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3.2 函数的基本性质
，
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得 （3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
重难点突破1 判断或证明函数的单调性
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
2．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
例1．（1）、（2021秋·北京·高一北京交通大学附属中学校考期中）在下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围
【变式训练1-1】、（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）（多选题）下列函数在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
例2．（1）、（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）若函数 在R上单调递减，则实数的取值范围是 ．
（2）、（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知 是上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
例3．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知函数.
(1)用定义证明：函数在区间上单调递增.
(2)若对，都有成立，求实数m的取值范围.
【变式训练3-1】、（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
重难点突破2 单调性的应用
例4．（1）、（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-1】、（2021秋·陕西咸阳·高一统考期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 .
【变式训练4-2】、（2022秋·广西南宁·高一校考期中）已知函数是定义在上的减函数，且对一切都成立，则实数的取值范围是 .
重难点突破3 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例5．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）．（2022秋·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）（多选题）下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-1】．（2021·陕西汉中·高二期末（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】．（2022秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
【变式训练5-3】．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点突破4 奇偶性的应用
例6．（1）、（2022秋·安徽池州·高一校考期中）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【变式训练6-1】．（2021秋·吉林长春·高一校考期中）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范围是 .
【变式训练6-2】．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
例7．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
【变式训练7-1】．（2023春·广西·高一校联考期中）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
重难点突破5 抽象函数的单调性与奇偶性
例8．（2022秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)解不等式：；
【变式训练8-1】．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）若是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有．
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
重难点突破6 冲刺压轴题
例9．（1）、（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知是定义在R上的偶函数且，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2021秋·陕西西安·高一西安一中校考期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点 D．函数的值域为
【变式训练9-1】．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是 ．
【变式训练9-2】．（2021秋·山西朔州·高三统考期中）若函数，则 .
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3.2 函数的基本性质
，
1、函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 （1）对于任意的，都有；（2）存在，使得 （3）对于任意的，都有；（4）存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
3、函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）若，则与的单调性相同；若，则与的单调性相反；
（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；
（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；
（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（6）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
4、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
5、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
重难点突破1 判断或证明函数的单调性
1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；
②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数；
③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。
2．判断函数单调性的方法：
（1）定义法，步骤为：取值，作差，变形，定号，判断．利用此方法证明抽象函数的单调性时，应根据所给抽象关系式的特点，对或进行适当变形，进而比较出与的大小．
（2）利用复合函数关系，若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数，简称“同增异减”．
（3）图象法：从左往右看，图象逐渐上升，则单调递增；图象逐渐下降，则单调递减．
（4）利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，判断函数的单调性.
3．在利用函数的单调性写出函数的单调区间时，首先应注意函数的单调区间应是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须先确定函数的定义域；其次需掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．
例1．（1）、（2021秋·北京·高一北京交通大学附属中学校考期中）在下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性确定正确答案.
【详解】A选项，是常数函数，不符合题意.
B选项，的开口向上，对称轴为，
所以在上递减，不符合题意.
C选项，，在上为增函数，符合题意.
D选项，当时，，在上递减，不符合题意.
故选：C
（2）．（2021·全国高三专题练习）已知函数在区间上是增函数，则的取值范围
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先求出函数的对称轴，再由二次函数的图象和条件列出关于的不等式．
【详解】
解：函数的对称轴为：，
函数在区间上是增函数，
，解得，
故选：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象及单调性的应用，属于基础题．
【变式训练1-1】、（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）（多选题）下列函数在上为增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据解析式对选项逐一分析判断函数的单调性.
【详解】对于A选项，在上为减函数，不符合题意；
对于B选项，的图象开口向上，对称轴为，则在上为减函数，不符合题意；
对于C选项，在上为增函数，符合题意.
对于D选项，，则在上为增函数，符合题意.
故选：CD.
【变式训练1-2】、（2021秋·广东深圳·高一深圳外国语学校校考期中）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分，，三种情况讨论，结合二次函数的性质得到不等式组，解得即可.
