广东省江门市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
1．（2023高二下·江门期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
2．（2023高二下·江门期末）若，则（ ）
A．30 B．20 C．35 D．21
3．（2023高二下·江门期末）在回归分析中，下列判断正确的是（ ）
A．回归直线不一定经过样本点的中心
B．样本相关系数
C．相关系数越接近1，相关性越好
D．相关系数r越小，相关性越弱
4．（2023高二下·江门期末）已知（，且），若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·江门期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．（2023高二下·江门期末）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2023高二下·江门期末）将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8．（2023高二下·江门期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
9．（2023高二下·江门期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A． B．
C． D．X的方差为2
10．（2023高二下·江门期末）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）
A．满足回归模型的假设
B．不满足回归模型的假设
C．满足回归模型的假设
D．不满足回归模型的假设
11．（2023高二下·江门期末）已知函数，则（ ）
A．的图象是轴对称图形 B．的单调递减区间是
C．的极值小值为2 D．的极大值为2
12．（2023高二下·江门期末）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
13．（2023高二下·江门期末）函数 的最大值为 ．
14．（2023高二下·江门期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
15．（2023高二下·江门期末）已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
16．（2023高二下·江门期末）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则
17．（2023高二下·江门期末）已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（2023高二下·江门期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
19．（2023高二下·江门期末）体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想．为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．
附：，．
附表：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如下列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男学生 60 40
女学生 20 80
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：
控球队员 A B C
接球队员 B C A C A B
概率
若传球3次，记B队员控球次数为，求的分布列及均值．
20．（2023高二下·江门期末）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美.2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
（1）求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（2）比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
21．（2023高二下·江门期末）已知函数，其中．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
22．（2023高二下·江门期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据分布列的性质结合对立事件运算求解.
2．【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合排列、组合数公式直接运算计算.
3．【答案】C
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对A：因为回归直线一定经过样本点的中心，故A错误；
对B：因为相关系数，故B错误；
对C：因为相关系数越接近1，线性相关性越强，故C正确；
对D：相关系数越接近于0，即越小，线性相关性越弱，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A：根据回归直线的性质分析判断；对BCD：根据利用相关系数的性质逐项分析判断.
4．【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，则，
由题意可得，
又因为，且，则有：
若，则，可得，不合题意；
若，则，可得，符合题意；
综上所述：.
故答案为：A.
【分析】先求出，再结合运算求解即可.
5．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆可化为，
可知圆心为，半径，
由题意可得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再利用圆的切线性质列式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：，
由拉格朗日中值定理可得，
则，解得，即满足题意的有2个，
所以函数在区间上的“中值点”的个数为2.
故答案为：B.
【分析】求导，根据题意列方程求即可得结果.
7．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；
再连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，有种选法；
所以不同的分配方案种数为.
故答案为：C.
【分析】利用捆绑法，先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，再连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，结合分步乘法计数原理运算求解.
8．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：显然，因为，可得，
所以数列是公比为的等比数列，
又因为，则，解得，
所以，
所以
，
若取得最小值，则为奇数，且取最小值，
结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，
所以当取得最小值时，.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列可得，进而结合指数运算以及等差数列求和可得，分析可得若取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数运算求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，则，即正态分布关于对称，
对于A：因为，则，故A正确；
对于B：因为和关于对称，所以，故B正确；
对于C：因为，且和关于对称，但和不关于对称，
所以，故C错误；
对于D：显然X的方差为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由题意得出，对ABC：根据正态分布的对称性逐项分析判断；对D：根据正态分布直接分析判断．
10．【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：若变量Y和x满足一元线性回归模型 ，
则残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
显然残差模型不满足上述特征，
所以残差模型不满足回归模型的假设，也不满足回归模型的假设，
故答案为：BD.
【分析】根据题意结合一元线性回归的特征逐项分析判断.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，
所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
对于B：因为，可知函数在R上单调递增，且，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C：由选项B可知：函数在处取得极小值，无极大值，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据函数奇偶性的定义分析判断；对B：求导，利用导数判断原函数的单调性；对C、D：根据函数单调性分析函数的极值.
12．【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点，准线，
设直线，不妨设，如图所示：
联立方程，消去x得，
可得，则，
可得，
对A：因为，
同理可得，
所以
，故A正确；
对B：因为，
所以当时，弦AB的长度最小值为4，故B错误；
对C：记AF中点为，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的定义可得，则，
所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对D：因为，记AB中点N，
则点N到抛物线的准线的距离，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对AB：根据题意利用韦达定理结合弦长公式运算求解；对CD：根据抛物线的定义结合直线与圆的位置关系分析运算.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】易知函数的定义域为 ，求导得出 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时函数取得最大值，即 。
【分析】利用分式函数定义域和对数函数定义域结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数 的单调性，从而求出函数 的最大值。
14．【答案】5
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，
令，则，可得，
所以的系数为5.
