八年级数学上分层优化堂堂清（4）12.2三角形的判定第三课时（含解析）
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（4）12.2三角形的判定第三课时（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 7.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-20 15:55:59 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS
学习目标：
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
知识点3 判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
【例1-1】如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．
【例1-2】在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF
C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF
【例1-3】如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
【例2-1】如图，在中，为边上一点，，．求证：．
【例2-2】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【例2-3】 已知：如图，在中，D是边中点，于点E，于点F，
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
知识点3 判定方法的选择
【例3-1】如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
【例3-2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．
能力强化提升训练
1.如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
请添加一个条件________使，并说明理由．
在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
2 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
3 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，，判定的理由是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
3 .如图，与交于点，下列条件不能证明的是
A．， B．，
C．， D．，
4 .如图，，添加一个条件，仍不能说明的是
A． B． C． D．
5 .如图，测量河两岸相对的两点，的距离时，先在的垂线上取两点、，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点，的距离，判定的依据是（ ）
A．“” B．“” C．“” D．“”
如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7 .如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
8 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知，如图，，，添加一个条件： 或 ，使得．
10 .如图，已知中，点，分别在边，上，连接，，，请你添加一个条件，使，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
11 .如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．
12 .如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 ______．
13 .如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 _____．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）点、、、在直线l上（、之间不能直接测量），点A、在l异侧，，，．
（1）试说明与全等；
（2）若，，求的长度．
15 .（8分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．
17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．
18 .（8分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
19 .（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，，，直线经过点．设（），于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
（1）判断：________（填“”或“”或“”）；
（2）猜想的形状，并说明理由；
2 .在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS
（解析版）
学习目标：
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
知识点3 判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
【例1-1】如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例1-2】在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF
C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项A正确；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90° x，
∴∠EFC＝180° 2x，
∴∠EFD＝90° x＋180° 2x＝270° 3x，
∵∠AEF＝90° x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵EF＝MF，
∴CF＝MF，即CF＝EF，故选项C正确；
∵EF＝MF，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；故选项D不成立；
故选D
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
【例1-3】如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
【例2-1】如图，在中，为边上一点，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由三角形外角的性质及可得到，再结合图形并利用恒等变换可得到，最后利用即可得证．
【详解】证明：∵，
即，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
在和中，
，
∴．
【点评】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【例2-2】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】与全等，证明见解析
【分析】先证明，然后根据证明，即可求解．
【详解】解：与全等
理由如下：
根据题意可知：
在中，
又
在与中，
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2-3】 已知：如图，在中，D是边中点，于点E，于点F，
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）只需要利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D是边中点，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
知识点3 判定方法的选择
【例3-1】如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．
∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
【例3-2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再利用角平分线的定义以及三角形内角和得到的度数；在上截取，先证明得到，，再得到，接着证明得到，然后利用等线段代换得到结论．
解：∵，，
∴ ，
∵，均为的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
在上截取，如图所示：
∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
