八年级数学上分层优化堂堂清（7）12.2角平分线的性质第一课时角平分线的画法（含解析）
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| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（7）12.2角平分线的性质第一课时角平分线的画法（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-20 15:58:11 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第一课时 角的平分线的画法及性质
学习目标：
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师对你说：
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
5.证明几何命题的一般步骤
一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）. 明确命题中的已知和求证；
（2） 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 作已知角的平分线
【例1-1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法)
【例1-2】在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；
(2)求的度数.
【例1-3】如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 角的平分线的性质
【例2-1】如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为 ．
【例2-2】如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm．
【例2-3】如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
【例2-4】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
能力强化提升训练
1 .如图，，是的中点，平分，求证：平分．
2.如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．
3 .如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
4.如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
2.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
3 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
4 .在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
7 .如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．30
8 .如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 ．
10 .如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 .
11 .如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是 ．
12 .如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
13 .已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
15 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
．
16 .（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
17 .（8分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：
多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，则即为的平分线．勤学小组证明过程如下：
连接，．
由作图可知，，
又，
．（依据）
．
平分．
善思小组展示了他们的方法：如图2，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．再以点为圆心，长为半径作孤，两孤交于点，作射线；点为圆心，长为半径作孤交于点，作射线，则为的平分线．
任务：
(1)填空：勤学小组证明过程中的“依据”是指______；
(2)根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；
(3)在图3中再设计一种不同的方法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
18 .（8分）如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
19 .（8分）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
．
2.在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第一课时 角的平分线的画法及性质（解析版）
学习目标：
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师对你说：
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
5.证明几何命题的一般步骤
一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）. 明确命题中的已知和求证；
（2） 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 作已知角的平分线
【例1-1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法)
解析 如图所示: 点即为所作.
，，
是的平分线，
，。
【例1-2】在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；
(2)求的度数.
解析 解: 如图即为所求。
(2) 解: ，，
是的平分线，，
是的平分线，
，
。
【例1-3】如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
知识点2 角的平分线的性质
【例2-1】如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为 ．
【答案】
【分析】过作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过作于，
为的平分线，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【例2-2】如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm．
解析 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB DE+AC DF，
∵△ABC面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，
解得DE＝4cm．
故答案为：4．
【例2-3】如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
答案 1.5
解析 过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，
∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠FBC＝∠D，
在△BFC和△DEC中
∴△BFC≌△DEC(AAS)，
∴BF＝DE，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC(HL)，
∴AF＝AE，
∵AD＝10cm，AB＝7cm，
∴AD﹣AB＝(AE+DE)﹣(AF﹣BF)＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3(cm)，
解得：DE＝1.5cm，
故答案为：1.5．
【例2-4】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质可得，根据“斜边直角边”的判定方法可证，，由此可得，设，列式求解即可．
【详解】解：∵点是的平分线上一点，于，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，即，设，
∴，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
能力强化提升训练
1 .如图，，是的中点，平分，求证：平分．
【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得．
解：证明：如图：过点作，垂足为，
平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【点拨】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键．
2.如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．
【答案】2
【分析】根据尺规作图可得平分，再利用角平分线的性质定理可得出，最后根据垂线段最短即可得出的最小值是2．
解：如图，过点F作于D．
由作图可知，平分，
∵，，
∴．
根据垂线段最短可知，的最小值为的长，即为2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出是的角平分线．
3 .如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4.如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可证，然后可推得选项成立，但B选项不一定成立．
【详解】已知为的角平分线，，垂足分别是，根据角平分线的性质可得，A正确；
在与中，，由可判定，根据全等三角形的性质可得，故C、D正确．
若，
则，
∵，
∴，
∴当时，B错误．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是找到全等三角形的对应边及对应角．
2.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【解答】解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中，，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
4 .在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】C
【分析】根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得，然后根据得出答案．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝7，，
∴CD＝3，
∴DE＝3，
∴点D到AB的距离等于3．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC．
7 .如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．30
【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可．
【解答】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴点O到AB、BC、AC的距离相等，
∵O到边AC的距离为4，
∴O到边AB、BC的距离都为4，
∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36，
∴AB+AC+BC＝18，
即△ABC的周长为18．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
8 .如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 ．
答案 (﹣4，3)
解析 作AE⊥x轴于点E，
由角平分线的性质可得AC＝AE＝3，
∵点A到y轴的距离为4，
∴点A坐标为(﹣4，3)．
故答案为：(﹣4，3)．
10 .如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 .
