2022-2023学年北京市重点大学附中九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市重点大学附中九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 年月日，中国船舶集团有限公司与法国达飞海运集团在北京正式签订合作协议，协议包括建造型艘大型集装箱船，金额达多元人民币，创下了中国造船业一次性签约集装箱船最大金额的新纪录请将用科学记数法表示( )
A. B. C. D.
2. 如图的几何体是由一些小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图，已知，，平分，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
4. 图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为( )
A. B. C. D.
6. “天宫课堂”第二课月日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是( )
A. B. C. D.
7. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，矩形的一条边长为，周长的一半为定义为这个矩形的坐标．如图，在平面直角坐标系中，直线，将第一象限划分成个区域．已知矩形的坐标的对应点落在如图所示的双曲线上，矩形的坐标的对应点落在区域中．则下面叙述中正确的是( )
A. 点的横坐标有可能大于
B. 矩形是正方形时，点位于区域
C. 当点沿双曲线向上移动时，矩形的面积减小
D. 当点位于区域时，矩形可能和矩形全等
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 分解因式： ．
11. 方程的解是 ．
12. 如图，，是的弦，，是的切线，若，则 ．
13. 在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 ______ 填“”“”或“”．
14. 如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了个篮球和个足球，共花费了元，其中篮球的单价比足球的单价多元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为 ．
16. 如图，在中，，点从点出发沿以的速度运动到点，过点作于点，图是点运动时，线段的长度随运动时间的变化关系的图象，当时，的值可能为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
17. 计算：．
四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
解不等式组：．
19. 本小题分
已知，求代数式的值．
20. 本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
21. 本小题分
如图，在中，平分交于，垂直平分，分别交，，于，，，连接，．
求证：四边形是菱形；
若，，，求的长．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点求该函数的解析式；
当时，对于的每一个值，函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．
米
米
请解决以下问题：
在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
求喷泉抛物线的解析式；
求喷泉的落水点距水枪的水平距离．
已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为，此时喷泉______ 填“会”或“不会”喷到水池外．
24. 本小题分
如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，于点，交于点．
求证：；
若，，求线段的长．
25. 本小题分
为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了名学生两次活动的成绩百分制，并对数据成绩进行整理、描述和分析如图是将这名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成．
学生甲第一次成绩是分，则该生第二次成绩是______ 分
两次成绩均达到或高于分的学生有______ 个
为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图是这位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图数据分成组：，，，，，，，，
在的成绩分别是、、、、、、，则这位学生平均成绩的中位数是______ ．
假设全校有名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于分的学生人数．
26. 本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线是常数．
求该抛物线的顶点坐标用含代数式表示；
如果点，都在该抛物线上，且，求的取值范围．
27. 本小题分
在正方形中，是边上一点点不与点，重合，，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
如图，若点是的中点，猜想与的数量关系是______ ．
证明此猜想时，可取的中点，连接根据此图形易证≌．
则判断≌的依据是______ ．
点在边上运动．
如图，中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
如图，连接，，若正方形的边长为，直接写出的周长的取值范围．
28. 本小题分
在平面直角坐标系中，的半径为，对于平面上的任一点，给出如下定义：在射线上存在点，使得，则称点是点关于的“映象点”．
点关于的“映象点”是______ ，点关于的“映象点”是______ ；
如图，过点垂直于轴的直线交圆于点，，当点在线段上运动时，记点是点关于圆的“映象点”，直接写出点的横坐标的取值范围；
如图，过点垂直于轴的直线交圆于点，，当点在线段上运动时，记点关于圆的“映象点”的运动轨迹为，当时，直接写出的长度的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时，是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
2.【答案】
【解析】解：从左边看，底层是两个正方形，上层左边是一个正方形，
