人教A版必修二6.3.2平面向量的正交分解及坐标运算 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
平面向量的正交分解及坐标表示
复面向量基本定理
如果、是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任意向量,存在唯一的一对实数、,使得=+
把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
平面向量基本定理告诉我们,平面内所有向量可以用平面的一组基底表示出来,以化归与转化为思想达到化简为繁的目标；那么恰当的选择基底(尽可能特殊化的基底),将带来便利的向量表示及计算.
平面向量的正交分解
如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直.
如果基底的两个基向量互相垂直，则称这两个基底为正交基底.在正交基底下分解向量，叫做正交分解.
思考：
在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数(即它的坐标)表示,对平面直角坐标系内的每一个向量,如何表示呢？
向量的坐标表示
在直角坐标系中,分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底,则对于平面内的一个向量,有且只有一对实数、使得+
把有序数对(,)叫做向量的坐标,记作=(,),
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,显然,=(1,0), =(0,1),O=(0,0).
向量与点的坐标的关系
当向量起点被限制在原点时,作=,这时向量的坐标就是点A的坐标,点A的坐标也就是向量的坐标,两者之间建立的一一对应关系.
A点坐标
一一对应
例1
如图,分别用基底、表示向量、、、,并求出它们的坐标.
-2
-1
-3
-4
-2
-3
-4
A
解：
=2+3=(2,3)
=2+3=(-2,3)
=-2-3=(-2,-3)
=2-3=(2,-3)
例2
在直角坐标系中,向量、、的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.
45°
30°
30°
例2
在直角坐标系中,向量、、的方向和长度如图所示,分别求它们的坐标.
解：设=(,),=(,),(,),则
==,==；
==-,==;
==2，
==-2，
因此=,=,
=
45°
30°
30°
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平面向量的坐标运算
PART
平面向量的坐标运算
01
PART
01
PART
思考
已知(,),=(,),你能得出求+,-,的坐标吗？
向量的直角坐标运算
+=(+,+)
-=(-,-)
两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)
(,)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的坐标.
例1
已知(2,1),=(-3,4),求+,-,+4的坐标.
解：
+=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)
-=(2,1)-(-3,4)=(5,-3)
+4=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).
例2
如图,已知A(,),B(,),求的坐标.
解: =-
=(,)-(,)
=(-,-).
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
B
A
O
例3
已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是
(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.
解：设顶点D的坐标为(、),
因为=(-1-(-2),3-1)=(1,2)，
=(3-4- )
由=，得(1,2)=(3-,4-),
所以，
故顶点D的坐标为(2,2).
例3
解法二:如图,由向量加法的平行四边形法则可知
(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)
(3,-1),
而
(-1,3)+(3,-1)
(2,2)
所以顶点D的坐标为(2,2).
A
B
0
D
C
1
1
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平面向量共线(平行)的坐标表示
PART
平面向量共线（平行）的坐标表示
01
PART
复习回顾
1.向量共线的概念？
2.平行向量基本定理？
如果=,则;反之,如果( ),则一定存在唯一的一个实数,使=
向量共线的坐标表示
如何用坐标表示向量平行(共线)的条件？会得到什么样的重要结论？
设=(,),=(,),
即,中,只要有一个不为0,则由=得
(,)=(,)即
-=0
(0)-=0
向量共线的条件
口诀:交叉相乘相等！
向量平行(共线)的等价条件的两种表示形式.
( )
当向量不平行于坐标轴时,即0,0时
语言可表示为:
两个向量平行的条件是相应坐标成比例.
(实数与向量积形式)
(坐标形式)
例1
已知向量=(1,2),=(,1),若(+2)(2-2),则的值等于( )
A. B. C.1 D.2
答案：A
例2
平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)回答下列问题:
(1)求3+-2;
(2)求满足=+的实数,;
(3)若(+)(2-),求实数
例3
设向量=(,12),=(4,5),=(10,),求当为何值时,A、B、C三点共线.
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