人教版高中数学必修第二册7.3.1复数的三角表示式 同步练习（含解析）

人教版高中数学必修第二册7.3.1复数的三角表示式 同步练习
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.复数-i的一个辐角是 (　　)
A.0 B.
C.π D.
2.复数1-i的辐角的主值是 (　　)
A.π B.π
C.π D.
3.复数-10的三角形式是 (　　)
A.10cos+isin
B.-10cos-isin
C.10(cos π+isin π)
D.10(sin 0+isin 0)
4.复数-cos+isin的三角形式是 (　　)
A.cos+isin
B.cos+isin
C.cos+isin
D.cos+isin
5.复数-2sin+icos的代数形式是 (　　)
A.+i B.--i
C.+i D.--i
6.复数2-cos+isin的辐角的主值是 (　　)
A. B.
C. D.
7.若复数cos θ+isin θ和sin θ+icos θ相等,则θ的值为 (　　)
A.
B.或
C.2kπ+(k∈Z)
D.kπ+(k∈Z)
8.若复数z=(a+i)2的辐角的主值是,则实数a的值是 (　　)
A.1 B.-1
C.- D.-
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
9.复数z=-的共轭复数的辐角的主值是　　　　.
10.复数9(cos π+isin π)的模是　　　　.
11.复数z=4sin-icos的共轭复数的代数形式是　　　　.
12.复数z=+i的共轭复数的三角形式是　　　　　　　　.
三、解答题(本大题共2小题,共20分)
13.(10分)(1)在复平面内画出复数2-2i所对应的向量,并将其表示成三角形式.
(2)在复平面内画出复数--i所对应的向量,并将其表示成三角形式.
14.(10分)分别指出下列复数的模和辐角的主值,并把这些复数表示成代数形式.
(1)(cos 60°+isin 60°);
(2)2cos-isin.
15.(5分)已知复数z满足z2+2z+4=0,且arg z∈,π,则z的三角形式为　　　　　　　　.
16.(15分)设O为复平面的原点,A,B为单位圆上两点,A,B所对应的复数分别为z1,z2,z1,z2的辐角的主值分别为α,β.若△AOB的重心G对应的复数为+i,求tan(α+β)的值.
参考答案与解析
1.D　[解析] -i=cos+isin,故选D.
2.A　[解析] 因为1-i=2×-i=2cosπ+isinπ,所以1-i的辐角的主值为π.
3.C　[解析] -10=10(cos π+isin π),故选C.
4.B　[解析] -cos+isin=cos+isin,故选B.
5.A　[解析] -2sin+icos=(-2)--i=+i,故选A.
6.C　[解析] 2-cos+isin=2cos+isin,则其辐角的主值为,故选C.
7.D　[解析] 因为cos θ+isin θ=sin θ+icos θ,所以cos θ=sin θ,即tan θ=1,所以θ=+kπ(k∈Z).故选D.
8.B　[解析] 因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1,故选B.
9.π　[解析] 因为z=-,所以=-=(cos π+isin π),故其辐角的主值为π.
10.9
11.2-2i　[解析] z=4sin-icos=4+i=2+2i,所以=2-2i.
12.2cos+isin　[解析] 因为z=+i,所以=-i=2-i=2cos+isin.
13.解:(1)复数2-2i所对应的向量如图所示,
则r==2,cos θ=.
因为与2-2i对应的点在第四象限,
所以arg(2-2i)=,
于是2-2i=2cos+isin.
(2)复数--i所对应的向量如图所示,
则r==2,cos θ=-.
因为与--i对应的点在第三象限,
所以arg(--i)=,
于是--i=2cos+isin.
14.解:(1)(cos 60°+isin 60°)的模r1=,辐角的主值为60°.
(cos 60°+isin 60°)=×+×i=+i.
(2)2cos-isin=2cos2π-+isin2π-=2cosπ+isinπ,
所以复数2cos-isin的模r2=2,辐角的主值为π.
2cosπ+isinπ=2cosπ+2isin π=2×+2×-i=1-i.
15.z=2cos+isin　[解析] 由z2+2z+4=0,得z=(-2±2i)=-1±i.因为arg z∈,π,所以z=-1+i=2cos+isin.
16.解:由题意可设z1=cos α+isin α,z2=cos β+isin β.
因为△AOB的重心G对应的复数为+i,
所以=+i,可得
所以
所以tan=,故tan(α+β)==.