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3.1 函数的概念及其表示
1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C． D．且
5．（2022秋·高一课时练习）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
7．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，则 （ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）下列是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022秋·高一单元测试）（多选题）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C．+ D．
13．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选题）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
14．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）（多选题）下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
15．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）（多选题）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
16．（2021秋·安徽六安·高一校考期中）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有 .
17．（2020·高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为 .
①，；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
③，；
④，.
18．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为 .
19．（2023·江苏·高一假期作业）求函数的定义域为 ．
20．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 .
21．（2023·全国·高一假期作业）若的定义域为，则的定义域为 ．
22．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则 .
23．（2023·全国·高三专题练习）若，则 ．
24．（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）已知函数对于任意的都有，则 .
25．（2022·全国·高一专题练习）已知是二次函数．且．则 ．
26．（2023·全国·高三对口高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
27．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
28．（2022·江苏·高一专题练习）（多选题）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲 乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
29．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
30．（2022秋·高一课时练习）（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
31．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则的值是2
32．（2021秋·吉林松原·高一校考期末）（多选题）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
33．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 .
34．（2023春·宁夏固原·高一校考阶段练习）已知函数若，则实数的值为 .
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3.1 函数的概念及其表示
1．（2023·全国·高三专题练习）下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函数的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项，时，，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当时，不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
2．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合，集合，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】存在点使一个与两个对应，A错误；当时，没有与之对应的，B错误；的范围超出了集合的范围，C错误；选项D满足函数关系的条件，正确，得到答案.
【详解】对选项A：存在点使一个与两个对应，不符合，排除；
对选项B：当时，没有与之对应的，不符合，排除；
对选项C：的范围超出了集合的范围，不符合，排除；
对选项D：满足函数关系的条件，正确.
故选：D
3．（2023春·山东潍坊·高二校考阶段练习）函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域相关知识直接求解.
【详解】函数，
则，即，即定义域是.
故选：D
4．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数的定义域为（ ）
A．且 B． C． D．且
【答案】A
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，，解得且，
所以函数的定义域为且.
故选：A
5．（2022秋·高一课时练习）下列四组函数，表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的三要素，逐一判断即可.
【详解】对于A，因为与对应法则不一致，不是同一函数；
对于B，因为定义域为，而的定义域为R，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C，因为定义域为，而的定义域为，
所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于D，，的定义域均为R，对应关系也相同，值域也相同，
故能表示同一函数.
故选：D.
6．（2023春·上海青浦·高一统考开学考试）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.
【详解】对于A，与定义域均为，所以，
与为相等函数，A正确；
对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；
对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；
对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.
故选：A.
7．（2023·高一单元测试）已知函数的定义域是，则的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据的定义域求出的定义域，从而可求解.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，所以,即的定义域为，
所以，解得，即的定义域是.
故选:C.
8．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.
【详解】∵函数的定义域为，即，可得，
∴函数的定义域为，
令，解得，
故函数的定义域为.
故选：B.
9．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用换元法求解析式即可.
【详解】令，则，
∴，
∴.
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用方程组法求解析式即可.
【详解】由，可得①，
又②，①＋②得：，解得，
故选：A．
11．（2023·全国·高一假期作业）（多选题）下列是函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据函数的定义，进行分析判断即可得解..
【详解】根据函数的定义可知，定义域内的每一个只有一个和它对应，
因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.
故选：ABD.
12．（2022秋·高一单元测试）（多选题）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B．
C．+ D．
【答案】AC
【分析】要使函数有意义，要牢记分母不为零，底数不为零，偶次方根被开方数大于等于零.
【详解】A选项，依题可知，且，所以，故A正确；
B选项，依题可知，所以，故B错误；
C选项，依题可知，且，所以，故C正确；
D选项，依题可知2，所以，故D错误，
故选：AC.
13．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）（多选题）下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ABD
【分析】根据当两函数的定义域和对应关系对应相等时是同一个函数逐个分析判断即可
【详解】对于A，由，得或，所以的定义域为，由，得，所以的定义域为，
所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以A正确，
对于B，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以B正确，
对于C，的定义域为，的定义域为，，所以两函数的定义域相同，对应关系也相同，所以这两个函数是同一个函数，所以C错误，
对于D，的定义域为，的定义域为，所以两函数的定义域不相同，所以两函数不是同一个函数，所以D正确，
故选：ABD
14．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）（多选题）下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】CD
【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同．
【详解】选项A中两个函数定义域都是R，但与的对应法则不相同，不是同一函数；
选项B中，定义域是，的定义域是，不是同一函数；
选项C中，定义域都是，化简后，，是同一函数；
选项D中，两个函数定义域都是，对应法则也相同，是同一函数．
故选：CD．
15．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）（多选题）已知一次函数满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由待定系数法代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，故．
因为，所以，解得或，
则或．
故选：AC.
16．（2021秋·安徽六安·高一校考期中）设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，不能表示集合M到集合N的函数关系的序号有 .
【答案】①③④
【分析】由已知，根据所给函数的定义及定义域和值域依次判断即可.
【详解】对①，由图知：，不符合函数的定义域，故①错误；
对②，由图知：，，图象符合函数的定义，故②正确.
对③，由图知：，不符合函数的值域，故③错误；
对④，不符合函数定义，不是函数图象，故④错误.
故答案为：①③④
17．（2020·高一课时练习）下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为 .
①，；
②A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：
③，；
④，.
【答案】②
【分析】由函数的定义，集合A中任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素和它对应，即可判断.
【详解】①，，存在对应两个的情况，所以不是A到B的函数；
②符合函数的定义，是A到B的函数；
③，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数；
④，，对于集合A中的没有对应，所以不是A到B的函数.
