1.2集合间的基本关系（含解析）

第一章　1.2集合间的基本关系
　
A　组·素养自测
一、选择题
1．(2022·淮安市高中校协作体期中考试)集合P＝{1，2，3}的子集的个数是(　　)
A．3　　　 B．4
C．7　　 D．8
2．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2 A；②{－2}∈A；③ A；④{－2，2}＝A；⑤－2∈A.则上列式子表示正确的有(　　)
A．1个　　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个　　 D．4个
3．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　　)
A．b＝－3，c＝2　　 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3　　 D．b＝2，c＝－3
4．若集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}，B＝{x|mx＝2}，且B A，则实数m的值为(　　)
A．2　　 B．－2
C．2或－2　　 D．2或－2或0
5．(·河北邯郸高一检测)设集合A＝{0，1，2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为(　　)
A．A∈B　　 B．A＝B
C．B A　　 D．A B
6．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}　　 B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}　　 D．{a|a≥2}
二、填空题
7．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是____.
8．(2022·湖北省部分高中协作体期中)已知集合A＝{＋1，－2}，B＝{b,2}，若A＝B，则a＋b＝____.
9．(四川成都高一检测)设集合A＝{2，8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且B A，则a＝____.
三、解答题
10．(2022·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B A，求实数a的值．
11．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．P?Q　　 B．Q?P
C．P＝Q　　 D．不确定
2．已知集合A＝，B＝，C＝，则A，B，C满足的关系为(　　)
A．A＝B C　　 B．A B＝C
C．A B C　　 D．B C A
3．(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　　)
A． A　　 B．－2∈A
C．{0，2} A　　 D．A {y|y<3}
4．(多选题)(2023·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是(　　)
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
二、填空题
5．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是____.
6．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B A，则a的取值范围为___.
7．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是____.
三、解答题
8．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
9．已知集合A＝{x|－4≤x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解析版答案
第一章　1.2集合间的基本关系
　
A　组·素养自测
一、选择题
1．(2022·淮安市高中校协作体期中考试)集合P＝{1，2，3}的子集的个数是(　D　)
A．3　　　 B．4
C．7　　 D．8
[解析]　集合P的子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共8个．故选D．
2．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2 A；②{－2}∈A；③ A；④{－2，2}＝A；⑤－2∈A.则上列式子表示正确的有(　C　)
A．1个　　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个　　 D．4个
[解析]　∵集合A＝{－2，2}，故③④⑤正确．
3．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　A　)
A．b＝－3，c＝2　　 B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3　　 D．b＝2，c＝－3
[解析]　由题意可知，1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴，∴.
4．若集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＝0}，B＝{x|mx＝2}，且B A，则实数m的值为(　D　)
A．2　　 B．－2
C．2或－2　　 D．2或－2或0
[解析]　注意别忘记B＝ ，即m＝0.
5．(·河北邯郸高一检测)设集合A＝{0，1，2}，B＝{m|m＝x＋y，x∈A，y∈A}，则集合A与B的关系为(　D　)
A．A∈B　　 B．A＝B
C．B A　　 D．A B
[解析]　由题意，B＝{0，1，2，3，4}，所以A B.故选D．
6．设集合A＝{x|1A．{a|a≤2}　　 B．{a|a≤1}
C．{a|a≥1}　　 D．{a|a≥2}
[解析]　∵A B，∴a≥2，故选D．
二、填空题
7．下列命题：
①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若 ?A，则A≠ .
其中正确的是__④__.
[解析]　 不是其自身的真子集，所以④正确．
8．(2022·湖北省部分高中协作体期中)已知集合A＝{＋1，－2}，B＝{b,2}，若A＝B，则a＋b＝__－1__.
[解析]　由A＝B得
∴a＝1，b＝－2，∴a＋b＝－1.
9．(四川成都高一检测)设集合A＝{2，8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}，且B A，则a＝__－1或4__.
[解析]　∵集合A＝{2，8，a}，B＝{2，a2－3a＋4}且B?A，
∴a2－3a＋4＝a或a2－3a＋4＝8.
