人教版高中数学必修第二册7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.复数(1-i)-(2+i)+3i等于 (　　)
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
2.已知复数z在复平面上对应的点的坐标为(-1,1),则 (　　)
A.z-1是实数
B.z-1是纯虚数
C.z-i是实数
D.z+i是纯虚数
3.z1=m2-3m+m2i,z2=4+(5m+6)i,m为实数,若z1-z2=0,则m的值为 (　　)
A.4 B.-1
C.6 D.0
4.已知复数z1=1+i,z2=1+3i,则|z2-z1|= (　　)
A. B.
C.2 D.4
5.已知复数z对应的向量如图L7-2-1所示,则复数z+1所对应的向量正确的是 (　　)
图L7-2-1
A
B
C
D
图L7-2-2
6.已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,1)
B.-∞,
C.,1
D.-∞,∪(1,+∞)
7.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是 (　　)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
8.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在 (　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.在复平面内,O为坐标原点,若,对应的复数分别为7+i,3-2i,则对应的复数为　　　　.
10.若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z=　　　　.
11.已知复数z1=2-3i,z2=3-4i,则|3z1-2z2|=　　　　.
12.已知复平面内的点A,B,C,点A的坐标为(2,1),对应的复数为1+2i,对应的复数为3-i,则点C的坐标为　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知m∈R,复数z=(2+i)m2-m(1-i)-(1+2i)(其中i为虚数单位).
(1)当实数m取何值时,复数z是纯虚数;
(2)若复数z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.
14.(10分)已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
15.(5分)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则z在复平面内对应的点的轨迹为 (　　)
A.实轴
B.虚轴
C.第二、四象限角平分线
D.第一、三象限角平分线
16.(15分)已知i是虚数单位,a,b∈R,z1=a-1+(3-a)i,z2=b+(2b-1)i,z1=z2.
(1)求a,b的值;
(2)若z=m-2+(1-m)i,m∈R,求证:|z+a+bi|≥.
参考答案与解析
1.A　[解析] 原式=(1-2)+(-1-1+3)i=-1+i.
2.B　[解析] 由题意得z=-1+i,则z-1=-2+i,故A,B错误;z-i=-1,为实数,故C正确;z+i=-1+2i,不是纯虚数,故D错误.故选C.
3.B　[解析] 由题意得解得m=-1,故选B.
4.C　[解析] z2-z1=(1+3i)-(1+i)=2i,则|z2-z1|=2,故选C.
5.A　[解析] 由图可知z=-2+i,所以z+1=-1+i,则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1,1),故选A.
6.B　[解析] z=m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,复数z在复平面内对应点的坐标为(3m-2,m-1),则由题意得解得m<,即实数m的取值范围是-∞,,故选B.
7.B　[解析] 根据复数加(减)法的几何意义可知,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形.
8.B　[解析] 方法一:设z=x+yi,则|x+yi-1|=|x+yi+1|,即(x-1)2+y2=(x+1)2+y2,解得x=0,所以z=yi,所以复数z在复平面内对应的点在虚轴上.故选B.
方法二:由题意知,z在复平面内对应的点到点(1,0)和(-1,0)的距离相等,则对应的点在这两点的中垂线上,即在虚轴上.故选B.
9.-4-3i　[解析] ∵,对应的复数分别为7+i,3-2i,=-,∴对应的复数为(3-2i)-(7+i)=-4-3i.
10.1-2i　[解析] 设z=a+bi(a,b是实数),则=a-bi.∵2z+=3-2i,∴2a+2bi+a-bi=3-2i,∴3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,则z=1-2i.
11.1　[解析] |3z1-2z2|=|3(2-3i)-2(3-4i)|=|6-9i-6+8i|=|-i|=1.
12.(4,-2)　[解析] 设点C的坐标为(x,y),则=(x-2,y-1),对应的复数为(x-2)+(y-1)i.由=-,得对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.所以解得则点C的坐标为(4,-2).
13.解:z=(2m2-m-1)+(m2+m-2)i.
(1)由题意得
解得m=-.故当m=-时,复数z为纯虚数.
(2)由题意得解得-2故当-214.解:方法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1①,
(a-c)2+(b-d)2=1②.
由①②得2ac+2bd=1,
∴|z1+z2|===.
方法二:设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2在复平面内对应的点分别为A,B,C.
∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,
∴△OAB是边长为1的正三角形,
∴四边形OACB是一个内角为60°,边长为1的菱形,且|z1+z2|是菱形的较长的对角线OC的长,
∴|z1+z2|=|OC|==.
15.C　[解析] 设z=x+yi,x,y∈R,则由|z+1|=|z-i|得=,整理得y=-x,则点z在复平面内对应的点的轨迹为第二、四象限角平分线.
16.解:(1)由z1=z2,得解得
(2)证明:∵z=m-2+(1-m)i,m∈R,
∴|z+a+bi|=|m-2+(1-m)i+2+i|=|m+(2-m)i|===≥,
当且仅当m=1时取等号.
∴|z+a+bi|≥.