八年级数学上分层优化堂堂清（8）12.3角平分线的判定
文档属性
| 名称 | 八年级数学上分层优化堂堂清（8）12.3角平分线的判定 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-08-20 15:54:33 | ||
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文档简介
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第二课时 角的平分线的判定
学习目标：
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师对你说：
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 角的平分线的判定
【例1-1】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【例1-2】已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【例1-3】如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
【例2-1】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
【例2-2】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【例2-3】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
能力强化提升训练
1 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
2 .黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
3 .如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
4 .如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
6 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
7 .点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是_______
10 .如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
11 .如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
12 .如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
15 .（8分）已知，如图，四边形中，，是中点，平分.连接．(1)是否平分？请证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
16 .（8分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
17 .（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．（1）求证：△ACE ≌ △BCD．（2）求∠AOB的度数．（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD
18.（8分）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
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1 .如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
2.如图，在四边形中，，点E是的中点，平分，求证：是的平分线.
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第二课时 角的平分线的判定（解析版）
学习目标：
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师对你说：
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 角的平分线的判定
【例1-1】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
【例1-2】已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明结论即可；
（2）作于，作于．由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图，作于，作于．
由，
，，
，
，
点在平分线上，
平分，即．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．
【例1-3】如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)；
(2)见解析．
【分析】（1）求出，利用证明，可得，然后根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得出；
（2）过点C作，，根据全等三角形对应边上的高相等可得，然后利用角平分线的判定得出结论．
【详解】（1）解：设与交于点G，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点C作，，
∵
∴，
又∵，，
∴平分．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，求出，证明是解题的关键．
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
【例2-1】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
综上所述，结论正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键．
【例2-2】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解；
（2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC ENCD EH（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABEAB EM．
【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
【例2-3】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
能力强化提升训练
1 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，求出∠HAE＝∠CAD，根据角平分线性质求出EH＝EG，EF＝EH，即可得出答案；
（2）根据角平分线性质求出∠ADE＝∠CDE，根据三角形外角性质得出即可．
【解答】（1）证明：过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴∠DEB∠ABC，
∴∠DEB（∠CDA﹣∠ABC）∠BAD＝30°．
【点评】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的判定；
（2）根据三角形的内角和定理及垂直的判定；
（3）根据三角形的内角和定理及垂直的判定．
【解答】
解：BD∥MF，理由如下：
（1）过点D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，AD＝AD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
又∵∠AMF＝∠CMF，MF⊥DH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∵FM∥BD．
（2）BD⊥MF，理由如下：
延长MF交BD于点H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如下图：MF⊥BD．
证明方法同理（2）.
【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
2 .黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
3 .如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
4 .如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】连接AP，可证AP是∠BAC的角平分线，再证明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【详解】解：连接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键．
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
D、无法判定，错误；
故选D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点评】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
7 .点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【分析】连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
【详解】解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，根据角平分线的判定可得OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，则∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，根据等腰三角形三线合一得到OM⊥AB，然后利用等角的余角相等即可解答．
【详解】解：∵由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB
∴OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，
在△OBM和△OAM中
∴△OBM≌△OAM（AAS）
∴∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，
∵AM=BM，
∴OM⊥AB，
∵∠MAB+∠OAB=90°，∠AOM+∠OAB=90°，
∴∠AOM=∠MAB
∵∠MAB=20°，
∴∠AOM=∠MAB=20°．
故答案为B．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是_______
【答案】4:3
【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．
【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ADC=AB DE：AC DF=AB：AC=4：3．
【点评】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．
10 .如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】解：
平分 故答案为：
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
11 .如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．故选：A．
12 .如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；故选：C．
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，，点在的角平分线上，故①正确；
②，，，，
在和中，，，，
同理：，，，
，②正确；③平分，平分，
，，，③正确；
④由②可知，
，，，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明；（2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵, ∴,
又∵ ∴∴
又∵,∴点在的角平分线上∴平分
（2）解：∵∴
又∵，，∴
∴∴
又∵∴∴
【点评】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键。
15 .（8分）已知，如图，四边形中，，是中点，平分.连接．(1)是否平分？请证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）AM平分∠BAD，理由见详解；（2）AM⊥DM，理由见详解.
