八年级数学上分层优化堂堂清（10）第十二章《全等三角形》小结复习（含解析）

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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
本章小结与复习
一、本章知识结构图
老师对你说：
知识点1. 全等三角形性质
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
知识点2 全等三角形
1．判定和性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
知识点3 全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
证明两线段相等
　 1.两全等三角形中对应边相等。
　 2.同一三角形中等角对等边。
　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。　
4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　 6.等于同一线段的两条线段相等。
证明两角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角。
　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
知识点4 两个基本尺规作图：
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等）
已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B'
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。
已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。3、画射线OC，射线OC即为所求。
注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。
知识点5 角的平分线的性质和判定
1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。
3 .重要拓展
（1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
（2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
4 .证明几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证。
（2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
考点1 全等三角形性质
1 .如图，已知，下列结论中不正确的是　　
A． B． C． D．
2 .两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为　　
A．7 B．6 C．14 D．4
3 .如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为　　
A． B． C． D．
考点2 全等三角形判定
4 .如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC=DF，∠A=∠EDF，∠E+∠CBE=180°，求证：AD=BE．
5 .如图，，，，
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
6 .如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
7 .如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km，DC=1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km，BF=0.7km．试求建造的斜拉桥长至少有多少千米？
8 .如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
9 .已知AC=BC，AC⊥BC，过C点任作直线l，过点A、B分别作l的垂线AD、BE，垂足分别为D，E。若AD=2，BE=4，求DE的长。
10 .如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求证：D是AC的中点。
11．如图，△ACB为等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B点的坐标。
12 .如图，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB。
13 .如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，探究∠ACE，∠B，∠ECD之间的数量关系。
考点3 全等三角形的应用：
14. 如图，要测量河岸相对两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在同一直线上，可以证明得，因此测得的长就是的长，判断的理由是 ．

15. 如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
16. 如图，小明想测量池塘两端，间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识．用了这样一个间接测量，间的距离方法：在地上取一点可以直接到达点和点的点，测得长，长为，在的延长线上找一点，使得长为，在的延长线上找一点，使得长为，又测得此时和的距离为，根据小明的数据，可知，之间的距离为 ．

