2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期初调研数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省淮安市高二（上）期初调研数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 直线过点且与直线平行，则直线的方程是( )
A. B. C. D.
2. 设直线：与关于直线：对称，则直线的方程是( )
A. B.
C. D.
3. 点、在圆：上，且、两点关于直线对称，则圆的半径( )
A. 最大值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为
4. 已知圆：，直线上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5. 已知圆与圆的公共弦长为，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 已知圆：，从点出发的光线要想不被圆挡住直接到达点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 在平面直角坐标系中，已知点在直线：上，且点在第四象限，点以为直径的圆与直线的另外一个交点为，满足，则圆的直径为( )
A. B. C. D.
8. 圆：和圆：的交点为，，则有( )
A. 公共弦所在直线方程为
B. 公共弦的长为
C. 线段中垂线方程为
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列说法中，正确的有( )
A. 点斜式可以表示任何直线
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线关于对称的直线方程是
D. 点到直线的最大距离为
10. 已知点在圆：上，动点的坐标为，则( )
A. 的最小值为
B. 的最大值为
C. 当直线的斜率不存在时，的最大值为
D. 当直线的斜率不存在时，的最大值为
11. 经过点，和直线上一动点作圆，则有( )
A. 圆面积的最小值是
B. 最大值是
C. 圆与相切且以点为切点的圆有且仅有一个
D. 圆心的轨迹是一段圆弧
12. 关于圆：，下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 若，过的直线与圆相交所得弦长为，其方程为
C. 若，圆圆相交
D. 若，，，直线恒过圆的圆心，则恒成立
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 圆的半径为______．
14. 已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为______ ．
15. 已知直线：和两点，，在直线上求一点，使最小，则点坐标是
______ ．
16. 在平面直角坐标系中，过点的直线与圆：交于，两点，则四边形面积最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点的坐标为．
求点和点的坐标；
求边上的高所在的直线的斜截式方程．
18. 本小题分
已知圆为圆心的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
若，试求点的坐标；
求证：经过、、三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．
19. 本小题分
已知圆经过、两点，且圆心在直线上．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆相切，求直线的方程．
20. 本小题分
已知圆过两点，，且圆心在直线上．
求圆的方程；
过点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
21. 本小题分
已知圆与直线相切，圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为．
求圆的方程，并判断圆与圆：的位置关系；
若横截距为且不与坐标轴垂直的直线与圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由．
22. 本小题分
已知圆：．
若圆上恰有三个点到直线斜率存在的距离为，且在两坐标轴上的截距相等，求的方程．
点为圆上任意一点，过点引单位圆的切线，切点试探究：平面内是否存在一点和固定常数，使得？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查由直线平行关系求直线的方程，属于基础题．
设与直线平行的直线方程为，把点代入求得的值，即可求得所求的直线的方程．
【解答】
解：设与直线平行的直线方程为，
把点代入可得，得，
故所求的直线的方程为，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：直线：的斜率，直线的斜率为，直线：的斜率，
由于直线与直线关于直线对称，
利用到角公式：，解得，
由于，解得，
故直线的方程为，整理得．
故选：．
直接利用到角公式求出直线的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用点斜式求出直线的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：由圆：，得，
圆心为，半径为，
由题意可得直线经过圆心，
，即，
半径为．
当时，圆的半径的最小值为．
故选：．
将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
4.【答案】
【解析】解：圆：中，圆心，半径
设，则，
则，
当时，．
故选：．
