八年级数学上分层优化堂堂清（11）第十二章《全等三角形》单元测试（含解析）

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八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
本章综合素质测评
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
2 .如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
3 .如图，△ABC≌△DCE，若AB＝6，DE＝13，则AD的长为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．19
4.如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A． B．4 C．3 D．5
5.数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接BC并延长，使CE＝BC；连接AC并延长，使CD＝AC，连接DE并测量其长度，DE的长度就是A．B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
6 .△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（　　）
A．BD B．CD C．BD和AD D．CD和AD
7 .如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
8 .如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
9 .如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
10 .如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（　　）
A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm
填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠B'＝120°，则∠C的大小为　 　度．
12 .如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）；
13 .如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，．
14 .已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
18 .如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF= ．
解答题（共8小题，共75分）
16.（8分）如图，，点E在BC上，且，．
(1) 求证：；
(2) 判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
17 .（8分）如图，在五边形中，，．
(1) 请你添加一个条件，使得，并说明理由；
(2) 在(1)的条件下，若，，求的度数．
（9分）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
19.（8分）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1) 若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2) 若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
20 .（8分）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知，O是线段和的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
请你写出这样测量的理由．
21 .（9分）如图①所示，点B、F、C、E在一条直线上，，，交于O．

(1)已知___________，求证：平分．
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线上，并完成解答．
你选择的条件是___________．（只需填写序号）①；②；③．
(2)若将的边沿方向移动，使，如图②所示．则（1）中的结论是否还成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由．
22.（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明≌；
（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。
23 .（13分）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．

