抽象函数问题课件——2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册(共16张PPT)

(共16张PPT)
第三章 函数
抽象函数问题
1.了解函数模型的实际背景.
2.会运用函数的解析式理解和研究函数的性质.
例1：设函数 f(x)对任意 x，y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
且当 x>0 时，f(x)<0，f(1)＝－2.
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)试问当－3≤x≤3 时，f(x)是否有最值？如果有，求出最
值；如果没有，说出理由.
(1)证明：令 x＝y＝0，
则有 f(0)＝2f(0) f(0)＝0.
令 y＝－x，则有 f(0)＝f(x)＋f(－x)，
即 f(－x)＝－f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)解：当－3≤x≤3 时，f(x)有最值，理由如下：
任取 x10 f(x2－x1)<0.
且 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)＝－f(x2－x1)>0.
∴f(x1)>f(x2).∴y＝f(x)在 R 上为减函数.
因此 f(3)为函数的最小值，f(－3)为函数的最大值.
f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6.
∴函数 f(x)的最大值为 6，最小值为－6.
【规律方法】(1)利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如
下三点：一是注意函数的定义域，二是利用函数的奇偶性去掉
函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号
“f ”.
(2)解决f(x＋y)＝f(x)＋f(y)型抽象函数的一般步骤为：
f(0)＝0 f(x)
是奇函数 f(x－y)＝f(x)－f(y) 单调性.
(3)判断单调性小技巧：设x10 f(x2－x1)<0
f(x2)＝f(x2 －x1 ＋x1)＝f(x2 －x1)＋f(x1)减.
【互动探究】
1.已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则下
列判断错误的是(
)
答案：D
例2：已知函数 f(x)的定义域为{x|x∈R，且 x≠0}，对定义
域内的任意 x1，x2 都有 f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当 x>1时 f(x)>0，
f(2)＝1.
(1)求证：f(x)是偶函数；
(2)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 f(2x2－1)<2.
例3：定义在R上的函数y＝f(x)，f(0)≠0，当 x＞0时，f(x)>1，
且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b).
(1)求证：f(0)＝1；
(2)求证：对任意的 x∈R，恒有 f(x)＞0；
(3)求证：f(x)是 R 上的增函数；
(4)若 f(x)·f(2x－x2)＞1，求实数 x 的取值范围.
＞0.
(1)证明：令 a＝b＝0，则 f(0)＝[f(0)]2.
∵f(0)≠0，∴f(0)＝1.
(2)证明：∵当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(0)＝f(x)·f(－x)＝1.
∴f(x)＝
1
f(－x)
又∵当 x≥0 时，f(x)≥1＞0.
∴x∈R 时，恒有 f(x)＞0.
＝f(x2－x1)＞1.
(3)证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0.
∴f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)·f(x1).
∵x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＞1.
又∵f(x1)＞0，∴
f(x2)
f(x1)
∴f(x2)＞f(x1).∴f(x)是 R 上的增函数.
(4)解：由 f(x)·f(2x－x2)＞1，f(0)＝1，
得 f(3x－x2)＞f(0).
∵f(x)是 R 上的增函数，∴3x－x2＞0.∴0＜x＜3.
∴实数 x 的取值范围是{x|0f(0)＝1 f(－x)＝
f(x－y)＝
【规律方法】
(1)解决有 f(a＋b)＝f(a)·f(b).函数型抽象函数的一般步骤为：
1
f(x)
f(x)
f(y)
单调性.
(2)判断单调性小技巧：设 x1>x2，x1－x2>0，则 f(x1－x2)>1，
f(x1)＝f(x2＋x1－x2)＝f(x2)f(x1－x2)>f(x2)，得到函数f(x)是增函数.