能力强化提升训练
1.如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
请添加一个条件________使，并说明理由．
在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
(1)，理由见分析；(2)，理由见分析．
【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．
（1）解：添加条件：，理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BDO和△CEO中
∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
3 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意知，由，，可得，进而结论得证；
（2）同理（1）证明，则，，根据计算求解的值即可；
（3）如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，由（1）可得，则，，进而可求点坐标．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，
由（1）可得，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，，判定的理由是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵，∴，
∵和为对顶角，∴，
又∵，∴．故选：A．
2 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【解析】解：∵，，，，
∴，
∴，，∴，
∵在和中，∴；
∴，，
∴，故选：C．
3 .如图，与交于点，下列条件不能证明的是
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：．在和中，
，
，故选项不合题意；
．在和中，
，
，故选项不合题意；
．，
，
在和中，
，
，故选项不合题意；
．，，不能证明，故选项符合题意；
故选：．
4 .如图，，添加一个条件，仍不能说明的是
A． B． C． D．
【解析】解：、添加，利用不能判定，故此选项符合题意；
、添加，利用能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项不合题意；
、添加，可利用能判定，故此选项不合题意；
故选：．
5 .如图，测量河两岸相对的两点，的距离时，先在的垂线上取两点、，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点，的距离，判定的依据是（ ）
A．“” B．“” C．“” D．“”
【答案】B
【解析】解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵CD=BC，∠ACB=∠ECD，∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．故选：B．
如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】解：∵D是的中点，∴，
∵，∴，
∴，∴．故选：C．
7 .如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
【答案】C
【解析】：四边形为平行四边形，经过的中点，
，，，，，
又，，，
，，，
，．故图中的全等三角形共有5对．
故选:C
8 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】解：①∵AE是中线，∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中， ，∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知，如图，，，添加一个条件： 或 ，使得．
【解析】解：，
，
又，
添加条件，可以使得，
添加条件，可以使得，
添加条件，可以使得，
故答案为：或．
10 .如图，已知中，点，分别在边，上，连接，，，请你添加一个条件，使，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
【解析】解：添加的条件是：，
理由是：，，
，
在和中
，
，
故答案为：．
11 .如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．
【答案】14厘米
【解析】解：
在与中
故答案为：14厘米．
12 .如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 ______．
【答案】ASA
【解析】解：在△ABC和△MBC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：ASA．
13 .如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】12
【解析】解：，，
在和中，，，，
图中阴影部分面积，故答案为：12．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）点、、、在直线l上（、之间不能直接测量），点A、在l异侧，，，．
（1）试说明与全等；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），∴，
在和中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，即BF=CE，
∵，，∴FC=EF-BF-CE=10-3-3=4m．
15 .（8分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ACB与△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（AAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．
【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，即可证明△ABF≌△CDF（ASA）．
【解答】解：还有△ABF≌△CDF，理由如下：
∵△ABC≌△DCE，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，
在△ABF和△CDF中
，
∴△ABF≌△CDF（ASA）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．
17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．
【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，从而得出DE＝BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．
【解答】证明：在△DEC和△BEC中
∵，
∴△DEC≌△BEC（ASA）．
∴DE＝BE．
∵∠3＝∠4，
∴∠DEA＝∠BEA．
∵DE＝BE，AE＝AE，
在△ABE和△ADE中
∵，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18 .（8分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）110゜
【解析】
（1）：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BED与△CFD中
∴，∴DE=DF；
（2解：∵
∴∠C=∠B=，
∴∠BAC=
19 .（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)DE=AD+BE，理由见分析；(2)AD=DE+BE
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论；
（2）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论．
（1）解：DE=AD+BE，理由如下：
证明：∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=AD+BE；
（2）解： AD=DE+BE，理由如下：
如图，
∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，AD=CE，
∴AD=DE+BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，，，直线经过点．设（），于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
（1）判断：________（填“”或“”或“”）；
（2）猜想的形状，并说明理由；
【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形；理由见解析；（3）．
【分析】（1）由四边形的内角和与邻补角的性质证明，即可得到结论．
