人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例（二） 课堂、课后练习题(含答案)

人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例（二） 课堂练习题
1.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
2.在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，则A等于(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.在△ABC中，已知C＝60°，b＝4，则BC边上的高等于(　　)
A. B.2 C.4 D.6
4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c＝2，C＝，且a＋b＝3，则△ABC的面积为(　　)
A. B. C. D.
5.在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝______.
6.在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________.
7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
8.如图，在△ABC中，D是AC边上的点，且AB＝AD＝BD，BC＝2BD，则sin C的值是________．
在△ABC中，若c·cos B＝b·cos C，cos A＝，求sin B的值.
10.如图，四边形ABCD中，B＝C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，求该四边形ABCD的面积.
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11.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值.
答案：1.C 2.D 2.D 3.D 4.4 5. 6.6 7.
9.解　由c·cos B＝b·cos C，结合正弦定理，
得sin Ccos B＝sin Bcos C，
故sin(B－C)＝0，
∵0∴B－C＝0，B＝C，故b＝c.
∵cos A＝，∴由余弦定理得＝，即3a2＝2b2，
再由余弦定理，得cos B＝，故sin B＝.
10.解　连接BD(图略)，在△BCD中，BC＝CD＝2，C＝120°，
则∠DBC＝30°，所以BD＝2，∠ABD＝90°，
所以S四边形ABCD＝S△BCD＋S△ABD
＝×2×2×＋×4×2＝5.
11.解　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)，
又因为a＋c＝6，b＝2，cos B＝，
所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝＝，
由正弦定理得sin A＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，
所以cos A＝＝.
所以sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.
人教A版必修二6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例（二） 课后练习题
一、选择题
1.在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状一定是(　　)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
2.在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，若满足sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，则A等于(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.已知三角形面积为，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为(　　)
A.1 B.2 C. D.4
5.已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.5
二、填空题
6.在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，则b＝________.
7.在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos A＝－，则a的值为________.
三、解答题
9.如图，在△ABC中，B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos ∠ADC＝.
(1)求sin ∠BAD；
(2)求BD，AC的长.
10.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，角C是钝角，且sin B＝.
(1)求角C的值；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求c的值.
能力提升
11.已知锐角△ABC中，A＝2B，AC＝2，则BC的范围为(　　)
A.(2，2) B.(，)
C. D.[2，2]
12.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为，求cos A与a的值.
创新猜想
13.(多选题)在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积是(　　)
A.2 B. C.3 D.4
14.(多填题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cos B＝.
(1)则＋的值为________；
(2)设·＝，则a＋c的值为________.
答案：
1.解析　∵c＝2acos B，由正弦定理得，
2cos Bsin A＝sin C＝sin(A＋B)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，
又∵－π∴△ABC是等腰三角形.
答案　C
2.解析　设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
则由已知及正弦定理得a2≤b2＋c2－bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
则cos A≥.∵0∴0答案　C
3.解析　设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
∵sin2A＝sin2B＋sin B·sin C＋sin2C，
∴由正弦定理得a2＝b2＋c2＋bc，
∴cos A＝＝－，
又∵0°答案　D
4.解析　设三角形外接圆半径为R，
则由πR2＝π，得R＝1.
由三角形面积S＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
答案　A
5.解析　化简23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入数据，得b＝5.
答案　D
6.解析　∵cos C＝，C∈(0，π)，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
答案　2
7.解析　∵b＝2a，∴sin B＝2sin A，
又∵B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sin A，
即sin Acos 60°＋cos Asin 60°＝2sin A，
化简得sin A＝cos A，∴tan A＝，
又∵0°答案　30°
8.解析　因为cos A＝－，0所以sin A＝＝.
由3＝bcsin A得bc＝24.
又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝36＋16＋12＝64.故a＝8.
答案　8
9.解　(1)在△ADC中，
因为cos ∠ADC＝，
所以sin ∠ADC＝.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－B)
＝sin ∠ADCcos B－cos ∠ADCsin B
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
10.解　(1)由sin B＝得2csin B＝b，
由正弦定理得2sin Csin B＝sin B，
所以sin B(2sin C－1)＝0，
因为sin B≠0，所以sin C＝，
因为C是钝角，所以C＝.
(2)由S＝absin C＝a＝，得a＝2，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C
＝12＋4－2×2×2×＝28，
即c的值为2.
11.解析　由正弦定理得＝，
所以＝，
即BC＝4cos B，
又△ABC是锐角三角形，
所以90°所以30°所以所以2答案　A
12.解　由三角形面积公式，
得×3×1×sin A＝，
故sin A＝.
因为sin2A＋cos2A＝1，
所以cos A＝±＝±＝±.
(1)当cos A＝时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，
所以a＝2.
(2)当cos A＝－时，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，
所以a＝2.综上，a的值为2或2.
13.解析　在△ABC中，因为B＝30°，AB＝2，AC＝2，
所以由＝，得sin C＝＝，
又因为AB·sin 30°所以C有两解，
所以C＝60°或C＝120°.
由三角形内角和定理得A＝90°或A＝30°.
由面积公式S△ABC＝AB·AC·sin A，
所以S△ABC＝或S△ABC＝2.
答案　AB
14.解析　(1)由cos B＝，B∈(0，π)，得sin B＝＝.
由b2＝ac及正弦定理，得sin2B＝sin Asin C.
于是＋＝＋
＝＝
＝＝＝.
(2)由·＝，得ca·cos B＝，
由cos B＝，可得ca＝2，即b2＝2，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
得a2＋c2＝b2＋2ac·cos B＝5，
∴(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝5＋4＝9，
又∵a>0，c>0，∴a＋c＝3.
答案　(1)　(2)3