【分析】（1）由题意过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠BAD；（2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，从而求证两直线垂直．
【详解】解：（1）AM平分∠BAD，理由为：
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵是中点，MC=MB，∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠BAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）AM⊥DM，理由如下：∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB（角平分线定义），
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．
【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质和它的逆定理及平行线的性质．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．
16 .（8分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明见解析.
【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键．
17 .（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．（1）求证：△ACE ≌ △BCD．（2）求∠AOB的度数．（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD
【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明；（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形内角和等于180°，由△APC和△BPO中有内角互为对顶角进而得出∠BOA=∠ACP=60°.
（3）过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其对应高相等．再根据到角两边距离相等的点在角平分线即可得出结论.
【详解】（1）证明：与都是等边三角形，
，，，
∴，即．
在和中，，（SAS）．
（2）．∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BPO =∠APC，又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．
（3）如图，过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，
，∴，AE=BD，∴，∴CG=CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴OC是∠AOD的角平分线，即OC平分∠AOD.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等．
18.（8分）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
【答案】（1） 略 （2）在
【解答】（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PE＝PD，
∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．
（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上，
理由：连接PA．
∴PD⊥AB，PF⊥AC，PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上．
19 .（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中，
∴△EAD≌△HAD（ASA）∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中，∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
【答案】略
【解答】证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
如图，在四边形中，，点E是的中点，平分，求证：是的平分线.
【答案】见解析
【分析】先过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，由平行线的性质可知，由于E是的中点，可得出，故，再根据角平分线的性质可知，故，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴是的平分线．
【点评】本题主要考查的是角平分线的判定和性质及全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第二课时 角的平分线的判定
学习目标：
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师对你说：
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 角的平分线的判定
【例1-1】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【例1-2】已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【例1-3】如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
【例2-1】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
【例2-2】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【例2-3】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
能力强化提升训练
1 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
2 .黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
3 .如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
4 .如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
6 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
7 .点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是_______
10 .如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
11 .如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
12 .如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
15 .（8分）已知，如图，四边形中，，是中点，平分.连接．(1)是否平分？请证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
16 .（8分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
17 .（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．（1）求证：△ACE ≌ △BCD．（2）求∠AOB的度数．（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD
18.（8分）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
2.如图，在四边形中，，点E是的中点，平分，求证：是的平分线.
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
12.3角的平分线的性质
第二课时 角的平分线的判定（解析版）
学习目标：
1.掌握角平分线的判定定理的内容；
2.会用角平分线的性质和判定证明；
3.会作一点到三角形三边距离相等.
【学习重难点】
角的平分线的判定的证明及运用.
老师对你说：
知识点1 角的平分线的判定
角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
几何描述：PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，
点P在∠AOB的平分线上。
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点，这一点到三角形的三边的距离相等.
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
1.角平分线的判定与性质的综合应用主要用在证线段相等和角相等，同时考查了三角形的内角和定理，三角形的面积等相关知识，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键，有时往往要向角的一边或两边作垂线段．
2.与角的平分线有关的探究题主要是灵活应用角平分线的性质和判定，由特殊到一般的探究，有时图形的改变不会导致结论的改变，所用的方法基本上是一样的.