故选：．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
3.【答案】
【解析】解：，
又平分，，
，，
．
故选：．
先求出，再根据角平分线的定义求得，把对应数值代入即可求解．
本题主要考查了角平分线的定义和角的运算．找到等量关系是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图所示，该图形有条对称轴，
故选：．
一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
此题考查轴对称图形，根据题意画出对称轴是解题的关键．
5.【答案】
【解析】
解：该正多边形的边数为：，
该正多边形的内角和为：．
故选：．
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．
根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和．
6.【答案】
【解析】解：共个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共个，
随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是．
故选：．
根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
符合条件的情况数目；
全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
7.【答案】
【解析】解：由图象可得点在左侧，
，选项错误，不符合题意．
B.到的距离大于到的距离，
，选项正确，符合题意．
C.，，
，
，选项错误，不符合题意．
D.，
，选项错误，不符合题意．
故选：．
根据图象逐项判断对错．
本题考查数轴与绝对值，解题关键是掌握数轴上点的意义及绝对值的含义．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数图象和新定义，有难度，理清和的意义是关键，并注意利用数形结合的思想解决问题．
A、根据反比例函数一定，并根据图形得：当时，，得，因为是矩形周长的一半，即，可判断点的横坐标不可能大于；
B、根据正方形边长相等得：，得点是直线与双曲线的交点，画图，如图，交点在区域，可作判断；
C、先表示矩形面积，当点沿双曲线向上移动时，的值会越来越小，矩形的面积会越来越大，可作判断；
D、当点位于区域，得，另一边为：，矩形的坐标的对应点落在区域中得：，，可作判断．
【解答】
解：设点，
A、设反比例函数解析式为：，
由图形可知：当时，，
，
，
，即点的横坐标不可能大于，故选项A不正确；
B、当矩形为正方形时，边长为，则，
则点是直线与双曲线的交点，如图，
时，，
交点在区域，故选项B不正确；
C、矩形一边为，则另一边为，
，
当点沿双曲线向上移动时，的值会越来越小，
矩形的面积会越来越大，故选项C不正确；
D、当点位于区域时，
点，
，，即矩形另一边为：，
矩形落在区域中，，，
则矩形中的和矩形中的相等时，矩形的另一边可以和矩形的一边相等，此时两矩形全等，
当点位于区域时，矩形可能和矩形全等，故选项D正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
【解答】
解：根据题意得：，解得．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
12.【答案】
【解析】解：连接，，
，
，
，是的切线，
，
，
，
故答案为：．
连接，，由圆周角和圆心角的关系求得，由切线的性质得到，根据多边形内角和定理即可求出．
本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，
反比例函数的图象在二、四象限，
，
点，在第四象限，随的增大而增大，
．
故答案为：．
先根据函数解析式中的比例系数确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，根据题意判断出函数图象的增减性是解题的关键
14.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
．
，
，
，
在中，．
，
解得．
故答案为：．
根据矩形的性质得，，即可得出，并根据勾股定理求出，再根据，得出，然后根据相似三角形对应边相等得出比例式，代入数值得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定等，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．
15.【答案】
【解析】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，
根据题意可列方程组为，
故答案为：．
根据“个篮球的价钱个足球的价钱元和篮球单价足球的单价元”可列方程组．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
16.【答案】答案不唯一
【解析】解：由图可知为等腰直角三角形，
当运动到时，最长为，此时运动时间为，则，
根据勾股定理得，
当时，的值可能为答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
由图可知为等腰直角三角形，当运动到时，最长为，此时运动时间为，则，根据勾股定理得，所以当时，的值可能为答案不唯一．
本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
17.【答案】解：原式
．
【解析】原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算，即可得到结果．
此题考查了实数的运算，涉及的知识有：零指数、负指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是．
【解析】分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19.【答案】解：，
，
原式
，
当时，原式．
【解析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，以及一元二次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】证明：，，，
，
此方程总有两个实数根．
解：，
．
，．
此方程有一个根小于．
．
．
【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于的一元二次方程，求出的值即可；
利用求根公式得到，根据题意得到即可求得．