答案 5
解析 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长为10，
∴AB+AC+BC＝10，
，
11 .如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是 ．
【答案】6
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作于点H，如图，
∵射线是的平分线，，，
∴，
∴的面积=．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
12 .如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
【答案】8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点拨】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
13 .已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
15 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
16 .（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17 .（8分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：
多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，则即为的平分线．勤学小组证明过程如下：
连接，．
由作图可知，，
又，
．（依据）
．
平分．
善思小组展示了他们的方法：如图2，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．再以点为圆心，长为半径作孤，两孤交于点，作射线；点为圆心，长为半径作孤交于点，作射线，则为的平分线．
任务：
(1)填空：勤学小组证明过程中的“依据”是指______；
(2)根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；
(3)在图3中再设计一种不同的方法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)SSS
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等．
（2）根据角平分线的定义证明即可．
（3）在射线，上分别截取，，连接，交于点O，作射线即可．
【详解】（1）勤学小组证明过程中的“依据”是SSS．
（2）由作图可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
（3）做法不唯一，如图所示，即为的平分线．
【点评】本题考查了尺规作图的性质、角平分线的性质、全等三角形判断及性质，熟练掌握相关概念是解题的关键．
18 .（8分）如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；
（2）根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度；
（3）根据线段之间的关系，即可得到．
【详解】（1）证明：，，
∴；
（2）解：，
，
又，，且的面积等于24，
，
；
（3）解：∵，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
19 .（8分）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，证明，根据全等三角形的性质即可求得证；
（2）根据，点为的中点，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．
【详解】（1）证明：∵，平分．
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：，平分，，
，
点为的中点，
，
，
又，，
平分．
（3）结论：．
理由：，
，
同理可得，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质构造出全等三角形是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作三条公路所组成的三角形的内角平分线和外角平分线，然后根据角平分线的性质得到它们的交点满足条件．
【解答】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第一课时 角的平分线的画法及性质
学习目标：
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师对你说：
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
5.证明几何命题的一般步骤
一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）. 明确命题中的已知和求证；
（2） 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 作已知角的平分线
【例1-1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法)
【例1-2】在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；
(2)求的度数.
【例1-3】如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 角的平分线的性质
【例2-1】如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为 ．
【例2-2】如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm．
【例2-3】如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
【例2-4】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
能力强化提升训练
1 .如图，，是的中点，平分，求证：平分．
2.如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．
3 .如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
4.如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
2.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
3 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
4 .在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
7 .如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．30
8 .如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 ．
10 .如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 .
11 .如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是 ．
12 .如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
13 .已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
15 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
．
16 .（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
17 .（8分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：
多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，则即为的平分线．勤学小组证明过程如下：
连接，．
由作图可知，，
又，
．（依据）
．
平分．
善思小组展示了他们的方法：如图2，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．再以点为圆心，长为半径作孤，两孤交于点，作射线；点为圆心，长为半径作孤交于点，作射线，则为的平分线．
任务：
(1)填空：勤学小组证明过程中的“依据”是指______；
(2)根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；
(3)在图3中再设计一种不同的方法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
18 .（8分）如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
19 .（8分）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
．
2.在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第一课时 角的平分线的画法及性质（解析版）
学习目标：
1.通过全等三角形的知识理解角平分线的定理。
2.会利用尺规作一个角的角平分线。
3.在利用尺规作图的过程中培养学生的动手操作能力。
4.能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题。
【学习重难点】
角的平分线的性质的证明及运用。
老师对你说：
知识点1 作已知角的平分线
已知：∠AOB.
求作：∠AOB 的平分线.
作法：(1) 以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N；
(2) 分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C；
(3) 画射线 OC. 则射线 OC 即为所求.
【注意】（1）以小于MN 的长为半径画弧时，两弧没有交点.（2）不能说成“连接OC”.
知识点2 角的平分线的性质
1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
2、应用所具备的条件：
（1）点在角的平分线上；
（2）到角两边的距离(垂直).
3、定理的作用：证明线段相等.