基础提升 教材核心知识点精练
知识点1 角的平分线的判定
【例1-1】在和中，，，．
(1)如图1，当点A，C，D在同一条直线上时，求证：，；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，（1）中结论是否仍然成立，为什么；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交于点G，的大小固定吗？若是，求出的度数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)是，
【分析】（1）证明，得到，由对顶角相等得到，所以，即可解答；
（2）证明，得到，又由，得到，即可解答；
（3），如图3，过点作，，垂足分别为、，由，得到，，证明得到，得到平分，由，得到，所以，根据对顶角相等得到．
【详解】（1）解：证明：如图1，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
（2）成立，证明：如图2，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
．
（3），
如图3，过点作，，垂足分别为、，
，
，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的性质，解决本题的关键是证明，得到三角形的面积相等，对应边相等．
【例1-2】已知，如图，在中，，在中，，且，连接BD，CE交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据证明结论即可；
（2）作于，作于．由（1）可得，，然后根据角平分线的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：证明：，
，
即，
在和中，
，
；
（2）如图，作于，作于．
由，
，，
，
，
点在平分线上，
平分，即．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，求高想到求面积，属于中考常考题型．
【例1-3】如图，已知和中，B，C，E在同一条直线上，，，，，与交于点F，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分．
【答案】(1)；
(2)见解析．
【分析】（1）求出，利用证明，可得，然后根据对顶角相等和三角形内角和定理即可得出；
（2）过点C作，，根据全等三角形对应边上的高相等可得，然后利用角平分线的判定得出结论．
【详解】（1）解：设与交于点G，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：过点C作，，
∵
∴，
又∵，，
∴平分．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识，求出，证明是解题的关键．
知识点2 角的平分线的性质与判定的综合应用
【例2-1】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：
①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即可．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
综上所述，结论正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键．
【例2-2】如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）求证：AE平分∠CAF；
（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．
【分析】（1）由平角的定义可求解∠ACD的度数，再利用三角形的内角和定理可求解∠ECH＝40°，进而可求解；
（2）过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，根据角平分线的性质可证得EM＝EN，进而可证明结论；
（3）利用三角形的面积公式可求得EM的长，再利用三角形的面积公式计算可求解．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，
∴∠ACD＝180°﹣100°＝80°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝50°，
∴∠ECH＝90°﹣50°＝40°，
∴∠ACE＝80°﹣40°＝40°；
（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CEDAC ENCD EH（AC+CD） EM＝21，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝8.5，
∴S△ABEAB EM．
【点评】本题主要考查角平分线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积，掌握角平分线的判定与性质是解题的关键．
【例2-3】在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD×AE）：（CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB×DE）：（AC×DF）＝m：n；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
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1 .如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，
连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
【分析】（1）过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，求出∠HAE＝∠CAD，根据角平分线性质求出EH＝EG，EF＝EH，即可得出答案；
（2）根据角平分线性质求出∠ADE＝∠CDE，根据三角形外角性质得出即可．
【解答】（1）证明：过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴∠DEB∠ABC，
∴∠DEB（∠CDA﹣∠ABC）∠BAD＝30°．
【点评】本题考查了角平分线性质，能熟记角平分线性质的内容是解此题的关键，注意：在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线上的点到角两边的距离相等．
2.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．
【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．
【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，
∴5﹣x＝3+x，
解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
3.在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一动点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图1，点M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（2）如图2，点M为边CA延长线上一点，则BD、MF的位置关系是 ，并证明；
（3）如图3，点M为边AC延长线上一点，补全图形，并直接写出BD、MF的位置关系是 .
【分析】（1）根据角平分线的性质及平行线的判定；
（2）根据三角形的内角和定理及垂直的判定；
（3）根据三角形的内角和定理及垂直的判定．
【解答】
解：BD∥MF，理由如下：
（1）过点D作DH⊥BC，
∵∠A＝∠BHD＝90°，∠ABD＝∠CBD，AD＝AD，
∴△ABD≌△HBD（AAS），
∴∠ADB＝∠HDB，
又∵∠AMF＝∠CMF，MF⊥DH，
∴∠AMF＝∠ADB，
∵FM∥BD．
（2）BD⊥MF，理由如下：
延长MF交BD于点H，
∵∠BAM＝∠BEM＝90°，∠AOM＝∠BOE，
∴∠ABC＝∠CME，
∴∠AMF＝∠ABD．
∵∠AFM＝∠BFM，
∴∠BHM＝∠MAB＝90°，
∴MF⊥BD．
（3）如下图：MF⊥BD．
证明方法同理（2）.