考点4 两个基本尺规作图：
已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
18 .已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
考点5 角的平分线的性质和判定
19 .如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．
20 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
21 .如图所示，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　．
22.如图，四边形中，，平分，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
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十二章 全等三角形
本章小结与复习（解析版）
一、本章知识结构图
老师对你说：
知识点1. 全等三角形性质
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
知识点2 全等三角形
1．判定和性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS）、角边角（ASA）角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质 对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；
② 全等三角形面积相等．
2．证题的思路：
知识点3 全等三角形的应用：
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
证明线段相等或角相等
两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
证明两线段相等
　 1.两全等三角形中对应边相等。
　 2.同一三角形中等角对等边。
　 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。　
4.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
　 5.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
　 6.等于同一线段的两条线段相等。
证明两角相等
　　1.两全等三角形的对应角相等。
　　2.同一三角形中等边对等角。
　　3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
　　4.两条平行线的同位角、内错角。
　　5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
知识点4 两个基本尺规作图：
1 .用直尺和圆规作一个角等于已知角（依据：三边分别相等的两个三角形全等）
已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B'
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D';
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。
2.作已知角的平分线（依据：三边分别相等的两个三角形全等）。
已知：∠AOB；求作：∠AOB的平分线。1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。3、画射线OC，射线OC即为所求。
注：“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线。
知识点5 角的平分线的性质和判定
1 .角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。
2 .角的平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
几何表示：∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线OC上。
3 .重要拓展
（1）、三角形的三条角平分线相交于三角形内一点，且该点到三角形三边的距离相等。反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点。
（2）、三角形的角平分线与三角形一边交于一点，这条角平分线把三角形分成两个小三角形，它们的面积比等于另外两边的长度的比。
∵AD是∠BAC的角平分线；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
4 .证明几何命题的一般步骤
（1）明确命题中的已知和求证。
（2）根据题意，画出图形（在画图时，要考是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明），并用符号表示已知和求证。
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
考点1 全等三角形性质
1 .如图，已知，下列结论中不正确的是　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质解答即可．
【解析】解：，
，故正确；
，故正确；
，故正确；
但不能得出，故错误；
故选：．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等解答
2 .两个全等的直角三角形重叠在一起．将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，，平移距离为2．则阴影部分面积为　　
A．7 B．6 C．14 D．4
【答案】A
【分析】根据平移的性质得到，根据全等三角形的性质求出，根据梯形的面积公式计算，得到答案．
【解析】解：由平移的性质可知，，
，，，
，
阴影部分的面积，
故选：．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
3 .如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先证明，根据全等三角形的性质可得，再根据余角的定义可得，再根据等量代换可得与的和为．
【解析】解：由图可知，，
，
，
，
故选：．
【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
考点2 全等三角形判定
4 .如图所示，A，D，B，E四点在同一条直线上，若AC=DF，∠A=∠EDF，∠E+∠CBE=180°，求证：AD=BE．
【答案】见解析
【分析】根据等角的补角相等得出∠E=∠CBA，再根据AAS证得△ACB≌△DEF，从而得出结论；
【解析】证明：∵∠E+∠CBE=180°，∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠ABC=∠E，
在△ACB与△DFE中，
∴△ACB≌△DFE，
∴AB=DE，
∴AD=BE，
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5 .如图，，，，
（1）求的度数；
（2）若，求证：．
【答案】见解析
【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可，
（2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可．
【解析】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°，
∴∠EAB=∠E =37°，
∵∠DAB=65°，
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65 -37 =28°，
（2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°，
∴∠DAE=∠B，
在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
【点评】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键．
6 .如图所示，为了测量出A，B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定D，使CD=BC，那么只要测量出AD的长度也就得到了A，B两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A．HL B．ASA C．SAS D．SSS
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°，
在△ACB和△ACD中，，
∴△ACB≌△ACD（SAS）.
故选C.
【点评】判定三角形全等方法:
(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；
(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)；
(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)；
(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)；
(5)直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)
7 .如图所示．A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1km，DC=1km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2km，BF=0.7km．试求建造的斜拉桥长至少有多少千米？
【答案】见解析
【分析】根据BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，AD=AD，得出△ADB≌△ADC，进而得出AB=AC=3，这样可以得出斜拉桥长度.
【解析】解：由题意知：BD=CD，∠BDA=∠CDA=90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC=3km，
故斜拉桥至少有3-1.2-0.7=1.1（千米）．
【点评】此题主要考察了全等三角形的判定及其性质，根据已知得出△ADB≌△ADC是解题的关键.
8 .如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB，∠BAC=∠BCA，求证：AE=2AD。
【答案】证明：如下图，延长AD至点F，使AD=DF，连BF
∵AD是△ABC的中线
∴BD=DC
在△BDF与△CDA中
∴△BDF≌△CDA
∴BF=AC，∠BFA=∠DAC
∴∠BAF+∠BFA=∠BAF+∠DAC=∠BAC
∵∠BAC=∠BCA
∴∠BAF+∠BFA=∠BCA
∵∠ABF+∠BFA+∠BAF=180°=∠ACE+∠ACB
∴∠ABF=∠ACE
在△ABF与△ECA中
∴△ABF≌△ECA
∴AE=AF=2AD
9 .已知AC=BC，AC⊥BC，过C点任作直线l，过点A、B分别作l的垂线AD、BE，垂足分别为D，E。若AD=2，BE=4，求DE的长。
【答案】情况一如下入所示，直线l在△ABC的外侧
∵AC⊥BC
∴∠ACB=90°
∴∠ECB+∠DCA=90°
∵∠DAC+∠DCA=90°
∴∠DAC=∠ECB
在△CDA与△BEC中
∴△CDA≌△BEC
∴AD=CE，DC=EB
∵AD=2，BE=4
∴CE=2，DC=4,
∴DE=2+4=6
情况二如下入所示，直线l在△ABC的内侧
同理可证△ADC≌△CEB
∴AD=CE，BE=DC
∵AD=2，BE=4
∴CE=2，CD=4
∴DE=4－2=2
10 .如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，D，E分别是AC和AC的延长线上的点，连接BD，BE，若AB=CE，∠DBC=∠EBC。求证：D是AC的中点。
【答案】：如图，过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点F
∵CF∥AB
∴∠ABD=∠DFC
∴∠DBC+∠BFC=∠ABC
∵∠ABC=∠ACB
∴∠ACB=∠DBC+∠BFC
∵∠BCF+∠DBC+∠BFC=180°，∠BCE+∠ACB=180°
∴∠BCF=∠BCE
在△BCF与△BCE中
∴△BCF≌△BCE
∴CF=CE
∵CE=AB
∴AB=CF
在△ABD与△CFD中
∴△ABD≌△CFD
∴AD=DC
∴D是AC的中点
11．如图，△ACB为等腰三角形，A（－1,0），C（1,3），AC⊥BC，求B点的坐标。
【答案】：如下图，过点B作x轴垂线交x轴于点D，过点C作y轴垂线与过点A作x轴垂线，交于点E。延长EC，BD，交于点F
∵AC⊥BC
∴∠ACB=90°
∴∠BCF+∠ACE=90°
∵∠EAC+∠ACE=90°
∴∠EAC=∠FCB
在△EAC与△FCB中
∴△EAC≌△FCB
∴AE=CF，EC=FB
∵A（－1,0），C（1,3）
∴EC=1+1=2，AE=3
∴CF=3，BF=2
∴B（1,4）
12 .如图，PA=PB，∠1+∠2=180°，求证：OP平分∠AOB。
【答案】：如图，过点P作OA的垂线交OA的延长线于点N；过点P作OB的垂线交OB于点M
∵∠1+∠2=180°
又∵∠2+∠PBM=180°
∴∠1=∠PBM
在△APN和△BPM中
∴△APN≌△BPM
∴PN=PM
∴OP为∠AOB的角平分线
13 .如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD，探究∠ACE，∠B，∠ECD之间的数量关系。
【答案】：如图，延长EC交AB于点F
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠FAE=∠CAE
∵CE⊥AD
∴∠AEF=∠AEC=90°
在△AEF与△AEC中
∴△AEF≌△AEC
∴∠ACE=AFE
∵∠AFE=∠ECB+∠B
∴∠ACE=∠ECB+∠B
考点3 全等三角形的应用：
14. 如图，要测量河岸相对两点的距离，先在的垂线上取两点，使，再作出的垂线，使在同一直线上，可以证明得，因此测得的长就是的长，判断的理由是 ．