4、角平分线的性质的几何语言：
如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE
【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.
5.证明几何命题的一般步骤
一般情况下，证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
（1）. 明确命题中的已知和求证；
（2） 根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
（3） 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 作已知角的平分线
【例1-1】 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点，使得. (保留作图痕迹，不写作法)
解析 如图所示: 点即为所作.
，，
是的平分线，
，。
【例1-2】在中， ， 点在的延长线上,的平分线交于点 . 的平分线与射线交于点。
(1)依题意补全图形；用尺规作图法作的平分线；
(2)求的度数.
解析 解: 如图即为所求。
(2) 解: ，，
是的平分线，，
是的平分线，
，
。
【例1-3】如图，在中，，按以下步骤作图：以点为圆心、适当长为半径作圆弧，分别交边、于点、；分别以点和点为圆心、大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点；作射线交边于点，若，，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作于，
由基本作图可知，平分
平分，，，
，
的面积，
故选：B．
【点评】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
知识点2 角的平分线的性质
【例2-1】如图，为的平分线，于点，且，点到的距离为 ．
【答案】
【分析】过作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，从而得解．
【详解】解：如图，过作于，
为的平分线，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
【例2-2】如图，在△ABC中，AD为△ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若△ABC的面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，则DF＝ cm．
解析 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB DE+AC DF，
∵△ABC面积是20cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，
∴×6DE+×4DF＝3DE+2DF＝5DE＝20，
解得DE＝4cm．
故答案为：4．
【例2-3】如图所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的长度为 cm．
答案 1.5
解析 过C作CF⊥AB，交AB的延长线于F，
∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，
∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，
∴∠FBC＝∠D，
在△BFC和△DEC中
∴△BFC≌△DEC(AAS)，
∴BF＝DE，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC(HL)，
∴AF＝AE，
∵AD＝10cm，AB＝7cm，
∴AD﹣AB＝(AE+DE)﹣(AF﹣BF)＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3(cm)，
解得：DE＝1.5cm，
故答案为：1.5．
【例2-4】如图，在中，，是延长线上一点，点是的平分线上一点，，过点作于，于，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据角平分线的性质可得，根据“斜边直角边”的判定方法可证，，由此可得，设，列式求解即可．
【详解】解：∵点是的平分线上一点，于，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，即，设，
∴，
∴，即，
故选：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握以上知识是解题的关键．
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1 .如图，，是的中点，平分，求证：平分．
【分析】过点M作于点E，根据角平分线的性质及判定，即可证得．
解：证明：如图：过点作，垂足为，
平分，，，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又，
，
，，
平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
【点拨】本题考查了角平分线的性质及判定，熟练掌握和运用角平分线的性质及判定是解决本题的关键．
2.如图，在中，，利用尺规在上分别截取；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点E，作射线交于点F，若，点H为线段上的一动点，则的最小值是________．
【答案】2
【分析】根据尺规作图可得平分，再利用角平分线的性质定理可得出，最后根据垂线段最短即可得出的最小值是2．
解：如图，过点F作于D．
由作图可知，平分，
∵，，
∴．
根据垂线段最短可知，的最小值为的长，即为2．
故答案为：2．
【点拨】本题主要考查角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出是的角平分线．
3 .如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
4.如图①，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F．
（1）求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）如图②，若点P在AD的延长线上，其他条件不变，试猜想（1）中的结论还成立吗？请证明你的猜想．
【分析】（1）首先由PE∥AB，PF∥AC，根据两直线平行，同位角相等，可得∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，又由△ABC中，AD是它的角平分线，可得DP平分∠EPF，根据角平分线的性质，即可证得D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立，同（1）证明即可．
【解答】（1）证明：∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等；
（2）若点P在AD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论还成立．理由如下：
∵PE∥AB，PF∥AC，
