人教版高中数学必修第二册10.1.3 古典概型 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册10.1.3 古典概型 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.下列试验中,是古典概型的为 (　　)
A.种下一粒花生,观察它是否发芽
B.在正方形ABCD内任意确定一点P,观察点P是否与正方形的中心O重合
C.从1,2,3,4四个数中任取两个数,求所取两数之一是2的概率
D.在区间[0,5]内任取一个实数,求该实数小于2的概率
2.甲、乙、丙3人站成一排,则甲恰好站在中间的概率为 (　　)
A. B. C. D.
3.有两张卡片,一张的正、反面分别写着数字0与1,另一张的正、反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
4.每年的3月5日为学雷锋纪念日,某班有青年志愿者5名,其中男生3人,女生2人,现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
5.某学校食堂推出两款优惠套餐,甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
6.若从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于40的概率为 (　　)
A. B.
C. D.
7.A,B,C三人同时参加一场活动,活动前A,B,C三人都把手机存放在了A的包里.活动结束后B,C两人去拿手机,发现三人手机外观看上去都一样,于是这两人每人随机拿出一部,则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
8.有两人从一座6层大楼的底层进入电梯,假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的,则这两人在不同层离开电梯的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.抛掷一枚质地均匀的骰子,则落地时,向上的点数是2的倍数的概率是　　　　.
10.从编号分别为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率为　　　　.
11.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为　　　　.
12.从数字1,2,3,4中,若是有放回地取出两个数字,则其和为奇数的概率为　　　　;若是不放回地取出两个数字,其和为奇数的概率为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)5张奖券中有2张是有奖的,先由甲抽1张,然后由乙抽1张,抽后不放回,求:
(1)甲中奖的概率P(A);
(2)甲、乙都中奖的概率P(B);
(3)只有乙中奖的概率P(C);
(4)乙中奖的概率P(D).
14.(10分)质量监督局检测某种产品的三个质量指标x,y,z,用综合指标Q=x+y+z核定该产品的等级.若Q≤5,则核定该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5
质量指标(x,y,z) (1,1,2) (2,1,2) (2,2,2) (1,3,1) (1,2,3)
产品编号 A6 A7 A8 A9 A10
质量指标(x,y,z) (1,2,2) (2,3,1) (3,2,1) (1,1,1) (2,1,1)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标均满足Q≤4”,求事件B的概率.
15.(5分)某城市有连接8个小区A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O的整齐方格形道路网,每个小方格均为正方形,如图L10-1-3所示,某人从道路网中随机地选择一条最短路径,由小区A前往小区C,则他不经过市中心O的概率是 (　　)
图L10-1-3
A. B.
C. D.
16.(15分)随着甜品的不断创新,现在的甜品无论是造型还是口感都十分诱人,有颜值、有口味、有趣味的产品更容易得到甜品爱好者的喜欢.某“网红”甜品店出售几种甜品,由于口味独特,受到越来越多人的喜爱,好多外地的游客专门到该甜品店来品尝“打卡”,已知该甜品店同一种甜品售价相同,该店为了了解每个种类的甜品销售情况,专门收集了该店这个月里五种“网红甜品”的销售情况,统计后得如下表格:
甜品种类 A甜品 B甜品 C甜品 D甜品 E甜品
销售总额(万元) 10 5 20 20 12
销售量(千份) 5 2 10 5 8
利润率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2
(利润率是指一份甜品的销售价格减去成本得到的利润与该甜品的销售价格的比值)
(1)从该甜品店本月卖出的甜品中随机选一份,求这份甜品的利润率高于0.2的概率;
(2)假设每种甜品利润率不变,销售一份A甜品获利x1元,销售一份B甜品获利x2元,销售一份C甜品获利x3元,销售一份D甜品获利x4元,销售一份E甜品获利x5元,设= ,若该甜品店从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品,求至少有一种甜品获利超过 元的概率.
参考答案与解析
1.C　[解析] 对于A,发芽与不发芽的概率一般不相等,不满足等可能性不是古典概型;对于B,正方形内点的个数是无限的,不满足有限性不是古典概型;对于C,满足有限性和等可能性,是古典概型;对于D,区间内的实数有无限多个,不满足有限性不是古典概型.故选C.
2.A　[解析] 甲、乙、丙3人站成一排,该试验有甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共6个样本点,而事件“甲恰好站在中间”包含的样本点的个数为2,所以甲恰好站在中间的概率P==,故选A.
3.C　[解析] 该试验有12,13,20,30,21,31,共6个样本点,事件“所组成的两位数为奇数”包含的样本点有13,21,31,共3个,因此所组成的两位数为奇数的概率是=,故选C.
4.B　[解析] 将3名男生用A,B,C表示,2名女生用a,b表示,从5名青年志愿者中选出2人,该试验的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,a),(A,b),(B,C),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(a,b)},共包含10个样本点,其中事件“选出的2名青年志愿者性别相同”包含的样本点有(A,B),(A,C),(B,C),(a,b),共4个,则选出的2名青年志愿者性别相同的概率P==.故选B.
