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3.1 函数的概念及其表示
【基础知识梳理】
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x 1，g(t)＝2t 1，h(m)＝2m 1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念结合条件分析即得.
【详解】因为由函数的概念可知，一个自变量对应唯一的一个函数值，故ABD正确；
选项C中，当x=0时有两个函数值与之对应，所以C错误.
故选：C.
（2）、（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
【答案】B
【分析】根据对应法则和函数的概念依次判断选项即可.
【详解】A：当，，但，所以集合A中的
一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；
B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；
C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；
D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，
所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；
（3）、（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列对应关系是实数集上的函数的是（ ）
A．：把对应到 B．：把对应到
C．：把对应到 D．：把对应到
【答案】AB
【分析】根据函数的定义，可得答案.
【详解】选项A，是实数集上的一个函数．它的对应关系是把乘再加，对于任一，都有唯一确定的值与之对应，如，则与之对应；
选项B，同理B也是实数集上的一个函数；
选项C，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在；
选项D，不是实数集上的函数．因为当时，的值不存在．
故选：AB.
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义判断即可.
【详解】B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，
A，C，D满足函数的定义，
故选：B
【变式训练1-2】、（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．
【详解】对于A，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故A错误，
对于B，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故B错误，
对于C，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故C错误，
对于D，在对于关系中，因为，所以 ，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故D正确，
故选：D．
【变式训练1-3】、（2020·安徽蚌埠·高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，判断A选项错误；B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，判断B选项错误；C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，判断C选项错误；D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，判断D选项正确.
【详解】解：A选项：集合A中的在集合B中有3、4两个数与它对应，故A选项错误；
B选项：集合A中的在集合B中没有元素与它对应，故B选项错误；
C选项：集合A中的在集合B中有3、5两个数与它对应，故C选项错误；
D选项：集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应，故D选项正确.
故选：D
【点睛】本题考查映射的定义，是基础题.
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】由根式、分式的性质列不等式组求定义域.
【详解】要使函数有意义，则需满足，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
（2）、（2022春·北京·高一校考期中）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据函数解析式即可得出需满足的表达式，解得的定义域为.
【详解】要使有意义，则，解得，且；
即，且，
所以的定义域为.
故答案为：
（3）、（2021秋·高一单元测试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】C
【分析】由函数有意义的条件，求解函数定义域.
【详解】要使函数有意义，需满足即且.
所以函数定义域为
故选：C.
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据二次根式与分式的意义求定义域即可.
【详解】由，得，
故函数的定义域为：．
故答案为：
【变式训练2-2】、（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义域的定义进行求解即可
【详解】使得函数的表达式有意义，
则且，解得
故选：D
【变式训练2-3】、（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得，解不等式即可得出定义域.
【详解】要使函数有意义，则，
则，解得：或，
所以函数的定义域为，
故选：B
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数的定义域计算规则计算可得.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
令，解得，所以函数的定义域为.
故选：D
（2）、（2022秋·高一单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】定义域为的取值范围，结合同一对应法则下括号内范围相同，求出答案.
【详解】由题意得，故，故函数的定义域为.
故选：D
（3）、（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；
【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.
故选：D
（4）、（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由，可知，再解关于的不等式即可.
【详解】因为，即，所以，所以，所以.
故答案为：.
【变式训练3-1】、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用抽象函数的定义域求法求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，则，
所以，解得，
所以的定义域为，
故选：B
【变式训练3-2】、（2020·河北唐山一中高一期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
【答案】
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，结合函数，列出不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数的定义域是，即，
则函数满足，解得，
即函数的定义域是.
故答案为：.
【点睛】
求抽象函数定义域的方法：
1、已知函数的定义域为，求复合函数的定义域时：可根据不等式解得，则的取值范围即为所求定义域；
2、已知复合函数的定义域为，求函数的定义域，求出函数的值域，即为的定义域.
【变式训练3-3】、（2022秋·江西赣州·高一统考期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据抽象函数定义域的求法，列出方程组，即可求得答案.
【详解】因为的定义域是，所以，根据抽象函数定义域求法，
在函数中，，解得或.
故选：D.
【变式训练3-4】、（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
【答案】
【分析】抽象函数定义域求解，需整体在范围内，从而 解出的范围，同时注意需保证，最后求出交集即可得解.
【详解】由已知，的定义域为，所以对于
需满足,解得
故答案为：.
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】AD
【分析】根据函数的定义，判断各选项中两函数的定义域、对应关系以及值域是否相同，如有不同即可判断不是同一函数，即可得答案.