（2）由旋转的性质可得：证明 再证明，从而可得结论；
（3）当时，的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，的外心在其外部，从而可得到答案．
【详解】解：（1）
故答案为：．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转可得：
在与中，
又
是等腰直角三角形．
【点评】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
2 .在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①用证明即可；
②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）先证明，可得，，进而得出；
（3）先证明，可得，，进而得出．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
（2）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明．
如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS
学习目标：
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
知识点3 判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
【例1-1】如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．
【例1-2】在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF
C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF
【例1-3】如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
【例2-1】如图，在中，为边上一点，，．求证：．
【例2-2】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【例2-3】 已知：如图，在中，D是边中点，于点E，于点F，
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
知识点3 判定方法的选择
【例3-1】如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
【例3-2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．
能力强化提升训练
1.如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
请添加一个条件________使，并说明理由．
在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
2 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
3 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，，判定的理由是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
3 .如图，与交于点，下列条件不能证明的是
A．， B．，
C．， D．，
4 .如图，，添加一个条件，仍不能说明的是
A． B． C． D．
5 .如图，测量河两岸相对的两点，的距离时，先在的垂线上取两点、，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点，的距离，判定的依据是（ ）
A．“” B．“” C．“” D．“”
如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
7 .如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
8 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知，如图，，，添加一个条件： 或 ，使得．
10 .如图，已知中，点，分别在边，上，连接，，，请你添加一个条件，使，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
11 .如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．
12 .如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 ______．
13 .如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 _____．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）点、、、在直线l上（、之间不能直接测量），点A、在l异侧，，，．
（1）试说明与全等；
（2）若，，求的长度．
15 .（8分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．
17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．
18 .（8分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
19 .（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，，，直线经过点．设（），于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
（1）判断：________（填“”或“”或“”）；
（2）猜想的形状，并说明理由；
2 .在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS
（解析版）
学习目标：
1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题
2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。
【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．
【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明
老师对你说：
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
AB=A′B′
∠B=∠B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:
图12-2-5
在△ABC和△A′B′C′中,
∠A=∠A′
∠B=∠B′
AC=A′C′
∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).
由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
知识点3 判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件 可选择的判定方法
一边一角对应相等 SAS AAS ASA
两角对应相等 ASA AAS
两边对应相等 SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
注意： 三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 全等三角形的判定3：角边角（ASA）
【例1-1】如图，点A、、、在同一条直线上，若，，求证：．
【答案】见解析
【分析】由知，结合，，依据“”可判定≌，依据两三角形全等对应边相等可得．
【详解】证明：，
，即，
在和中，
，
，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【例1-2】在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（ ）
A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEF
C．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF，得出对应线段之间关系进而得出答案．
【详解】解：∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
∵在 ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，故此选项A正确；
设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90° x，
∴∠EFC＝180° 2x，
∴∠EFD＝90° x＋180° 2x＝270° 3x，
