这一结论不可信．因为调查选取的对象都是医务人员，对于整个社会群体尤其是就医者群体来说明显缺乏代表性．因此得出的相关结论很不可信．
例2．我国是一个多民族国家．在我国西部有一个人口总数为370万（2000年全国人口普查统计）的多民族城市——贵阳市，图28.1.2（1）和图28.1.2（2）是2000年该市各民族人口统计图．
根据上面的人口统计图提供的信息可知：
2000年贵阳市总人口中布依族占的百分比为___________，苗族人口数为_______________．
分析：直方图与扇形统计图两者要结合起来看，才能把问题求解，得到正确答案．
解：（1）15%×30%=4.5%；（2）370×15%×40%=22.2（万人）．
探索：为吸引更多更好的初中毕业生报考，某校在招生广告上大力宣传该校近年来的办学成就，并制作了近五年该校高中毕业生升入大学的人数统计图（图28.1.3）．
你认为该校制作的统计图是否存在误导的成分？实际情况是否如广告所言？另外，升入大学的人数与升入大学的比例这两个统计量中哪个更能说明问题？作为一名初中应届毕业生，如果你打算报考该校，那么你认为还需了解哪些信息以便你作出正确的决策？
简析：①纵轴视觉上的比例存在误导的陷阱；②选用“升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例”这一统计量显然比“升入大学的人数”更合理；③还需了解每年同期其它学校升入大学的学生数占当年学校毕业生数的比例、近几年大学是否存在“大规模扩招”等现象；④还可了解该校每届毕业生当年入学时的总体成绩情况以便与毕业时高考成绩作比较……总之，面对媒体数据，我们应全面分析，以便作出决策．
回顾与反思：从以上实际问题中可以看出，媒体虽然能给我们传递大量的信息、数据，帮助我们决策，但有些时候媒体也可能误导我们．因此，一方面，面对媒体信息，我们必须全面分析，不能成为媒体信息的“奴隶”；另一方面，我们认为，比较规范的统计报告应该说明调查的细节，如调查了多少对象，是怎样抽取调查对象的，等等．例如，为了调查市场上酱油的质量，如果我们进入市工商局旁的一家大型超市选取其中一种家喻户晓的品牌的酱油并抽样其中的一瓶检测质量，那么这样的调查显然毫无意义．
【当堂课内练习】
1．一则广告称，“本药品对各种癌症的治愈率达80%，研制成功10年来，已使几万名癌症患者得以康复”．对此，你有什么看法？
2．互联网上有这样一份调查报告：中国青少年研究中心和北京师范大学教育系于1998年10月对10个省市3737名中小学生进行了一次关于学生学以致用情况的调查，其中有这样一个问题：“我喜欢把学习到的知识用来解决或解释生活上遇到的问题”．调查结果如下：
完全符合 比较符合 不太符合 完全不符合
小学生 51.6% 32.2% 11.6% 4.6%
初中生 47.7% 36.9% 13.0% 2.4%
高中生 29.9% 49.2% 18.9% 2.0%
请你对互联网上这份调查报告中的有关数据发表自己的观点．
【本课课外作业】
1．一家电脑生产厂家在某城市三个经销本厂产品的大商场进行调查，产品的销量占这三个大商场同类产品销量的40%．由此，该电脑生产厂家在广告中宣传，他们的产品在国内同类产品的销量占40%．请你根据自己所学的统计知识，分析判断该广告中的数据是否可靠，并说出你的理由．
2．如图是某晚报“百姓热线”一周内接到热线电话的统计图，其中有关环境保护的电话最多，有90个．请根据题中给出的统计图回答下列问题：
（1）本周内“百姓热线”共接到热线电话多少个？（2）本周内“百姓热线”接到有关道路交通的电话有多少个？
28.2亲自调查作决策（1）——调查方案的设计
【本课学习要点】
进一步掌握设计调查方案的方法，并学会通过亲自调查去搜集数据．
【新课导入】
学校准备举办六一庆祝活动，为了使得活动内容更受同学们的喜爱，学校在全校征求意见、建议．作为学校的主人，同学们怎样用自己的行动为学校献计献策呢？显然，通过亲自调查获取相关信息（如调查同学们最喜爱的节目，等等）提供给学校相关部门作参考就不失为一种很好的“参政议政”方式．
【实践与探索】
例．某品牌的洗衣机生产厂家为了了解顾客对该品牌洗衣机的满意程度，在洗衣机的使用说明手册中附上了一份意见表．表上有这样一段文字：
如果您对本产品不满意，请在下表中填上“不满意”，然后将此表寄回本厂服务部．本厂通讯地址为：××省××市×××路××号，邮编：××××××．
该厂服务部根据回信统计出对产品不满意的顾客数，再从厂家销售部获知该品牌洗衣机的销售量，利用公式“”计算出该品牌洗衣机的顾客满意率．
请分析该厂设计的调查统计方案是否恰当．如果你认为不恰当，请在评价之后对该方案作出你认为比较恰当的调整方案（只要能比原方案更合理一点即可），以便能得到更真实的数据——满意率，从而为厂家对“是否需要加快对产品进行升级换代”作出决策提供依据．
分析：按照厂方的调查方案去调查统计，同学们可以想象一下：最后计算得到的满意率与实际满意率相比较会有多大的区别．很明显，这样统计出来的满意率不合实际，明显偏高．其原因有：①夹在使用手册中的调查表不一定会引起顾客的注意；②一般说来，顾客洗衣机刚买时不会有多大意见，但当感到不满意时，就不一定会找到那张表了；③即使顾客注意到了调查表并保存了那张表，但要求顾客填表、买信封、邮票、填写通讯地址、邮编等，有些顾客会嫌麻烦，就算不满意也不一定愿意去与厂家计较了；而且当顾客感到不满意时，应该比较气愤，在那种心情状态下还要他（她）另外花钱买邮票、信封，可能许多顾客采取的方式更多可能性是“自认倒霉”，而不会去继续“劳命伤财”了……以上种种原因都将决定“该厂服务部根据回信统计出的对产品不满意的顾客数”远远小于实际“不满意顾客数”，因此厂家设计的调查方案很不恰当，难以得到较为准确的顾客满意率．
解：该厂设计的调查统计方案不恰当．
调查方案调整如下：将调查表更换为明信片（厂家通讯地址、邮编印刷好，邮票贴足），顾客感到对产品不满意时只需在明信片上“对本产品不太满意”或“对本产品很不满意”上打上“√”，然后写上顾客的联系方式寄出即可（对于提出意见、建议者厂家承诺回赠一份小礼品）．另外，在产品使用手册上再印上一个意见反馈电话号码（免费电话），顾客可以在打电话、寄明信片中任选一种方式反馈信息．这样的方案既体现了“顾客至上”的理念，又比原方案更科学、合理．
探索：在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区．这个小区冬季用家庭燃气炉取暖．为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表（注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量）：
日期 15日 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日
天然气表显示读数（单位：m3） 220 229 241 249 259 270 279 290
小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？
分析：本题取材于生活实际，主要考查同学们是否真正掌握了统计的知识和用样本估算总体的统计思想方法，能否自觉地用统计的知识和方法解决身边的实际问题．表中的数据反映了7天使用天然气的数量（而不是8天）．计算这一周平均每天使用天然气的数量时用即可，然后用样本去估算总体，则可以得到“够用”的结论．
解：（略）
回顾与反思：
（1）调查首先应制订合适的调查方案，而这需要我们去精心设计．方案的设计可谓“失之毫厘，差之千里”．
（2）调查时究竟是采用“普查”还是“抽样调查”方式进行需要根据实际情况而定，而用样本估算总体的统计思想方法则是一种较简便、实用的统计方法．希望同学们通过实践操作逐步提高这方面的能力．
【当堂课内练习】
1．教育局为了了解本区域内学生对教师的满意程度，进行了一项民意测验．调查问题为：你对学校教师的教学情况感觉如何？A．非常满意； B．很不满意．
你觉得这项调查问题设计得怎样？
2．请你设计一个调查表，了解全班同学对华东师大版数学新课标教材的态度，将所收集到的数据用你喜欢的统计图表示出来，并用简单的文字说明从中可以获得哪些信息．
【本课课外作业】
1．某班班主任为了了解本班现任班干部的群众满意度，准备由班长组织一次班干部满意率测评．班长是这样调查的：班长在上面报某位班干部的姓名，对这位班干部的工作满意的同学举手，副班长统计人次……请你谈谈班长设计的这个调查方案的看法．
2．为了丰富同学们的课外活动，班委会准备利用周日组织全班同学去观看一场球类比赛，为吸引更多的同学参与，事先做了“你最喜爱的球类运动”问卷调查，获得的信息如图所示．假设你是这个班的体育委员，你会组织观看的比赛是________________．
28.2亲自调查作决策（2）——怎样整理数据好
【本课学习要点】
1．学会亲自调查搜集数据、整理数据、进行决策．
2．能从不同角度出发看待所搜集到的数据，得出比较全面、客观、合理的结论．
【新课导入】
某家电商场经销南京产的熊猫彩电21英寸、25英寸、29英寸、34英寸四种型号，商场柜台经理经统计得一周内共销售出熊猫彩电64台，其中上述型号分别售出5台、21台、32台、6台，在研究电视机出售情况时，该家电商场柜台经理关心的是21英寸、25英寸、29英寸、34英寸和5台、21台、32台、6台这两组数据的平均数吗？如果不是，那么他会关心什么？
显然，在这个例子中计算平均数没有多大意义．迄今为止，我们已了解了平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等统计量，如果你是该商场负责销售熊猫彩电的柜台经理，那么你会关心哪个统计量呢？
【实践与探索】
例1．尽管长江三峡工程的发电机组陆续投入使用，为缓解我国电力紧张的局面作出了许多贡献，但由于近年来我国经济发展迅猛，2004年许多大中城市电力仍然非常紧缺．因此，许多家庭在实际生活中积极响应、落实政府的“节约用电”号召．小芳同学在暑假末亲自统计了她所在的小区中24户家庭2004年7~8月用电情况及2003年同期用电情况，所得数据如下表所示（表中用电量单位：千瓦·时）：
用户时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2003年7~8月 325 252 186 405 78 381 362 334 198 284 408 562
2004年7~8月 273 225 192 316 70 326 320 285 168 235 356 402
用户时间 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
2003年7~8月 196 385 342 368 191 69 541 369 341 293 318 350
2004年7~8月 154 332 276 324 228 96 348 298 286 258 278 322
（1）请计算这24户家庭2004年7~8月平均每户家庭的用电量．
（2）根据小芳同学调查所得数据分析：该小区有没有真正落实“节约用电”的号召？
（3）如果小芳同学所在小区共有288户家庭，而且小芳所调查的24户家庭具有代表性，试估算该小区2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电多少？
分析：用电紧张是当前经济发展迅猛的产物，一方面我们国家要继续加强电力建设；另一方面，我们应树立“节约用电”的意识，从而用实际行动为支持国家建设作出自己的贡献．面对小芳同学调查到的数据，我们会运用所学到的统计知识去分析、解释吗？
解：（1）这24户家庭2004年7~8月平均用电量为：
（千瓦·时）
（2）小芳所统计的这24户家庭中2004年7~8月与2003年同期相比用电减少的有21户，占所统计的24户家庭的87.5%．由此可见，“节约用电”的号召在小区内已深入人心，成效显著．
（3）这24户家庭2004年7~8月用电总量为（千瓦·时），
而这24户家庭2003年同期用电总量为（千瓦·时），
所以，这24户家庭平均每户节约用电（千瓦·时）．
由于小芳所调查的24户家庭具有代表性，因此由题意可以估计该小区288户家庭2004年7~8月与2003年同期相比共节约用电（千瓦·时）．
答：（略）
例2．某园林的门票每张10元（一次使用），考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除了保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购票日起，可共持票者使用一年）．年票分A、B、C三大类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60元，持票者进入园林时，需再购门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入园林时，需再购门票，每次3元．
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式；
（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A类年票最合算．
分析：由题意可知，一共有四种购票方式．我们要作出决策，关键看一年所花门票费用与进入该园林的次数这两个量．
（1）只需对照每种购票方式，分别计算花80元能进入该园林的次数；
（2）显然，当进入该园林的次数较多时，选择购买A类年票较合算．那么“多”的标准究竟是多少呢？我们只需要分别计算出根据另三种方式花120元能进入该园林的最多次数即可．
解：（略）
探索：某超市信息中心采集了一些供求信息，其中对该超市中西红柿的市场需求量和供给量进行调查后得到下表数据：
西红柿市场供需量信息表
日供给量（吨） 4.4 4 3.9 3.75 3.2 2.8
每千克价格（元） 2 2.5 2.6 2.8 3.5 4
日需求量（吨） 5.6 4.6 4.4 4 2.6 1.6
（1）为了使市场供需平衡，问此时市场需求量是多少？此时西红柿价格为每千克多少元？
（2）在超市保证供应的前提下，由于最终的日销售量由需求方决定，若超市的西红柿进货价为每千克1.6元，问超市将销售价定为每千克多少元时，每日销售西红柿的总利润最大？最大利润为多少元？
分析：（1）供需平衡点即供给量与需求量相等的情形．若设每千克西红柿的价格x（元）为自变量，则我们可分别求出供给量、需求量与价格x（元）之间的近似函数解析式．而这两个函数的图象（如图28.2.1）的交点即为第（1）小题的解．
（2）在第（1）小题中我们可求出日需求量（保证供应时即为日销售量，同时也是日进货量即供给量）与销售价格x（元）之间的函数关系式，而每千克西红柿的利润为（）元，将每吨西红柿的利润乘以日销售量即为每日销售西红柿的总利润．
（3）动笔计算一下，看看该超市每日销售西红柿的总利润与销售价格x（元）之间的函数关系式如何？是否存在最大值？
解：（略）
回顾与反思：学以致用是我们学习知识的真正目标，只要同学们带着数学的眼光去看待生活周围的事与物，就可以发现许多现象中存在着数学方面的道理．愿同学们做个有心人，在实践中不断体验数学、享受数学．
【当堂课内练习】
1．某校初三学生在一次数学测验中，甲、乙两班学生的成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲班 1 6 12 11 15 5
乙班 3 5 15 3 13 11
请根据表格提供的信息回答下列问题：
（1）甲班学生成绩的众数为_________分，乙班学生成绩的众数为_________分．从众数看成绩较好的是__________班；
（2）甲班学生成绩的中位数为_________分，乙班学生成绩的中位数为_________分，甲班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%，乙班中成绩在中位数以上（包括中位数）的学生所占的百分比是_________%．从中位数看成绩较好的是__________班；
（3）若成绩在85分以上的为优秀，则甲班的优秀率为_______%，乙班的优秀率为______%，从优秀率看成绩较好的是__________班．
（4）请你根据题目给出的信息及以上的计算，对甲、乙两班的成绩作出你的综合评价．
2．某地区筹备召开中学生运动会，指定某校初二年级9个班中抽取48名女生组成花束队，要求身高一致．现随机抽取10名该校初二某班女生体检表（各班女生人数均超过20人），得身高如下（单位：cm）：162，160，157，160，153，161，160，160，168，159．
（1）求这10名女生的平均身高；
（2）问该校能否按要求组成花束队，试说明理由．
【本课课外作业】
1．光明中学环保小组对学校所在区的8个餐厅一天的快餐饭盒使用个数作调查，结果如下：125，115，140，270，110，120，100，140．
（1）这八个餐厅平均每个餐厅一天使用快餐饭盒__________个；
（2）根据样本平均数估计，若该区共有餐厅62个，则一天共使用饭盒__________个．
2．空调大世界商场3月份、4月份出售同一品牌各种规格的空调台数如下表：
规格月份 1匹 1.2匹 1.5匹 2匹
3月 22台 30台 18台 14台
4月 26台 40台 24台 18台
根据表中数据回答：
（1）商场3月份、4月份平均每月销售空调_________台；
（2）这两个月该商场出售的该品牌的各种规格的空调中，众数是_________匹；
（3）在研究5月份进货时，商场经理决定________匹的空调要多进，_______匹的空调要少进．
3．某校初三（1）、初三（2）班举行电脑汉字输入速度比赛，每班各选10人经过一周培训后进入比赛．各班参赛学生每分钟输入汉字个数统计如下表：
输入汉字个数 132 133 134 135 136 137
初三（1）人数 1 0 1 5 2 1
初三（2）人数 0 1 4 1 2 2
（1）请你根据条件完成下表：
统计量 众数 中位数 平均数 方差
初三（1）
初三（2）
（2）试从不同方面评价该校初三（1）、初三（2）班学生的比赛成绩（至少从两方面进行评价）．
28.3在理论指导下决策（1）——考虑不同的权重
【本课学习要点】
在具体情景中理解并会计算加权平均数，并在问题情景中体会权重的意义．
【新课导入】
某校期末考试初二6个班级的数学平均成绩分别为82分、83分、67分、75分、71分、63分，在计算年级平均分时，李利民同学是这样计算的：（分）．
请问：一般情况下，李利民同学的计算方法对不对？要计算出年级平均数，你认为还需要哪些数据？在什么情况下，李利民同学的计算结果会正确呢？
【实践与探索】
例1．某小组14名同学一次英语口语测试的成绩为：1人100分，3人90分，4人80分，3人70分，2人60分，1人50分，求这个小组这次英语口语测试的平均成绩．（精确到0.1分）
分析：这14人的平均成绩应该用这14人的总成绩除以14．
解法1：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
解法2：（分）
答：这个小组这次英语口语测试的平均成绩为76.4分．
例2．某食品公司准备招聘一名营销人员，对最后进入复试圈的甲、乙、丙三名候选人进行了综合素质测试，他们的各项测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩
甲 乙 丙
创 新 85 92 73
语 言 89 60 90
综合知识 72 94 89
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，该公司认为创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2较为恰当，此时谁将被录用？
解：（1）甲三项测试的平均成绩为（分）；
乙三项测试的平均成绩为（分）；
丙三项测试的平均成绩为（分）．
因此，如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么丙将被录用．
（2）由题意知创新、语言和综合知识三个方面的权重分别是50%、30%和20%，由此可得甲、乙、丙三人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为（分）；
乙的测试成绩为（分）；
丙的测试成绩为（分）．
因此，如果创新、语言和综合知识三个方面的重要性之比为5∶3∶2，那么甲将被录用．
回顾与反思：
（1）如果该公司将创新、语言和综合知识三项测试得分按3∶2∶5的比例确定各人的测试成绩，那么这三方面的权重是多少？这时哪一位候选人被录用呢？
（2）为什么甲、乙、丙三人三项测试得分确定后，最后的测试成绩会有不同的答案？从上面的问题及其解答中，你理解“权重”的重要了吗？
【当堂课内练习】
1．某车间一周里加工某种零件的日产量是：有2天是36件，有2天是37件，有3天是40件，问这周该车间平均日产量是多少件？
2．小明射击训练的结果如图所示，他利用所学的统计知识对自己的射击成绩进行评价，其中错误的是（ ）
A．平均数为环
B．众数为8环，打8环的频率为40%
C．中位数为8环，比平均数高0.7环
D．此题中众数、中位数与平均数都不相等
【本课课外作业】
1．一名射击运动员连续射靶20次，其中5次射中10环，6次射中9环，8次射中8环，1次射中6环，则这名射击运动员平均每次射中的环数为___________．（保留1位小数）
2．小华同学统计了该班学雷锋小组的8名同学一个月内做好事分别为5件、6件、8件、15件、20件、26件、30件、34件，问：这个小组平均每人每月做好事多少件？
3．某校规定学生的体育学期成绩由三部分组成：课外活动表现占20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%，王征同学本学期这三项成绩依次是96分、86分、92分，则体育老师这学期将给王征同学体育成绩打多少分？
28.3在理论指导下决策（2）——平均要买几个才能得奖
【本课学习要点】
1．会采用随机抽样的方法做实验或进行模拟实验，记录数据，求出加权平均数评判平均要买几个才能得奖．
2．会运用相关知识计算简单的中奖概率或游戏获胜的概率．
【新课导入】
同学们，你们可曾接触过体育彩票？体育彩票的返奖率为55%．换句话说，平均每销售100元，将会有55元作为奖金奖励给购买体育彩票者中的幸运者（即中奖者），而另外的45元则用于支援国家或地方的体育事业的发展及销售体育彩票的成本费用．
对于55%的返奖率这一数据，能否理解为购买平均100张体育彩票就有55张中奖呢？从你接触到的人群中了解到的信息，中奖面有这么大吗？那么，到底平均要买几张才能得奖呢？理论数据与实际数据相符吗？
如果返奖率确实为55%，而中奖面远远小于55%．请同学们讨论一下，究竟是什么原因造成的这一差异？
【实践与探索】
例1．某啤酒厂推出一种有奖销售方案：该厂在出厂的所有啤酒的瓶盖内分别印上“再”、“来”、“一”、“瓶”、“啤”、“酒”六个字中的一个（文字颜色与啤酒颜色相近，从瓶外无法看清文字），集齐分别印有这六个不同文字的六个啤酒瓶盖就可换取一瓶该品牌的啤酒．假如印有这六个文字的瓶盖个数一样多，而且每瓶啤酒的瓶盖上印有哪个文字也完全是随机的，那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖（奖1瓶啤酒）呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
分析：如果幸运的话，买6瓶啤酒也许就能中奖；但也许购买50瓶、100瓶都无法中奖．那么，平均要买多少瓶啤酒才能中奖呢？请你估计一个答案，写在纸上（最后与模拟实验得到的答案作个比较，看看你的估计能力如何）．下面我们利用计算器进行模拟实验：让计算器在1~6的范围内每次产生一个随机整数，作为购买到的那瓶啤酒的瓶盖上的文字的代号（1代表“再”、2代表“来”、3代表“一”、4代表“瓶”、5代表“啤”、6代表“酒”），若“中奖”，则一次实验结束，然后进行下一次实验．记录下每次实验得到的相关数据，整理如下：
实验序列 产生的1~6范围内的随机数
第1次实验 3 4 1 5 4 4 6 5 5 4 5 3 5 3 1 2
第2次实验 3 2 3 4 1 2 5 6
第3次实验 6 1 3 6 4 1 6 4 4 4 4 5 1 4 6 5
3 3 3 2
第4次实验 6 3 6 5 6 1 1 6 4 3 3 5 6 3 2
第5次实验 4 1 6 4 5 6 4 1 2 3
第6次实验 6 4 3 4 3 1 3 3 2 3 4 4 2 6 3 5
第7次实验 1 2 3 5 4 1 2 6
第8次实验 1 2 2 4 1 6 3 4 3 2 1 5
第9次实验 1 1 6 4 5 6 2 5 5 1 4 1 4 4 1 5
1 5 4 2 4 1 2 5 6 2 2 5 4 1 3
第10次实验 2 6 2 2 2 5 3 3 1 4 1 4
因为，
所以我们可以估计大约平均要购买15瓶啤酒才能中奖．
回顾：
（1）此题如果要通过纯计算求出“平均要购买几瓶啤酒才能中奖”非常困难，同时我们也不太可能为了解出此题真的去购买啤酒，而利用计算器、通过模拟实验则相对“简单”地求出了答案．
（2）模拟实验前你估计的答案是什么？与现在求得的“大约15瓶”误差大不大？
（3）本题的解法是通过实验去估计答案，因此要注意两点：①不同的人得到的答案不一定相同，即使同一个人再进行相同次数的实验答案也不一定相同；②要想答案尽可能准确，我们可以将实验次数尽可能地增加（但也要考虑到有无必要及可能性）．因为实验次数充分大时，这个“平均数”将趋于稳定．
探索：上面的问题中若问“平均要购买几瓶啤酒才能中两次奖（即集齐2套瓶盖换2瓶啤酒）”，那么是不是简单地将“15”去乘以2从而得到30呢？答案是否定的．你估计是大于30还是小于30呢？亲自进行模拟实验试试看！也许答案会出乎你的意料．
例2．甲、乙、丙、丁四位小朋友一起做游戏：他们抛掷3枚硬币，若全部正面朝上，则甲胜；若全部反面朝上，则乙胜；若两枚正面朝上一枚反面朝上，则丙胜；若两枚反面朝上一枚正面朝上，则丁胜．将他们的获胜次数记录、统计如下表：
游戏次数 10 20 30 40 50 80 100
甲 1 3 4 5 7 11 14
乙 2 4 5 5 6 10 13
丙 4 6 10 15 18 31 38
丁 3 7 11 15 19 28 35
当比赛进行到100次时，甲、乙两人连喊“运气不好”，至此游戏结束．
（1）分别计算游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率；
（2）甲、乙两人真的是运气不好吗？请你运用所学知识帮助分析他们两人获胜率低的原因．
分析：表面上看，抛掷3枚硬币，观察出现正面朝上的枚数共有四种情形，即这个游戏共有四个不同结果，好象比较“公平”．但事实上，这四个结果是“等可能”的吗？
解：（1）游戏进行到30次、50次、100次时，甲、乙、丙、丁四位小朋友的获胜率如下表所示：
游戏次数 30 50 100
甲 13.3% 14% 14%
乙 16.7% 12% 13%
丙 33.3% 36% 38%
丁 36.7% 38% 35%
（2）甲、乙两人并不真的是运气不好，而是因为这个游戏规则本身制订得并不公平．画出抛掷硬币的树状图（如图28.3.1）：
从树状图中可以看出：P（全部正面朝上）= P（全部反面朝上）=；
而P（两枚正面朝上一枚反面朝上）= P（两枚反面朝上一枚正面朝上）=．
因此，按照原来的游戏规则，甲、乙获胜的概率只有丙、丁获胜的概率的，故游戏不公平．
探索：针对上面的游戏，能否适当调整一下游戏规则，使得游戏对于四位小朋友来说做到公平？试给出两种不同的调整方案．
分析：调整方案关键在于将原规则中的不公平（获胜机会不均等）处去除，从而使得游戏公平．例如以下两种方案：
①实行积分制．甲获胜1次积3分，乙获胜1次积3分，丙获胜1次积1分，丁获胜1次积1分．这样到比赛结束看积分高低定胜负．
②甲与丙合作，乙与丁合作，即4位小朋友分成两个小组进行对抗比赛．按照原先的游戏规则比赛也能保证游戏公平．
回顾与反思：
（1）游戏是否公平有时存在一定的隐蔽性，需要我们运用相关数学知识去分析、评判．而画树状图的关键则在于列出所有等可能出现的事件，从而确定各种结果出现的机会．
（2）有了以上的知识储备，现在，你对街头小巷的一些所谓的“公平游戏”会作如何评价？
【当堂课内练习】
某商场春节期间进行有奖销售，规定每购买满50元商品可得刮刮卡一张，每张刮刮卡上印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字中的一个字，集齐分别印有“萬”、“事”、“如”、“意”四个字的四张刮刮卡即中奖——换取一张价值20元的购物券或领取一份价值20元的礼品包．假如印有“萬”、“事”、“如”、“意”的刮刮卡的张数一样多，而且每张刮刮卡上印有哪个字也完全是随机的，那么，平均要买满多少元商品才能中奖呢？试通过模拟实验来解决这一问题．
【本课课外作业】
1．某电视台综艺节目接到参与节目的热线电话及短信共3000个，现要从中抽取“幸运观众”10名，王蕾同学发了一条短信，那么她成为“幸运观众”的概率为__________．
2．将一副中国象棋的全部棋子装入一纸箱中，将纸箱封好后在其一个面上挖一方形孔，让此孔刚好能通过一枚棋子．小孔朝下，摇动纸箱，使从小孔中掉出一枚棋子．
（1）掉出的棋子是红“车”的概率是______________；
（2）掉出的棋子是“马”的概率是______________；
（3）掉出的棋子是“兵”或“卒”的概率是______________；
（4）掉出的棋子不是“车”、“马”、“炮”的概率是____________；
（5）请通过具体实验操作得出上述事件发生的可能性有多大，然后与你上面所填的概率结果作出比较，如果不相同，是不是“计算”与“实验”中一定有一项存在问题？
28.3在理论指导下决策（3）——考试分数说明了什么
【本课学习要点】
1．通过对考试分数的分析，学会正确看待考试成绩，并初步了解如何评价试题的难度．
2．通过解决实际生活中的问题，培养学生对知识的应用意识和应用能力，进一步感受频数、频率、抽样、统计图表、平均数、标准差等统计与概率的知识是来源于实践并应用于实践的．
【新课导入】
张伟同学期中考试数学得了91分，语文得了84分．能不能由此得出这样的结论：张伟同学的数学成绩比语文成绩要好？显然，这个结论不一定正确．你能说出其原因吗？
成绩的高低与试卷的难易程度关联很大．因此，我们面对自己的考试分数应作横向比较，这样才能得出较准确的结论．例如，在上面的例子中，若期中考试班级数学平均分为92分，而语文平均分为75分，则相比之下张伟同学语文成绩比数学成绩要好．
【实践与探索】
例1．无锡市教研中心为了统计2004年初三学生参加江苏省初中数学竞赛的成绩．从所有参赛学生中随机抽取了一部分学生的竞赛成绩（均为整数），并将所有抽取到的数据整理后分成五组，绘制出频数分布直方图，如图28.3.2所示．已知统计图中从左到右第一组和第五组的频率分别是0.1和0.05，第三个小长方形的高是第四个小长方形的高的2倍，第四个小长方形的高是第五个小长方形的高的3倍，第二组的频数是40．
请根据要求填空：
（1）第二组的频率为__________；
（2）抽取的学生数为__________；
（3）所抽取的学生的成绩的众数一定落在第二组内吗？为什么？
（4）若这次数学竞赛得奖率（含一、二、三等奖）为10%，则你估计评奖时所确定的最低分数线落在哪个分数段内？
分析：由于所抽取的所有数据都在49.5~69.5，69.5~89.5，89.5~109.5，109.5~129.5，129.5~149.5这五组内，因此这五组的频率之和为1．
解：（1）由题意知：第一、三、四、五组的频率分别为0.1、0.3、0.15、0.05，因此第二组的频率为；
（2）（人）；
（3）尽管第二组的频率最大，但所抽取的学生的成绩的众数却不一定落在第二组内．因为频数40表示的是处于69.5~89.5的各分数的人数之和，并不是得某一个分数的人数．
（4）抽样数据显示：130分以上（含130分）占5%，110分以上（含110分）占20%，而获奖率为10%，因此由样本可估计总体情况为：评奖时所确定的最低分数线落在109.5~129.5内．
探索：
（1）例1中所抽取的100名学生的竞赛成绩的中位数一定为89.5分吗？同学们，讨论一下，看看谁说得有理．
（2）从该统计图上所反映的成绩情况看，请你估计：109.5~119.5和119.5~129.5这两个分数段中哪个分数段的人数多？
例2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对演讲答辩情况进行评价，全班50名同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 答辩情况得分表 表2 民主测评票数统计表
A B C D E “好”票数 “较好”票数 “一般”票数
甲 90 92 94 95 88 甲 40 7 3
乙 89 86 87 94 91 乙 42 4 4
规定：
演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；
民主测评得分=“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1－a）＋民主测评得分×a （其中0.5≤a≤0.8）．
（1）当时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？
分析：这是一个很常见的应用问题．评委打分经常采用“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法；而综合得分的计算公式中0.5≤a≤0.8则充分体现了“以生为本”的思想，真正体现了民主，让学生选出自己信得过的班长．
解：（1）甲的演讲得分＝＝92（分），
甲的民主测评得分＝40×2＋7×1 +3×0＝87（分），
当时，甲的综合得分＝92×（1－0.6）＋87×0.6＝89（分）．
（2）∵ 乙的演讲得分＝＝89（分），
乙的民主测评得分＝42×2＋4×1 +4×0＝88（分）
∴ 甲的综合得分＝，
乙的综合得分＝．
当时，，
当时，，
又∵ 0.5≤a≤0.8
∴ 当0.5≤a<0.75时，甲的综合得分高；当0.75 说明：从例2可以看出，权重直接影响着最后的综合得分．因此，在具体操作时，一定要先确定权重，即相关规定应制订在竞选之前，这样才真正体现公正、公平、公开．
探索：某车间为了改善管理松散情况，准备采用每天任务定额、超产有奖的措施，以提高工作效率．下面是该车间15名工人过去一天中各自装配机器的数量（单位：台）：
6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，13，15，15，16
你认为管理者应从众数、中位数、平均数中选取哪个量确定为每人标准日产量最好？（注意：既要考虑到能促进工作效率的提高，又要不挫伤工人工作积极性．）
分析：上面15个数据中，众数为8，平均数为10.07，中位数为9．管理者如规定众数8为标准日产量，则绝大多数工人不需努力就可完成任务，不利于促进生产；如果规定平均数为标准日产量，则多数工人不可能超产，甚至完不成定额，会挫伤工人积极性；比较合理的标准日产量应确定在大多数工人经努力能完成甚至超产的水平上．
解：选取中位数9为每人标准日产量最佳．
回顾与反思：考试分数、综合得分、生产定额的评价与确定直接影响到人的学习、工作、生活的情态，因此必须本着科学的精神去评价与确定，才能真正调动人的积极情态．例如，平时学习中的一些测试，试题难度太大则会使得大部分同学失去学习的信心；太容易则会使得部分学生放松对自己的要求．由此可见，试题难度的确定应该定得恰当、合理，才能发挥测试的最大功效——激发学生积极情态，促进学生高效学习．
【当堂课内练习】
1．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
试比较两组同学成绩的优劣．
2．你知道美国选举总统的方案吗？请通过各种媒体查询相关信息，并请结合例2中的方案对此作出你的客观评价（包括你认为不够完善的地方）．
【本课课外作业】
1．在一次单元测试中，若小峰同学的成绩比他所在小组中12名同学的平均成绩高2分，则下列判断中，正确的是（ ）
A．小峰同学的成绩在他所在小组中不可能是最高的
B．小峰同学的成绩在他所在小组中不可能是倒数第二的
C．小峰同学的成绩可能比班级平均分低
D．小峰同学的成绩在班级中可能是最低的
2．第21届世界大学生运动会历时10天于2001年9月1日在北京工人体育场落下帷幕．下表是第21届世界大学生运动会部分奖牌榜：
名次 国家（地区） 金牌 银牌 铜牌
1 中国 54 25 24
2 美国 21 13 13
3 俄罗斯 14 19 20
4 日本 14 14 25
请制作适当的统计图，表示以上数据．
3．初中生的视力状况受到了全社会的广泛关注．某市教育部门组织医疗机构对全市6万名初中生（初一、初二、初三各2万名）视力状况进行了一次抽样调查．利用抽测初三学生所得数据（精确到0.1）绘制的频数分布直方图如图所示，根据图中所提供的信息回答下列问题：
（1）本次调查共抽测了多少名初三学生？
（2）题中的频数分布直方图所反映的样本指什么？
（3）能用这个样本的情况来估计该市6万名初中生的视力情况吗？为什么？
（4）如果视力在4.8以下（包括4.8）为不合格，则该市共约有多少名初三学生视力不合格？
课题学习 让我们一起做调查、分析与决策
【学习要求】
1．积极参与数学课外活动——亲自参与调查的全过程，体验“学以致用”，增强应用知识的意识与能力．
2．在实践中学会设计调查方案，经历提出问题、搜集数据、整理数据、分析数据、作出决策的全过程．
3．通过调查获得数据，学会对数据进行整理、分析，尝试根据调查结果提出自己的意见或建议，最终作出决策．
4．在实践中进一步增强合作学习的意识与能力．
【问题背景】
据报道，由于学习压力等因素影响，现在中小学生除身高、体重两项指标外，身体其它方面的素质有明显下降之趋势．
请通过学习小组合作交流分析，设计一份合理的调查方案，了解所在的年级同学身体素质情况是否存在下降趋势，并通过亲自调查获取数据、分析数据，然后针对调查结果反映的情况向有关部门提出合理化建议．
【课题研究】
1．怎样借助媒体获取上述报道的相关信息？——查阅相关报纸、上网搜索查询等．
2．学习小组分析、交流导致中小学生身体素质下降的可能原因．
3．设计调查问卷，了解所在年级同学的学习环境（竞争氛围及家庭环境等）及压力．
4．学习小组论证调查所在年级同学的身体素质情况的具体方案的可行性．确定调查身体素质的某一指标项目（如血压、肺活量、视力等），并借助媒体获取该项目的相关标准．
5．利用课外活动邀请相关教师参与，一起进行相关测量、获取数据．
6．设计相关统计表，对调查获取的数据信息进行整理、分析．
7．学习小组合作撰写调查报告，如《中小学生身体素质现状调查报告》或《中小学生身体素质（×××方面）下降之原因分析及改进意见》等．
8．向有关部门递交调查报告并提出合理化建议．
第二十八章小结与复习
一、本章学习回顾
1．知识结构
2．学习要点
（1）通过本章学习，感受数据对决策的重要性．
（2）在具体问题情景中了解数据的来源：一方面可以从媒体获取数据，但要对它进行全面的分析；另一方面也可以通过亲自调查的方法获取数据．
（3）在具体问题情景中不断学习怎样设计问题、怎样选取调查对象和怎样分析数据等等，从而综合运用所学知识、技能对实际问题进行决策．
二、本章复习题
A组
1．在抗击“非典”时期的“课堂在线”学习活动中，陈老师从5月8日至5月12日在网上答题个数的记录如下表：
日期 5月8日 5月9日 5月10日 5月11日 5月12日
答题个数 52 40 54 68 54
在陈老师这几天每天答题个数组成的这组数据中，众数和中位数分别是 （ ）
A．2，54 B．54，54 C．54，53 D．68，54
2．学校为了了解学生的营养情况，在初三（1）班抽取了8位学生的血样进行血色素检测，以此来估计该年级学生的血色素的平均水平，测得结果如下（单位：g）：13.8，12.5，10.6，11，14.7，12.4，13.6，12.2，则这8位学生的血色素的平均水平为______________g．
3．渔民张大爷在水库中养了1万条鲫鱼，经测算成活率为92%．为了估计鲫鱼的总产量，随意捕捞了10条鲫鱼，称得它们的质量如下（单位：kg）：0.4，0.6，0.4，0.5，0.3，0.6，0.8，0.6，0.5，0.3，在这个问题中，样本容量是_______________，众数是__________kg，估计共有鲫鱼约_____________kg．
4．某公司销售部有营销人员8名，销售部为了指定商品的月销售定额，统计了这8人某月的销售量如下：
每人销售件数 250 210 170
人数 4 3 1
则这8位营销人员该月平均销售量为多少件？
5．有一篇报道称：“吸烟有害健康！专家统计发现，每吸一枝香烟，将缩短寿命1小时……”
另有一篇报道称：“据科学家研究发现，每吸一枝香烟将缩短寿命1秒钟……”
试通过估算分析判断这两篇报道的真实性．
6．第28届奥运会于2004年8月在希腊雅典进行，由于希腊与中国的时差关系，比赛大多于北京时间14∶00~次日凌晨5∶00进行．因此尽管中国中央电视台体育频道全程转播比赛节目，但也有许多中国的体育爱好者由于各种原因无法在第一时间观看比赛的直播……为了了解同学们暑假观看奥运会的情况，小华同学面向全班同学设计了下面一份调查问卷：
问题：暑假奥运会期间，每晚你观看奥运会比赛节目到几点钟？
A．19∶30 B．20∶30 C．次日凌晨5∶00
你认为这个问题设计得合理吗？为什么？你有什么更好的建议？
B组
7．在某市人才网上“招聘信息”栏目中有甲、乙两家电脑公司登出了招聘条件基本相仿的招聘信息，但工资待遇有些差异：甲公司，月薪2000元，从第二年起月薪在上一年月薪基础上增加100元；乙公司，月薪2000元，从第二年起每月在上一月月薪基础上增加20元．如果你的条件符合这两家电脑公司的要求，而且准备在这两家公司中应聘其中一家，那么单纯从经济角度考虑，你会选择哪家电脑公司？
8．某班进行了一次数学单元测验，正、副班长对这次测验成绩进行了统计、整理，班长得到的结论是：该班平均分为76分，且及格率为100%；而副班长得到的结论是该班女生成绩平均比男生要高2.5分．
（1）这两个结论中一定有一个是错误的吗？想一想：他们对于同一次测验成绩进行统计，得出的结论为什么会不同？
（2）若正副班长统计结果都正确，且已知该班男生平均成绩为75分，女生共有18人，你能求出该班总人数吗？若能，请求出班级人数；若不能，请说明理由．
图28.1.1
满意
30.2%
尚可接受
55.7%
难以接受
14.1%
第2题
图28.1.2（1）
图28.1.2（2）
图28.1.3
表扬建议
道路交通
环境保护
房产建筑
医疗保健
其他投诉
第2题
第2题
图28.2.1
第2题
图28.3.1
图28.3.2
第3题
媒体查询
亲自调查
统计图表
统计量
加权平均数等
决策过程
提出问题
收集数据
整理数据
分析数据
作出决策
整理数据
方式
工具
PAGE第二十七章 证明
一、本章教学目标
1、进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活地应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理，提高演绎推理的能力。
2、理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立时其逆命题不一定成立。
3、体会反证法的含义，了解使用反证法证明一个命题的步骤。
4、通过对欧几里得“Elements”的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展的价值。
二、教材特点
1、限止内容：教材中用逻辑推理的方法研究的几何图形仅限于三角形、四边形。
2、控制难度：教材中所选的例题、练习题和习题均经过挑选，难度适中。
3、重视分析：在许多命题的证明过程中，教材充分重视分析过程。
4、留有余地：教材为学生留下了一定的自行探索研究的空间，将一些难度适中的命题证明留给学生自行完成，充分调动学生的学习积极性。教材中的阅读材料和课题学习——中点四边形，都为学生留下自行探索和想像的空间。
三、课时安排
本章的教学时间为18课时，建议分配如下：
§27.1证明的再认识 2课时
§27.2用推理方法研究三角形式 5课时
§27.3用推理方法研究四边形 8课时
复习 2课时
课题学习 中点四边形 2课时
证明的再认识(1)
知识技能目标
1．进一步探索几何图形的性质，掌握研究几何图形的方法；
2．进一步了解证明的含义，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式；
3．能证明三角形内角和定理及推论．
过程性目标
通过三角形内角和定理及推论的证明，体会证明的必要性，注意证明的格式，知道每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
教学过程
一、创设情景
1．任意画一个四边形，分别用度量和剪拼的方法，求出该四边形的内角和的大小．你能说说理由吗？
2．下列图中的线段和线段的长度是否相等？用尺度量结果是否与你感觉一样？
二、归纳总结．
1．探索几何图形的性质时，常常采用看一看，画一画，比一比，量一量，算一算，想一想，猜一猜等方法得出结论，并在实验操作中对结论作出解释，这是研究几何图形性质的一种基本方法．但有时视觉上的错觉会误导我们，凭直觉的方法研究几何图形所得出的结论不一定正确，所以我们要学习用逻辑推理的方法（既证明）去探索图形的性质．
2．逻辑推理需要依据，依据包括公理，等式与不等式的有关性质以及等量代换，定理．
公理：(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等；
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；
(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等；
(4)全等三角形的对应边、对应角相等．
定理：在公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．
我们需要将证明的每一步的依据要写在所得到的结论后面．
三、实践应用．
例1　用逻辑推理的方法证明三角形的内角和是180度．
已知：△ABC.　求证：∠A+∠B+∠C=180°．
分析　回忆以前将三个内角拼在一起，发现三角形的三个内角的和等于180°，因此要设法将三个内角移在一个平角上，任作一个三角形ABC，延长AB到D，得平角ABD，过点B作BE∥AC，由平行线的性质把三个内角拼到点B处，证明过程如下：
证明　延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．
因为BE∥AC（画图），
所以∠A=∠EBD（两直线平行，同位角相等），
　　∠C=∠CBE（两直线平行，内错角相等），
又因为∠EBD+∠CBE+∠ABC=180°（平角定义），
所以∠A+∠ABC+∠C=180°（等量代换）．
得：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度．
说明 (1)为了证明的需要在原来的图中添画的线叫辅助线，辅助线常画成虚线；
(2)该定理的推理形式：因为 △ABC，所以∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）；
(3)该定理可以作为进一步推理的依据．利用三角形内角和定理，请同学们用逻辑推理的方法来说明（a）四边形内角和等于360°．（b）n边形的内角和等于（n-2）180°．
例2　如图，△ABC中，∠ABC的角平分线BD和∠ACB的角平分线CE相交于点O，且∠A=80°，求∠BOC的度数。
分析　在△ABC中，已知∠A的度数，利用三角形内角和定理，求∠ABC与∠ACB的和，又因为BD，CE分别平分∠ABC与∠ACB可得∠1与∠2的和，在△BOC中由三角形内角和定理可求∠BOC的度数．
解　在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°（三角形内角和定理）
因为 ∠1=1/2∠ABC，∠2=1/2∠ACB（角平分线定义），
所以 ∠1+∠2=1/2（∠ABC+∠ACB）=100°/2=50° （等式性质），
在 △BOC中，∠BOC=180°-（∠1+∠2）=180°-50°=130° （三角形内角和定理）．
四、交流反思．
(1)探索几何图形性质的两种方法不是孤立的，实践为我们作出猜想提供了材料，推理证明为猜想的真实性提供保证；
(2)逻辑推理的依据有已知、定义、定理、公理、等式的性质、不等式的性质及等量代换等；
(3)注意证明的格式，每一步推理都必须有依据，证明的表述必须条理清晰．
五、检测反馈
(1)已知一个多边形的内角和等于1080°，求这个多边形的边数．
(2)用三角形内角和定理，证明直角三角形的两个锐角之间的数量关系．
(3)利用“n边形的内角和等于(n-2)180°”这个结论，证明：任意多边形的外角和等于360°.