【详解】对于A，与的定义域都是R，对应关系相同，
值域相同，故与是同一函数，A正确；
对于B，与的对应关系不同，故二者不是同一函数，B错误；
对于C，与，前者的定义域为R，后者定义域为，
故二者不是同一函数，C错误；
对于D，，与的定义域以及对应关系都相同，
故二者是同一函数，D正确，
故选：AD
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】CD
【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数的定义域为，函数定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；
对于B：函数定义域为R，化简可得，与解析式不同，故不是同一函数；
对于C：函数定义域为，化简可得，函数定义域为，化简可得，故为同一函数；
对于D：函数定义域为R，化简可得，与为同一函数.
故选：CD
【变式训练4-1】．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选题）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据相同函数的概念判定即可.
【详解】对于A项，，显然与对应关系不同，但定义域相同均为，故A错误；
对于B项，由题意得，即的定义域为，，即的定义域为和，两函数定义域不同，故B错误；
对于C项，，即两函数对应关系不同，故C错误；
对于D项，，两函数定义域与对应关系均相同，故D正确.
故选：D
【变式训练4-2】．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.
【详解】对于A，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B，因为定义域为R，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，易知函数和的定义域为，而的值域为，的值域为，两函数值域不同，故不能表示同一函数；
对于D，易知函数和的定义域为，值域为，且，
所以是同一函数.
故选：D
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
考点精讲：求函数的解析式——待定系数法
例5．（1）、（2023·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设，，根据得到，再根据得到，，从而得到函数的解析式.
【详解】设，，
∵，则，
又∵，
令，则，∴，即，，
令，则，，即，，
∴，，.
故选：D.
（2）、（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.
【答案】或
【分析】利用待定系数法及复合函数从内到外的处理的原则即可求解.
【详解】设，则
,
所以，解得或，
所以函数的解析式为或.
【变式训练5-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设，（），利用两边恒等求出即可得结果．
【详解】
设，（）
∴，
即，
所以，解得，，
∴，故选B．
【点睛】
本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.
【变式训练5-2】、（2023春·河北承德·高二统考期末）一次函数在上单调递增，且，则 .
【答案】
【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法解决.
【详解】设，则，
，
则.又在上单调递增，即，
所以，，则.
故答案为：
考点精讲：求函数的解析式——换元法
例 6．（1）、（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数满足，则 .
【答案】
【分析】令代入，求出，即是
【详解】令则
所以，
故，
故答案为：
（2）、（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法计算可得.
【详解】因为，令，则，，
所以，，
所以.
故选：D
【变式训练6-1】、（2020·全国高一课时练习）若，则的解析式为
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
将已知解析式配方，可得，再通过替换法求得解析式．
【详解】
令，所以
所以
故选C.
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，属于一般题．
【变式训练6-2】、（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A． B．
C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点
【答案】ACD
【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可.
【详解】令，得，则，得，
故，，，A正确，B错误.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确.
故选：ACD
考点精讲：求函数的解析式——方程组法或消去法
例7．（1）、（2022秋·山西大同·高一大同一中校考期中）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用方程组法即可求出函数的解析式，从而求的值.
【详解】因为函数满足 ---①
所以 ---②
联立①②，得，解得，
∴
故选：A
（2）、（2020·河南洛阳一高）已知，则（ ）
A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．
【答案】A
【分析】
采用方程组法，将替换为再写一组，联立两个方程消去即可求解
【详解】
因为①，所以②，联立①②解得．
故选：A
【点睛】
本题考查方程组法求解析式，属于基础题
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
【答案】
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
【变式训练7-2】、（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则 .
【答案】/
【分析】将变为，由构造方程组法求函数解析式．
【详解】解：因为①，
所以②，
②①得，．
故答案为：．
(五)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例8、（1）、（2020·邵阳市第十一中学）（多选题）已知，且，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
【答案】AD
【分析】
分与两种情况讨论，解方程即可，要注意的范围.
【详解】
当时，，解得或（舍），
当时，，解得.
综上，或5.
故选：AD
（2）、（2020·太原市·山西实验中学）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【分析】
对分两种情况讨论得解.
【详解】
如果，则，
所以，
因为，所以舍去.
如果，则，
所以.
故选：B
【变式训练8-1】、（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）设函数，若，则实数a＝ ．
【答案】或
【分析】由分段函数解析式可得在定义域内恒成立，由题意可得，分和两种情况，运算求解.
【详解】当时，则；
当时，则；
综上所述：在定义域内恒成立，
令，则，解得，即，
当时，则，解得；
当时，则，解得或（舍去）；
综上所述：或.
故答案为：或.
【变式训练8-2】、（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】分和两种情况讨论，即可得解.
【详解】当时，，则，
当时，，解得，
综上.