∴∠EPD＝∠BAD，∠DPF＝∠CAD，
∵△ABC中，AD是它的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠EPD＝∠DPF，
即PD平分∠EPF，
∴D到PE的距离与D到PF的距离相等．
【点评】此题考查了角平分线的性质与平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是熟记角平分线的性质定理的应用，注意数形结合思想的应用．
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选择题（每小题4分，共32分）
1．如图，为的角平分线，，，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可证，然后可推得选项成立，但B选项不一定成立．
【详解】已知为的角平分线，，垂足分别是，根据角平分线的性质可得，A正确；
在与中，，由可判定，根据全等三角形的性质可得，故C、D正确．
若，
则，
∵，
∴，
∴当时，B错误．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是找到全等三角形的对应边及对应角．
2.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（ ）
A． B． C．D．
D
【分析】根据作图轨迹及角平分线的定义判断即可得出答案．
解：A、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
故A选项是在作角平分线，不符合题意；
B、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵,，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分．
故B选项是在作角平分线，不符合题意；
C、如图，
由作图可知：，
∴,，
∴，
∴，
∴平分．
故C选项是在作角平分线，不符合题意；
D、如图，
由作图可知：，
又∵，
∴，
∴
故D选项不是在作角平分线，符合题意；
故选：D
【点拨】本题考查了角平分线的作图，全等三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
3 .用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【分析】连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
【解答】解：连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中，，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
4 .在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是（ ）
A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点
【答案】C
【分析】根据角平分线性质得出当点在的角平分线上时符合，根据图形得出即可．
【详解】解：∵当点在的角平分线上时，到角的两边的距离相等，
∴根据网格特点可知M点符合．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图，在中，，平分交于点D，于E，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质可得，然后根据得出答案．
【详解】解：∵平分，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点D到AB的距离．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥AC，
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC，
∵AC＝7，，
∴CD＝3，
∴DE＝3，
∴点D到AB的距离等于3．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC．
7 .如图，在△ABC中，O是△ABC三个内角平分线的交点，若△ABC面积为36，且O到边AC的距离为4，则△ABC的周长为（ ）
A．8 B．12 C．18 D．30
【分析】先根据角平分线的性质得到O到边AB、BC的距离都为4，再利用三角形面积公式得到AB×4AC×4BC×4＝36，然后整理求出AB+AC+BC的值即可．
【解答】解：∵O是△ABC三个内角平分线的交点，
∴点O到AB、BC、AC的距离相等，
∵O到边AC的距离为4，
∴O到边AB、BC的距离都为4，
∴S△ABCAB×4AC×4BC×4＝36，
∴AB+AC+BC＝18，
即△ABC的周长为18．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形的面积．
8 .如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论：
①；②；③平分；④平分
其中正确的结论个数有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
B
【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确；
根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确；
由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论．
解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确；
∴∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确；
作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：
则∠OGC＝∠OHD＝90°，
在△OCG和△ODH中，
，
∴△OCG≌△ODH（AAS），
∴OG＝OH，
∴平分，④正确；
∵∠AOB＝∠COD，
∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，
假设∠DOM＝∠AOM
∵△AOC≌△BOD，
∴∠COM＝∠BOM，
∵MO平分∠BMC，
∴∠CMO＝∠BMO，
在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（ASA），
∴OB＝OC，
∵OA＝OB
∴OA＝OC
与矛盾，
∴③错误；
正确的有①②④；
故选B．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，OA平分∠BOD，AC⊥OB于点C，且AC＝3，已知点A到y轴的距离是4，那么点A的坐标为 ．
答案 (﹣4，3)
解析 作AE⊥x轴于点E，
由角平分线的性质可得AC＝AE＝3，
∵点A到y轴的距离为4，
∴点A坐标为(﹣4，3)．
故答案为：(﹣4，3)．
10 .如图，已知△ABC周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是 .