证明的再认识(2)
知识技能目标
1．掌握推理证明的方法与步骤，培养言之有据的思维习惯；
2．用所学过的公理，定理，定义进行逻辑推理．
过程性目标
在推理过程中体会公理与定理，定理与定理之间的逻辑关系，熟练掌握证明的书写格式．
教学过程
一、创设情景
　　我们已经用逻辑推理的方法证明了三角形的内角和等于180度，同学们能否以这个定理为依据，来证明三角形的外角性质？哪位同学来说说三角形的外角具有什么性质？
求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角．
求证：∠CBD＝∠A+∠C．
证明　因为∠A+∠ABC+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），
　　　所以∠A+∠C＝180°-∠ABC（等式的性质）．
　　　又因为∠ABC+∠CBD＝180°（平角的定义），
　　　所以∠CBD＝180°-∠ABC（等式的性质）．
　　　所以∠CBD＝∠A+∠C（等量代换）．
说明　1．这个性质常用作判断其他命题真假的依据，可作定理来使用；
　　　2．可进一步得到∠CBD＞∠A，∠CBD＞∠C，即三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．
二、探究归纳
我们已经学习了许多图形的性质，有些就是逻辑推理的最原始的依据——公理，还有一些是在公理的基础上用逻辑推理的方法去证明的，如：全等三角形的判定公理：边角边、角边角、边边边．除这些方法以外，同学们还有什么方法判断三角形全等？（角角边）我们一起来证明命题：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．
已知：△ABC和 △A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′．
求证：△ABC≌ △A′B′C′．
证明可让同学们自己探索完成．利用三角形内角和定理创造出角边角公理．
说明　这就是判定全等三角形的“角角边”定理：有两个角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等．
三、实践应用
例1　如图，D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE．求证：△AEB≌△AEC．
分析　在已知条件中有求证三角形中的一对边和一对角，图中还有一对公共边，同学们很容易错将“边边角”当作“边角边”来证明，要正确应用公理和定理．
证明　因为 EB＝EC， （已知）
所以 ∠EBC＝∠ECB．　（等边对等角）
因为 ∠ABE＝∠ACE，　（已知）
所以 ∠ABC＝∠ACB，　（等式性质）
所以 AB＝AC．　　　　（等角对等边）
在△AEB和△AEC中，AB＝AC，∠ABE＝∠ACE，BE＝CE．
所以 △AEB≌△AEC．　（边角边）