故选：B.
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3.1 函数的概念及其表示
【基础知识梳理】
一、函数的概念
1．函数与映射的相关概念
(1)函数与映射的概念
函数 映射
两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合
对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B
注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(3)构成函数的三要素
函数的三要素为定义域、值域、对应关系.
(4)函数的表示方法
函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.
解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；
图象法：注意定义域对图象的影响.
二、函数的三要素
1．函数的定义域
函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式函数中分母不等于零.
(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.
(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.
2．函数的解析式
(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.
(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.
3．函数的值域
函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：
(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.
(2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为( ∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，
当a>0时，二次函数的值域为；
当a<0时，二次函数的值域为.
求二次函数的值域时，应掌握配方法：.
三、分段函数
分段函数的概念
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【知识拓展】
1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．
①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．
②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x 1，g(t)＝2t 1，h(m)＝2m 1均表示相等函数.
(2)映射的个数
若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
(一)、判断对应关系（图像）是否为函数.
1．判断对应关系是否为函数的2个条件
(1)A，B必须是非空实数集．
(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．
对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．
例1．（1）、（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·四川省绵阳第一中学高一期中）下列是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A．，对应法则
B．，，对应法则
C．，对应法则
D．，，对应法则
（3）、（2023·江苏·高一假期作业）（多选题）下列对应关系是实数集上的函数的是（ ）
A．：把对应到 B．：把对应到
C．：把对应到 D．：把对应到
【变式训练1-1】、（2022·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】、（2020·安徽蚌埠·高一阶段练习）下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（ ）
A． B．
C． D．
(二)、求函数的定义域.
1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略
(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
(3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求．
2．求函数定义域的注意点
(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．
(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.
考点精讲：求具体函数的定义域
例2．（1）、（2023春·新疆昌吉·高二统考期末）函数的定义域为 ．
（2）、（2022春·北京·高一校考期中）函数的定义域为 .
（3）、（2021秋·高一单元测试）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．R
【变式训练2-1】、（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为 ．
【变式训练2-2】、（2022·江苏·高一）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】、（2023秋·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期末）若函数，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
考点精讲：求抽象函数的定义域
例3．（1）、（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022秋·高一单元测试）若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（3）、（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（4）、（2023秋·陕西西安·高一长安一中校考期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【变式训练3-1】、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】、（2020·河北唐山一中高一期中）若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
【变式训练3-3】、（2022秋·江西赣州·高一统考期中）若函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-4】、（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数的定义域为 则的定义域为
(三)、判断函数为同一（相等）函数
判断函数相等的方法
(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；
(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．
例4．（1）、（2022秋·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
（2）、（2023·全国·高三专题练习）（多选题）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练4-1】．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选题）下列函数表示同一个函数的是（ ）.
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式训练4-2】．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
(四)、求函数的解析式
求函数解析式常用的方法
1．换元法：
已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
2．配凑法：
由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
3．待定系数法：
若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
4．方程组法：
已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x).
考点精讲：求函数的解析式——待定系数法
例5．（1）、（2023·全国·高三对口高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）设是一次函数，且，求的解析式.
【变式训练5-1】、（2021·江苏高一专题练习）已知是一次函数，且，则的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】、（2023春·河北承德·高二统考期末）一次函数在上单调递增，且，则 .
考点精讲：求函数的解析式——换元法
例 6．（1）、（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数满足，则 .
（2）、（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1】、（2020·全国高一课时练习）若，则的解析式为
A． B．
C． D．
【变式训练6-2】、（2023春·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）（多选题）已知函数，则（ ）
A． B．
C．的最小值为1 D．的图象与轴有1个交点
考点精讲：求函数的解析式——方程组法或消去法
例7．（1）、（2022秋·山西大同·高一大同一中校考期中）若函数满足，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2020·河南洛阳一高）已知，则（ ）
A． B．﹣3x C．﹣3x+1 D．
【变式训练7-1】、（2023·全国·高三专题练习）若，则______．
【变式训练7-2】、（2022·全国·高三专题练习）已知函数满足，则 .
(五)、分段函数求值
分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略：
1．求函数值：
弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算．
2．求函数最值：
分别求出每个区间上的最值，然后比较大小．
3．求参数：
“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式．
4．解不等式：
根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．
例8、（1）、（2020·邵阳市第十一中学）（多选题）已知，且，则（ ）
A． B．3 C．4 D．5
（2）、（2020·太原市·山西实验中学）已知实数，函数若，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练8-1】、（2022秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）设函数，若，则实数a＝ ．
【变式训练8-2】、（2023秋·江西赣州·高一统考期末）已知函数，若，则实数的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
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