当a2－3a＋4＝a时，a＝2，此时A＝{2，8，2}，不满足集合元素的互异性，舍去．
当a2－3a＋4＝8时，a＝－1或a＝4，
当a＝－1时，A＝{2，8，－1}，B＝{2，8}，符合题意；
当a＝4时，A＝{2，8，4}，B＝{2，8}，符合题意．
故a＝－1或4.
三、解答题
10．(2022·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B A，求实数a的值．
[解析]　A＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，
∵B A，
∴当B＝ 时，a＝0，
当B≠ 时，B＝，
∴＝－1或＝1，
∴a＝－1或a＝1.
综上可知，实数a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.
11．已知集合E＝{x|＝0}，F＝{x|x2－(a－1)x＝0}，判断集合E和F的关系．
[解析]　E＝{x|＝0}＝{0}．
下面对方程x2－(a－1)x＝0的根的情况进行讨论．
方程x2－(a－1)x＝0的判别式为Δ＝(a－1)2.
①当a＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实根x1＝x2＝0，此时F＝{0}，E＝F.
②当a≠1时，Δ>0，方程有两个不相等的实根，x＝0或x＝a－1，且a－1≠0，此时，F＝{0，a－1}，E?F.
综上，当a＝1时，E＝F；当a≠1时，E?F.
B　组·素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．P?Q　　 B．Q?P
C．P＝Q　　 D．不确定
[解析]　∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，P?Q.
2．已知集合A＝，B＝，C＝，则A，B，C满足的关系为(　B　)
A．A＝B C　　 B．A B＝C
C．A B C　　 D．B C A
[解析]　集合A＝＝，
集合B＝，
集合C＝＝.
因为a∈Z时，6a＋1表示被6除余1的数；
b∈Z时，3b－2表示被3除余1的数；
c∈Z时，3c＋1表示被3除余1的数，
所以A B＝C.
3．(多选题)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有(　ACD　)
A． A　　 B．－2∈A
C．{0，2} A　　 D．A {y|y<3}
[解析]　∵A＝{0，2}，∴ A，－2 A，{0，2} A，A {y|y<3}．故选ACD．
4．(多选题)(2023·厦门市高一教学质量检测)设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．则下列说法中正确的是(　AB　)
A．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
B．若S为封闭集，则一定有0∈S
C．封闭集一定是无限集
D．若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
[解析]　A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2(a1，a2，b1，b2∈Z)，则x＋y＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)，其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S.同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0，1}，显然S是封闭集，T不是封闭集．因此，说法正确的是AB．
二、填空题
5．集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是__{(1，2)}，{(－3，4)}__.
[解析]　集合{(1，2)，(－3，4)}的所有非空真子集是{(1，2)}，{(－3，4)}．
6．已知集合A＝{x|x≥4或x<－5}，B＝{x|a＋1≤x≤a＋3，a∈R}，若B A，则a的取值范围为__{a|a<－8或a≥3}__.
[解析]　利用数轴法表示B A，如图所示，
则a＋3<－5或a＋1≥4，
解得a<－8或a≥3.
7．若集合A＝{x|(k＋2)x2＋2kx＋1＝0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数k的最小值是__－2__.
[解析]　∵A只有2个子集，∴A只有一个元素，
∴当k＝－2时，A＝，满足条件；
当k≠－2时，Δ＝4k2－4(k＋2)＝0，
解得k＝－1或2.
综上，满足条件的实数k的最小值为－2.
三、解答题
8．设集合A＝{x，x2，xy}，集合B＝{1，x，y}，且集合A与集合B相等，求实数x，y的值．
[解析]　由题意得①或②
解①，得或
经检验不合题意，舍去，则
解②，得经检验不合题意，舍去，
综上得
9．已知集合A＝{x|－4≤x≤3}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．
(1)若B A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝ ，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使B A成立，则有
结合m≥－2解得－2≤m≤1.
综上，若B A，则实数m的取值范围是{m|m≤1}．
(2)当x∈Z时，A＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3}，共8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(3)若不存在实数x使x∈A，x∈B同时成立，则A，B没有公共元素．
当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝ ，满足题意；
当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，要使A，B没有公共元素，则有或解得m>4.
综上所述，实数m的取值范围是{m|m>4或m<－2}．