5.C　[解析] 设两款优惠套餐分别为A,B,列举基本事件如图所示.
由图可知,样本空间中共有8个样本点,其中“甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐”包括(A,A,A),(B,B,B),共2个样本点,故所求概率P==.
6.C　[解析] 从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,该试验共有20个样本点,其中事件“这个两位数大于40”包含的样本点有8个,所以所求概率P==.
7.B　[解析] 设A,B,C三人的手机分别为A',B',C',则B,C两人拿到手机的样本空间Ω={(B-A',C-B'),(B-A',C-C'),(B-B',C-A'),(B-B',C-C'),(B-C',C-A'),(B-C',C-B')},共有6个样本点.事件“这两人中只有一人拿到自己手机”包含的样本点有(B-A',C-C'),(B-B',C-A'),共2个,故所求概率为=,故选B.
8.C　[解析] 设这两人为A,B,则这两人离开电梯的样本空间Ω={(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A2,B5),(A2,B6),(A3,B2),(A3,B3),…,(A6,B6)},共包含25个样本点.事件“该两人在相同层离开电梯”共包含(A2,B2),(A3,B3),(A4,B4),(A5,B5),(A6,B6)5个样本点,所以“这两人在不同层离开电梯”共包含20个样本点,所求概率P==,故选C.
9.　[解析] 抛掷一枚质地均匀的骰子,观察其向上的点数,该试验共有6个样本点,事件“向上的点数是2的倍数”所包含的样本点的个数为3,所以所求概率为=.
10.　[解析] 从编号分别为1,2,3,4的4张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则样本空间中样本点的个数为16,事件“第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除”包含的样本点有8个,分别为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4),所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上的数字整除的概率P==.
11.　[解析] 试验的样本空间Ω={(红,红),(红,白),(红,蓝),(白,红),(白,白),(白,蓝),(蓝,红),(蓝,白),(蓝,蓝)},共包含9个样本点,设事件A=“甲、乙选择相同颜色的运动服”,则A={(红,红),(白,白),(蓝,蓝)},共包含3个样本点,故所求的概率P==.
12.　　[解析] 若是有放回地取出两个数字,则样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},共包含16个样本点,其中事件“和为奇数”包括(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,1),(4,3),共8个样本点,故所求概率P1==.若是不放回地取出两个数字,则样本空间Ω2={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12个样本点,事件“和为奇数”包括8个样本点,故所求概率P2==.
13.解:将5张奖券编号为1,2,3,4,5,其中4,5为有奖奖券,用(x,y)表示甲抽到号码x,乙抽到号码y,则样本空间中所有的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4), (3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20个.
(1)“甲中奖”包含8个样本点,分别为(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),∴P(A)==.
(2)“甲、乙都中奖”包含2个样本点,分别为(4,5),(5,4),∴P(B)==.
(3)“只有乙中奖”包含6个样本点,分别为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),∴P(C)==.
(4)“乙中奖”包含8个样本点,分别为(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),(5,4),∴P(D)==.
14.解:(1)计算10件产品的综合指标Q,如下表:
产品编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
Q 4 5 6 5 6 5 6 6 3 4
其中Q≤5的有A1,A2,A4,A6,A9,A10,共6件,故该样本的一等品率为=0.6,
从而估计该批产品的一等品率为0.6.
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,该试验的样本点有{A1,A2},{A1,A4},{A1,A6},{A1,A9},{A1,A10},{A2,A4},{A2,A6},{A2,A9},{A2,A10},{A4,A6},{A4,A9},{A4,A10},{A6,A9},{A6,A10},{A9,A10},共15个.
在该样本的一等品中,综合指标满足Q≤4的产品编号分别为A1,A9,A10,则事件B包含的样本点有{A1,A9},{A1,A10},{A9,A10},共3个,所以P(B)==.
15.A　[解析] 该试验的样本点有A→G→B→F→C,A→G→O→H→C,A→E→D→H→C,A→G→O→F→C,A→E→O→H→C,A→E→O→F→C,共6个,记“此人不经过市中心O”为事件M,则M包含的样本点有A→G→B→F→C,A→E→D→H→C,共2个,∴P(M)==,即他不经过市中心O的概率为,故选A.
16.解:(1)由题意知本月共卖出3万份甜品,利润率高于0.2的是A甜品和D甜品,共有1万份,设“从本月卖出的甜品中随机选一份,这份甜品的利润率高于0.2”为事件A,则P(A)= .
(2)由题意得销售一份A,B,C,D,E甜品分别获利8,5,3,10,3元,
∴== ,故A甜品和D甜品获利超过元.
从五种“网红甜品”中随机卖出两种不同的甜品,该试验共有10个样本点,分别为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,C},{B,D},{B,E},{C,D},{C,E},{D,E},
设“至少有一种甜品获利超过元”为事件B,则事件B包含的样本点有7个,分别为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{B,D},{C,D},{D,E},
故至少有一种甜品获利超过元的概率P(B)= .