人教版高中数学必修第二册7.1.1 数系的扩充和复数的概念 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册7.1.1数系的扩充和复数的概念 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.给出下列说法,其中正确说法的个数是 (　　)
①如果两个复数的实部与虚部分别相等,那么这两个复数相等;
②若a,b∈R且a>b,则ai>bi;
③如果复数x+yi是实数,则x=0,y=0;
④复数a+bi不是实数.
A.1 B.2
C.3 D.4
2.下列复数中,满足方程x2+10=0的是 (　　)
A.±10 B.±
C.±i D.±10i
3.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的 (　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列结论错误的是 (　　)
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若a-bi=3+2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.i2=-1
5.已知复数z=a+(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则a,b的值是 (　　)
A.2,5 B.1,3
C.2,-1 D.2,1
6.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为 (　　)
A. B.2
C.0 D.1
7.已知方程x2+4x+4+(a+x)i=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 (　　)
A.2-2i
B.2+2i
C.-2+2i
D.-2-2i
8.若复数z=3-4sin2θ+(1+2cos θ)i为纯虚数,θ∈(0,π),则θ= (　　)
A. B.
C.　 D.或
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知x,y∈R,i为虚数单位,若x+3i=(y-2)i,则x+y=　　　　.
10.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是　　　　　　　　.
11.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　,n=　　　　.
12.已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)当实数m取什么值时,复数z=m2-m-6+(m2-2m-15)i是下列数
(1)实数;
(2)虚数;
(3)纯虚数.
14.(10分)分别求满足下列条件的实数x,y的值.
(1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i;
(2)+(x2-2x-3)i=0.
15.(5分)若sin 2θ-1+i(cos θ+1)是纯虚数,则θ的值为 (　　)
A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z)
16.(15分)已知lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
参考答案与解析
1.A　[解析] 只有①的说法正确,其余都不正确.故选A.
2.C
3.B　[解析] 复数a+bi是纯虚数 a=0,b≠0,则“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要不充分条件.
4.AB　[解析] 对于A,当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中结论错误.对于B,两个复数相等,则实部和虚部分别相等,所以a=3,b=-2,故B中结论错误.由复数的概念知选项C,D中的结论都正确.故选AB.
5.C　[解析] ∵复数z=a+(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,∴解得故选C.
6.D　[解析] 由复数相等的充要条件知解得∴x+y=0,∴2x+y=20=1.
7.A　[解析] 由题意知b2+4b+4+(a+b)i=0,∴解得则z=2-2i.
8.B　[解析] 由题意得则又θ∈(0,π),∴θ=.
9.5　[解析] 因为x+3i=(y-2)i,所以解得所以x+y=5.
10.(-∞,-1)∪(3,+∞)　[解析] 由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1,即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).
11.2　±2　[解析] 由z1=z2,m,n为实数,得解得
12.-1　[解析] 由M∩N={3},知3∈M,则(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,所以解得a=-1.
13.解:(1)若z=m2-m-6+(m2-2m-15)i是实数,
则m2-2m-15=0,解得m=5或-3.
(2)若z=m2-m-6+(m2-2m-15)i是虚数,
则m2-2m-15≠0,解得m≠5且m≠-3.
(3)若z=m2-m-6+(m2-2m-15)i是纯虚数,
则解得m=3或-2.
14.解:(1)∵x,y∈R,∴由复数相等的条件得解得
(2)∵x∈R,∴由复数相等的条件得
解得∴x=3.
15.B　[解析] 由题意得解得(k∈Z),∴θ=2kπ+(k∈Z).
16.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数,
从而有
由①得m=0或m=3.当m=0时,代入②得n<2,
又m+n>0,所以n=1;
当m=3时,代入②得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.
7.1.2　复数的几何意义
1.B　[解析] ∵z=i+2i2=-2+i,∴实部小于0,虚部大于0,∴复数z在复平面内对应的点位于第二象限.
2.D　[解析] ∵z=1+i,∴=1-i,则z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),在第四象限.
3.B　[解析] 由复数(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,得解得a=1,所以z=-i,=i,故选B.
4.A　[解析] ∵z=3-4i,∴a=|z|==5,b=-4,∴a+b=1.
5.D　[解析] 对于任意复数z=a+bi(a,b∈R),满足它的模|z|=≥0总成立,故A为真命题;z=a+bi=0 |z|=0,故B为真命题;设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若z1=z2,则a1=a2,b1=b2,所以|z1|=|z2|.反之由|z1|=|z2|,推不出z1=z2,故C为真命题;不全为实数的两个复数不能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,故D为假命题.故选D.
6.A　[解析] 由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-7.AC　[解析] 由题意知,z的实部为,虚部为-,z的共轭复数为+i,模为=,故选AC.
8.B　[解析] 复数z=(3m-2)+(m-1)i在复平面内的对应点为P(3m-2,m-1).当m>1时,P在第一象限;当m<时,P在第三象限;当9.±　 [解析] 由|z|==,得a=±.
10.2+3i　2-3i　[解析] 因为z1=2-3i在复平面内对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于实轴对称,所以z2在复平面内对应的点的坐标为(2,3),所以z2=2+3i,所以=2-3i.
11.212.-2i　[解析] 复数3-i在复平面内对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量的终点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.
13.解:(1)当m=2时,z=(m2-m)+(m-1)i=2+i.
则|z|==.
(2)∵复数z=(m2-m)+(m-1)i为纯虚数,
∴解得m=0.
14.解:(1)由题意得解得m>3,
所以m的取值范围是m>3.
(2)因为z=(m-2)+(m2-9)i,所以=m-2+(9-m2)i,
因为与复数+5i相等,所以解得m=-2.
15.B　[解析] z*= == ,∴z*≥=,当且仅当a=b=时取等号.故选B.
16.解:(1)∵z=(m-1)+(2m+1)i(m∈R)为纯虚数,
∴m-1=0且2m+1≠0,解得m=1.
(2)z在复平面内对应的点的坐标为(m-1,2m+1),
由题意得∴-即实数m的取值范围是-,1.
∵|z|==,
∴当m=-∈-,1时,|z|取得最小值,且|z|min==.