4.5.2 用二分法求方程的近似解 课件（共22张PPT）

(共22张PPT)
4.5.2 二分法求方程的近似解
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point）
2、零点存在性定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线，
并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
我们已经知道，函数在区间（２，３）
内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？
一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．
区间一分为二后
如何知道零点所在的区间在哪半边呢？
零点所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号
（2，3）
f(2)<0,f(3)>0
2.5
f(2.5)<0
（2.5，3）
f(2.5)<0，f(3)>0
2.75
f(2.75)>0
（2.5，2.75）
f(2.5)<0，f(2.75)>0
2.625
f(2.625)>0
（2.5，2.625）
f(2.5)<0,f(2.625)>0
2.562 5
f(2.562 5)>0
（2.531 25，2.562 5）
f(2.5)<0
f(2.562 5)>0
（2.5，2.562 5）
f(2.531 25)<0
f(2.562 5)>0
f(2.531 25)<0
2.539 062 5
2.546 875
（2.531 25，2.546 875）
2.531 25
f(2.539 062 5)>0
f(2.531 25)<0
f(2.546 875)>0
（2.531 25，2.539 062 5）
f(2.546 875)>0
f(2.531 25)<0,
f(2.539 062 5)>0
列出下表：
2.53515625
f(2.53515625)>0
零点所在区间越来越小
如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．
由于
所以，可以将
作为函数
零点的近似值，也即方程
的近似根.
例如当精确度为0.01时，
说明：精确度为0.01是指|
想一想：当 时，此时是否区间
内任意一点都可以作为零点的近似值？
给定精确度 ,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：
1.确定区间 ，验证 ，给定精确度 ；
2.求区间（a,b）的中点c；
3.计算
（1）若 ，则c就是函数的零点；
（2）若 ,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
（3）若 ,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).
即若 ，则得到零点近似值a(或b）；
4.判断是否达到精确度 ：
否则重复步骤2～4．
由于函数的零点就是相应方程的解，我们可以用二分法求方程的近似解
例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）．
解：原方程即+3x-7=0，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表;
观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点．取区间（１，２）的中点＝１．５，用信息技术算得
f（1.5）≈0.33．因为f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）．
　再取区间（１，1.5）的中点＝1.25，用信息技术算得
f（1.25）≈－0.87．因为f（1.25）f（1.5）＜０，
所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1，
所以，原方程的近似解可取为1.375 ．
由例2可知，用二分法求方程的近似解，计算量较大，
而且是重复相同的步骤。因此，可以设计一定的计算
程序，借助信息技术完成计算。
图4.5-5就是利用二分法求方程近似解的程序框图。
在此基础上，我们可以利用算法语言编写程序，
利用信息技术求方程的近似解。
用二分法求解方程的近似解：
1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε
2、求区间(a,b)的中点x1
3、计算f(x1); (f(a)>0,f(b)<0)
(1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点
(2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1))
(3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b))
4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得反复2～4
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