青岛版数学八年级上册 5.6.2等腰三角形及等边三角形的相关证明 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
第5章 几何证明初步
5.6 几何证明举例
第2课时 等腰三角形及等边
三角形的相关证明
温故知新
我们曾利用等腰三角形的轴对称性质，通过对折的方法探索出等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等.
你能利用基本事实以及已有的定义和定理，通过推理证明它的真实性吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：
作∠A的平分线AD，与BC交于点D.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知），
AD=AD（公共边），
∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角的定义）.
探究发现
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：
取线段BC的中点D，连接AD.
在△ABD和△ACD中，
∵AB=AC（已知），
AD=AD（公共边），
BD=CD（线段中点的定义），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形对应角的定义）.
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.
探究发现
等边对等角.
探究发现
由△ABD≌△ACD，还可以进一步推出
BD=DC,
∠ADB=∠ADC=90°.
A
B
C
D
因此AD不仅是顶角的平分线，也是底边
上的中线，还是底边上的高.
等腰三角形的性质定理2：等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合.
三线合一.
方法探究
在上面的证明方法中，分别是怎样添加辅助线的？
作等腰三角形顶角的平分线，底边的中线.
添加辅助线对于证明上面的命题的结论起到了什么作用？
起到了辅助作用.通过添加辅助线，使等腰三角形的两
个底角分别成为两个全等三角形的对应角，从而让整
个证明更加简单.
在等腰三角形中，常把顶点与底边中点之间的线段作为辅助线.
探究发现
等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等.
你能说出等腰三角形性质定理1的逆命题吗？
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
你能证明它是真命题吗？请写出它的证明过程.
A
B
C
D
分析：
作辅助线
构造全等三角形
对应边相等
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C.
求证：AB=AC.
A
B
C
D
证明：
作∠A的平分线AD，与BC交于点D.
在△ABD和△ACD中，
∵ ∠B=∠C （已知），
AD=AD（公共边），
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）,
∴△ABD≌△ACD（AAS）.
∴ AB=AC （全等三角形对应边的定义）.
等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
探究发现
等角对等边.
特别提醒
1.“等边对等角”与“等角对等边”互为逆定理.
2.等腰三角形的判定定理和性质定理分别是证明三角形两边相等和两角相等的常用方法，而等腰三角形的“三线合一”的性质又是证明两直线互相垂直的常用方法.
3.遇到等腰三角形时，首先考虑运用其“等边对等角”的性质，其次可以考虑运用其“三线合一”的性质.
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴BC =AC，BC =AB．
∴∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴∠A =∠B =∠C ．
∵∠A +∠B +∠C =180°，
∴∠A =60°．
∴∠A =∠B =∠C =60°．
已知：△ABC 是等边三角形.
求证：∠A =∠B =∠C =60°．
A
B
C
探究发现
等边三角形的性质定理：等边三角形的每个内角都等于60°.
特别提醒
等边三角形是特殊的等腰三角形，除具有等腰三角形的一切性质外，它还有特殊的性质：
①它有三条对称轴；
②三边都相等；
③三个内角都等于60°等.
A
B
C
探究发现
　证明：∵∠A =∠B，
∠B =∠C ，
　 ∴BC =AC，
AC =AB．
　 ∴AB=BC =AC．
∴△ABC 是等边三角形．
　　已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC 是等边三角形．
等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法总结
判定等边三角形的三种常用方法
①三边相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
典例训练
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.
求证：AD=AF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底边相等）.
∵DE⊥BC，
∴△DEB与△FEC是直角三角形（直角三角形定义）
∴∠BDE=90°-∠B，
∠F=90°-∠C（直角三角形的两个锐角互余）.
典例训练
∵∠FDA=∠BDE（对顶角相等），
∴∠FDA=90°-∠C（等量代换）.
∴∠FDA=∠F（等量代换）.
∴AD=AF（有两个角相等的三角形是等腰三角形）.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F.
求证：AD=AF.
A
B
C
D
E
F
证明：
方法总结
在证明两条线段相等时，如果这两条线段在同一个三角形中，一般考虑证它们所对的角相等，利用“等角对等边”证得这两条线段相等.
挑战自我
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，
求证：AB+BD=DC.
A
B
C
D
证明：如图，在DC上取一点B ，使B D=BD，连接AB .
∵AD⊥BC（三角形高的定义），
∴∠ADB=∠ADB =90°（垂直的定义）.
又∵AD=DA，BD=B D，
∴△ABD≌△AB D（ASA），
∴AB=AB （全等三角形的对应边相等），
∠B=∠AB D（全等三角形的对应角相等）.
B
挑战自我
如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高，
求证：AB+BD=DC.
A
B
C
D
证明：
∵∠AB D=∠C+∠B AC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠B=∠C+∠B AC（等量代换）.
又∵∠B=2∠C（已知），
∴∠C=∠B AC（等量代换）.
∴AB =B C（等角对等边）.
∵B D+B C=DC（线段和的定义），
∴AB+BD=DC（等量代换）.
B
课堂总结
性质定理1 性质定理2 判定定理
内容 等腰三角形的两个底角相等 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合 有两个角相等的三角形是等腰三角形
简称 等边对等角 三线合一 等角对等边
等腰三角形的性质定理与判定定理
课堂总结
等边三角形的性质定理与判定定理
性质定理 判定定理
等边三角形的每个内角都等于60° （1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.