青岛版数学八年级上册 2.6等腰三角形（3）等边三角形 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
2.6 等腰三角形
第3课时 等边三角形
学习目标
1.理解等腰三角形与等边三角形之间的关系，知道等边三角形具有等腰三角形的所有性质；
2.探索等边三角形的性质：等边三角形各角都等于60°；
3.掌握等边三角形的判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
复习回顾
名称 图 形 性 质 判 定
等 腰 三 角 形
A
B
C
等角对等边
两边相等
轴对称图形
对称轴垂直平分底边
等边对等角
三线合一
新课引入
一般三角形
等腰
三角形
一般
三角形
等腰
三角形
等边三角形
底≠腰
底=腰
有两条边相等
等边三角形
三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）.
合作探究
思考：将等腰三角形的性质应用于等边三角形，能得到什么
结论呢？
小组合作，画出一个等边三角形，并用量角器量出每个内角的度数.
量角器量出每个内角都是60°.
猜想：等边三角形的各角都等于60°，运用等腰三角形的知识进行验证.
探究一、如果△ABC 是等边三角形，
试说明∠A =∠B =∠C=60°．
合作探究
A
B
C
解：因为△ABC 是等边三角形，
所以BC =AC，BC =AB．
所以∠A =∠B，∠A =∠C ．
所以∠A =∠B =∠C ．
因为∠A +∠B +∠C =180°， 所以∠A =60°．
所以∠A =∠B =∠C =60°．
等边三角形的每个内角都等于60°.
探究二、等边三角形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？对折下面三个全等的等边三角形，得出结论.
合作探究
经过对折，可以看出，等边三角形是轴对称图形，
它有三条对称轴.
等边三角形的性质
一
1.等边三角形的各角都等于60°.
2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.
3.等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质.
典例讲解
【例1】如图所示，P,Q是△ABC边BC上的两点，
且BP=PQ=QC=PA=AQ.求∠BAC的大小.
解:因为PA=PQ=AQ,所以△PAQ是等边三角形.
所以∠APQ=∠AQP=∠PAQ=60°.
因为PA=PB,所以∠B=∠PAB.
由三角形的外角性质，得∠B+∠PAB=∠APQ,所以∠B+∠PAB=60°，
所以∠B=∠PAB=30°，同理∠QAC=30°.
所以∠BAC=∠PAB+∠PAQ+∠QAC=30°+60°+30°=120°.
合作探究
探究三、满足什么条件的三角形是等边三角形呢？
可以类比等腰三角形的判定方法，
探究等边三角形的判定方法.
方法一：从边看
有两边相等的三角形是等腰三角形(定义).
三边都相等的三角形是等边三角形(定义).
方法一：
合作探究
探究三、满足什么条件的三角形是等边三角形呢？
可以类比等腰三角形的判定方法，
探究等边三角形的判定方法.
方法二：从角看
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法二：
　　已知在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
那么△ABC 是等边三角形吗？
合作探究
A
B
C
　解：因为∠A =∠B，∠B =∠C ，
　所以BC =AC， AC =AB．
　所以AB=BC =AC．
所以△ABC 是等边三角形．
探究四、有人认为还有第三种方法：“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
合作探究
A
B
C
1.当顶角∠A=60°时,
∠B=∠C=60°，
所以∠A=∠B=∠C=60°，
所以△ABC是等边三角形.
2.当底角∠ B= 60°时, ∠C=60°,
∠A=180°-(60°+60°)=60°
所以∠A=∠B=∠C=60 °
所以△ABC是等边三角形.
若AB=AC，则∠B=∠C.
等边三角形的判定
二
1. 三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
典例讲解
【例2】△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.
判断△DEF的形状，并简要说明理由.
A
B
C
F
D
E
1
2
3
分析：要判断△DEF的形状，可找出
△DEF三个内角的关系.由∠DFE是
△ACF的 角，得∠DFE=∠3+
，因为∠3=∠1，
所以∠DFE=∠1+________=_________= °，
同样地,得∠DEF=__________= °.
从而△DEF是_______三角形.
外
∠FAC
∠FAC
∠BAC
60
∠EDF
60
等边
典例讲解
【例2】△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3.
判断△DEF的形状，并简要说明理由.
A
B
C
F
D
E
1
2
3
解：△DEF是等边三角形.理由如下：
因为△ABC是等边三角形，
所以∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°.
因为∠1=∠2=∠3，
所以∠DFE=∠3+∠FAC=∠1+∠FAC=∠CAB=60°.
同理∠DEF=∠EDF=60°.
所以△DEF是等边三角形.
课堂小结
等边三角形
性质
1.等边三角形的各角都等于60°.
2.等边三角形是轴对称图形，具有三条对称轴.
3.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.
课堂小结
等边三角形
判定
1.三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
已知三边关系，选用方法一；已知三角关系，选用方法二；
已知三角形是等腰三角形，选用方法三.
随堂训练
1.等边△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．150°
C
2.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
D
3.如图所示,在等边△ABC中,AB=3,∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过O作OE∥AB,OF∥AC,交BC于点E、F,则△OEF的周长为　 .
【解析】由于OB平分∠ABC,OE∥AB,可以得出OE=BE.同理可以得出OF=FC,因此△OEF的周长=OE+EF+OF=BE+EF+FC=BC=AB=3.
3
随堂训练
4.如图,D,E,F分别是等边△ABC三边上的点,且AD=BE=CF,
判断△DEF是等边三角形吗
解：因为△ABC是等边三角形,
所以∠A=∠B=∠C=60°, AB=BC=CA.
因为AD=BE=CF, 所以AF=BD=CE.
所以△ADF≌△BED≌△CFE.
所以DF=ED=FE.
所以△DEF是等边三角形.
随堂训练