故答案为：5.
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可.
15．【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，
由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，根据题意结合全概率公式运算求解.
16．【答案】；196
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：，
空1：根据二项分布的方差公式可得：；
空2：因为，
所以，
故答案为：1.96；196.
【分析】由题意可得，空1：根据二项分布的方差公式运算求解；空2：根据方差的性质运算求解.
17．【答案】（1）解：因为，所以，，
又数列是等差数列，设公差为，则，
所以
（2）解：由（1）可知，所以，
，所以数列的前n项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意直接代入可算出，的值，进而可求公差d，结合等差数列的通项公式运算求解；
(2)由(1) 可得，结合裂项相消法运算求解.
18．【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，因此，.
（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据面面垂直的性质可得平面PCD，再结合线面垂直的性质分析证明；
(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量法求面面夹角的余弦值．
19．【答案】（1）解：零假设为：喜欢足球运动与性别无关，
根据列联表的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：由题意的值可能为0，1，2
表示的事件为“传，传，传”
所以，
包含的事件有“传，传，传”、 “传，传，传”、“传，传，传”、“传，传，传”、“传，传，传”，
所以，
包含的事件为“传，传，传”、 “传，传，传”
所以，
故的分布列为
0 1 2
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据题意求，并与临界值对比分析；
(2)题意的值可能为0，1，2，结合独立事件的概率公式分别求、、，进而可得分布列和均值.
20．【答案】（1）解：令，则模型②为：，
由，，，，
得，
，
所以模型②中y关于x的回归方程是
（2）解：模型①中的决定系数，
模型②的决定系数，
因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好.
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有，所以，
所以人工投入增量至少需要20人.
【知识点】线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用；可线性化的回归分析
【解析】【分析】(1)令，则模型②为：，先根据线性回归方程可得，进而可求y关于x的回归方程；
(2)根据题中公式分别求出模型①和模型②的决定系数，比较大小即可判断模型②的拟合效果更好；可得不等式，运算求解可得至少人工投入增量人数.
21．【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是
（2）解：当时，由（1）知，，因此函数只有1个零点，
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，于是函数无零点，
所以当时，函数有1个零点，当时，函数无零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)把代入，求导，利用导数判断原函数的单调区间；
(2)分与两种情况讨论，分别求出函数的最小值，结合零点存在性定理分析判断.
22．【答案】（1）解：双曲线的方程可化为，其焦距为，
设椭圆的焦点为，，解得：，
又椭圆的离心率，，，
椭圆的方程为
（2）解：由（1）知：，，，
由题意知：直线斜率不为，则可设，，，
由得：，则，
，；
，，
；
，
又，，
，即，
又，，
设，则，，解得：，
，即与的面积之比的取值范围为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据双曲线方程可得，再结合离心率列式求解，即可得结果；
(2)设，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式可得所求面积之比为，利用，根据题意求得的范围，进而可得结果.
1 / 1广东省江门市2022-2023学年高二下学期期末数学试题
1．（2023高二下·江门期末）某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则（ ）
8 9 10
P 0.36 a 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列
【解析】【解答】解：由题意可得：，
所以.
故答案为：D.
【分析】根据分布列的性质结合对立事件运算求解.
2．（2023高二下·江门期末）若，则（ ）
A．30 B．20 C．35 D．21
【答案】D
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合排列、组合数公式直接运算计算.
3．（2023高二下·江门期末）在回归分析中，下列判断正确的是（ ）
A．回归直线不一定经过样本点的中心
B．样本相关系数
C．相关系数越接近1，相关性越好
D．相关系数r越小，相关性越弱
【答案】C
【知识点】线性相关；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对A：因为回归直线一定经过样本点的中心，故A错误；
对B：因为相关系数，故B错误；
对C：因为相关系数越接近1，线性相关性越强，故C正确；
对D：相关系数越接近于0，即越小，线性相关性越弱，故D错误.
故答案为：C.
【分析】对A：根据回归直线的性质分析判断；对BCD：根据利用相关系数的性质逐项分析判断.
4．（2023高二下·江门期末）已知（，且），若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，则，
由题意可得，
又因为，且，则有：
若，则，可得，不合题意；
若，则，可得，符合题意；
综上所述：.
故答案为：A.
【分析】先求出，再结合运算求解即可.
5．（2023高二下·江门期末）若直线与圆相切，则（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆可化为，
可知圆心为，半径，
由题意可得，即，解得.
故答案为：A.
【分析】根据圆的方程求出圆心和半径，再利用圆的切线性质列式求解即可.