(1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？
(2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：；
(3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明．
八年级数学上分层优化堂堂清
十二章 全等三角形
本章综合素质测评（解析版）
时间90分钟满分120分
填空题（每小题3分，共30分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．两个等边三角形一定全等 B．腰对应相等的两个等腰三角形全等
C．形状相同的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等
【答案D
【分析】根据全等图形的判定和性质对各个选项进行判断即可．
解：两个等边三角形边长不一定相等，所以不一定全等，A错误；
腰对应相等的两个等腰三角形对应角不一定相等，所以不一定全等，B错误；
形状相同的两个三角形对应边不一定相等，所以不一定全等，C错误；
全等三角形的面积一定相等，所以D正确，
故选D．
【点拨】本题考查了全等图形的判定和性质，对应角相等、对应边相等的两个图形确定，全等形的周长和面积相等．
2 .如图，在△ABC和△ABD中，已知AC＝AD，则添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是（　　）
A．BC＝BD B．∠ABC＝∠ABD
C．∠C＝∠D＝90° D．∠CAB＝∠DAB
【分析】根据全等三角形的判定定理分别判定即可．
【解答】解：A、根据SSS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
B、根据SSA不能判定△ABC≌△ABD，故本选项符合题意；
C、根据HL可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
D、根据SAS可判定△ABC≌△ABD，故本选项不符合题意；
故选：B．
3 .如图，△ABC≌△DCE，若AB＝6，DE＝13，则AD的长为（　　）
A．6 B．7 C．13 D．19
【分析】根据全等三角形的性质得出CD＝AB，AC＝DE，根据AD＝AC﹣CD，即可求解．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE，AB＝6，DE＝13，
∴CD＝AB＝6，AC＝DE＝13，
∴AD＝AC﹣CD＝13﹣6＝7，
故选：B．
4.如果△ABC的三边长分别为3、5、7，△DEF的三边长分别为3，3x-2，2x-1，若这两个三角形全等，则x的值为( )
A． B．4 C．3 D．5
【答案】C
【分析】根据全等三角形的对应边相等分类讨论，分别求出x值判断即可．
【详解】此题需要分类讨论．
①若，则，
所以
所以此种情况不符合题意；
②若，则，
所以．
所以此种情况符合题意．
综上所述：
故选C．
【点评】此题考查的是根据全等三角形的性质求字母的值，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
5.数学综合与实践小组的同学想测量一个池塘两端A．B之间的距离，他门设计了如图所示的方案，在平地上选取能够直接到达点A和点B的一点C；连接BC并延长，使CE＝BC；连接AC并延长，使CD＝AC，连接DE并测量其长度，DE的长度就是A．B之间的距离，此方案依据的数学定理或基本事实是（　　）
A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
【解答】解：在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE．
故选：A．
6 .△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，以B为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BA、BC于M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则图中与BC相等的线段有（　　）
A．BD B．CD C．BD和AD D．CD和AD
【答案】C
【分析】由基本作图得到BP平分∠ABC，所以∠ABP=∠CBP=36°，则利用等腰三角形的性质得∠C=∠ABC=72°，再利用三角形内角和定理计算出∠A=36°，于是得到AD=BD，然后计算出∠BDC=72°，从而得到∠BDC=∠C，所以BD=BC.
解：由画法得BP平分∠ABC，则∠ABP＝∠CBP＝ ，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝72°，
∴∠A＝180°﹣2×72°＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
即BC＝BD＝AD．
故选C．
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的判定与性质.
7 .如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）
A．7.5 B．12 C．8 D．6
【分析】过点D作DE⊥BC，交BC于点E，利用角平分线的性质，得到DA＝DE，利用，进行计算即可．
【解答】解：过点D作DE⊥BC，交BC于点E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴DA＝DE＝3，
∴．
故选：A．
8 .如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（ ）
A．65° B．60° C．55° D．50°
【答案】D
【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，
设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN，
∵BE平分ABC，
∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN，
∴EF = EM，
∵∠BEC= 40°，
∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°，
在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF，
∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)，
∴∠FAE = ∠EAC = 50°．
故选：D
【点评本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
9 .如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
解：如图，在上截取，连接
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
10 .如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝6cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动，若以A、B、C为顶点的三角形与以A、P、Q为顶点的三角形全等，则AP的值为（　　）
A．8cm B．12cm C．12cm或6cm D．12cm或8cm
【分析】分两种情况，由全等三角形对应边相等，即可解决问题．
【解答】解：当△BCA≌△PAQ时，
∴AP＝BC＝6cm，
当△BCA≌△QAP时，
∴PA＝AC＝12cm，
∴AP的值是6cm或12cm．
故选：C．
填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，△ABC≌△A'B'C'，其中∠A＝35°，∠B'＝120°，则∠C的大小为　 　度．
【分析】根据全等三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A'B'C'，∠B'＝120°，
∴∠B＝∠B′＝120°，
∵∠A＝35°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝25°，
故答案为：25．
12 .如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，请添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）；
【分析】根据等式的性质可得BC＝EF，添加AB＝ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF．
【解答】解：添加BF＝CE，
∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：BF＝CE（答案不唯一）．
13 .如图是教科书中的一个片段，由画图我们可以得到△，判定这两个三角形全等的依据是 ．
（1）画；（2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；（3）连接线段，．
【答案】
【分析】根据全等三角形的判定方法解决问题即可．
解：在和△中，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了作图 复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用所学知识解决问题．
14 .已知，如图，AD=AC，BD=BC，O为AB上一点，那么图中共有 对全等三角形．
【答案】3
【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB≌△ACB，△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．
解：∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB；
∴∠CAO=∠DAO，∠CBO=∠DBO，
∵AD=AC，BD=BC，OA=OA，OB=OB
∴△ACO≌△ADO，△CBO≌△DBO．
∴图中共有3对全等三角形．
故答案为3．
18 .如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，，则BF= ．
【答案】/
【分析】延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，可证明，则BG＝AC，，根据AE＝EF，得到，可证出，即得出AC＝BF，从而得出BF的长．
解：如图，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，
在和中，
∴
∴BG＝AC，，
又∵AE＝EF，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF，
又∵BE＝7CE，AE＝，
∴BF＋EF＝，
即BF＋＝，
解得BF＝．
故答案为：
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明线段相等，一般转化为证明三角形全等，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解答题（共8小题，共75分）
16.（8分）如图，，点E在BC上，且，．
(1) 求证：；
(2) 判断AC和BD的位置关系，并说明理由．
(1)见解析；(2)，理由见解析
【分析】（1）运用SSS证明即可；
（2）由（1）得，根据内错角相等，两直线平行可得结论．
解：（1）在和中，
，
∴(SSS)；
（2）AC和BD的位置关系是，理由如下：
∵
∴，
∴．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
17 .（8分）如图，在五边形中，，．
(1) 请你添加一个条件，使得，并说明理由；
(2) 在(1)的条件下，若，，求的度数．
(1)见解析；(2)．
【分析】（1）或．根据或，证明即可求解；
（2）根据得出，继而根据三角形内角和定理得出，根据即可求解．
解：（1）证明：添加：或．
∵在和中，
∴或．
（2）∵，
∴，
∴
，
∴．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
（9分）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．
(1)求证：△BDE≌△ADC；
(2)求证：BE⊥AC；
(3)求EF与AE的长．
(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)EF＝，AE＝1．
【分析】（1）利用直角三角形的判定定理证明即可；
（2）利用全等三角形的性质证明∠EBD＝∠CAD，再利用对顶角相等证明∠BED＝∠AEF，进一步可证明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；
（3）利用三角形面积求出BC＝7，进一步求出CD＝3，利用，
证明ED＝CD＝3，进一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面积求出BF＝，即可求出EF＝BF－BE＝－5＝．
解：（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
，
∴．
（2）证明：∵，
∴∠EBD＝∠CAD，
∵∠BED＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠ADB＝90°，
∴BE⊥AC．
（3）解：∵S△ABC＝AD BC＝14，AD＝4，
∴BC＝7，
∵BD＝4，
∴CD＝3，
∵，
∴ED＝CD＝3，
∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，
∵S△ABC＝BF AC＝14，BE＝AC＝5，
∴BF＝，
∴EF＝BF－BE＝－5＝．
【点拨】本题考查全等三角形的判定及性质，对顶角相等，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质．
19.（8分）在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边的边上，且，，交于点Q．求证：．同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题：
(1) 若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你给出答案并说明理由．
(2) 若将题中的点M，N分别移动到的延长线上，是否仍能得到？请你画出图形，给出答案并说明理由．
(1)仍是真命题，证明见解析；(2)仍能得到，作图和证明见解析
【分析】（1）由角边角得出和全等，对应边相等即可．
（2）由（1）问可知BM=CN，故可由边角边得出和全等，对应角相等，即可得出．
解：（1）∵
∴
∵
∴
在和中有
∴
∴
故结论仍为真命题．
（2）∵BM=CN
∴CM=AN
∵AB=AC，，
在和中有
∴
∴
∴
故仍能得到，如图所示
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角，有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路．
20 .（8分）数学兴趣小组打算测量教室内花瓶的内径，经过搜索资料，发现了一个可以使用的工具—卡钳，它能够解决无法直接测量的问题，可以测量内径长度，于是小组成员决定使用卡钳完成本次任务．利用卡钳测量花瓶内径的示意图如图所示，已知，O是线段和的中点．
利用卡钳测量内径的步骤为：
①将卡钳A，B两端伸入在花瓶内；
②打开卡钳，使得A，B两端卡在内壁；
③测量出点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
请你写出这样测量的理由．
【答案】见解析
【分析】根据已知条件证明，即可得解．
【详解】解：∵，O是线段和的中点，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
故点C与点D间的距离，即为花瓶内径的长度．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据已知条件证明三角形全等．
21 .（9分）如图①所示，点B、F、C、E在一条直线上，，，交于O．