例2　如图，已知点A，C分别是线段BE、BD上的一点，连结AC，EC，AD．求证：∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E＝180°．
分析　利用三角形的外角的性质，把所证的5个角集中到一个三角形中，再用三角形内角和定理即可．
证明　因为∠BAC是△ACE的外角（如图），
所以∠BAC＝∠ACE+∠E．（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理∠BCA＝∠CAD+∠D．
又因为在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠B＝180°，（三角形内角和定理）
所以∠CAD+∠ACE+∠B+∠D+∠E＝180°．（等量代换）
说明　
1．换一个角度看，还可把5个角集中转移到平角∠BAE处；
2．变式：移动点A和点C的位置，可得一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
四、交流反思
1.有些图形的性质可以通过观察和实验得到的，但仅仅通过观察和实验是不够的，必须要通过证明得；
2.在推理过程中，不能只根据问题的某种相似性，生搬硬套，要正确运用定理公理等依据去证明几何图形的有关命题．
五、检测反馈
1.如图，是一个零件的形状，按规定应∠A＝90°，∠B和∠C应分别是30°和21°，检测工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格，你能用学过的有关知识说明零件不合格的理由吗？
2.如图，已知：AD＝AE，∠B＝∠C．求证：BE＝CD．
用推理方法研究三角形(1)
知识技能目标
1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理；
2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题．
过程性目标
在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力．
教学过程
一、创设情景
请同学们按以下步骤画△ABC．
1．任意画线段BC；
2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A．
这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．
同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题．
二、探究归纳．
1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．
分析　要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD．
证明　作∠BAC的平分线AD.
在△BAD和△CAD中，∠B＝∠C（已知），∠1＝∠2（画图），AD＝AD（公共边），所以△BAD≌△CAD（A．A．S．）
所以AB＝AC (全等三角形对应边相等)．
　　等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” ）
说明
(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形．
(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知）
所以AB＝AC．（等角对等边）
2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证．
求证：等腰三角形的两个底角相等．
已知：△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
分析　仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形．
证明　画∠BAC的平分线AD．
在△BAD和△CAD中，AB＝AC． （已知）
∠1＝∠2， （角平分线的定义）
AD＝AD， （公共边）
所以 △BAD≌△CAD． （边角边）
∠B＝∠C．（全等三角形对应角相等）
等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ）
推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知）
所以∠B＝∠C．（等边对等角）
说明
(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD；
(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线．
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ）
三、实践应用
例1　已知△ABC中，AB＝AC，E、F分别在AB、AC的延长线上，BE＝CF，EF交BC于D．
求证：DE＝DF．
证明　过点E画EG∥AC交BC于点G．
所以∠EGB＝∠ACB，∠GED＝∠F． （两直线平行，同位角内错角相等．）
因为AB＝AC，　（已知）
所以∠B＝∠ACB，　（等边对等角）
所以∠EGB＝∠B．（等量代换）
所以BE＝GE．（等角对等边）
因为BE＝CF，　（已知）
所以GE＝CF．　　（等量代换）
在△GED和△CFD中，∠GED＝∠F，∠GDE＝∠CDF，GE＝CF，
所以△GED≌△CFD．（角角边）
所以DE＝DF．（全等三角形对应边相等）