∵∠AEF＝90° x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项B正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵EF＝MF，
∴CF＝MF，即CF＝EF，故选项C正确；
∵EF＝MF，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC＝2S△CEF错误；故选项D不成立；
故选D
【点拨】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
【例1-3】如图，点C在线段上，在和中，．
求证：．
证明见解析
【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】解：在和中，
∴
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
知识点2 全等三角形判定4——“角角边”（AAS）
【例2-1】如图，在中，为边上一点，，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由三角形外角的性质及可得到，再结合图形并利用恒等变换可得到，最后利用即可得证．
【详解】证明：∵，
即，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
在和中，
，
∴．
【点评】本题考查三角形全等的判定，三角形外角的性质．掌握三角形全等的判定是解题的关键．
【例2-2】如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线l上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．
【答案】与全等，证明见解析
【分析】先证明，然后根据证明，即可求解．
【详解】解：与全等
理由如下：
根据题意可知：
在中，
又
在与中，
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
【例2-3】 已知：如图，在中，D是边中点，于点E，于点F，
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）只需要利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据三角形面积公式进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D是边中点，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
知识点3 判定方法的选择
【例3-1】如图，，，分别平分和，经过点E．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】在上截取，连接，通过证明和，然后根据全等三角形的性质分析求证．
【详解】证明：在上截取，连接．
∵，分别平分和，
∴．
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
【例3-2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．
【分析】先根据三角形内角和定理得到，再利用角平分线的定义以及三角形内角和得到的度数；在上截取，先证明得到，，再得到，接着证明得到，然后利用等线段代换得到结论．
解：∵，，
∴ ，
∵，均为的角平分线，
∴，，
∴，
∴．
在上截取，如图所示：
∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定方法．也考查了角平分线的定义．
能力强化提升训练
1.如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．
请添加一个条件________使，并说明理由．
在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．
(1)，理由见分析；(2)，理由见分析．
【分析】（1）利用判定定理，添加即可判断；
（2）利用全等三角形的判定与性质，再结合等角对等边即可判断．
（1）解：添加条件：，理由如下：
∵，，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等角对等边，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2 .如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．
【分析】证△ABE≌△ACD，推出∠B=∠C，AD=AE，求出BD=CE，证△BDO≌△CEO，根据全等三角形的性质推出即可．
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ABE和△ACD中
∴△ABE≌△ACD （AAS），
∴∠B＝∠C，AD＝AE，
∵AB＝AC，
∴BD＝CE，
在△BDO和△CEO中
∴△BDO≌△CEO （AAS），
∴OB＝OC．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．
3 .(1)如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，求证：；
(2)如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于，于，，，求的长；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由题意知，由，，可得，进而结论得证；
（2）同理（1）证明，则，，根据计算求解的值即可；
（3）如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，由（1）可得，则，，进而可求点坐标．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的长为；
（3）解：如图3，过点作平行于轴的直线，过作于，过作于，
由（1）可得，
∴，，
∴．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明三角形全等．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，，判定的理由是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵，∴，
∵和为对顶角，∴，
又∵，∴．故选：A．
2 .王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC, ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【解析】解：∵，，，，
∴，
∴，，∴，
∵在和中，∴；
∴，，
∴，故选：C．
3 .如图，与交于点，下列条件不能证明的是
A．， B．，
C．， D．，
【解析】解：．在和中，
，
，故选项不合题意；
．在和中，
，
，故选项不合题意；
．，
，
在和中，
，
，故选项不合题意；
．，，不能证明，故选项符合题意；
故选：．
4 .如图，，添加一个条件，仍不能说明的是
A． B． C． D．
【解析】解：、添加，利用不能判定，故此选项符合题意；
、添加，利用能判定，故此选项不合题意；
、添加，利用能判定，故此选项不合题意；
、添加，可利用能判定，故此选项不合题意；
故选：．
5 .如图，测量河两岸相对的两点，的距离时，先在的垂线上取两点、，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点，的距离，判定的依据是（ ）
A．“” B．“” C．“” D．“”
【答案】B
【解析】解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵CD=BC，∠ACB=∠ECD，∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．故选：B．
如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C
【解析】解：∵D是的中点，∴，
∵，∴，
∴，∴．故选：C．
7 .如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．对 B．对
C．对 D．对
【答案】C
【解析】：四边形为平行四边形，经过的中点，
，，，，，
又，，，
，，，
，．故图中的全等三角形共有5对．
故选:C
8 .如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【解析】解：①∵AE是中线，∴BE＝CE，故①正确；
②∵DC⊥BC，BF⊥AE，∴∠DBC+∠D＝∠DBC+∠BEA＝90°．∴∠D＝∠BEA．
∵∠DCB＝∠ABE＝90°，
在△DBC与△ABE中， ，∴△BCD≌△ABE（AAS）．
∴BD＝AE，故②正确；
③∵△BCD≌△ABE，∴∠BAE＝∠CBD；故③正确；
④∵AE是中线，∴∠EAC≠∠BAE，故④错误；
⑤∵△BCD≌△ABE，∴BE＝CD，
∵BC＝2BE，∴BC＝2CD，故⑤正确．
∴正确的结论有①②③⑤，共4个．故选：C．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .已知，如图，，，添加一个条件： 或 ，使得．