答案 5
解析 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OE＝OD，OD＝OF，即OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长为10，
∴AB+AC+BC＝10，
，
11 .如图，射线是的平分线，D是射线上一点，于点P，．若Q是射线上一点，，则的面积是 ．
【答案】6
【分析】过点D作于点H，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积即可求出结果．
【详解】解：过点D作于点H，如图，
∵射线是的平分线，，，
∴，
∴的面积=．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．
12 .如图．在中，，．以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AB，AC于D，E两点；分别以点D，E为圆心，以大于长为半径作弧，在内两弧相交于点P；作射线AP交BC于点F，过点F作，垂足用G．若，则的周长等于________cm．
【答案】8
【分析】由角平分线的性质，得到，然后求出的周长即可．
解：根据题意，
在中，，，
由角平分线的性质，得，
∴的周长为：
；
故答案为：8
【点拨】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．
13 .已知，如图1，若是中的内角平分线，通过证明可得，同理，若是中的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在中，是的内角平分线，则的边上的中线长的取值范围是________
【分析】根据题意得到，设AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三边关系可求出k的范围，反向延长中线至，使得，连接，最后根据三角形三边关系解题．
解：如图，反向延长中线至，使得，连接，
是的内角平分线，
可设AB＝2k，AC＝3k，
在△ABC中，BC＝5，
∴5k＞5，k＜5，
∴1＜k＜5，
由三角形三边关系可知，
∴
故答案为：．
【点拨】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，中，点D在边上，且．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)若（1）中所作的角平分线与边交于点E，连接．求证：．
(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）利用角平分线的作图步骤作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了角平分线的作图、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握角平分线的作图和全等三角形的判定是解题的关键．
15 .（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=AD．
（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
（2）在（1）的条件下，连接DE，证明．
（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）首先以A为圆心，小于AC长为半径画弧，交AC、AB于N、M，再分别以N、M为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点Q，再画射线AQ交CB于E；
（2）依据证明得到，进一步可得结论．
解：（1）如图，为所作的平分线；
（2）证明：如图．连接DE，由(1)知：
在和中
∵
∴，
∴
又∵
∴，
∴
【点拨】此题主要考查了基本作图，以及全等三角形的判定和性质，关键是得到．
16 .（8分）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠BAD+∠ADC＝180°，根据角平分线的定义得到∠MAD+∠ADM＝90°，根据垂直的定义得到答案；
（2）作NM⊥AD，根据角平分线的性质得到BM＝MN，MN＝CM，等量代换得到答案．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴2∠MAD+2∠ADM＝180°，
∴∠MAD+∠ADM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
即AM⊥DM；
（2）作NM⊥AD交AD于N，
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD，
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM，
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17 .（8分）请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务：
多种方法作角的平分线：数学兴趣课上，老师让同学们利用尺规作的平分线，同学们以小组为单位展开了讨论．勤学小组展示了学习过的作法：如图1，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，则即为的平分线．勤学小组证明过程如下：
连接，．
由作图可知，，
又，
．（依据）
．
平分．
善思小组展示了他们的方法：如图2，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．再以点为圆心，长为半径作孤，两孤交于点，作射线；点为圆心，长为半径作孤交于点，作射线，则为的平分线．
任务：
(1)填空：勤学小组证明过程中的“依据”是指______；
(2)根据善思小组的作图方法，证明：是的平分线；
(3)在图3中再设计一种不同的方法作的平分线．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)SSS
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据SSS证明三角形全等．
（2）根据角平分线的定义证明即可．
（3）在射线，上分别截取，，连接，交于点O，作射线即可．
【详解】（1）勤学小组证明过程中的“依据”是SSS．
（2）由作图可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴平分．
（3）做法不唯一，如图所示，即为的平分线．
【点评】本题考查了尺规作图的性质、角平分线的性质、全等三角形判断及性质，熟练掌握相关概念是解题的关键．
18 .（8分）如图，在中，于，点在边上，连接．
(1)求证：．
(2)若，且的面积等于24，求的长．
(3)若，直接写出线段的数量关系：________．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质定理求解即可；
（2）根据三角形的面积的面积三角形的面积，即可求得的长度；
（3）根据线段之间的关系，即可得到．
【详解】（1）证明：，，
∴；
（2）解：，
，
又，，且的面积等于24，
，
；
（3）解：∵，
在和中，
，
，
，
，
，
，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，解题的关键是证明，根据全等三角形的对应边相等解决问题．
19 .（8分）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
(3)判断之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，证明，根据全等三角形的性质即可求得证；
（2）根据，点为的中点，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；
（3）根据全等三角形对应边相等可得，，然后证明即可．
【详解】（1）证明：∵，平分．
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：，平分，，
，
点为的中点，
，
，
又，，
平分．
（3）结论：．
理由：，
，
同理可得，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质构造出全等三角形是解题的关键．
拓展培优*冲刺满分
1.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】作三条公路所组成的三角形的内角平分线和外角平分线，然后根据角平分线的性质得到它们的交点满足条件．
【解答】解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
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