例2　如图，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一点，∠A＝2∠EBC．
求证：BE⊥AC．
分析　由已知条件∠A＝2∠EBC，联想到作∠A的平分线AD，则∠CAD＝
∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，即BE⊥AC．
证明　作AD平分∠BAC，交BC于点D．
所以 　∠A＝2∠DAC．
因为　∠A＝2∠EBC，（已知）
所以　∠CAD=∠EBC．（等量代换）
因为　AB=AC， AD平分∠BAC．（已知）
所以　AD⊥BC，（等腰三角形的“三线合一”）
所以　∠C+∠CAD＝90°，（直角三角形两锐角互余）
所以　∠C+∠EBC＝90°，（等量代换）
所以∠BEC=90°．（三角形内角和定理）
所以BE⊥AC．（垂直定义）
说明　也可通过作底边上的高或中线得结论．
四、交流反思．
1．等腰三角形的性质定理和判定定理是证明线段相等，角相等的重要依据．
2．在研究有关等腰三角形的有关问题时，作顶角的平分线（既底边上的高，中线）是最常见的辅助线，可用“三线合一”的性质．平行线也是常用的辅助线，可以转移角或线段的位置．
五、检测反馈
(1)求证：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．
(2)求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)如图所示，墙上钉了一根木条，小明要检验这根木条是否水平．他拿来一个侧平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点．如果重锤过A点，那么这根木条是水平的，你能说明其中的道理吗？
(4)如图，在△ABC中，AB＝AC，DB＝DC．求证：(1)∠1＝∠2；(2)AD⊥BC．