首先得出切线长的表达式，再以二次函数求值域的方法解之即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：联立和，
得，由题得两圆公共弦长，
圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
所以，
平方后整理得，，即，
所以或舍去．
故选：．
根据圆的圆心和半径公式以及点到直线的距离公式，以及公共线弦方程的求法即可求解．
本题主要考查两圆位置关系的应用，求出两圆的公共弦，利用弦长公式进行求解是解决本题的关键，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意知，从点出发的光线与圆相离时，光线不被挡住，
设过点与圆相切的直线方程为：，即，
又圆：，
所以圆心到的距离，解得，
故，
令，，
所以或．
故选：．
根据条件，将问题转化成点落在过点且与圆相切的两直线“外”，再通过求出切线方程即可求出结果．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：因为为圆的直径，所以．
而为圆心，所以．
又，所以三角形为等腰直角三角形．
所以．
因为直线：上，且，所以，所以．
又，所以．
所以点的坐标满足，解得，，即．
所以，
所以．
即圆的直径为．
故选：．
根据题意作出符合题意的图形，判断出直径，求出，利用两点间的距离公式即可求解．
本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，考查了数学运算的核心素养，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由与作差，可得，即，
即公共弦所在直线的方程为，故A错误；
圆心到直线的距离为，圆的半径，
所以，故B错误；
圆心，圆：的圆心：，线段中垂线方程为，故C错误；
对于，圆心到直线的距离为，，，所以，故D正确，
故选：．
两圆方程相减消去二次项可求得公共弦所在直线的方程，判断；求解弦长判断；两个圆的圆心所在的直线方程就是中垂线方程，判断；求解圆的圆心到直线的距离与弦长的关系，即可判断．
本题考查求点到直线的距离，相交圆的公共弦方程，两圆的公共弦长，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：点斜式，不表示，直线向量不存在的直线，所以不正确；
直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以B正确；
直线关于对称的直线方程是，所以不正确；
直线恒过，点到直线的最大距离为：，所以D正确；
故选：．
利用直线方程的特征，判断选项的正误即可．
本题考查直线方程的应用，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，选项，
圆标准方程为，圆心，半径，
易知动点在直线上，则的最小值为圆心到直线的距离与半径之差．
即．
因为，所以无最大值．
故A正确，B错误；
对于，选项，
当直线斜率不存在时，的值为到直线距离的倍，
故，．
故C错误，D正确．
故选：．
对于，选项：先判断点在直线上，则的最小值为圆心到直线的距离与半径之差，求出最值即可；对于，选项：当直线斜率不存在时，的值为到直线距离的倍，通过圆心到直线的距离与半径之差或之和来求最值．
本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，属于中档题．
根据题意，设，，，由圆的性质可得，从而圆心在直线上，即可判断，由，利用两点间的距离公式，结合可得，利用基本不等式即可得到，从而得到，即可判断；根据圆心角和圆周角的关系可得，且当越小，越大，即可判断，根据直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离求出，即可判断．
【解答】
解：设，，则可得，
因为到、距离相等，即，
所以点在线段的中垂线上，即圆心在直线上，所以，
所以点的轨迹是一条直线，故D错误；
因为到，的距离相等，则，即，
因为在直线上，所以，
所以，即，
则，所以，
当时，，当且仅当时取“”，
当时，，当且仅当时取“”，
所以，则圆的半径，所以圆的半径最小为，
则圆面积的最小值为，故A正确；
由于、、均在上，所以，
而圆心在上，，则当越小时，越大，
所以当时，，此时，即为的最大值，故B正确；
当圆与相切且以为切点时，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得或，
所以圆与相切且以为切点的圆有个，故C错误，
故选：．

12.【答案】
【解析】解：对于，若方程表示圆，
则，解得，故A正确；
对于，若，则圆：，
即，圆心为，半径为，
若过的直线的斜率不存在时，直线方程为，则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交所得弦长为，满足已知条件，故直线方程可以为；
若过的直线的斜率存在时，设直线方程为，
即，
设圆心到直线的距离为，
又弦长为，则，则，
即，解得，
故直线方程为；
所以直线方程为或，故B错误；
对于，，则圆：，圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
圆心距为，
因为，故两圆相交，故C正确；
对于，若，圆心为，
若直线恒过圆的圆心，则，
又，，
则，当且仅当，即时等号成立，故D错误．
故选：．
根据圆的一般方程可判断；利用点到直线的距离为可判断；根据圆心距与半径的关系可判断；由题可得，然后利用基本不等式可判断．
本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：圆可变形为，
所以圆的半径为．
故答案为：．
先将圆的一般方程转化为标准方程，即可得到答案．
本题考查了圆的一般方程的应用，解题的关键是将圆的一般方程转化为圆的标准方程，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：设点，则，
