人教A版必修二6.4.2向量在平面几何和物理的应用 课堂、课后练习题（含解析）

人教A版必修二6.4.2向量在平面几何和物理的应用 课堂练习题
一.向量在平面几何中的向量方法
例1.已知等腰△ABC,AB=AC,点M为边BC的中点,求证AM⊥BC.
例2.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则的最小值为
二．向量在物理中的应用
例1.如图,一条河的两岸平行,河的宽度=500,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度=10/,水流速度
=2/,问
⑴行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min)
⑵行驶时间最短时,所用的时间是多少？
三.两向量的和与差的模的最值
例1.有下列不等式：
①-+②-== +
③-=+④-=+
其中,一定不成立的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
例2.若=2, =3,则的取值范围是（ ）
变式：求 的取值范围？
例3.若=8,=5,则的取值范围是（ ）
A．[3，8] B．(3，8) C．[3，13] D．(3，13)
答案：
一.向量在平面几何中的向量方法
例1．
例2. 5
二．向量在物理中的应用
例1.(1) 行驶的航程最短时,所用的时间是3.1min.
(2)行驶的时间最短时,所用的时间是3min.
三.两向量的和与差的模的最值
例1. 选A
例2. [1,5] 变式[1,5]
例3.C
课后检测
一．能力提升
1．已知点A(－2，－3)，B(2,1)，C(0,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．A，B，C三点共线 B.⊥ C．A，B，C是等腰三角形的顶点 D．A，B，C是钝角三角形的顶点
2．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝(　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
3．在四边形ABCD中，若＝－，·＝0，则四边形为(　　)
A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形
4．已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A．10 m/s B．2 m/s C．4 m/s D．12 m/s
5．人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为(　　)
A．v1－v2 B．v2－v1 C．v1＋v2 D．|v1|－|v2|
6．点O在△ABC所在平面内，给出下列关系式：
①＋＋＝0； ②·＝·＝0； ③(＋)·＝(＋)·＝0.
则点O依次为△ABC的(　　)
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
7．已知两个粒子A、B从同一点发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为va＝(4,3)，vb＝(3,4)，则va在vb上的投影为________．
8．已知点A(0,0)，B(，0)，C(0,1)．设AD⊥BC于D，那么有＝λ，其中λ＝________.
9．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________．
10.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
已知:平行四边形ABCD.
求证:AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2.
二.能力提升
11．已知M是△ABC内的一点，且＝2，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值是________．
12.在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若则＝1，则AB的长为________．
答案：
1.答案：D解析：∵＝(－2,0)，＝(2,4)，∴·＝－4<0，∴∠C是钝角．
2.答案：D解析：由物理知识知f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．
3.答案：B解析：由＝－知四边形ABCD是平行四边形，又·＝0，∴⊥，∴此四边形为矩形．
4.答案：B解析：设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则|v1|＝2，|v|＝10，
v⊥v1，∴v2＝v－v1，v·v1＝0，∴|v2|＝＝2(m/s)．
5.答案：C解析：对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理，逆风行驶的速度为v1＋v2，故选C.
6.答案：C
解析：①由于＝－(＋)＝－2，其中D为BC的中点，可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；
②向量，分别表示在AC和AB上取单位向量和，它们的差是向量，当·＝0，即OA⊥B′C′时，则点O在∠BAC的平分线上，同理由·＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；
③＋是以，为边的平行四边形的一条对角线，而是该四边形的另一条对角线，·(＋)＝0表示这个平行四边形是菱形，即||＝||，同理有||＝||，于是O为△ABC的外心．
7.答案：
解析：由题知va与vb的夹角θ的余弦值为cosθ＝＝.
∴va在vb上的投影为|va|cosθ＝5×＝.
8.答案：
解析：如图||＝，||＝1，||＝2，由于AD⊥BC，且＝λ，所以C、D、B三点共线，所以＝，即λ＝.
9.答案：30
解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四边形ABCD为矩形，||＝，||＝，∴S＝||·||＝30.
10. 证明:不妨设=a,=b,则
=a+b,=a-b,||2=|a|2,||2=|b|2.
得||2==(a+b)·(a+b)=a·a+ a·b+b·a+b·b=|a|2+2a·b+|b|2.　①
同理||2=|a|2-2a·b+|b|2.　②
+②得||2+||2=2(|a|2+|b|2)=2(||2+||2).
所以,平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.
11．18　[解析] ∵·＝2，∴bccosA＝2，
∵∠BAC＝30°，∴bc＝4，∴S△ABC＝1，∴x＋y＝，
＋＝＋＝＋10≥18.
等号成立时，∴x＝，y＝，
∴当x＝且y＝时，＋取得最小值18.
12. 　解析：＝＋＝－，
·＝AD·＝2－·＝||2－||||cos 60°＝4－×2||×cos 60°＝1，则AB的长为6.