用推理方法研究三角形(2)
知识技能目标
1．正确区别等腰三角形的性质定理和判定定理．根据已知条件，正确选择性质定理和判定定理来证明问题；
2．会证明“斜边、直角边定理”，并能用此定理来证明三角形全等．
过程性目标
在运用等腰三角形的性质定理和判定定理的过程中，体会两者的互逆关系，提高分析问题的能力．
教学过程
一、创设情景
我们用逻辑推理的方法去证明了以前所学过的一些几何图形的性质，与观察
实验的方法相比，证明的方法更客观、更具有说服力．我们曾经通过画图、比较，发现：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形是全等的．现在就可以依据等腰三角形的性质定理，用逻辑推理的方法证明这个结论的正确性．同学们可以先画出结论中所包含的几何图形，写出已知、求证．
二、探究归纳．
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．
求证：△ABC≌△A′B′C′ ( )( )
分析 已知两个三角形的条件是边边角，不能得两个三角形全等，必须另外找出一对对应角相等，可把△ABC和△A′B′C′拼在一起，使AC和A′C重合，B、B′在AC的两旁，关键要说明B、C(C′)、B′在一条直线上，这样，得一个等腰三角形，从而得两个角相等．
证明 如图，把△ABC和△A′B′C′拼在一起．
因为∠ACB＝∠A′C′B′＝90°（已知）
所以∠BCB′＝180°（等式的性质）
即　点B、C(C′)、B′在同一条直线上．
在△A′B′B中，因为A′B′＝AB＝A′B（已知），所以∠B＝∠B′（等边对等角）
在△ABC和△A′B′C′中，
因为∠ACB＝∠A′C′B′＝90°（已知），
∠B＝∠B′（已证），AB＝A′B′（已知），
所以△ABC≌△A′B′C′（A.A.S.）

斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形是全等的．简记为H.L.
说明
1．本题的证明方法比较特别，通过图形的运动，将三角形拼在一起，找到证明斜边、直角边定理的途径．
2．推理形式：因为在△ABC和△A′B′C′中，
∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′．（已知）
所以△ABC≌△A′B′C′(H.L.)
3．斜边、直角边定理的条件，就是两边及其中一边的对角对应相等，但这个角必须是直角，对于一般三角形是不成立的．
三、实践应用．
例1　如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DE＝DF．
求证：AB＝AC．
分析　可用H.L.先证两个直角三角形△DBE≌△DCF，得∠B＝∠C，根据等腰三角形的判定定理得AB＝AC．
证明　因为DE⊥AB，DF⊥AC于F，（已知）
所以∠DEB＝∠DFC＝90°，（垂直的定义）
因为D是BC中点，所以DB＝DC，（中点定义）
在Rt△DBE和Rt△DCF中，DE＝DF（已知），DB＝DC，（已证）
所以△DBE≌△DCF，（H.L.）
所以∠B＝∠C，（全等三角形对应角相等）
所以AB＝AC．（等角对等边）

例2　如图，在△ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，且AE＝EF．
求证：AC＝BF．
分析　若通过AC、BF所在的三角形全等来证明AC＝BF，显然有些难度，可以考将两条线段转移到同一个三角形中，通过等角对等边来证明，所以倍长中线AD．
证明　延长AD到G，使DG＝AD，连结BG，
在△ACD和△GBD中，AD＝GD（已知），∠ADC＝∠GDB（对顶角相等），CD＝BD（已知），
所以△ACD≌△GBD(S.A.S.)
所以AC＝GB，∠1＝∠G（全等三角形对应边、对应角相等）
因为AE＝EF（已知），所以∠1＝∠2.（等边对等角）
又因为∠2＝∠3，（对顶角相等）
所以∠3＝∠G，（等量代换）
所以BF＝BG，（等角对等边）
所以AC＝BF．（等量代换）
说明
1.有中线条件需添辅助线时，常用的方法是倍长中线；
2.本题也可过点C作CH∥BF，交AD的延长线于点H，构造等腰△ACH．可让同学自己完成证明过程．
四、交流反思
1.等腰三角形的性质定理与判定定理的条件和结论正好相反，在证明过程中要注意区别；
2.要证明线段（或角）相等，通常想法是证明它们所在的两个全等，或利用等腰三角形的性质与判定，需添辅助线时，常用倍长中线或作平行线的方法构造全等三角形、等腰三角形．
五、检测反馈
1.△abc中，AD为中线，∠BAD＝∠DAC．求证：AB＝AC．
2.如图，AB＝AC，F是BC上一点，DF⊥BC交AC于E，交BA的延长线于点d．求证：AD＝AE
用推理方法研究三角形(3)
知识技能目标
1.掌握角平分线的性质定理及判定定理，并能用逻辑推理的方法证明；
2.知道三角形内心就是三角形三条角平分线的交点；
3.能用角平分线的有关定理去证明两个角相等或两条线段相等．
过程性目标：
能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力．
教学过程
一、创设情景
在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质．
二、归纳探究
1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充．
已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足．
求证：PD＝PE．
分析　只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。
证明　因为PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
　所以∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直定义）
在△PDO和△PEO中，∠DOP＝∠EOP（已知），∠PDO＝∠PEO（已证），PO＝PO（公共边），
所以△PDO≌△PEO（A.A.S.）
所以PD＝PE（全等三角形对应边相等）．
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．
说明　定理的推理形式：
(1)因为OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，（已知）
所以PD＝PE．（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）
(2)在已知条件中不能遗漏垂直关系．
2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题．
已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析　要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ．
证明　画射线OQ，
因为QD⊥OA，QE⊥OB（已知），
所以∠QEO＝∠QDO＝90°（垂直定义）
在Rt△QOE和Rt△DOQ中，QE＝QD（已知），QO＝QO（公共边），
所以△DOQ≌△EOQ（H.L.）
所以∠AOQ＝∠BOQ（全等三角形对应角相等）
即OQ平分∠AOB，
所以Q在∠AOB的平分到线上．
角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上．
推理形式：
如图，因为QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．（已知）
所以点Q在∠AOB的平分线上．（一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
三、实践应用
我们知道，任意三角形的三条角平分线交于一点．现在我们就可以依据角平
分线的定理来证明这一事实．
分析　要证明三条角平分线交于一点，只需证明其中两条角平分线的交点在第三条角平分线上．
如图，已知AD、BE是△ABC的两条角平分线，AD、BE交于点O，CF平分∠ACB．
求证：点O在CF上．
证明　过点O作OG、OH、OI分别垂直BC、CA、AB，垂足为G、H、I．
因为BE平分∠ABC，点O在BE上，且OG⊥BC于G，OI⊥AB于I，
所以OG＝OI（角平分线上的点到这个角两边的距离相等），
同理OI＝OH，
所以OG＝OH，（等量代换）
所以O在∠ACB的平分线上，（到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上）
因为CF平分∠ACB，（已知）
所以点O在CF上．
说明
1.根据角平分线的性质，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等；
2.三角形三条角平分线的角点就是三角形的内心（内切圆的圆心）．
例1 如图，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，且∠1＝∠2．求证：OB＝OC．
分析 要证明OB＝OC，只要证明△OBD≌△OCE，可利用角平分线及垂线的条件得OD＝OE．
证明 因为∠1＝∠2，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别是E、D，BE、CD相交于点O，（已知）
所以OD＝OE（角平分线上的点到这个角两边的距离相等），
所以∠ODB＝∠OEC＝90°（垂直定义）.
在△OBD和△OCD中，∠ODB＝∠OEC（已证），OD＝OE（已证），
∠DOB＝∠EOC（对顶角相等）.
所以△OBD≌△OCE（S.A.S.）
所以OB＝OC（全等三角形对应边相等）．
四、交流反思
1.角平分线的性质定理与判定定理也是证明线段和角相等的重要依据，不必通过全等三角形可简化证明；
2.角平分线的性质定理与判定定理的条件与结论正好相反，要注意两者应用是的区别；
3.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等．
五、检测反馈
1.如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．
2．如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F．求证：点F在∠DAE的平分线上．
3．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线交BC于点D．求证：AB＝CD+AC．
用推理方法研究三角形(4)
知识技能目标
1．理解并掌握关于线段的垂直平分线的两个定理及其推导过程；
2．能熟练运用定理进行证明、计算．
过程性目标
在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学过程
一、创设情景
画线段AB，由于AB是轴对称图形，说说它的对称轴是什么？（其中一条对称轴是线段AB的垂直平分线）我们来画出AB的垂直平分线MN．
在直线MN上任意找一点P，连结PA、PB，此时PA、PB之间有何关系？PA＝PB．说明了线段的垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．现在，我们同样可以用逻辑推理的方法来证明．先请同学们根据图形，写出已知、求证．
二、探究归纳．
1．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．
求证：PA＝PB．
分析　要证明PA＝PB，只要证明△PAC≌△PBC，这两个三角形全等满足边角边条件．
证明　可以让同学们自己完成证明过程．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
2．反过来，到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢？如图，QA＝QB，那么Q是否会在这条线段的垂直平分线上呢
已知：如图，QA＝QB．
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上．
分析　要证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先过Q画AB的垂线，再说明这条垂线平分线段AB．
证明　过Q画直线MN⊥AB，垂足为C，
在Rt△ACQ和Rt△BCQ中，QA＝QB（已知），QC＝QC（公共边），
所以△ACQ≌△BCQ（H．L．），
所以AC＝BC（全等三角形对应边相等）．即MN平分AB，
所以MN垂直平分AB．
即点Q在线段AB的垂直平分线上．
问题　如果先平分AB，设AB中点为C，连结QC，能否证明QC⊥AB，从而得QC垂直平分AB呢？请同学们简要说明．
线段垂直平分线的性质定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
三、实践应用．
例1　证明三角形三边的垂直平分线交于一点．
分析　要证明三条垂直平分线交于一点，只需证明其中两条垂直平分线的交点在第三条直线上．
已知：△ABC中，AB、AC的中垂线l、m交于点O．
求证：点O在AC的中垂线n上．
证明　因为l是的AB中垂线，点O在l上，（已知）
所以OA＝OB（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等），
同理OB＝OC．
所以OA＝OC．（等量代换）
所以点O在AC的中垂线n上（到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．
即三角形三边的垂直平分线交于一点．
说明
1．三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
2．这个交点是三角形的外心．（即外接圆的圆心）
例2　如图，已知∠ABC＝∠ACB，AD平分∠BAC，点P在直线AD上．
求证：PB＝PC．
分析　由已知可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质便可证得PB＝PC．
证明　因为∠ABC＝∠ACB（已知），
所以AB＝AC（等角对等边），
因为AD平分∠BAC（已知），
所以AD是BC的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”性质），
因为点P在直线AD上（已知），
所以PB＝PC（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）．

