4.4.2对数函数的图像和性质 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
4.4.2 对数函数的图像与性质
1. 指数函数概念：
2. 指数函数的图像与性质:
形如y = ax(a 0，且a 1)的函数叫做指数函数.
（2）在R上是减函数
（1）过定点（0，1），即x=0时，y=1
性质
（0，+∞）
值域
R
定义域
图象
a>1
0（2）在R上是增函数
对数函数的特征：
1.底数：a>0，且a≠1
2.真数：自变量 x
3.系数：1
对数函数的概念：
一般地，函数y = logax ，(a>0，且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，
定义域是（0，+∞）．
研究函数的一般方法：
背景
概念
图像与性质
应用
①定义域
②值域
③单调性
⑤奇偶性
④最值
与研究指数函数一样，我们首先画出其图像，然后借助图像研究其性质．请完成下列表格，并用描图法画出y = log2x的图像．
x y = log2x
0.5
1
2
4
6
8
16
-1
0
1
2
2.6
3
4
思考1：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数， 比如 和 ，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？
x
y
o
1
对数函数的图象
x y = log2x y = log0.5x
0.5 -1
1 0
2 1
4 2
6 2.6
8 3
16 4
完成下列表格，对比两个函数的取值列表，并用描图法画出y = log0.5x的图像，能否看出两个函数的图像有什么关系？
1
0
-1
-2
-2.6
-3
-4
两个图像关于x轴对称
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
即底数互为倒数的两个对数函数的图像关于x轴对称
探究1：选取底数a（a>0,且a）的若干不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图像，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？
发现对数函数y = logax 的图象按底数a的取值，可以分为01两种类型。
由此你能概括出y = logax （a>0,且a）的性质吗？
a＞1 0＜a＜1
图象
y
X
O
x =1
(1,0)
y
X
O
x =1
(1,0)
性质
定义域为(0,+ )，值域为R.
过定点（1，0）即x=1时，y=0
在(0,+ )上是增函数
在(0,+ )上是减函数
当x>1时,y>0;
当0当x>1时, y<0;
当00
非奇非偶函数
对数函数的图象位置与底数的关系
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，对数函数的底数逐渐变大（底大图低）
练习1 函数y = logax，y = logbx，y = logcx，y = logdx的图像如图所示，则
a，b，c，d的大小关系为: ．
【答案】b练习2 函数的 f (x)=loga(x－2)－2的图象必经过定点 ．　　　　　
【解析】令x－2=1，得x = 3，
所以f (3)=loga(3－2)－2=－2，
即函数的 f (x)=loga(x－2)－2的图象必经过定点(3，－2)．
例3 比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5
（3） loga5.1与 loga5.9
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
(4)
(5)
例1 比较下列各组中，两个值的大小：
（1） log23.4与 log28.5
解：
考察函数y=log 2 x ,
∵a=2 > 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵3.4<8.5
∴ log23.4< log28.5
（2） log 0.3 1.8与 log 0.3 2.7
解：考察函数y=log 0.3 x ,
∵a=0.3< 1,
∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；
∵1.8<2.7
∴ log 0.3 1.8> log 0.3 2.7
注意：若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论
即0 1
（3） loga5.1与 loga5.9
解: ①若a>1则函数在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9
∴ loga5.1 < loga5.9
②若0∴ loga5.1 > loga5.9
(4)
解：方法一：由于，，
又对数函数在上单 调递增，且
∴即.
在x=2时的两个函数值，结合图像可
知.
(5)
解：(中间值法)∵
∴.
(1)同底数比较大小时构造对数函数，根据其单调性比较.
(2)真数相同底数不同时分别画出不同底数的对数函数图象，当x取相同真数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、真数都不相同时，借助中间0或1与两数比较.
(4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论.
比较对数的大小的方法
2.比较下列各题中两个值的大小:
⑴ lg0.6 lg0.8
⑵ log0.56 log0.54
⑶ logm5 logm7
＜
＜
若a>1 则logm5 < logm7
若a<1 则logm5 >logm7
课本135 页第2题
【例2】溶液酸碱度是通过pH计量的. pH的计算公式为pH=-lg[H＋],其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
(1)根据对数的运算性质, 有
在(0,+∞)上, 随着[H+]的增大,
pH减小.
∴随着[H+]的增大，
即pH减小.
即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强.
解:
∴纯净水的pH是7.
相应地
探究2: 对于指数函数y=2x，你能利用指数与对数之间的关系，得到对应的对数函数？它们的定义域，值域有什么关系？
y=log2x
y = 2x
x= log 2 y
x改为y,
y改为x
x∈R
y∈(0,+∞)
x∈(0,+∞)
y∈R
一般地，函数y = log ax与y= ax (a>0,a≠1)互为反函数, 它们的定义域，值域互换，图象关于直线y=x对称。
log3.40.7， log0.60.8与 (
2.比较下面三个值的大小：
3.解不等式:
解：原不等式可化为：
图 象
性 质
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
指数函数y=ax (a>0,a≠1)
(4) a>1时, x<0,00,y>1
01;x>0,0(4) a>1时,01,y>0
00; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数；
0(5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0(3)过点(0,1), 即x=0 时, y=1
(3)过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(2)值域：(0,+∞)
(1)定义域：R
(1)定义域： (0,+∞)
(2)值域：R
y=ax
(a>1)
y=ax
(0x
y
o
1
y=logax
(a>1)
y=logax (0x
y
o
1
1.指数函数与对数函数的图象和性质
3.思想方法类比： 类比的思想方法：类比指数函数的研究方法；
数形结合思想方法：是研究函数图像和性质；
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