人教版高中数学必修第二册7.2.2复数的乘、除运算 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册7.2.2复数的乘、除运算 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.设z=-2i,则|z|= (　　)
A.0 B.1
C. D.3
2.已知复数z=是纯虚数,其中a是实数,则z等于 (　　)
A.2i B.-2i
C.i D.-i
3.若复数z满足(1+i)z=|3+4i|,则z的虚部为 (　　)
A.5 B.
C.- D.-5
4.已知复数z满足(1-i)=3+i(i为虚数单位),则复数z= (　　)
A.1+2i B.1-2i
C.2+i D.2-i
5.已知i为虚数单位,a∈R,若为实数,则a等于 (　　)
A.-3 B.-1
C.1 D.3
6.已知复数z=m-3+(m-1)i(m∈Z)在复平面内对应的点在第二象限,则= (　　)
A. B.2
C. D.
7.已知i为虚数单位,复数z满足(1-i)·z=2i,是复数z的共轭复数,则下列关于复数z的说法正确的是 (　　)
A.z=-1-i
B.|z|=2
C.z·=2
D.复数z在复平面内对应的点在第四象限
8.设复数z1=,z2=z1i,z1,z2在复平面内对应的向量分别为,(O为原点),则·= (　　)
A.- B.0
C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.已知复数z满足(1+i)z=1+i(i是虚数单位),则|z|=　　　　.
10.已知复数z在复平面内对应的点是(1,-2),i为虚数单位,则=　　　　.
11.在复数范围内方程x2+2x+5=0的根是　　　　.
12.设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,点A与点B关于x轴对称,若复数z1满足z1(1-i)=3-i,则|z2|=　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)已知复数z=.
(1)求z的实部与虚部;
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共轭复数),求m和n的值.
14.(10分)已知复数z1满足z1-4=(3-2z1)i(i为虚数单位),z=+|z1-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
15.(5分)定义运算=ad-bc,则符合条件=4+2i(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
16.(15分)在复数范围内解方程x2-5|x|+6=0.
参考答案与解析
1.B　[解析] z=-2i=-2i=-2i=-i,则|z|=1.
2.A　[解析] z====+i,因为z为纯虚数,所以=0且≠0,解得a=2,所以z=2i.故选A.
3.C　[解析] 由(1+i)z=|3+4i|==5,得z===-i,∴z的虚部为-.故选C.
4.B　[解析] 由题意得====1+2i,则复数z=1-2i.故选B.
5.B　[解析] ∵==+i为实数,∴a+1=0,即a=-1.故选B.
6.C　[解析] 由题意可得即17.C　[解析] ∵(1-i)·z=2i,∴z====-1+i,∴|z|=,=-1-i,z·=(-1+i)(-1-i)=1+1=2,复数z在复平面内对应的点在第二象限.故选C.
8.B　[解析] z1==,z2=z1i=,∴=,,=-,,∴·=0,故选B.
9.　[解析] 由题知z=,则|z|=====.
10.1+i　[解析] 依题意z=1-2i,故原式====1+i.
11.-1±2i　[解析] 由x2+2x+5=0得(x+1)2=-4,所以x=-1±2i.
12.　[解析] ∵z1(1-i)=3-i,∴z1===2+i.∵A与B关于x轴对称,∴z1与z2互为共轭复数,∴z2==2-i,∴|z2|=.
13.解:(1)z===2+i,
所以z的实部为2,虚部为1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i,
所以解得
14.解:由题意得z1(1+2i)=4+3i,∴z1= =2-i,
∴z=+|-i|=3+i.
若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根=3-i.
∵z+=6,z·=10,
∴所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.
15.D　[解析] 依题意得=zi+z=4+2i,∴z====3-i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为(3,-1),位于第四象限.故选D.
16.解:设x=a+bi(a,b∈R),则原方程可化为(a+bi)2-5+6=a2-b2-5+6+2abi=0,
则解得或或
综上,原方程的解为x=±2,x=±3,x=±i.
滚动习题(四)
1.A　[解析] 由题意可得=1-i,所以其虚部为-1,故选A.
2.C　[解析] z===--.故选C.
3.D　[解析] |AB|=||=|z1-z2|=|(5-i)-(1+2i)|=|(5-1)+(-1-2)i|==5.
4.A　[解析] 由x-3i=(8x-y)i,得则x=0且y=3.故选A.
5.A　[解析] ∵复数z1=3-4i,且在复平面内,复数z1与z2对应的点关于虚轴对称,∴z2=-3-4i,则z1·z2=(3-4i)(-3-4i)=-25.故选A.
6.D　[解析] 当7.B　[解析] z=+i=+i=-1+i+i=-1+2i,则|z|==,故选B.
8.D　[解析] z=+bi=+bi=++bi.由题意可得=-+b,即3a+5b=0.
9.-2　[解析] (1+bi)(2-i)=2+b+(2b-1)i,由(1+bi)(2-i)是纯虚数,得解得b=-2.
10.-1-5i　[解析] 因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2),=(-2,-3),又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),所以对应的复数为-1-5i.
11.-∞,　[解析] 由题知z=(3m-2)+(m-1)i,其在复平面内对应的点为(3m-2,m-1),又z在复平面内对应的点在第三象限,∴3m-2<0且m-1<0,∴m<.
12.3　[解析] 如图所示,|z+2-2i|=1表示图中的圆,|z-2-2i|表示圆上的点到点 (2,2)的距离.由图可知|z-2-2i|的最小值为3.
13.解:(1)z===-i.
∵z为纯虚数,∴=0,且-≠0,解得a=1.
(2)=+i,∵对应的点位于第二象限,∴∴-1∴a的取值范围为(-1,1).
14.解:(1)∵复数z=1+2i(i 为虚数单位),z·z0=2z+z0,∴z0(z-1)=2z,
∴z0===2-i,
∴复数z0的共轭复数=2+i.
(2)∵复数z=1+2i是关于 x 的方程x2-mx+5=0一个虚根,
∴(1+2i)2-(1+2i)m+5=0,整理得2-m+(4-2m)i=0,
则解得m=2.
15.解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由已知可得即
解得 或∴z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
则A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
故△ABC的面积S=×2×1=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
则A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
故△ABC的面积S=×2×1=1.
综上,△ABC的面积为1.