例3　如图，已知AB＝AC，BD＝CD，P是AD上一点．
求证：PB＝PC．
分析　要证明PB＝PC，只要说明AD是BC的垂直平分线，根据直线公理，只要证明点A、D在BC的垂直平分线上即可．
证明　因为AB＝AC（已知），
所以点A在BC的垂直平分线上（到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
同理，点D在BC的垂直平分线上，
所以AD垂直平分BC（直线公理），
因为P在AD上，
所以PB＝PC（线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等）．
四、交流与反思．
1．在证明线段相等或角相等是，用线段的垂直平分线的性质与判定比用全等三角形的方法更简捷，可简化证明过程．
2．线段的垂直平分线的性质与判定常与等腰三角形的性质与判定联系在一起综合运用．
3．要判断一直线为线段的垂直平分线，只要说明此直线上有两个点分别到线段两端点的距离相等．
五、检测反馈．
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等．
2．如图，已知AE＝CE，BD⊥AC．求证BA+DA＝BC+DC．
3．如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F．
求证：AD垂直平分EF．
用推理方法研究三角形(5)
知识技能目标
1.正确理解逆命题、逆定理的概念，会识别互逆命题，能正确判断命题的真假；
2.会证明勾股定理的逆定理，能熟练运用勾股定理及其逆定理进行推理、计算．
过程性目标
1.能体会到角平分线的性质定理及判定定理的互逆关系，增强概念的辨析能力，提高分析能力；
2.在证明及运用线段的垂直平分线的定理的过程中，体会两个定理条件与结论之间的变化，进一步提高分析问题、解决问题的能力．
教学过程
一、创设情景
前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判
定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？
二、探究归纳
1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是　　　，结论是　　　；
命题“内错角相等，两直线平行”的题设是　　　，结论是　　　．
在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．所以上述两个命题叫做互逆命题，如“两直线平行，内错角相等”为原命题，则“内错角相等，两直线平行”为逆命题，反之也可以．
2．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设与结论互换，便可得到原命题的逆命题．但是，原命题正确，它的逆命题未必正确，也就是说原命题与逆命题的真假之间没有必然的联系．比如“对顶角相等”是真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”是一个假命题．
3．我们知道定理是命题，所以定理一定有逆命题．我们还知道定理是真命题，但定理的逆命题却不一定是真命题，如果是真命题，则定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．比如我们刚才所讲的命题“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．再比如等腰三角形的性质定理与判定定理也是互逆定理，同学们能否再举一些互逆定理？
三、实践应用．
例1 写出下列命题的逆命题，判断原命题与逆命题的真假．
(1)全等三角形的面积相等；
(2)同角的余角相等；
(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b；
(4)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
(5)线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

例2 写出勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题，并证明逆命题是真命题．
解 勾股定理的逆命题是：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．
求证：△ABC是直角三角形．
分析 首先构造一个直角三角形ABC，使得∠C′＝90°，B′C′＝a，
C′A′＝b，然后可以证明△ABC≌△A′B′C′，从而可知△ABC是直角三角形．
证明 作△A′B′C′，使得∠C′＝90°，B′C′＝a，C′A′＝b．
所以A′B′2＝a2+b2．（勾股定理）
因为a2+b2＝c2，所以A′B′＝c．
在△ABC和△A′B′C′中，BC＝B′C′＝a，CA＝C′A′＝b，AB＝A′B′＝c．
所以△ABC≌△A′B′C′（边边边），所以∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC是直角三角形．
勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．
说明
1.勾股定理与勾股定理逆定理是一对互逆定理．
2.勾股定理的逆定理可用来判断直角三角形，其推理形式：
△ABC中，因为AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2．（已知）
所以△ABC是直角三角形．（勾股定理的逆定理）

例3 如图，四边形ABCD是边长a为的正方形，M为AB中点，E为AD上一点，且AE＝ AD．
求证：△EMC是直角三角形．
分析 △AME、△BMC、△DEC都是直角三角形，且直角边已知，由勾股定理可求得：EM2＝ a2，MC2＝ a2，EC2＝ a2，故EM2+MC2＝EC2，由勾股定理的逆定理，得△EMC是直角三角形．
证明 因为四边形ABCD是正方形，（已知）
所以∠A＝∠B＝∠D＝90°，（正方形性质）
又因为M为AB中点，且AE＝ AD，（已知）
所以AM＝BM＝ a，AE＝ a，ED＝ a，
所以在Rt△AEM中，EM2＝AE2+AM2＝ a2（勾股定理），
Rt△MBC中， MC2＝MB2+BC2＝ a2（勾股定理），
Rt△EDC中， EC2＝ED2+DC2＝ a2（勾股定理），
所以EM2+MC2＝EC2，（等式性质）
所以△EMC是直角三角形．（勾股定理的逆定理）

四、交流反思
1.勾股定理的逆定理是另一种判定直角三角形的方法，它仅仅依据三边长度之间的关系就可以作出判断，而不必计算角的大小．
2.每个命题都有逆命题，要防止将某一命题（或定理）的逆命题是假命题误认为没有逆命题．
3.一些叙述比较简单的命题，应先分清其题设和结论，再写出逆命题．判断逆命题的真假，要注意隐含条件的变化．
4.互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题．
五、检测反馈
1.判断题．
(1)如果原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题．
(2)如果原命题是假命题，那么它的逆命题不一定是假命题．
(3)每个命题都有逆命题，所以每个定理都有逆定理．
2.举例说明下列命题的逆命题是假命题．
(1)如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除．
(2)如果两个角都是直角，那么这两个角相等．
3.判断下列三角形是否是直角三角形．如果是，那么哪一条边所对的角是直角？
(1)a＝5，b＝12，c＝13；
(2)a＝4，b＝8，c＝6；
(3)a＝2xy，b＝x2－y2，c＝x2+y2；
(4)a:b:c＝1: :2
4.给定一个三角形的两边长分别是5、12，当第三条边为多长时，这个三角形是直角三角形？

用推理方法研究四边形(1)
知识技能目标
1.掌握平行四边形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是平行四边形；
2.能运用平行四边形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
1.掌握证明的一般步骤；
2.会运用公理、定理、定义通过逻辑推理来证明以前通过实验操作得到的几何命题．
教学过程
一、创设情景
在第12章中，我们已学过平行四边形的性质与判定，你能用逻辑推理的方法来证明“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”吗？
二、探究归纳
知识回顾：要证明一个命题须分三步来完成：①画图；②结合图形写出已知、求证；③证明．
已知：如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析 要证明四边行ABCD是平行四边形，目前只能用平行四边形的定义来证明，即只要证明另一组对边平行即可，因此可以连结其中一条对角线，利用全等三角形对应角相等来证明内错角相等．
证明 连结AC．因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
所以∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．
在△ABC和△CDA中，因为AB＝CD，∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，
所以△ABC≌△CDA（S.A.S），
所以∠BCA＝∠DAC，
所以BC∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
于是得：
平行四边形判定定理1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边．
利用全等三角形的性质，同样可以证明下列平行四边形判定定理．
平行四边形判定定理2　两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理3　两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形判定定理4　对角线互相平分的四边形是平行四边形．
同样，我们也可用逻辑推理的方法来证明平行四边形的性质．
平行四边形性质定理1　平行四边形的对边相等．
已知： 如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证： AB＝CD， BC＝DA．
分析 要证明平行四边形的对边相等，可以连结其中一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，然后利用全等三角形对应边．相等得
证明 连结AC．因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，
　　 所以∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．
同理∠BCA＝∠DAC．
在△ABC和△CDA中，因为∠BAC＝∠DCA，AC＝CA，∠BCA＝∠DAC，
所以△ABC≌△CDA（A.S.A.），
所以AB＝CD，BC＝DA（全等三角形的对应边相等）．
由△ABC≌△CDA，我们还可以得出∠B＝∠D，同样也可得出∠BAD＝∠DCB，于是可得：
平行四边形性质定理2　平行四边形的对角相等．
同样，我们也可证明：
平行四边形性质定理3　平行四边形的对角线互相平分．
三、实践应用
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，且AE＝CF．
求证：BF∥DE．
分析 要证BF∥DE，只要证四边形EBFD是平行四边形即可
证明 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AB＝CD．
因为AE＝CF，
所以BE＝DF．
又因为BE∥DF，
所以四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
所以BF∥DE．
变式应用：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，那么 BF∥DE成立吗？
学生通过充分的交流后，一致得出：连结BD交AC于O点，利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来证明最为合适．
四、交流反馈
1.学习平行四边形的性质与判定，可按边的关系，角的关系以及对角线的关系进行分类记忆；
2.在证明有关平行四边形问题时，要根据已知条件的特征，正确合理地使用平行四边形的性质与判定；
3.可以用有关平行四边形知识证明的问题，不要倒退到利用三角行的全等来证明．
五、检测反馈
1.求证：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2.求证：平行四边形的对角线互相平分．
3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E、F分别是边AB、DC的中点．求证：EF＝BC．

用推理方法研究四边形(2)
知识技能目标
1.掌握矩形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是矩行；
2.能运用矩形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索矩形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程
一、创设情景
教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上．拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的形状．
学生思考如下问题：
(1)无论∠1如何变化，四边形ABCD还是平行四边形吗？
(2)随着∠1的变化，两条对角线长度有没有变化？
(3)当∠1为什么角时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——矩形？这时两条对角线长度有没有关系？
二、探究归纳
我们知道矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．
根据矩形的定义，矩形是平行四边形，且有一个角是直角，从而可得：
定理矩形的四个角都是直角．
由问题(3)我们还知道定理“矩形的对角线相等”．你会用推理的方法证明吗？
已知：如图，四边形ABCD是矩形．
求证：AC＝BD．
分析 由于AC、BD分别是△ABC、△DCB的边，因此要证AC＝BD，只要证△ABC≌△DCB．
证明 因为四边形ABCD是矩形．
所以AB＝CD，∠ABC＝∠DCB．
又因为BC＝BC，
所以ΔABC≌ΔDCB（S.A.S）．
所以AC＝BD．
上述两条定理是矩行的性质定理．
那么要判定一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
定理　有三个角是直角的四边形是矩形．
思考　根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是矩形呢？
再看上面一个活动的平行四边形木框,保持边的大小不变，仅改变内角大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为矩形．
定理　对角线相等的平行四边形是矩形．
上述两条定理是矩行的判定定理
三、实践应用
例1 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
本题的关键在于证明四边形AEBC是一个矩形．
证明　延长CD到E，使DE＝CD，连结BE、AE．
因为CD是斜边AB上的中线，
所以AD＝BD．
又因为CD＝DE，
所以四边形BCAE为平行四边形．
又因为∠ACB＝90°，
所以平行四边形BCAE为矩行．
所以CE＝AB．
即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
以后把这条作为直角三角行的性质定理．
四、交流反馈
1.矩形的性质：
(1)矩形具有平行四边形的一切性质；
(2)矩形的四个内角都是直角；
(3)矩形的对角线相等且互相平分．
2.矩形的判定：
(1)有三个角是直角的四边形是矩形；
(2)有一个内角是直角的平行四边形是矩形；
(3)两条对角线相等的平行四边形是矩形．
五、检测反馈
1.已知：平行四边形ABCD的四个内角的平分线交于E、F、G、H．
求证：EG＝HF．
2.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点．
求证：EB＝ED．
用推理方法研究四边形(3)
知识技能目标
1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；
2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程
一、创设情景
教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状．
学生思考如下问题：
(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？
(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？
二、探究归纳
我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．
根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：
定理菱形的四条边都相等．
由问题(2)我们还知道
定理　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
会用推理的方法证明吗？
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．
分析 要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．
证明 设对角线AC与BD交于点O．
因为四边形ABCD是菱形，故AB＝AD，
即△ABD为等腰三角形．
又BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），所以AC⊥BD，AC平分∠DAB（等腰三角形的三线合一）．
同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．
要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：
定理　四条边相等的四边形是菱形
思考　根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？
再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？
定理　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
三、实践应用
例1 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形
解 连结BD．
因为四边形ABCD是菱形，
所以AD＝AB．
又因为DM⊥AB, M是AB的中点，
所以DM垂直平分AB．
所以AD＝BD，
所以AD＝BD＝AB．
所以ΔABD是等边三角形．
例2 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系
解 因为DE∥BA，DE∥AC．
所以四边形AEFD为平行四边形，
又因为AD是ΔABC的角平分线，
所以∠EAD＝∠FAD．
因为DE∥AC，
所以∠FAD＝∠ADE．
所以∠EAD＝∠ADE．
所以ED＝EA．
所以平行四边形AEFD为菱形．
所以AD⊥EF，且AD与EF相互平分．
四、交流反馈
1.菱形的性质：
(1)菱形具有平行四边形的一切性质；
(2)菱形的四条边都相等；
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
2.菱形的判定：
(1)四条边相等的四边形是菱形；
(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
五、检测反馈
1.有一条对角线平分一个内角的平行四边形是否是菱形？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．
2.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．