6．（2023高二下·江门期末）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”．请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：由题意可知：，
由拉格朗日中值定理可得，
则，解得，即满足题意的有2个，
所以函数在区间上的“中值点”的个数为2.
故答案为：B.
【分析】求导，根据题意列方程求即可得结果.
7．（2023高二下·江门期末）将5名教育志愿者分配到甲、乙、丙和丁4个学校进行支教，每名志愿者只分配到1个学校，每个学校至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；
再连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，有种选法；
所以不同的分配方案种数为.
故答案为：C.
【分析】利用捆绑法，先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，再连同其余三人，看成四个元素分配到4个不同的学校，结合分步乘法计数原理运算求解.
8．（2023高二下·江门期末）设为数列的前n项积，若，且，当取得最小值时，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：显然，因为，可得，
所以数列是公比为的等比数列，
又因为，则，解得，
所以，
所以
，
若取得最小值，则为奇数，且取最小值，
结合二次函数知识知时，满足为奇数，且取最小值，
所以当取得最小值时，.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合等比数列可得，进而结合指数运算以及等差数列求和可得，分析可得若取得最小值，则为奇数，且取最小值，结合二次函数运算求解即可.
9．（2023高二下·江门期末）已知随机变量X服从正态分布，则（ ）
A． B．
C． D．X的方差为2
【答案】A,B
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布定义；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，则，即正态分布关于对称，
对于A：因为，则，故A正确；
对于B：因为和关于对称，所以，故B正确；
对于C：因为，且和关于对称，但和不关于对称，
所以，故C错误；
对于D：显然X的方差为，故D错误．
故答案为：AB.
【分析】由题意得出，对ABC：根据正态分布的对称性逐项分析判断；对D：根据正态分布直接分析判断．
10．（2023高二下·江门期末）根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到线性回归模型，对应的残差如图所示，则残差模型（ ）
A．满足回归模型的假设
B．不满足回归模型的假设
C．满足回归模型的假设
D．不满足回归模型的假设
【答案】B,D
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【解答】解：若变量Y和x满足一元线性回归模型 ，
则残差散点图中散点应是分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，
显然残差模型不满足上述特征，
所以残差模型不满足回归模型的假设，也不满足回归模型的假设，
故答案为：BD.
【分析】根据题意结合一元线性回归的特征逐项分析判断.
11．（2023高二下·江门期末）已知函数，则（ ）
A．的图象是轴对称图形 B．的单调递减区间是
C．的极值小值为2 D．的极大值为2
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：对于A：因为函数的定义域为R，且，
所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确；
对于B：因为，可知函数在R上单调递增，且，
当时，；当时，；
则函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
对于C：由选项B可知：函数在处取得极小值，无极大值，故C正确，D错误.
故答案为：AC.
【分析】对A：根据函数奇偶性的定义分析判断；对B：求导，利用导数判断原函数的单调性；对C、D：根据函数单调性分析函数的极值.
12．（2023高二下·江门期末）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．
B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切
D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
【答案】A,C,D
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意可知：抛物线 的焦点，准线，
设直线，不妨设，如图所示：
联立方程，消去x得，
可得，则，
可得，
对A：因为，
同理可得，
所以
，故A正确；
对B：因为，
所以当时，弦AB的长度最小值为4，故B错误；
对C：记AF中点为，则点M到y轴的距离为，
由抛物线的定义可得，则，
所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对D：因为，记AB中点N，
则点N到抛物线的准线的距离，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】对AB：根据题意利用韦达定理结合弦长公式运算求解；对CD：根据抛物线的定义结合直线与圆的位置关系分析运算.
13．（2023高二下·江门期末）函数 的最大值为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】易知函数的定义域为 ，求导得出 ，当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时函数取得最大值，即 。
【分析】利用分式函数定义域和对数函数定义域结合交集的运算法则，从而求出函数 的定义域，再利用求导的方法判断函数 的单调性，从而求出函数 的最大值。
14．（2023高二下·江门期末）在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
【答案】5
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为的展开式的通项公式为，
令，则，可得，
所以的系数为5.
故答案为：5.
【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式运算求解即可.
15．（2023高二下·江门期末）已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为
【答案】
【知识点】全概率公式
【解析】【解答】解：记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，
由题意可得：，
所以.
故答案为：.
【分析】记甲箱中取出白球的事件为A，从乙箱中取出黑球的事件为B，根据题意结合全概率公式运算求解.
16．（2023高二下·江门期末）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则
【答案】；196
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：由题意可知：，
空1：根据二项分布的方差公式可得：；
空2：因为，
所以，
故答案为：1.96；196.
【分析】由题意可得，空1：根据二项分布的方差公式运算求解；空2：根据方差的性质运算求解.