【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的内角和、平行线的判定及垂直的判定，是一道综合题．
堂堂清
选择题（每小题4分，共32分）
1 .小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点评】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
2 .黄河社区是由三条路围成的小型社区，现在越来越多的人们选择购买电动汽车，为了让生活设施跟上时代的发展，黄河社区准备在社区内修建一个电动车充电点．现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形（ ）
A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处
C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理的逆定理，即可解答．
【详解】解：现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在三角形三个角的平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
3 .如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．的三条中线的交点
B．三边的垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点．
【详解】∵要使凉亭到草坪三边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别．
4 .如图所示，在△ABC中P为BC上一点，PR⊥BC，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，AQ=PQ，PR=PS．下面三个结论：①AS=AR；②QPAR；③△BRP≌△CSP其中正确的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】连接AP，可证AP是∠BAC的角平分线，再证明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．
【详解】解：连接AP，
∵PR＝PS，PR⊥AB， PS⊥AC，
∴AP是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2，
在△APR和△APS中:
∴△APR≌△APS，
∴AS＝AR，
故①正确；
又AQ＝PQ，
∴∠2＝∠3，
又∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴QP∥AR，
故②正确；
BC只是过点P，不能证明△BRP≌△CSP，③不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查角平分线的判定和平行线的判定；准确作出辅助线是解决本题的关键．
5 .如图，已知AB=AC，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE与CF交于点D，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C．点D在的平分线上 D．点D是CF的中点
【答案】D
【分析】根据全等三角形的判定对各个选项进行分析，从而得到答案．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【详解】解：A、∵AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠A=∠A∴△ABE≌△ACF（AAS），正确；
B∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴△BDF≌△CDE（ASA），正确；
C、∵△ABE≌△ACF，AB=AC∴BF=CE，∠B=∠C，∠DFB=∠DEC=90°∴DF=DE故点D在∠BAC的平分线上，正确；
D、无法判定，错误；
故选D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6 .如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点P，则下列结论正确的是（ ）
A．BP平分∠APC B．BP平分∠ABC C．BA＝BC D．PA＝PC
【答案】B
【分析】过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，再根据角平分线的性质定理和判定定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点P分别作PD⊥BA交BA延长线于点D，PE⊥BC交BC延长线于点E，PF⊥AC于点F，
∵△ABC的两个外角的平分线相交于点P，
∴PD=PF，PE=PF，
∴PD=PE，
∴点P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC．
故选：B
【点评】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
7 .点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【答案】A
【分析】连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，通过全等三角形的性质先证明OB是∠ABC的角平分线，同理可得OA、OC分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，即可求解．
【详解】解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟知角平分线的性质定理．
8 .如图，∠AOB的内部作射线OM，过点M分别作MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，连接AB，若∠MAB＝20°，则∠AOM的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【分析】由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB，根据角平分线的判定可得OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，则∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，根据等腰三角形三线合一得到OM⊥AB，然后利用等角的余角相等即可解答．
【详解】解：∵由MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，MA＝MB
∴OM平分∠AOB，即∠AOM=∠BOM，
在△OBM和△OAM中
∴△OBM≌△OAM（AAS）
∴∠AMO=∠BMO，即OM平分∠AMB，
∵AM=BM，
∴OM⊥AB，
∵∠MAB+∠OAB=90°，∠AOM+∠OAB=90°，
∴∠AOM=∠MAB
∵∠MAB=20°，
∴∠AOM=∠MAB=20°．
故答案为B．
【点评】本题主要考查了角平分线的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9 .如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是_______