(1)已知___________，求证：平分．
请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横线上，并完成解答．
你选择的条件是___________．（只需填写序号）①；②；③．
(2)若将的边沿方向移动，使，如图②所示．则（1）中的结论是否还成立？如成立，请证明；如不成立，请说明理由．
【答案】(1)选择①②③都可以，证明见解析
(2)（1）中结论仍然成立，证明见解析
【分析】（1）选择①：先由平行线的性质得到，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；
选择②：由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；
选择③先由平行线的性质得到，再证明，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；
（2）先由平行线的性质得到，再证明，进而证明得到，再由平行线的性质得到，由此即可证明，即平分；
【详解】（1）解：选择①：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分；
选择②；∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分；
选择③：∵，，
∴，
∵，
∴，即
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分；
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下：
∵，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即平分．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键．
22.（12分）如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边三角形ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．
（1）连接AQ、CP交于点M，则在P，Q运动的过程中，证明≌；
（2）会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
（3）P、Q运动几秒时，是直角三角形？
（4）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则变化吗？若变化说明理由，若不变，则求出它的度数。
（1）见解析；（2）∠CMQ=60°，不变；（3）当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；（4）∠CMQ=120°，不变．
【分析】（1）利用SAS可证全等；
（2）先证△ABQ≌△CAP，得出∠BAQ=∠ACP，通过角度转化，可得出∠CMQ=60°；
（3）存在2种情况，一种是∠PQB=90°，另一种是∠BPQ=90°，分别根据直角三角形边直角的关系可求得t的值；
（4）先证△PBC≌△ACQ，从而得出∠BPC=∠MQC，然后利用角度转化可得出∠CMQ=120°．
解：（1）证明：在等边三角形ABC中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由题中“点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s.”可知：
AP=BQ
∴≌；
（2）∠CMQ=60°不变
∵等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°；
（3）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t，
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4-t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BQ，得t=2（4-t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形；
（4）∠CMQ=120°不变，
∵在等边三角形中，AB=AC，∠B=∠CAP=60°，
∴∠PBC=∠ACQ=120°，
又由条件得BP=CQ，
∴△PBC≌△ACQ(SAS)，
∴∠BPC=∠MQC，
又∵∠PCB=∠MCQ，
∴∠CMQ=∠PBC=180°-60°=120°．
【点拨】本题考查动点问题中三角形的全等，解题关键是找出图形中的全等三角形，利用全等三角形的性质进行角度转化，得出需要的结论．
23 .（13分）如图，在中，，，过点作交的延长线于点．三角尺直角顶点为，一条直角边置于边所在直线．

(1)当三角尺直角边经过点时，如图1，请写出与数量关系，并说明理由？
(2)在图1中，将三角尺沿方向平移，使直角边与边相交于点（不与、重合），且点在延长线上，如图2，作于点．请证明：；
(3)在图（2）中，将三角尺沿方向继续平移，使点在线段上时，如图3，请写出、、三者之间的数量关系，不必证明．
【答案】(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）方法一：作于点，得四边形是长方形，所以，证明，得出，则，即可得出结论；
方法二：连接．根据的面积的面积的面积，即可得出结论．
（3）根据（2）的方法即可求解．
【详解】（1）解：．
在和中

∵
∴，
∴．
（2）方法一：
如图2，作于点，得四边形是长方形，所以．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中
∵
∴，
∴．
∵，∴．
方法二：连接．

∵的面积的面积的面积
∴，
∴．
（3）解：如图所示，连接．
∵的面积的面积的面积
∴，
∴．

【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
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