故答案为：②
【点睛】本题考查了函数的定义，考查了理解辨析的能力和逻辑推理能力，属于一般题目.
18．（2022秋·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求解即可.
【详解】由题可得，解得且；
的定义域为：．
故答案为：.
19．（2023·江苏·高一假期作业）求函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据所给解析式列出不等式组，要求分母不为0，被开方数大于等于0.
【详解】要使函数有意义，则，解得，
即且，
函数的定义域为.
故答案为：.
20．（2023秋·重庆长寿·高一重庆市长寿中学校校考期末）已知函数的定义域为，则的定义域为 .
【答案】
【分析】先由题意求出函数的定义域为，再由求解，即可得出结果.
【详解】因为函数的定义域为，所以；
即函数的定义域为；
由解得，
因此的定义域为.
故答案为：
21．（2023·全国·高一假期作业）若的定义域为，则的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据抽象函数的定义域，结合整体思想即可得解.
【详解】由的定义域为，
令，解得，
所以的定义域为.
故答案为：.
22．（2023·全国·高三专题练习）设定义在上的函数满足，则 .
【答案】
【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.
【详解】因为定义在上的函数满足，
将换成可得：，将其代入上式可得：
，
所以，
故答案为：.
23．（2023·全国·高三专题练习）若，则 ．
【答案】
【分析】将用代替又可得一个等式，将两个等式联立解方程即可得出结果.
【详解】由①，
将用代替得②，
由①②得.
故答案为：.
24．（2022秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）已知函数对于任意的都有，则 .
【答案】
【分析】由可得，联立消去整理求解.
【详解】∵，则
联立，消去整理得：
故答案为：.
25．（2022·全国·高一专题练习）已知是二次函数．且．则 ．
【答案】
【分析】设,化简整理对应系数得到，解方程组即可求出结果.
【详解】设，
则，
，
所以，又，
因此，解得，所以，
故答案为：.
26．（2023·全国·高三对口高考）已知二次函数满足，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可.
【详解】根据题意，由得:图象的对称轴为直线，
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当时， ，
即二次函数，
由得:，解得：，
则二次函数，
故选：A.
27．（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数若，则实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分和讨论即可.
【详解】当时，，解得；
当时，，解得.
故选：D.
28．（2022·江苏·高一专题练习）（多选题）某公司计划定制一批精美小礼品，准备在公司年终庆典大会上发给各位嘉宾，现有两个工厂可供选择，甲厂费用分为设计费和加工费两部分，先收取固定的设计费，再按礼品数量收取加工费，乙厂直接按礼品数量收取加工费，甲厂的总费用（千元），乙厂的总费用（千元）与礼品数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲 乙所示，则（ ）
A．甲厂的费用与礼品数量x之间的函数关系式为
B．当礼品数量不超过2千个时，乙厂的加工费平均每个为1.5元
C．当礼品数量超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为
D．若该公司需定制的礼品数量为6千个，则该公司选择乙厂更节省费用
【答案】ABC
【分析】直接根据函数图像求得函数解析式，进而分析各个选项.
【详解】根据图像甲厂的费用与礼品数量满足的函数为一次函数，且过（0,1），（8,5）两点，所以甲厂的费用与礼品数量满足的函数关系为，故A正确；
当定制礼品数量不超过2千个时，乙厂的总费用与礼品数量x之间的函数关系式为，所以乙厂的加工费平均每个为元，故B正确；
易知当时，与之间的函数为一次函数，且过（2,3），（8,5），所以函数关系式为，故C正确；
当时，，，因为，所以定制礼品数量为6千个时，选择甲厂更节省费用，故D不正确.
故选：ABC.
29．（2023·全国·高三专题练习）（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设，代入列方程组求解即可.
【详解】设，
由题意可知，
所以，解得或，
所以或.
故选：AD.
30．（2022秋·高一课时练习）（多选题）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】设，依次代入比较系数即可求解.
【详解】设()，
则，
∴，
解得或，
∴或.
故选：AD.
31．（2022秋·贵州毕节·高一统考期末）（多选题）已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C． D．若，则的值是2
【答案】BCD
【分析】对A：根据解析式判断定义域；对B：结合一次函数、二次函数求出值域；对C：代值即可求出结果；对D：利用函数值分段讨论求出变量的值.
【详解】对A：由题意知函数的定义域为，故A错误；
对B：当时，；当时，；
则的值域为，故B正确；
对C：当时，，故C正确；
对D：当时，，解得，不合题意；
当时，，解得或（舍去）；
综上所述：若，则的值是2，故D正确；
故选：BCD．
32．（2021秋·吉林松原·高一校考期末）（多选题）已知函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】AC
【分析】利用给定的分段函数，分段计算作答.
【详解】函数，而，
当时，，解得，满足条件，即有，
当时，，解得，显然不满足条件，则有，
所以实数a的值为或2.
故选：AC
33．（2023·全国·高三专题练习）已知二次函数，其图象过点，且满足，则的解析式为 .
【答案】
【分析】由已知条件可得，再根据恒相等可得满足的方程组，求出的值后可得的解析式.
【详解】根据题意可知，
又恒相等，
化简得到恒相等，
所以，故，，，
所以的解析式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数解析式的求法，一般地如果知晓函数的类型，则可以用待定系数法来解析式，本题属于基础题.
34．（2023春·宁夏固原·高一校考阶段练习）已知函数若，则实数的值为 .
【答案】或
【分析】根据解析式，利用代入法分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，显然满足；
当时，，或，而，
所以，
故答案为：或
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