用推理方法研究四边形(4)
知识技能目标
1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；
2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程
一．创设情景
1.展开活动的衣帽架（如图）．
图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形．老师继续问当α＝90°时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形．最后老师进行评判，并指出：当α＝90°时，这个四边形还是菱形．因为它是邻边相等的平行四边形．但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形．
2.展开一边固定对边活动的矩形．
将活动的矩形架的CD边左右移动时，问：图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在活动的过程中始终保持与AB平行）生答：矩形．当CD移动到C′D′位置，且AC′＝AB时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形．
二、探究归纳
我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质．
定理　正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．
反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：
定理　有一个角是直角的菱形是正方形．
定理有一组邻边相等的矩形是正方形．
三、实践应用
例1　求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．
已知：如图27.3.7，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是正方形．
分析　要证四边形EFGH是正方形，可先证四边形EFGH是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证四边形EFGH是菱形，然后再证有一个角是直角．
证明　因为四边形ABCD是正方形，所以∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD．
因为点E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，
所以BE＝BF＝CF＝CG，
∠BEF＝∠BFE＝∠CFG＝∠CGF＝45°，
因此∠EFG＝90°．
同理FGH＝∠GHE＝90°．
所以四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
因为BE＝CF，∠B＝∠C，BF＝CG，
所以△BEF≌△CFG（S.A.S.），
EF＝FG（全等三角形的对应边相等）．
所以四边形EFGH是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）
提问：你能用分析中的第二种方法证明吗？
变式应用　如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形．
分析 证明方法类同上例，请同学们自己完成．
四、交流反思
1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；
2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等；
3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；
4.有一个角是直角的菱形是正方形；
5.有一组邻边相等的矩形是正方形．
五、检测反馈
1.如图，在平行四边形ABCD中，∠1＝∠2＝45°．
求证：四边形ABCD是正方形．
2.尽可能多地说出识别一个四边形为正方形的方法．（说明理由）

用推理方法研究四边形(5)
知识技能目标
1.掌握等腰梯形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是等腰梯形；
2.能运用等腰梯形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．
过程性目标
经历探索等腰梯形有关性质与判定条件的过程，巩固梯形中常见添线方法，进一步发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．
教学过程
一、创设情景
在第12章中，我们已学过等腰梯形的一些性质．现在也可以用逻辑推理的方法来证明这些性质．
二、探究归纳
定理　等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．
已知：如图27.3.8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
求证：∠ABC＝∠DCB，∠BAD＝∠CDA．
分析　可以过点D作DE∥AB，交BC于E．
（请学生写出完整的证明过程）
定理　等腰梯形的两条对角线相等．
已知：如图27.3.9，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC．
求证：AC＝BD．
分析　可以通过证明△ABC≌△DCB得出结论．
（请学生写出完整的证明过程）
我们同样可以探索一个梯形具备哪些条件才能成为等腰梯形．
定理　同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
已知： 如图27.3.10，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．
求证： 四边形ABCD是等腰梯形．
证明　过点D作DE∥AB，交BC于E，则
∠B＝∠DEC（两直线平行，同位角相等）．
因为∠B＝∠C，
所以∠DEC＝∠C，
所以DE＝DC（等角对等边）．
因为AD∥BC，DE∥AB，
所以四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义），
所以AB＝DE（平行四边形的对边相等）．
因此　AB＝DC，
即四边形ABCD是等腰梯形．
我们还可以得到：
定理两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
三、实践应用
例1　用图中所示的辅助线的方法，证明同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．
已知：如图27.3.10，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．
求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明　延长BA和CD交于E．
因为∠B＝∠C，
所以BA＝CE．
有因为AD∥BC，
所以∠B＝∠EAD，∠C＝∠EDA，
所以∠EAD＝∠EDA．
所以AE＝DE．
所以BE-BA＝CE-CD，
即AB＝CD，
所以四边形ABCD是等腰梯形．

例2　如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，且AC⊥BD，CH是高．
求证：AB+CD＝2CH．
证明　过C作CE∥DB，交AB的延长线于E．
因为AB∥DC，CE∥DB，
所以四边形DBEC是平行四边形．
所以CD＝BE，CE＝BD．
又因为等腰梯形ABCD，
所以AC＝BD，
所以AC＝CE．
又因为CH是高，
所以AH＝HE．
因为AC⊥BD，CE∥DB，
所以AC⊥CE．
所以2CH＝AE＝AB+BE＝AB+DC，
即AB+DC＝2CH．
四、交流反思
1.等腰梯形的性质：
(1)由定义得等腰梯形的两腰相等；
(2)等腰梯形是轴对称图形；
(3)等腰梯形的两条对角线相等；
(4)等腰梯形同一底上两个内角相等．
2.等腰梯形的判定：
(1)由定义得两腰相等的梯形是等腰梯形；
(2)同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形；
(3)两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
(4)常见的添线方法：
五、检测反馈
1.用图中所示的添辅助线的方法，证明等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等．
2.已知等腰梯形的一个底角为60°，它的两底分别是6 cm、16 cm．求这个等腰梯形的周长．
3.求证：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．
用推理方法研究四边形(6)
知识技能目标：　　
1、认知目标：认识三角形中位线，掌握三角形中位线定理。
　　2、能力目标：培养学生的发散、创新思维能力和相互协作意识。
　　3、情感目标：创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；在交流中认识自我，发现自身价值，增强自信心、成就感和愉悦感。
过程性目标：
　　为学生营造一个宽松和谐的环境，使他们经历猜想、推理、发现和总结等求知过程，养成用数学思想去解决实际问题的习惯，感受数学的价值和探索学习的乐趣。
教学重点、难点：
　　重点：三角形中位线定理证明和运用。
　　难点：灵活地添加辅助线，构建中位线模型来解决问题。
教学过程：
一、诱发
画一画，观察与思考：
1.画△ABC边AC上的中线BE，取边AB上的中点D,连结DE，线段DE是中线吗？
2.尝试定义
以上线段DE叫做△ABC的中位线，请同学们尝试定义什么叫做三角形的中位线？并比较三角形的中位线和中线的区别。
三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？
启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形的中线只有一个端点是边的中点，另一个端点是三角形的一个顶点。
3. 实践与猜想
请度量DE和BC的长度。猜想：DE和BC的关系（位置关系和数量关系）。
让学生通过实践体会和感知出：DE∥BC，DE= BC。
问题：你凭什么猜出：DE∥BC？（看出来的）
二、释疑：
1.试证明你的猜想
引导学生写出已知、求证，并启发分析。
（已知：△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC；DE= BC）
启发1：证明直线平行的方法有那些？
启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。
启发2：证明线段的倍分的方法有那些？（截长或补短）
学生分小组讨论，教师巡回指导，经过分析后，师生共同完成推理过程，板书证明过程。强调还有其他证法。
证明：延长中位线DE到F，使EF=DE，连结CF。易证△ADE≌△CFE（或证四边形ADCF为平行四边） 得AD∥ FC，又∵AD=DB，∴DB∥FC，
∴四边形DBCF是平行四边形，DF∥BC。
∵ DE= DF，∴ DE ∥ BC
2.启发学生归纳定理，并用文字语言表述：
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
【点评】上述教学过程通过学生亲自动手画、量，猜想发现了三角形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到了证明中位线定理的方法。并由学生自己完成了证明过程，充分发挥了学生主动学习，合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质。
三、转化应用：
1.练一练：
已知三角形三边长分别为6，8，10，顺次连结各边中点所得的三角形周长是多少？由本题的图形你能否联想到一般性的结论？（如果△ABC的三边的长分别为a、b、c，那么△DGE的周长是多少？）
2.例题
求证：顺次连结任意四边形中点所得的四边形是平行四边形。（学生边画图边观察，划线部分请学生猜想）
已知：在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
你能证明它是平行四边形吗？当学生不会添辅助线时，教师再作启发，这么多的中点我们会想到什么呢？四边形的问题又可以转化成什么图形的问题呢？使学生能够连结对角线。
学生议论后口述证明，教师板书证题过程（估计学生可能添两条对角线或一条对角线来证明）。
证明：连结BD。
∵ E、F分别为AB、DA的中点，
∴ EF∥ BD（三角形中位线性质定理）
同理 GH∥ BD
∴ EF∥GH
∴四边形EFGH是平行四边形。（一组对边平行且相等四边形是平行四边形）
变式：顺次连结上题中，所得到的四边形EFGH四边的中点得到一个四边形，继续作下去，所得到的四边形依次是什么特殊四边形，请填空 ，由此得到的结论是 。
要求学生动手画图，猜想结论，再在小组内相互讨论、交流。
【点评】通过例2变式题的形容讨论不仅培养了学生应用数学知识，解决数学问题的能力，而且还培养了学生的归纳推理，猜测论证能力，（循环重复上述四种特殊四边形），亲身体验数学活动充满着探索性、创造性和趣味性。
巩固练习：1 略
2、课余探究：E、G是△ABC中,AB边上的三等分点，H、F是AC边上的三等分点。 H、F是AC边上的三等分点。
①GH与EF； ②GH与BC； ③EF与BC，有什么数量关系和位置关系？
【点评】该问题的设置具有一定的挑战性，有助于学生利用已有知识经验指导解决新问题。对发展学生的想象能力，推理猜测能力有所脾益。
该节课的学习，贯彻了“数学课程标准”中的思想。对学生要掌握的知识与技能，学习思考、解决问题，情感与态度四大目标有较好的体现，有一定的推广意义。
四、教学回顾：
⑴三角线的中位线、以及它与三角形中线的区别；
⑵三角线中位线的性质及其应用；
五、检测反馈(略)
用推理方法研究四边形(7)
知识技能目标：　　
1、认知目标：认识梯形中位线，掌握梯中位线定理。
　　2、能力目标：培养学生的发散、创新思维能力和相互协作意识。
　　3、情感目标：创设问题情境，激发学生学习数学的热情和兴趣；在交流中认识自我，发现自身价值，增强自信心、成就感和愉悦感。
过程性目标：
　　为学生营造一个宽松和谐的环境，使他们经历猜想、推理、发现和总结等求知过程，养成用数学思想去解决实际问题的习惯，感受数学的价值和探索学习的乐趣。
教学重点、难点：
　　重点：梯形中位线定理证明和运用。
　　难点：灵活地添加辅助线，构建中位线模型来解决问题。
教学过程：
一、诱发
画一画，观察与思考：
1.画梯形ABCD腰AB上的中点E，取边CD上的中点F,连结EF，线段EF是什么线？
2.尝试定义
以上线段EF叫做梯形ABCD的中位线，请同学们尝试定义什么叫做梯形的中位线？
问题：（1）梯形有几条中位线？与三角形的中位线有什么区别？
3. 实践与猜想
请度量EF和(AD+BC)的长度。猜想： EF和(AD+BC)的关系（数量关系）。
让学生通过实践体会和感知出： DE= BC。
问题： EF∥BC, EF∥CD？（能,看出来的）
二、释疑：
1.试证明你的结论
引导学生写出已知、求证，并启发分析。
已知： 如图27.3.12所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝BE，DF＝CF．
求证： EF∥BC，EF＝（AD＋BC）．
启发1：证明直线平行的方法有那些？
启发学生联想由角的相等或互补得出平行、由平行四边形得出平行等。
启发2：证明线段的倍分的方法有那些？（截长或补短）
分析　由于本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以连结AF，并延长AF交BC的延长线于G，证明的关键在于说明EF为△ABG的中位线．于是本题就转化为证明AF＝GF，AD＝CG，故只要证明△ADF≌△GCF．
学生分小组讨论，教师巡回指导，师生共同完成推理过程，板书证明过程。强调还有其他证法。
2.启发学生归纳定理，并用文字语言表述：
梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半．
【点评】上述教学过程通过学生亲自动手画、量，猜想发现了梯形中位线定理，教师引导，启发学生思维，讨论找到了证明中位线定理的方法。并由学生自己完成了证明过程，充分发挥了学生主动学习，合作学习和探究性学习的功能，培养了学生发现问题、探究问题的能力，以及用数学语言表述数学问题的能力等良好的数学品质。
三、转化应用
练一练：如图所示的梯形梯子，AA'∥EE'，AB＝BC＝CD＝DE，A' B'＝B' C'＝C' D'＝D' E'， AA'＝0.5 m， EE'＝0.8 m．求BB'、CC'、DD'的长．
该节课的学习，贯彻了“数学课程标准”中的思想。对学生要掌握的知识与技能，学习思考、解决问题，情感与态度四大目标有较好的体现，有一定的推广意义。
四、教学回顾：
⑴梯形的中位线、以及它与三角形中位线的区别；
⑵梯形中位线的性质及其应用；
五、检测反馈(略)
用推理方法研究四边形(8)
　知识技能目标
　　(1)深化学生对“反证法”的掌握，进一步明确反证法证明命题的思路和步骤．
　　(2)能应用反证法证明一些简单的数学命题．
　教学重点和难点
　　重点：对反证法证题的几个步骤的理解和掌握．
　　难点：反证法证题中在推理过程中发现矛盾．
　教学过程
一、引入新课，教师总结归纳．
　　 “反证法”是一种间接证法，对一些从正面进行推理困难的命题，我们经常用“反证法”去进行证明．
　　用“反证法”证明命题的步骤是：
　　(1)假设命题的结论不成立，我们假设命题的反面成立；
　　(2)从假设命题的反面成立出发，应用已知条件及公理、定理、法则进行推理，产生矛盾．(与已知条件矛盾，与已知的公理、定理矛盾，推理过程中自相矛盾)
　　(3)由矛盾判定假设不正确，从而推断命题的结论正确．
二、探究归纳
　我们知道，命题“在△ABC中，如果把AB=c，BC=a，CA=b且∠C=90°
那么”是真命题，试问命题“在△ABC中，如果把AB=c，
BC=a，CA=b且∠C≠90°那么”是真命题吗？
想从已知条件∠C≠90°出发，经过推理，得出结论，
是很困难的。我们可以用如下的方法证明命题是真命题。
假设，根据勾股定理的逆定理，一定有∠C=90°，这与
已知条件∠C≠90°矛盾，因此，假设是错误的，于是可知
。这就说明：命题“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，
CA=b且∠C≠90°那么”是真命题。
这种证明方法叫做“反证法”。其步骤为：先假设结论的反面是正确的，
然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，
说明假设不成立，从而得到原结论正确。
三、例题讲解
例4 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC。
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
证明 假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°
∠B＞60°,∠C＞60°.于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°
与三角形的内角和等于180°矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。
四、课堂练习
　　用反证法证明：在△ABC中，若∠C是直角，那∠B一定是锐角．
　　(分析：结论∠B一定是锐角的反面是∠B是直角，或∠B是钝角，从这两个假设出发推出矛盾)
　　证明：在△ABC中，假设∠B一定不是锐解，即∠B是直角或钝角．
　　
　　
　　
　　
　　假设∠B一定不是锐角不成立．
　　故∠B一定是锐角．
五、小结 小结“反证法”的三个步骤
　　并向学生介绍，一般用反证法证明的题型有：
　　(1)命题的结论以原定形式出现时．
　　(2)命题的结论以“至多”“至少”的形式出现时．
　　(3)命题的结论以“无限”的形式出现时．
　　(4)命题的结论以“唯一”“共点”“共线”“共面”的形式出现时．
　　(5)命题不易直接证明的．
六、检测反馈(略)
单元复习(1)
知识技能目标
1．理解证明的必要性，进一步掌握证明的一般步骤；
2．掌握用推理的方法研究等腰三角形、角平分线、线段的垂直平分线；
3．理解并掌握逆命题、逆定理的概念及它们与原命题、原定理之间的联系．
过程性目标
通过具体的例子，说明了证明的必要性，介绍了证明的一般步骤，并运用公理、定理通过逻辑推理，证明了一系列的几何命题．使学生理解证明具有严谨、可信的特点的同时，也说明了证明是研究几何图形问题的强有力的手段．
教学过程
一、创设情景
逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此给出了如下的公理：
(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
(3)如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等．
二、探究归纳
1．利用公理，可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定理．
2．等腰三角形的识别：
(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形；
(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形．
等腰三角形的特征：
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
3．角平分线
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
识别：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
根据上述两条定理，我们很容易证明：三角形三条角平分线交于一点．
4．线段的垂直平分线
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．
识别：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
根据上述两条定理，我们很容易证明： 三角形三边的垂直平分线交于一点．
5．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．
三、实践应用
例1 如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC，垂足为F，DF交AC一点E，交BA的延长线于点D．求证：AD=AE．
分析 要证明同一个三角形中的两条边相等，可考虑证明其所对的角相等．
证明 因为 DF⊥BC，
所以∠DFB＝∠EFC=90°，
在△ABC中，因为AB＝AC
所以∠B＝∠C．
又∠D＝90°-∠B，∠CEF＝90°-∠C．
所以∠D＝∠CEF．
又∠AED＝∠CEF，
所以∠D＝∠AED，
所以AD＝AE．

