人教A版必修二9.2.4 总体离散程度的估计 教学导学案(含答案)

人教A版必修二9.2.4 总体离散程度的估计教学导学案
【基本知识】
1.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为 (xi－)2＝x－2，标准差为 .
2.总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体的平均数为，则称S2＝ (Yi－)2为总体方差，S＝为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝fi(Yi－)2.
(3)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频率为pi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝pi(Yi－)2.
3.样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝ (yi－)2为样本方差，s＝为样本标准差.
4.标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
*5.分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2].
【课后练习】
1.判断正误
(1) 计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.(　　)
(2)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.(　　)
(3)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散.(　　)
2.下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.众数
3、对于一组数据xi(i＝1,2,3，…，n)，如果将它们改变为xi＋C(i＝1,2,3，…，n)，其中C≠0，则下列结论正确的是(　　)
A．平均数与方差均不变　 B．平均数变，方差保持不变
C．平均数不变，方差变 D．平均数与方差均发生变化
4、甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7
方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4
从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
5、一组数据中的每一个数据都乘以2，再减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来的数据的平均数和方差分别是 （ ）
A.40.6,1.1 B.48.8,4.4
C.81.2,44.4 D.78.8,75.6
6、在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
7、甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则(　　)
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
8、已知某7个数平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，这8个数的平均数为，方差为s2，则(　　)
A.＝4，s2<2 B.＝4，sa2>2
C.>4，s2<2 D.>4，s2>2
9如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为SA和SB，则(　　)
A.A＞B，SA＞SB　　　　　　　　 B.A＜B，SA＞SB
C.A＞B，SA＜SB D.A＜B，SA＜SB
10、已知一组数据4.7, 4.8, 5.1, 5.4, 5.5，则该组数据的方差是________.
11、若40个数据的平方和为56，平均数为，则这组数据的方差为________
12、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
甲 87 91 90 89 93
乙 89 90 91 88 92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________.
13、在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由.
【参考答案】
1、(1)√　 (2)√　 (3)×
2、选C　由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度.
3、选B 根据平均数和方差的公式，知平均数增加C，方差不变
4、选C　由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成绩好.
5、选A 根据平均数和方差的公式，知新数据平均数是旧数据乘以2，再减去80，结果是1.2，所以原数据平均数为40.6，新数据方差是旧数据方差的四倍，结果是4.4，所医院数据方差为1.1
6、选C　由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.
7、由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
8、选A ∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴＝＝4.
又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数方差s2＝＝<2，故选A
9、选B 由图可知A组的6个数为2.5,10,5,7.5，2.5，10，B组的6个数为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，B＝＝.
显然A＜B，又由图形可知，B组的数据分布比A均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以SA＞SB.
10、根据公式 (xi－)2求得方差为0.125
11、根据公式x－2求得方差为0.9
12、∵甲＝(87＋91＋90＋89＋93)＝90，乙＝(89＋90＋91＋88＋92)＝90，
∴s＝[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，
s＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 答案：2
13、(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些.
(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝×4 000＝80(分)，
乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝×4 000＝80(分).
s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看，甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多.同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看，乙组的成绩较好.