第一章1.1集合的概念 第2课时 集合的表示（含解析）

第一章　1.1集合的概念
　 第2课时集合的表示
A　组·素养自测
一、选择题
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是(　　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
2．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　　)
A．{(1，2)}　　 B．{(2，1)}
C．{1，2}　　 D．{x2－3x＋2＝0}
3．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　　)
A．{0，1}　　 B．{(0，1)}
C．　　 D．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　　)
A．{x|x＝2}
B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1}
D．{1，－2}
5．若A＝{－1，3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　　)
A．{(－1，3)}
B．{－1，3}
C．{(－1，3)，(3，－1)}
D．{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为(　　)
A．3　　 B．2
C．1　　 D．0
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为____.
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为____.
9．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为____.
三、解答题
10．用列举法表示下列集合：
(1)；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
11．用描述法表示下列集合．
(1){2，4，6，8，10，12}；
(2)；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组的解组成的集合．
B　组·素养提升
一、选择题
1．若集合A＝{－1，2}，B＝{0，1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　　)
A．5　　 B．4　　
C．3　　 D．2
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　　)
A．{1，2}
B．{(1，2)}
C．{(1，1)，(2，2)}
D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　　)
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}
D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
二、填空题
5．将集合{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，用列举法表示为____.
6．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是____.
7．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为____.
三、解答题
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解析版答案
第一章　1.1集合的概念
　 第2课时集合的表示
A　组·素养自测
一、选择题
1．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个数是(　B　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
[解析]　集合A中有(1，2)，(3，4)两个元素，故选B．
2．用列举法表示集合{x|x2－3x＋2＝0}为(　C　)
A．{(1，2)}　　 B．{(2，1)}
C．{1，2}　　 D．{x2－3x＋2＝0}
[解析]　解方程x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2.用列举法表示为{1，2}．
3．直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合为(　B　)
A．{0，1}　　 B．{(0，1)}
C．　　 D．
[解析]　解方程组得
故该集合为{(0，1)}．
4．已知x∈N，则方程x2＋x－2＝0的解集为(　C　)
A．{x|x＝2}
B．{x|x＝1或x＝－2}
C．{x|x＝1}
D．{1，－2}
[解析]　方程x2＋x－2＝0的解为x＝1或x＝－2.由于x∈N，所以x＝－2舍去．故选C．
5．若A＝{－1，3}，则可用列举法将集合{(x，y)|x∈A，y∈A}表示为(　D　)
A．{(－1，3)}
B．{－1，3}
C．{(－1，3)，(3，－1)}
D．{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}
[解析]　因为集合{(x，y)|x∈A，y∈A}是点集或数对构成的集合，其中x，y均属于集合A，所以用列举法可表示为{(－1，3)，(3，3)，(－1，－1)，(3，－1)}．
6．下列说法：①集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{－1，0，1}；②实数集可以表示为{x|x为所有实数}或{R}；③方程组的解集为{x＝1，y＝2}．其中说法正确的个数为(　D　)
A．3　　 B．2
C．1　　 D．0
[解析]　由x3＝x，得x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝1或x＝－1.因为－1 N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法可表示为{0，1}，故①不正确．集合表示中的“{}”已包含“所有”“全体”等含义，而“R”表示所有的实数组成的集合，故实数集正确表示应为{x|x为实数}或R，故②不正确．方程组的解是有序实数对，其解集应为，故③不正确．
二、填空题
7．已知A＝{(x，y)|x＋y＝6，x∈N，y∈N}，用列举法表示A为__{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}__.
[解析]　∵x＋y＝6，x∈N，y∈N，∴x＝6－y∈N，
∴
∴A＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}．
8．集合{1，，，2，，…}用描述法表示为__{x|x＝，n∈N*}__.
[解析]　注意到集合中的元素的特征为，且n∈N*，所以用描述法可表示为{x|x＝，n∈N*}．
9．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为__2__.
[解析]　由－5∈{x|x2－ax－5＝0}，得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
三、解答题
10．用列举法表示下列集合：
(1)；
(2){(x，y)|y＝3x，x∈N且1≤x<5}．
[解析]　(1)因为∈Z，所以|2－x|是6的因数，
则|2－x|＝1，2，3，6，即x＝1，3，4，0，－1，5，－4，8.
所以原集合可用列举法表示为{－4，－1，0，1，3，4，5，8}．
(2)因为x∈N且1≤x<5，所以x＝1，2，3，4，
其对应的y的值分别为3，6，9，12.
