几种不同增长的函数模型
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课件14张PPT。3.2.1几种不同增长的函数模型分析我们知道，函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，
不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。那么，面
临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画呢？下面我们来看两个具体问题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，
这三个方案的回报如下方案一：每天回报40元方案二：每天回报10元，以后每天比前一天多回报10元方案三：每天回报0.4元，以后每天比前一天翻一番请问，你会选择那种投资呢？我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过
比较它们的增长情况，为选择投资方案提供一依据方案一可以用函数 进行描述；解：设第 天所得回报是 元，则方案二可以用函数 进行描述；方案三可以用函数 进行描述.用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）方案一方案二方案三由表3-4和图3.2-1可知，方案一的
函数是常数函数，方案二、方案三
的函数都是增函数，但是方案三的
函数与方案二的函数的增长情况是
不同的。可以看到，尽管方案一、
方案二在第一天所得回报分别是方
案三的100倍和25倍，但它的增长
量固定不变，二方案三是“指数增长”
其“增长量”是成倍增加的，从第七天
开始，方案三比其他两个方案增长快
得多，这种增长速度是方案一、方案
二所无法企及的。从每天所得回报看，
在第1~3天，方案一最多；在第4天
方案一和方案二一样多，方案三最少；
在第5~8天，方案二最多；第9天开
始，方案三比其他两个方案所得回
报多得多，到第30天，所得回报已
超过2亿元。
我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。
从中你对“指数爆涨”的含义有什么新的理解图3.2-1根据这里的分析，是否应该作出这样的选则：投资5天以下选方案一；投资5~8天选方案二；投资8天以上选方案三下面再看累计的回报数。通过计算器或计算机列表如下：因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或
方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）应
选择方案三.我们可以从上述的例子中体会到：
不同的增长模型，增长变化存在很大差异。分析例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励
销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润
进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）
的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润
的25%。现有三个奖励模型：
其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，
奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公
司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过
公司总的利润。于是，只需在区间[10,100]上，检验三个模型
是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，
再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数
的图象（图3.2-2）观察图象发现，在区间[10,100]上，模型 的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型
的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型
进行奖励时才符合公司的要求。下面通过计算确认上述判断.对于模型 ，它在[10，1000]上递增，而当时， ，因此当 时，首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万所以该模型不符合要求；对于模型 由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点 满足 ，由于它在区间[10，1000]上递增，因此当 时，所以该模型不符合要求；对于模型 ，它在区间[10，1000]上递增，而且当 时， ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型 奖励时奖金是否不超过利润的25%，即当 时，是否有令利用计算器或计算机作出函数 的图象（图3.2-3），由图象可知它是递减的，因此综上所述，模型 确实能符合公司要求即所以当 时，说明按模型 奖励，奖金不会超过利润的25%练习1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：关于 呈指数型函数变化的变量是2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机
感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，
并感染其他20台未感染病毒的计算机。现有10台计算即被第一轮
病毒感染，问被第五轮病毒感染的计算机共有多少台？我们知道，对于函数 ，指数函数
与幂函数 在区间 上都是增函数。从上述
两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？下面，我们不妨先以函数 为例进行研究利用计算器或计算机，列出自变量与函数值的对应值表（表3-5），
并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（表3.2-4）。可以
看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。表3-5观察请在图象上分别标出是不等式 成立的自变量
的取值范围表3-6表3-7探究结论：探究你能用同样的访法，讨论一下函数 ，
， 在区间 上的衰减情况吗？
在同一平面直角坐标系内作出下列函数图象，并比较它们的增长情况练习
不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。那么，面
临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画呢？下面我们来看两个具体问题例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，
这三个方案的回报如下方案一：每天回报40元方案二：每天回报10元，以后每天比前一天多回报10元方案三：每天回报0.4元，以后每天比前一天翻一番请问，你会选择那种投资呢？我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过
比较它们的增长情况，为选择投资方案提供一依据方案一可以用函数 进行描述；解：设第 天所得回报是 元，则方案二可以用函数 进行描述；方案三可以用函数 进行描述.用计算器或计算机计算一下三种方案所得回报的增长情况（表3-4）方案一方案二方案三由表3-4和图3.2-1可知，方案一的
函数是常数函数，方案二、方案三
的函数都是增函数，但是方案三的
函数与方案二的函数的增长情况是
不同的。可以看到，尽管方案一、
方案二在第一天所得回报分别是方
案三的100倍和25倍，但它的增长
量固定不变，二方案三是“指数增长”
其“增长量”是成倍增加的，从第七天
开始，方案三比其他两个方案增长快
得多，这种增长速度是方案一、方案
二所无法企及的。从每天所得回报看，
在第1~3天，方案一最多；在第4天
方案一和方案二一样多，方案三最少；
在第5~8天，方案二最多；第9天开
始，方案三比其他两个方案所得回
报多得多，到第30天，所得回报已
超过2亿元。
我们看到，底数为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。
从中你对“指数爆涨”的含义有什么新的理解图3.2-1根据这里的分析，是否应该作出这样的选则：投资5天以下选方案一；投资5~8天选方案二；投资8天以上选方案三下面再看累计的回报数。通过计算器或计算机列表如下：因此，投资1~6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或
方案二；投资8~10天，应选择方案二；投资11天（含11天）应
选择方案三.我们可以从上述的例子中体会到：
不同的增长模型，增长变化存在很大差异。分析例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励
销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润
进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）
的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润
的25%。现有三个奖励模型：
其中哪个模型能符合公司的要求？某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，
奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公
司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过
公司总的利润。于是，只需在区间[10,100]上，检验三个模型
是否符合公司要求即可。
不妨先作函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，
再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数
的图象（图3.2-2）观察图象发现，在区间[10,100]上，模型 的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型
的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型
进行奖励时才符合公司的要求。下面通过计算确认上述判断.对于模型 ，它在[10，1000]上递增，而当时， ，因此当 时，首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万所以该模型不符合要求；对于模型 由函数图象，并利用计算器，可知在区间（805，806）内有一个点 满足 ，由于它在区间[10，1000]上递增，因此当 时，所以该模型不符合要求；对于模型 ，它在区间[10，1000]上递增，而且当 时， ，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型 奖励时奖金是否不超过利润的25%，即当 时，是否有令利用计算器或计算机作出函数 的图象（图3.2-3），由图象可知它是递减的，因此综上所述，模型 确实能符合公司要求即所以当 时，说明按模型 奖励，奖金不会超过利润的25%练习1、四个变量 随变量 变化的数据如下表：关于 呈指数型函数变化的变量是2、某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机
感染上这种病毒，那么它就会在下一轮病毒发作时传播一次病毒，
并感染其他20台未感染病毒的计算机。现有10台计算即被第一轮
病毒感染，问被第五轮病毒感染的计算机共有多少台？我们知道，对于函数 ，指数函数
与幂函数 在区间 上都是增函数。从上述
两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？下面，我们不妨先以函数 为例进行研究利用计算器或计算机，列出自变量与函数值的对应值表（表3-5），
并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（表3.2-4）。可以
看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。表3-5观察请在图象上分别标出是不等式 成立的自变量
的取值范围表3-6表3-7探究结论：探究你能用同样的访法，讨论一下函数 ，
， 在区间 上的衰减情况吗？
在同一平面直角坐标系内作出下列函数图象，并比较它们的增长情况练习