【解析】解：，
，
又，
添加条件，可以使得，
添加条件，可以使得，
添加条件，可以使得，
故答案为：或．
10 .如图，已知中，点，分别在边，上，连接，，，请你添加一个条件，使，你所添加的条件是 （只填一个条件即可）．
【解析】解：添加的条件是：，
理由是：，，
，
在和中
，
，
故答案为：．
11 .如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．
【答案】14厘米
【解析】解：
在与中
故答案为：14厘米．
12 .如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 ______．
【答案】ASA
【解析】解：在△ABC和△MBC中，，∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：ASA．
13 .如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 _____．
【答案】12
【解析】解：，，
在和中，，，，
图中阴影部分面积，故答案为：12．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）点、、、在直线l上（、之间不能直接测量），点A、在l异侧，，，．
（1）试说明与全等；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），∴，
在和中，，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，即BF=CE，
∵，，∴FC=EF-BF-CE=10-3-3=4m．
15 .（8分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ACB＝∠F，再利用AAS即可证明△ACB≌△DFE．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠F，
在△ACB与△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（AAS）．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键．
16 .（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．
【分析】由△ABC≌△DCE，得到AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，因此AB∥CD，推出∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，即可证明△ABF≌△CDF（ASA）．
【解答】解：还有△ABF≌△CDF，理由如下：
∵△ABC≌△DCE，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF，
在△ABF和△CDF中
，
∴△ABF≌△CDF（ASA）．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是由△ABC≌△DCE，推出AB∥CD，得到∠A＝∠DCF，∠ABF＝∠CDF．
17 .（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．
【分析】先利用AAS判定△DEC≌△BEC，从而得出DE＝BE，再利用SAS判定△ABE≌△ADE．
【解答】证明：在△DEC和△BEC中
∵，
∴△DEC≌△BEC（ASA）．
∴DE＝BE．
∵∠3＝∠4，
∴∠DEA＝∠BEA．
∵DE＝BE，AE＝AE，
在△ABE和△ADE中
∵，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18 .（8分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
（1）求证∶DE=DF；
（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）见解析；（2）110゜
【解析】
（1）：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，
∵D是BC的中点，∴BD=CD，
在△BED与△CFD中
∴，∴DE=DF；
（2解：∵
∴∠C=∠B=，
∴∠BAC=
19 .（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．
当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；
当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)DE=AD+BE，理由见分析；(2)AD=DE+BE
【分析】（1）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论；
（2）由“AAS”可证△BCE≌△CAD，可得BE=CD，AD=CE，可得结论．
（1）解：DE=AD+BE，理由如下：
证明：∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∴DE=AD+BE；
（2）解： AD=DE+BE，理由如下：
如图，
∵BE⊥ED，AD⊥DE，
∴∠BEC=∠ADC=90°=∠ACB，
∴∠ACD+∠BCE=90°=∠ACD+∠DAC，
∴∠DAC=∠BCE，
在△BCE和△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD（AAS），
∴BE=CD，AD=CE，
∴AD=DE+BE．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键.
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，，，直线经过点．设（），于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．
（1）判断：________（填“”或“”或“”）；
（2）猜想的形状，并说明理由；
【答案】（1）；（2）是等腰直角三角形；理由见解析；（3）．
【分析】（1）由四边形的内角和与邻补角的性质证明，即可得到结论．
（2）由旋转的性质可得：证明 再证明，从而可得结论；
（3）当时，的外心在其斜边上，∠ABC=α＞90°时，的外心在其外部，从而可得到答案．
【详解】解：（1）
故答案为：．
（2）是等腰直角三角形．
理由如下：由旋转可得：
在与中，
又
是等腰直角三角形．
【点评】本题考查的是四边形的内角和，三角形的外接圆的性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
2 .在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②；
(2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；
(3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)
(3)
【分析】（1）①用证明即可；
②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出；
（2）先证明，可得，，进而得出；
（3）先证明，可得，，进而得出．
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵ ，
∴；
②∵，
∴，，
∴．
（2）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）解：．
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明．
如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可．
【解答】解：（1）当t＝1时，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，
又∠A＝∠B＝90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP＝∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．
∴∠CPQ＝90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）存在，
理由：①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，
则，
解得；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，
则，
解得：；
综上所述，存在或，使得△ACP与△BPQ全等．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用．
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