数学人教A版（2019）选择性必修第一册1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（共29张ppt）

(共29张PPT)
1.4.1用空间向量研究
直线、平面的位置关系
复习导入
新知探究
思考：我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题．那么能否运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题？
对应关系
点
直线
平面

对应关系
空间向量
立体几何
平面向量
新知探究
问题1：如何用向量表示空间中的一个点？
平面
空间
我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示. 我们把向量称为点的位置向量.
新知探究
问题2：如何用向量表示空间中直线？
如图, 是直线的方向向量，在上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数 ，使得即.
追问：直线的方向向量是不是唯一的？
新知探究
问题3：如何用向量表示空间中的平面？
两条相交直线可以确定一个平面，那用向量表示平面需要？
一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？
α
OP=xa+yb
P
新知探究
问题3：如何用向量表示空间中的平面？
α
OP=xa+yb
P
如图，取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使
B
α
A
C
P
O
a
b
上式称为空间平面的向量表示式. 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.
点与向量，不仅可以确定平面，还可以表示出内的任意一点，
新知探究
追问：能否用一个向量表示空间中的平面？
给定空间一点和一条直线，则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.
用点和直线的方向向量来确定平面？
如图, 直线取直线的方向向量，我们称向量为平面的法向量，
给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
例题讲解
练习1.
1、判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线的方向向量是唯一的． (　　)
(2)若点，是平面上的任意两点，是平面的法向量，则 .(　　)
(3)由空间点和直线的方向向量能表示直线上的任意一点． (　　)
(4)空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． (　　)
2、若(2，1，1)，(1，2，2)在直线上，则直线的一个方向向量为(　　)
(2，1，1)　　 (－2，2，2) (－3，2，1) (2，1，－1)
答案：1、(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
答案：2、
例题讲解
例1.如图，在长方体中，是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的法向量；(2)求平面的法向量.
解：(1)因为轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
例题讲解
例1.如图，在长方体中，
是的中点.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.(2)求平面的法向量.
解：(2)因为是的中点，所以，的坐标分别为，，.
因此，.
设是平面的法向量，则，
所以所以
取，则，.于是是平面的一个法向量.
利用待定系数法求法向量的步骤
设向量
设平面法向量n=(x,y,z)
列方程组
选向量
在平面内选取两个不共线向量AB,AC
取x,y,z中一个为非零值(常取±1)
赋值
结论
得到平面的一个法向量
n·AB=0
n·AC=0
列出等式
例题讲解
练习2. 已知(0，1，1)，(－1，1，1)，(1，0，0)，则平面的一个 法向量为 (　　)
．(0，1，－1) ．(－1，0，1) ．(1，1，1) ．(－1，0，0)
解：设平面的法向量为，由，，可得
取，得， -1
选
新知探究
思考：既然点线面均可用向量表示，那是否可以利用向量进一步研究点线面间的位置关系呢？
问题4：由直线与直线的平行关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
所以，
使得
新知探究
问题5：由直线与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
新知探究
问题6：由平面与平面的平行关系，可以得到着两个平面的法向量有什么关系呢？
使得
新知探究
线面的位置关系 向量的位置关系 向量的运算 向量运算的坐标表示
∥
∥ β
使得
使得
= =
+
= =
例题讲解
例2.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
已知：如图，，，，，.
求证：
证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，.
因为，，所以.
因为
所以对任意点，存在，使得.
从而.
所以，向量也是平面的法向量.故
例题讲解
例3.如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？
解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，的坐标分别为，，，
所以，.
设是平面的法向量，则，，即所以
例题讲解
例3.如图，在长方体中，.线段上是否存在点，使得平面？
取，则，.
所以，是平面的一个法向量.
由，，的坐标分别为，，，得
，.
设点满足则，
所以.
令，得，解得，
此时平面，这样的点存在.
所以，当，即为的中点时，平面.
例题讲解
练习3.如图，已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：平面.
证明：建立如图所示空间直角坐标系，
则有
所以，，.
设是平面的法向量，则，，
即得令，则，
所以.因为，所以.
又因为平面，所以平面.
例题讲解
练习4.已知正方体的棱长为2，分别是，的中点，求证：平面平面.
证明：建立如图所示空间直角坐标系，则有
所以，
设是平面的法向量，则，，
即得
令，则，所以.
又平面的法向量 .
，所以平面平面.
新知探究
问题7：直线、平面间的垂直关系又如何用向量表示呢？
线线垂直
线面垂直
面面垂直
，使得
例题讲解
例4.如图，在平行六面体中，求证：直线平面.
证明：设，，，则为空间的一个基底，
且，，.
因为
所以
在平面上，取，为基向量，则对于平面上任意一点，
存在唯一的有序实数对，使得
所以，
所以是平面的法向量.所以平面.
例题讲解
例5. 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图，，求证：.
证明：取直线的方向向量，平面的法向量.
因为，所以是平面的法向量.
因为，而是平面的法向量，所以.
所以.
例题讲解
练习5.在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥底面 ，且 = ，
是 的中点.求证：平面 ⊥平面 .
证明：设，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面的法向量为
易知
∴即
令，可得平面的一个法向量为.
∵平面，∴平面的一个法向量为
∵，∴平平面.
小结
用空间向量研究直线、平面的位置关系
线面位置关系的向量表示
点线面的向量表示
点
线
面
OP=xa+yb
平面的法向量：
小结
线线平行
线面平行
面面平行
使得
使得
小结
线线垂直
线面垂直
面面垂直
，使得