课件16张PPT。1、确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例在（-∞，2）上是减函数；在（2，+∞）上是增函数。 2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?引例用定义法判断函数单调性的步骤：（1）在给定的区间内任取x1 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形;
（3）判断符号;
（4）下结论。单调性定义讨论函数单调性是根本，但有时十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时,如： f(x)=2x3－6x2+7。
这就需要我们寻求一个新的方法。发现问题研究函数二次y=x2－4x＋3的图象；探究观察三次函数y=x3的图象；观察某个函数f(x)的图象。观察一次函数y=kx+1的图象；导数的应用用导数研究函数的单调性江苏省南湖高级中学高二数学备课组 2006.5.31 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果在这个区间内f′(x)>0,
则f(x)为这个区间内的增函数;
如果在这个区间内f′(x)<0,
则f(x)为这个区间内的减函数.
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
则f(x)为常数函数。判断方法研究数学问题的一般方法：
从特殊到一般；从简单到复杂。结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，因此今后我们可以利用导数法去探讨函数的单调性下面举例说明：例题讲解证明步骤:
1、求函数的导函数；
2：判断导函数在指定区间上的符号；
3、下结论。根据导数确定函数的单调性一般需三步：
1.确定函数f(x)的定义域；
2.求出函数的导数；
3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间;
解不等式f′(x)<0,得函数单减区间。
例2、确定函数f(x)=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?课堂练习1、确定下列函数的单调区间。单调增区间为：（4，+∞）和（-∞，2）单调减区间为：（2，4）单调增区间为：（-1，1）单调减区间为：（-∞，-1）和（1，+∞）课堂练习2,设f/(x)是函数f(x)的导函数,y=?/(x)的图象如左图所示,则y=?(x)的图象最有可能的是( ) 1.函数导数与单调性的关系:
若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;
如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数。
2.本节课中,用导数去研究函数的
单调性是中心,能灵活应用导数解
题是目的,另外应注意数形结合在
解题中应用。
3.掌握研究数学问题的一般方法：
从特殊到一般；从简单到复杂。课堂总结作业布置课堂作业：课本p42习题2.4 1,2课外作业：完成《数学之友》T2.41：能不能画出该函数的草图？2:思考题函数f(x)=2x3－6x2+7 用边长为60cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转900角，再焊接而成。（1）问水箱容积与底边的长的函数关系式；（2）求单调区间并作出此函数的草图；（3）最大容积是多少？h=解：设容积为V，容器的底边长为x ,
(1)由题意可知：
V=(0 V最大=(2)4060考虑到函数的定义域：16000cm340用导数研究函数单调性
江苏省南湖高级中学 钱振宇
【课 题】导数的应用—用导数研究函数的单调性
【教学目标】1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
【教学重点】利用导数判断函数单调性
【教学难点】如何用导数研究函数的单调性
【课 型】新授课
【教 具】多媒体
【引 例】
确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？
解：，在上是减函数，在上是增函数。
问：1、为什么在上是减函数，在上是增函数？
2、研究函数的单调区间你有哪些方法？
观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）
利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）
2、确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？
能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）
（多媒体放映）
【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x3－6x2+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。（研究的必要性）事实上用定义研究函数的单调区间也不容易。
【探 究】
我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。
问：如何入手？（图象） 从函数f(x)=2x3－6x2+7的图象吗？
1、研究二次函数的图象；
学生自己画图研究探索。
提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？
（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。
提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？
学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。
得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）：
①该函数在区间上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负；
在区间上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；
注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？
②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？
2、先看一次函数图象；
3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）
观察三次函数的图象；（几何画板演示）
观察某个函数的图象。（几何画板演示）
指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数研究函数的单调性（幻灯放映课题）。
【新课讲解】
4、请同学们根据刚才观察的结果进行总结：导数与函数的单调性有什么关系？请一个学生回答。（幻灯放映）
一般地，设函数在某个区间可导，则函数在该区间内
如果在这个区间内，则为这个区间内的增函数；
如果在这个区间内，则为这个区间内的减函数。
若在某个区间内恒有，则为常函数。
这个结论是我们通过观察图象得到的，只是一个猜想，正确吗？答案是肯定的。严格的证明需要用到中值定理，大学里才能学到。这儿我们可以直接用这个结论。
小结：数学中研究问题的常规思想方法是：从特殊到一般，从简单的复杂。
结论应用：
由以上结论知：函数的单调性与其倒数有关，因此我们可以用导数法去探讨函数的单调性。下面举例说明：
【例题讲解】
求证：在上是增函数。
由学生叙述过程老师板书：
，，，即，函数在上是增函数。
注：我们知道在R上是增函数，课后试一试，看如何用导数法证明。
学生归纳步骤：1、求导；2、判断导数符号；3、下结论。
确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
由学生叙述过程老师板书：
解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x, 令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数;当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.
学生小结：用导数求函数单调区间的步骤：
确定函数f(x)的定义域；
求函数f(x)的导数f′(x).
令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.
令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间
【课堂练习】
1．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3
(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)
令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.
∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)
令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4
.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)
(2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1)
令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.
∴y=3x－x3的单调增区间是(－1，1).
令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.
∴y=3x－x3的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)
2、设是函数的导数, 的
图象如图所示, 则的图象最有可能是( )
小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？
【课堂小结】
1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,
如果f ′(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.
3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.
【思考题】
对于函数f(x)=2x3－6x2+7
思考1、能不能画出该函数的草图？
思考2、在区间（0，2）内有几个解？
【课堂作业】
课本p42习题2.4 1,2
【课后记】
本节课是一节新授课，课本所提供的信息很简单，如果直接得出结论，学生也能接受，可学生只能进行简单的模仿应用。
为了突出知识的发生过程，不把新授课上成习题课，设计思路如下，以便教会学生会思考解决问题：1、首先研究从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前的方法；
从不熟悉的三次函数入手，使学生体会到以前的知识已不能解决，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性；
从简单的、熟悉的函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般。
应用中重点指导学生的解题步骤，避免考试中隐性失分。
在今后的教学中，应注重学生的参与，引发认知冲突，教会学生思考问题。加强教案设计的合理性，语言做到准确、简练。节奏要把握好。