17．（2023高二下·江门期末）已知数列中，，，数列是等差数列，且．
（1）求，和数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，所以，，
又数列是等差数列，设公差为，则，
所以
（2）解：由（1）可知，所以，
，所以数列的前n项和
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】 (1) 根据题意直接代入可算出，的值，进而可求公差d，结合等差数列的通项公式运算求解；
(2)由(1) 可得，结合裂项相消法运算求解.
18．（2023高二下·江门期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，．
（1）求证；；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，
平面，所以，平面，
因为平面，因此，.
（2）解：因为平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，
平面内垂直于的直线为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，，，
所以，、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
易知平面的一个法向量为，则，
因此，平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 (1)根据面面垂直的性质可得平面PCD，再结合线面垂直的性质分析证明；
(2)以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量法求面面夹角的余弦值．
19．（2023高二下·江门期末）体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想．为推动落实全民健身国家战略，某学校以锻炼身体为目的，每天下午组织足球训练活动．
附：，．
附表：
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
（1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，从该校随机抽取了男学生和女学生各100名观众进行调查，得到如下列联表：
喜爱足球运动 不喜爱足球运动
男学生 60 40
女学生 20 80
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？
（2）在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A，B，C三名队员之间传递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表所示：
控球队员 A B C
接球队员 B C A C A B
概率
若传球3次，记B队员控球次数为，求的分布列及均值．
【答案】（1）解：零假设为：喜欢足球运动与性别无关，
根据列联表的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为喜欢足球运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于.
（2）解：由题意的值可能为0，1，2
表示的事件为“传，传，传”
所以，
包含的事件有“传，传，传”、 “传，传，传”、“传，传，传”、“传，传，传”、“传，传，传”，
所以，
包含的事件为“传，传，传”、 “传，传，传”
所以，
故的分布列为
0 1 2
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】 (1)根据题意求，并与临界值对比分析；
(2)题意的值可能为0，1，2，结合独立事件的概率公式分别求、、，进而可得分布列和均值.
20．（2023高二下·江门期末）台山市镇海湾蚝是台山市著名的特产，因镇海湾的生蚝田处于咸淡水交汇之地，所以这里的生蚝长得比其他地方肥大，味道更加鲜美.2023年镇海湾某养殖基地考虑增加人工投入，根据市场调研与模拟，得到人工投入增量x人与年收益增量y万元的数据和散点图分别如下：
x 2 3 4 6 8 10 13
y 13 22 31 42 50 56 58
根据散点图，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：；模型②：
线性回归方程的系数：
，；
模型的决定系数：．
参考数据：令，则，且，，，；模型①中；模型②中．
（1）求出模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（2）比较模型①，②的决定系数的大小，说明哪个模型拟合效果更好，并用该模型预测，要使年收益增量超过80万元，人工投入增量至少需要多少人？（精确到1）
【答案】（1）解：令，则模型②为：，
由，，，，
得，
，
所以模型②中y关于x的回归方程是
（2）解：模型①中的决定系数，
模型②的决定系数，
因为，所以模型①中的决定系数小于模型②的决定系数，
所以模型②的拟合效果更好.
在模型②下，年收益增量超过80万元，
则有，所以，
所以人工投入增量至少需要20人.
【知识点】线性相关；线性回归方程；回归分析的初步应用；可线性化的回归分析
【解析】【分析】(1)令，则模型②为：，先根据线性回归方程可得，进而可求y关于x的回归方程；
(2)根据题中公式分别求出模型①和模型②的决定系数，比较大小即可判断模型②的拟合效果更好；可得不等式，运算求解可得至少人工投入增量人数.
21．（2023高二下·江门期末）已知函数，其中．
（1）若，求的单调区间；
（2）讨论函数的零点个数．
【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的递减区间是，递增区间是
（2）解：当时，由（1）知，，因此函数只有1个零点，
当时，由，得，当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，于是函数无零点，
所以当时，函数有1个零点，当时，函数无零点
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】(1)把代入，求导，利用导数判断原函数的单调区间；
(2)分与两种情况讨论，分别求出函数的最小值，结合零点存在性定理分析判断.
22．（2023高二下·江门期末）已知椭圆的离心率为，且与双曲线有相同的焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过左焦点的直线交椭圆于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围．
【答案】（1）解：双曲线的方程可化为，其焦距为，
设椭圆的焦点为，，解得：，
又椭圆的离心率，，，
椭圆的方程为
（2）解：由（1）知：，，，
由题意知：直线斜率不为，则可设，，，
由得：，则，
，；
，，
；
，
又，，
，即，
又，，
设，则，，解得：，
，即与的面积之比的取值范围为
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据双曲线方程可得，再结合离心率列式求解，即可得结果；
(2)设，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及三角形面积公式可得所求面积之比为，利用，根据题意求得的范围，进而可得结果.
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