【答案】4:3
【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．
【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ADC=AB DE：AC DF=AB：AC=4：3．
【点评】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．
10 .如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝_____°．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理先求解，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：平分 从而可得答案．
【详解】解：
平分 故答案为：
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．
11 .如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，下列说法：
①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；
④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③
【解题思路】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上对各小题分析判断即可得解．
【解答过程】解：∵点P到AE、AD、BC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，故①正确；点P在∠CBE的平分线上，故②正确；
点P在∠BCD的平分线上，故③正确；点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，故④正确，
综上所述，正确的是①②③④．故选：A．
12 .如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】过点P作PG⊥AB，由角平分线的性质定理，得到，可判断（1）（2）正确；由，，得到，可判断（3）错误；即可得到答案．
解：过点P作PG⊥AB，如图：
∵AP平分∠CAB，BP平分∠DBA，，，PG⊥AB，
∴；故（1）正确；∴点在的平分线上；故（2）正确；
∵，
又，∴；故（3）错误；
∴正确的选项有2个；故选：C．
13 .如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
①平分；②；③；④．
【分析】过点作于，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明，根据全等三角形的性质得出，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④．
【解析】①过点作于，
平分，平分，，，，
，，，点在的角平分线上，故①正确；
②，，，，
在和中，，，，
同理：，，，
，②正确；③平分，平分，
，，，③正确；
④由②可知，
，，，故④正确，故答案为：①②③④．
三、解答题（共6小题，48分）
14 .（8分）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD ＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AB＝5，AC＝8，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）可先根据已知条件证明，得到，再结合,，根据角平分线判定定理，即可证明；（2）先证明，得到，所以，结合条件，代入即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵, ∴,
又∵ ∴∴
又∵,∴点在的角平分线上∴平分
（2）解：∵∴
又∵，，∴
∴∴
又∵∴∴
【点评】本题考查角平分线的判定定理，直角三角形的全等判定，正确理解题意是解题关键。
15 .（8分）已知，如图，四边形中，，是中点，平分.连接．(1)是否平分？请证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）AM平分∠BAD，理由见详解；（2）AM⊥DM，理由见详解.
【分析】（1）由题意过点M作ME⊥AD，垂足为E，先求出ME=MC，再求出ME=MB，从而证明AM平分∠BAD；（2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得∠1+∠3=90°，从而求证两直线垂直．
【详解】解：（1）AM平分∠BAD，理由为：
证明：过点M作ME⊥AD，垂足为E，
∵DM平分∠ADC，∴∠1=∠2，
∵MC⊥CD，ME⊥AD，∴ME=MC（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵是中点，MC=MB，∴ME=MB，
∵MB⊥AB，ME⊥AD，∴AM平分∠BAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
（2）AM⊥DM，理由如下：∵∠B=∠C=90°，∴DC⊥CB，AB⊥CB，
∴CD∥AB（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴∠CDA+∠DAB=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1=∠CDA，∠3=∠DAB（角平分线定义），
∴2∠1+2∠3=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM．
【点睛】本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质和它的逆定理及平行线的性质．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键．
16 .（8分）如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且∠BDE=∠CDF．求证：AD平分∠BAC．
【答案】证明见解析.
【分析】求出∠DEB＝∠DFC＝90°，BD＝CD，根据全等三角形的判定得出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出DE＝DF，再推出答案即可．
【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
在△BED和△CFD中，，
∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，
∴点D在∠BAC的角平分线上，∴AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的判定等知识点，能求出DE＝DF是解此题的关键．
17 .（8分）如图，△ABC、△CDE均为等边三角形，连接BD、AE交于点O，BC与AE交于于点P．（1）求证：△ACE ≌ △BCD．（2）求∠AOB的度数．（3）连接OC，求证：OC平分∠AOD
【答案】(1)证明见解析；（2）；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用等边三角形的性质证明；（2）由得到∠CBD=∠CAE．再利用三角形内角和等于180°，由△APC和△BPO中有内角互为对顶角进而得出∠BOA=∠ACP=60°.