【答案】或角边角
【分析】根据题中信息，得出角或边的关系，选择正确证明三角形全等的判定定理即可．
【详解】由题意知：，，
∴
在和中
，
∴．
故答案为：或角边角．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
15. 如图，A，B两个建筑物分别位于河的两岸，为了测量它们之间的距离，可以沿河岸作射线，且使，在上截取，过D点作，使在一条直线上，测得米，则A，B之间的距离为 米．
【答案】16
【分析】根据已知条件可得，从而得到，从而得解．
【详解】∵，
∴°，
∵，
∴，
∴．
又∵米，
∴，
即之间的距离为16米．
【点评】此题主要考查全等三角形的应用，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法．
16. 如图，小明想测量池塘两端，间的距离，为了安全起见，小明借助全等三角形的知识．用了这样一个间接测量，间的距离方法：在地上取一点可以直接到达点和点的点，测得长，长为，在的延长线上找一点，使得长为，在的延长线上找一点，使得长为，又测得此时和的距离为，根据小明的数据，可知，之间的距离为 ．

【答案】
【分析】由题意得，，再根据即可证明，即可得．
【详解】解：由题意知，，且，
在和中，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，考查了全等三角形对应边相等的性质，解题的关键是求证．
考点4 两个基本尺规作图：
已知∠α、∠β，用尺规画出∠AOB=2∠α-∠β．（不写作法，标明字母）
【答案】见解析
【分析】根据用尺规作图作角等于已知角作图即可．
【解析】解：分别以∠α、∠β的顶点为圆心，任意长度为半径作弧，分别交∠α、∠β的边于P、Q、M、N；
作射线OB，以O为圆心，以相同长度为半径作一个优弧，交射线OB于点C，以C为圆心，PQ的长度为半径作弧，交优弧于点D，作射线OD，再以D为圆心，PQ的长为半径作弧，交优弧（∠DOB外部）于点E，作射线OE，然后以E为圆心，MN的长为半径作弧，交优弧（∠EOB内部）于点A，作射线OA，如图所示：∠AOB=2∠α-∠β，∠AOB即为所求．
【点评】此题考查的是用尺规作图作角等于已知角，掌握用尺规作图作角等于已知角是解决此题的关键．
18 .已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．点在的平分线上
【答案】C
【分析】
根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．
【详解】
解：由题意可知，
，
，
故选项A正确，不符合题意；
在和中，
，
，
在和中，
，
，
，
故选项B正确，不符合题意；
连接OP，
，
，
在和中，
，
，
，
点在的平分线上，
故选项D正确，不符合题意；
若，，
则，
而根据题意不能证明，
故不能证明，
故选项C错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．
考点5 角的平分线的性质和判定
19 .如图，在锐角中，，，平分，、分别是 和上 的动点，则的最小值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出符合题意的图形，作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上），求出BM+MN=BR，根据垂线段最短得出BM+MN≥BE，求出BE即可得出BM+MN的最小值.
【详解】
解：作N关于AD的对称点R，作AC边上的高BE（E在AC上）
∵平分，△ABC是锐角三角形
∴R必在AC上
∵N关于AD的对称点是R
∴MN=MR
∴BM+MN=BM+MR
∴BM+MN=BR≥BE（垂线段最短）
∵，
∴=18
∴BE=cm
即BM+MN的最小值是cm.
故答案为.
【点评】
本题考查了轴对称——最短路径问题. 解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值.
20 .如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）略 （2）AF+BE＝AE
【解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
21 .如图所示，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　．
【答案】5
【解答】解：过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DF，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，
同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴△ADF的面积＝△ADH的面积＝9﹣2＝7，
∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEF的面积＝7﹣2＝5，
故答案为：5．
22.如图，四边形中，，平分，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）的长为．
【分析】
（1）由角平分线的性质可得CE=CH，∠EAC=∠BAC，由“HL”可证Rt△CDE≌Rt△CBH，可得∠B=∠CDE，由平角的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得BH=DE，由角平分线的性质可得AE=AH，即可求解．
【详解】
证明：（1）如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，
∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CE⊥AD，
∴CE=CH，∠EAC=∠BAC，
在Rt△CDE和Rt△CBH中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CBH（HL），
∴∠B=∠CDE，
∵∠CDE+∠ADC=180°，
∴∠ADC+∠B=180°；
（2）∵Rt△CDE≌Rt△CBH，
∴BH=DE，
∵CE=CH，AC= AC，
∴Rt△CAE≌Rt△CAH（HL），
∴AE=AH，
∵AD+AB=AE-DE+AH+HB=2AH，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
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