例2　如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于D，交AC于E．求证： ∠EBC＝18°．
证明 因为DE是线段AB的垂直平分线．
所以EA＝EB，
所以∠A＝∠EBA＝36°．
又在△ABC中，∠C＝90°，
所以∠A+∠CBA＝90°，
即∠A+∠EBA+∠EBC＝90°．
所以∠EBC=18°

例3　如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交与D，DE⊥AB，DF⊥AC， E、 F是垂足．求证：BE＝CF．
分析　要证明两个三角形的对应线段相等，可考虑证明这两个三角形全等．由已知条件，可用HL定理证明Rt△BED与Rt△FCD全等．
证明 连接DB、DC．
因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以DE＝DC．
因为点D在BC的垂直平分线上，
所以DB＝DC．
在Rt△BED与Rt△FCD中，DE＝DC，DB＝DC，
所以Rt△BED≌Rt△FCD．
所以BE＝CF．

例4　指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：
(1)在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
(2)经过半径外端的直线是圆的切线；
(3)角平分线上的点，到这个角的两边距离相等；
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
解 (1)题设：在直角三角形中，一个锐角等于30°；
结论：它所对的直角边等于斜边的一半；
逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的角等于30°．
(2)题设：一条直线经过圆半径的外端；
结论：这条直线是圆的切线；
逆命题：圆的切线经过半径的外端．
(3)题设：一个点在一个角的角平分线上；
结论：这个点到这个角的两边距离相等；
逆命题：到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
(4)题设：直角三角形斜边上的中线；
结论：这条中线等于斜边的一半；
逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
四、交流反思
我们利用公理复习了证明，进一步掌握了证明的一般步骤；等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据．在这些公理与依据的基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理．
五、检测反馈
1．求证：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
2．如图，已知∠A＝∠B，CE∥DA，CE交AB于E．求证：CE＝CB．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F是垂足．求证：DE＝DF．
4．指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题，并判断逆命题的真假性：
(1)等边三角形的三个角都相等；
(2)垂直于弦的直径平分这条弦；
(3)一对邻补角的平分线互相垂直；
(4)相似多边形的周长比等于它们的相似比
单元复习(2)
知识技能目标
1.熟练掌握几种特殊四边形的特征及常用的识别方法，掌握逻辑推理过程，并能进行有关的证明和计算；
2.掌握三角形中位线定理和梯形中位线定理，并能运用它们进行有关的证明和计算；
3.理解反证法的证明思想，掌握反证法证题的一般步骤．
过程性目标
通过用推理方法研究四边形，使学生掌握了推理证明的方法和步骤，培养言之有据的思维习惯；体会公理和定理、定理与定理之间的逻辑关系，能应用所学的公理、定理、定义进行逻辑推理．
教学过程
一、创设情景
知识结构
二、探究归纳
1．几种特殊四边形的特征
边 角 对角线 对称性
平行四边形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称图形
矩形 对边平行且相等 四角都是直角 互相平分且相等 既是中心对称图形又是轴对称图形
菱形 对边平行，四边相等 对角相等 互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角
正方形 对边平行，四边相等 四角都是直角 互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
等腰梯形 两底平行，两腰相等 同一底上的两个内角相等 相等 轴对称图形
2．几种特殊四边形的常用识别方法
从边的角度 从角的角度 从对角线的角度
平行四边形 (1)两组对边平行(2)两组对边相等(3)一组对边平行且相等 两组对角相等 两条对角线互相平分
直接识别 间接识别
矩形 四个角是直角 (1)有一个角是直角的平行四边形；(2)对角线相等的平行四边形
菱形 四条边相等 (1)一组邻边相等的平行四边形(2)对角线垂直的平行四边形
正方形 (1)一组邻边相等的矩形(2)有一个角是直角的菱形
等腰梯形 (1)同一底边上的两个角相等的梯形(2)对角线相等的梯形
三、实践应用
例1 如图，在 ABCD中，E和F分别是AB、CD上的点，且AE＝CF．请你猜想∠ADE与∠CBF的大小关系，并证明．
解　∠ADE=∠CBF．
方法一 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以∠ADC＝∠ABC，AB＝CD，AB∥CD．
又AE＝CF，
所以DF＝BE．
又DF∥BE，
所以四边形ABCD是平行四边形．
所以∠CDE＝∠EBF，
所以∠ADC-∠CDE＝∠ABC-∠EBF，
即∠ADE＝∠CBF．
方法二 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD＝CB，∠A＝∠C，
又AE＝CF，
所以△ADE≌△CBF．
所以∠ADE＝∠CBF．

例2　梯形的两底分别长为12和5，同一底上的两个角分别为30°和60°，求梯形的腰长．
分析　如何将已知条件和所求问题结合起来是本题的关键，特别是图形的变化，作梯形一腰的平行线，将有关元素集中在一个三角形中，是解决有关梯形问题的常用添线方法．
解　过A作AE∥DC．
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝5，BC＝12，∠B＝30°，∠C＝60°．
所以四边形ADCE是平行四边形．
所以AD＝EC＝5，∠AEB＝∠C＝60°，
又∠B＝30°，BC＝12．
所以∠BAE＝90°，BE＝8，
所以AE＝4，AB＝4 ．
即梯形的两腰长分别为4和4 ．

例3　如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点G，且AC＝BD， M、N分别是BC、AD的中点，MN分别交AC、BD于点E、F．求证： EG＝FG．
解　取DC的中点O，连接ON、OM．
因为N为AD中点，O为DC中点，
所以ON∥AC，ON＝ AC．
同理OM∥BD，OM＝ BD．
又AC＝BD，
所以ON＝OM，
所以∠ONM＝∠OMN．
又∠ONM＝∠GEF，∠OMN＝∠GFE，
所以∠GEF＝∠GFE．
所以EG＝FG．
四、交流反思
重要结论：
1．平行线之间的距离处处相等；
2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3．经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；
4．经过梯形一腰的中点与底边平行的直线必平分另一腰；
5．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；
6．梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底之和的一半．
五、检测反馈
1．如图， ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．求证：GF＝HE．
2．如图，四边形ABCD为正方形，四边形ACEF为菱形，E在FB上，求∠ECB的度数．
3．如图，在△ABC中，点D在BC上，且DC＝AC，CE⊥AD，垂足为E，点F是AB的中点．求证：EF∥BC．
4．如图，AB、CD相交于E，AD＝AE，CB＝CE，F、G、H分别是DE、BE、AC的中点．求证：HF＝HG．（提示：连结AF、CG）