（3）过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形全等可得其对应高相等．再根据到角两边距离相等的点在角平分线即可得出结论.
【详解】（1）证明：与都是等边三角形，
，，，
∴，即．
在和中，，（SAS）．
（2）．∴∠CBD=∠CAE，
∵∠BPO =∠APC，又∵∠CBD+∠BPO+∠BOP=∠CAE+∠APC+∠ACP=180°.
∴∠BOP=∠ACP=60°，即∠AOB=60°．
（3）如图，过C点作CG⊥AE，CH⊥BD，
，∴，AE=BD，∴，∴CG=CH，
又∵CG⊥AE，CH⊥BD，∴OC是∠AOD的角平分线，即OC平分∠AOD.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等．
18.（8分）已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F．（1）求证：PD＝PE＝PF；（2）点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由．
【答案】（1） 略 （2）在
【解答】（1）证明：∵BM平分∠ABC，PE⊥BC，PD⊥AB，
∴PE＝PD，
∵CN平分∠ACB，PE⊥BC，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∴PD＝PE＝PF．
（2）解：结论：点P在∠BAC的平分线上，
理由：连接PA．
∴PD⊥AB，PF⊥AC，PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上．
19 .（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．
（1）求证：AD为∠BDC的平分线；
（2）若∠DAE=∠BAC，且点E在BD上，直接写出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系_______．
【答案】（1）见解析；（2）DE= B E+DC.
【分析】（1）过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，先证明∠BAG=∠CAF，然后证明△BAG≌△CAF得到AG=AF，最后由角平分线的判定定理即可得到结论；
（2）过A作∠CAH=∠BAE，证明△EAD≌△HAD，得到AE=AH，再证明△EAB≌△HAC中，即可得出BE、DE、DC三条线段之间的等量关系.
【详解】证明:（1）如图1，过A作AG⊥BD于G，AF⊥DC于F，
∵AG⊥BD，AF⊥DC，∴∠AGD=∠F=90°，∴∠GAF+∠BDC=180°，
∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠GAF=∠BAC，
∴∠GAF-∠GAC=∠BAC-∠GAC，∴∠BAG=∠CAF，
在△BAG和△CAF中
∴△BAG≌△CAF（AAS），∴AG=AF，∴∠BDA=∠CDA，
（2）BE、DE、DC三条线段之间的等量关系是DE= B E+DC，理由如下：
如图2，过A作∠CAH=∠BAE交DC的延长线于H，
∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE=∠BAE+∠CAD，
∵∠CAH=∠BAE，∴∠DAE=∠CAH+∠CAD=∠DAH，
在△EAD和△HAD中，
∴△EAD≌△HAD（ASA）∴DE=DH，AE=AH，
在△EAB和△HAC中，∴△EAB≌△HAC（SAS），
∴BE=CH，∴DE=DH=DC+CH=DC+BE，
∴DE=DC+BE.故答案是：DE=DC+BE.
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的判定定理，线段和差的证明，掌握截长法和补短法是解答此题的突破口．
拓展培优*冲刺满分
1 .如图，已知点D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．
【答案】略
【解答】证明：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
∵△DCE的面积与△DBF的面积相等，
∴＝，
∵CE＝BF，
∴DM＝DN，
∴点D在∠BAC的平分线上，
又∵A点也在∠BAC的平分线上，
∴AD平分∠BAC．
如图，在四边形中，，点E是的中点，平分，求证：是的平分线.
【答案】见解析
【分析】先过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，由平行线的性质可知，由于E是的中点，可得出，故，再根据角平分线的性质可知，故，进而可得出结论．
【详解】解：过点E作于点H，反向延长交的延长线于点G，过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在与中，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵，
∴，
∴是的平分线．
【点评】本题主要考查的是角平分线的判定和性质及全等三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
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