整理为：，
设圆的圆心为，圆的圆心为，
如图可知，的最大值是圆心距加两个圆的半径，即．
故答案为：．
首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求的最大值．
本题主要考查了轨迹方程的求解，圆的性质的应用，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：可判断、在直线的同侧，设点关于的对称点的坐标为
则有，且．
解得：，．
设直线的方程为，
则，且，
解得：，，
即直线的方程为，
代入：得：
直线与的交点可求得为
由平面几何知识可知最小．
故答案为：
先判断、与直线：的位置关系，即把点的坐标代入，看符号相同在同侧，相反异侧．使最小，如果、在的同侧，将其中一点对称到的另一侧，连线与的交点即为；如果、在的异侧，则直接连线求交点即可
本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：圆，，
由题意直线的斜率不为，
设直线的方程为，与圆的方程联立，
得，
，设，，
所以，
所以，
所以，
令，则，则，
当时，有最大值，
所以有最大值，此时，即，
故答案为：．
设直线的方程为，与圆的方程联立，设，，由韦达定理表示，令，转化为求利用配方法求的最值可得答案．
本题主要考查直线和圆的位置关系，属于中档题．
17.【答案】解：由已知应在边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，得，故A，
所以，又，
所以所在直线方程为，所在直线方程为，
由，得，
所以点和点的坐标为，；
由知所在直线方程为，
所以直线的斜率为，
因为，所以直线所在的方程为，即，
所以直线的斜截式方程为．
【解析】根据条件联立方程组求解即可；
由得到直线的斜率，再求出斜截式方程即可．
本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，属于基础题．
18.【答案】解：设，由题可知，
即，
解得：故所求点的坐标为或．
设，的中点，
因为是圆的切线，
所以经过，，三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，
故其方程为：，
化简得：，此式是关于的恒等式，
故，解得或，
即和
【解析】设，代入圆方程，解得，进而可知点的坐标．
设，的中点，因为是圆的切线，进而可知经过，，三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，进而得到该圆的方程，根据其方程是关于的恒等式，进而可求得和，得到经过，，三点的圆必过定点的坐标．
本题主要考查了圆方程的综合运用．解题的关键是对圆性质的熟练掌握．
19.【答案】解：线段的中点为，直线的斜率为，
所以线段的中垂线方程为，即，
圆心为的中垂线与直线的交点，
联立，解得，故圆心为，
圆的半径，
所以圆的标准方程为；
若直线的斜率不存在，
则直线的方程为，
此时，圆心到直线的距离为，不合乎题意，
所以，直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由题意可得，解得或，
故的方程为或．
【解析】求出线段的垂直平分线的方程，与直线的方程，可得出圆心的坐标，求出圆的半径，即可得出圆的标准方程；
分两种情况讨论：直线的斜率不存在，直接验证即可；直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出直线的方程．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则，
因为，所以的中垂线方程为，即，
又因为圆心在直线上，
联立，解得，所以圆心，
半径，
故圆的方程为．
由题意得，．
当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
则，解得，
所以直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
【解析】的中垂线过圆心，又圆心在直线上，联立方程组可求得圆心，再由两点间距离公式求得半径，可得圆的方程；
分直线斜率存在和不存在两种类型讨论，由垂径定理求解直线方程即可．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：设圆心为，则
，解得
圆心，，
圆的方程为，
圆的圆心，半径，
，
圆与圆相交；
设直线：，，，
联立，化简得，
，，
假设存在满足条件，
则，
，
若，则，
即
，
解得且，即．
故存在满足条件．
【解析】本题考查直线和圆的位置关系，考查圆的方程的求法，考查根与系数的关系，考查运算能力，属于中档题．
设圆心为，则，解得，可得圆心和，从而求出圆的方程，由圆的方程得到圆的圆心和半径，求出的值即可判断圆与圆的位置关系；
设直线：，，，联立，化简可得，的值，假设存在满足条件，求出，，结合，化简整理即可求出的值，从而判断存在满足条件．
22.【答案】解：圆标准方程为，圆心为，半径为，
圆上恰有三个点到直线斜率存在的距离为，则圆心到直线的距离为，
由题意截距不为时，设直线方程，所以，解得，
所以直线方程为．
当截距为时，设方程为，即，由，解得或，
直线方程为或，
综上，直线方程为或，；
假设存在一点和固定常数，使得，设，，
由切线长公式得，所以，
，又，
整理得：，这是关于，的恒等式，
所以显然，解得或，
所以存在满足题意的点和，，或，．
【解析】求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于半径减去可得直线方程；
假设存在一点和固定常数，使得，设，，由得一恒等式，求出，，如果无解，说明不存在．
本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属难题．
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