所以原集合可用列举法表示为{(1，3)，(2，6)，(3，9)，(4，12)}．
11．用描述法表示下列集合．
(1){2，4，6，8，10，12}；
(2)；
(3)被5除余1的正整数集合；
(4)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合；
(5)方程组的解组成的集合．
[解析]　(1){x|x＝2n，n∈N*，n≤6}．
(2).
(3){x|x＝5n＋1，n∈N}．
(4){(x，y)|xy<0}．
(5)或.
B　组·素养提升
一、选择题
1．若集合A＝{－1，2}，B＝{0，1}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为(　B　)
A．5　　 B．4　　
C．3　　 D．2
[解析]　∵z＝x＋y，x∈A，y∈B，∴z的所有取值为－1，2，0，3共4个值，所以集合共有4个元素．
2．用列举法可将集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为(　D　)
A．{1，2}
B．{(1，2)}
C．{(1，1)，(2，2)}
D．{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}
[解析]　x＝1，y＝1；x＝1，y＝2；x＝2，y＝1；x＝2，y＝2.
∴集合{(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，故选D．
3．(多选题)大于4的所有奇数构成的集合可用描述法表示为(　BD　)
A．{x|x＝2k－1，k∈N}
B．{x|x＝2k＋1，k∈N，k≥2}
C．{x|x＝2k＋3，k∈N}
D．{x|x＝2k＋5，k∈N}
[解析]　选项A，C中，集合内的最小奇数不大于4.
4．(多选题)下列各组中M，P表示不同集合的是(　ABD　)
A．M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}
B．M＝{(3，1)}，P＝{(1，3)}
C．M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，P＝{x|x＝t2＋1，t∈R}
D．M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，x∈R}
[解析]　选项A中，M是由3，－1两个元素构成的集合，而集合P是由点(3，－1)构成的集合；选项B中，(3，1)与(1，3)表示不同的点，故M≠P；选项D中，M是二次函数y＝x2－1，x∈R的所有因变量组成的集合，而集合P是二次函数y＝x2－1，x∈R图象上所有点组成的集合．故选ABD．
二、填空题
5．将集合{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，用列举法表示为__{(0，2)，(1，1)，(2，0)}__.
[解析]　当x＝0时y＝2，当x＝1时y＝1，当x＝2时y＝0，故集合为{(0，2)，(1，1)，(2，0)}．
6．若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，则实数a的值是__0或1__.
[解析]　集合A中只有一个元素，有两种情况：当a≠0时，由Δ＝0，解得a＝1，此时A＝{－1}，满足题意；
当a＝0时，x＝－，此时A＝，满足题意．
故集合A中只有一个元素时，a的值是0或1.
7．设A，B为两个实数集，定义集合A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则集合A＋B中元素的个数为__4__.
[解析]　当x1＝1时，x1＋x2＝1＋2＝3或x1＋x2＝1＋3＝4；当x1＝2时，x1＋x2＝2＋2＝4或x1＋x2＝2＋3＝5；当x1＝3时，x1＋x2＝3＋2＝5或x1＋x2＝3＋3＝6.
∴A＋B＝{3，4，5，6}，共4个元素．
三、解答题
8．已知集合A＝{a＋3，(a＋1)2，a2＋2a＋2}，若1∈A，求实数a的值．
[解析]　①若a＋3＝1，则a＝－2，
此时A＝{1，1，2}，不符合集合中元素的互异性，舍去．
②若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{3，1，2}，满足题意；
当a＝－2时，由①知不符合条件，故舍去．
③若a2＋2a＋2＝1，则a＝－1，
此时A＝{2，0，1}，满足题意．
综上所述，实数a的值为－1或0.
9．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}．
(1)若A中只有一个元素，求集合A；
(2)若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
[解析]　(1)因为集合A是方程ax2－3x＋2＝0的解集，则当a＝0时，A＝，符合题意；
当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0应有两个相等的实数根，
则Δ＝9－8a＝0，解得a＝，此时A＝，符合题意．
综上所述，当a＝0时，A＝，当a＝时，A＝.
(2)由(1)可知，当a＝0时，A＝符合题意；
当a≠0时，要使方程ax2－3x＋2＝0有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，解得a≤且a≠0.
综上所述，若集合A中至少有一个元素，则a≤.