本题考查的是根的判别式及一元二次方程解的定义，在解答时得到方程的两个根是解题的关键．
21.【答案】证明：平分，
，
垂直平分，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，且，
四边形是菱形；
过点作于点，
四边形是菱形，
，
，
，且，
，，
，，
，
，
．
【解析】由线段垂直平分线的性质可得，，可得，，由角平分线的性质可得，可证，，可得四边形是平行四边形，即可得结论；
由菱形的性质和外角性质可得，由直角三角形的性质可求的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
22.【答案】解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
，
又一次函数的图象过点，
．
，
这个一次函数的表达式为；
当时，，
把点代入，得，
当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
．
【解析】先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
求得函数在时的函数值为，根据点结合图象即可求得．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
23.【答案】会
【解析】解：如图：
由图象得，顶点，设，
把代入可得，；
当时，，
解得或舍去，
答：喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米；
在中，
当时，，
在中，
当时，，
，
改变喷泉的推力后抛物线开口变大，
此时喷泉会喷到水池外面，
故答案为：会．
根据对应点画图象即可；
利用待定系数法求出二次函数的关系式；把代入即可；
根据喷泉推理大小改变前后的函数解析式可以判断推理改变后抛物线开口变大，从而得出结论．
本题考查二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键．
24.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据切线的性质可得，再根据垂径定理可得结论；
根据垂径定理可得，结合已知条件可得，根据勾股定理可得，再根据，即可求出线段的长．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，解直角三角形．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25.【答案】
【解析】解：由图得：该生第二次成绩是分，
故答案为：；
横纵坐标都大于等于的点有个，
故答案为：；
这位学生平均成绩的中位数是：，
故答案为：；
人，
答：估计两次活动平均成绩不低于分的学生有人．
根据统计图找坐标；
根据统计图找出横纵坐标都岛屿等于的点的个数；
根据中位数的定义求解；
利用样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了频数分布直方图，掌握中位数等基本概念是解题的关键．
26.【答案】解：，
抛物线顶点坐标为；
，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
点，都在该抛物线上，且，
，
或，
解得或．
【解析】将抛物线解析式化为顶点式求解．
由得到抛物线开口向上，对称轴为直线，由，可得，解不等式即可求解．
本题考查二次函数的图象和系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
27.【答案】
【解析】解：如图，取的中点，连接．
则，
点是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为：，；
成立，理由如下：
如图，在上取一点，使，连接，
则，
由得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，过作交于点，连接、，
，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
，
，
当、、三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
此时；
当与相等时，即、、三点共线，
此时，
则；
的周长的取值范围是．
取的中点，连接先证，再证，，然后由证≌，即可得出结论；
在上取一点，使，连接，证≌，即可得出结论；
过作交于点，连接、，证是等腰直角三角形，则点与关于对称，得，，当、、三点共线时，即最短，此时，，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即、、三点共线，此时，则；即可得出结论．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
28.【答案】
【解析】解：设点为点，点关于的“映象点”是点，则，
又，
，
故点关于的“映象点”是；
设点为点，点关于的“映象点”是点，则，
又，
，
由在射线：上，可设点坐标为，，
，
解得：负值以舍去，
点关于的“映象点”是，
故答案为：；，
当点在时，最小，
又，
．
此时最大，点关于圆的“映象点”的横坐标，
当点在或时，最大，
又，
此时，此时点与点重合，点关于圆的“映象点”的横坐标．
综上所述：点的横坐标的取值范围：；
如图，以点为圆心，以长为半径，交轴于点，交射线于点，点为点，交轴于点，
是直径，
，
又，，
∽，
，
，
点是点关于圆的“映象点”，当点在上运动时，点关于圆的“映象点“在上运动，
点关于圆的“映象点”的轨迹为，为以点为圆心，以长为半径的优弧．
由图可知：当变大时，随着变小，半径变小，的弧长变小，
当时，、点重合，
，
点关于圆的“映象点“轨迹为的长度，
当时，圆的半径为，
，即为等边三角形，
，
，
优弧的长为：，
即：点关于圆的“映象点”轨迹为的长度，
此时最小，点关于圆的“映象点”的横坐标，
综上所述：当时，点关于圆的“映象点”轨迹为的长度取值范围：
根据题干所给定义，由即可求解：
根据点在线段上运动时的位置的边界位置，确定点的位置边界，进而确定点的横坐标的取值范围；
根据映象点“定义，以点为圆心，以长为半径，交轴于点，交射线于点，利用直径所对圆周角等于，构造相似三角形∽，可得，由此得到点关于圆的“映象点”的轨迹为，为以点为圆心，以长为半径的优弧，进而求解．
本题属于圆综合题，考查了相似三角形性质和判定、解直角三角形，等边三角形的判定和性质，的“映象点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识转化线段数量关系解决问题，属于中考压轴题．
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