【详解】因为，
当时函数在定义域上单调递减，不符合题意，
当时，函数开口向下，不可能在上单调递增，不符合题意，
当时函数开口向上，对称轴为，要使函数在区间上单调递增，
所以，解得，所以的取值范围是.
故答案为：
例2．（1）、（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）若函数 在R上单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分段函数的单调性的性质，列式求解.
【详解】因为函数在R上单调递减，所以，且在时，，
所以.
故答案为：
（2）、（2022·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数 在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判断当时，单调递减，故根据分段函数在上单调递减，列出相应的不等式，解得答案.
【详解】当时，单调递减，
在上递减，
且，
解得，
故选：.
【变式训练2-1】、（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知 是上的增函数，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的单调性的性质以及基本初等函数的单调性即可求解.
【详解】是上的增函数，
所以 ，
故选：A
【变式训练2-2】、（2022·全国·高三专题练习）若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
【答案】D
【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.
【详解】根据题意，任意实数都有成立，
所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，
所以，解得：，
所以实数的取值范围是：,.
故选：D.
例3．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知函数.
(1)用定义证明：函数在区间上单调递增.
(2)若对，都有成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可作出证明；
（2）根据的单调性，求出其在上的最大值，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）任取，且，
，
因为，所以，
所以，即.
所以在上为单调递增．
（2）任意都有成立，即.
由（1）知在上为增函数，
所以时，.
所以实数的取值范围是.
【变式训练3-1】、（2022·贵州遵义·高一期末）已知函数
(1)当，证明函数在上单调递减；
(2)当时，，求的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】(1)利用证明函数单调性的定义，由，，可证明函数在上单调递减.
(2)通过讨论参数，分别求出，，时的值即可.
(1)
证明：若，则
，
当时，，所以
所以，函数在上单调递减.
(2)
①当时，，不满足条件；
②当时，易知函数在定义域内单调递增，则满足：，
联立，即解得，不满足条件；
③当时，令，
所以，函数在上单调递减；同理可证，函数在上单调递增，
所以，函数最小值应在处取得，
当时，函数在的最小值为，所以，解得，符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得，不符合条件；
当时，函数在的最小值为，所以，解得：，不符合条件；
综上，.
重难点突破2 单调性的应用
例4．（1）、（2021·贵州·高二学业考试）定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】由题图知：在上的单调递减，在上的单调递增，
所以的单调递减区间为.
故选：B
（2）、（2022秋·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）若函数在上是减函数，则与的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由为减函数可得，再利用函数为减函数可得结论.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以，得，
因为在上是减函数，所以，
故选：B
【变式训练4-1】、（2021秋·陕西咸阳·高一统考期中）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】/
【分析】分段函数在上单调递减，则满足在单调递减且在单调递减，同时.
【详解】若函数是上的减函数,
则满足在单调递减，则；在单调递减；
并且，即，综上
故答案为：
【变式训练4-2】、（2022秋·广西南宁·高一校考期中）已知函数是定义在上的减函数，且对一切都成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用函数单调性将问题转化成不等式恒成立问题，再对实数进行分类讨论即可求出其范围.
【详解】由于是定义在上的减函数，
且对一切都成立；
即不等式在恒成立，
当时，不等式在不恒成立，不满足题意；
当时，若要使不等式在恒成立，则需满足，
解得；
综上可知，实数的取值范围是.
故答案为：
重难点突破3 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例5．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】
A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合；
D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
故选：C.
（2）．（2023·全国·高三专题练习）设函数，则下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的定义即可判断.
【详解】，则，因为是偶函数，故为偶函数.
故选：A
（3）．（2022秋·广东湛江·高一湛江二十一中校考期中）（多选题）下列函数中既是奇函数，又在上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据奇函数和减函数的特性，结合选项判定即可.
【详解】选项A：是奇函数，但在上是增函数，排除A；
选项B：是奇函数，在上为减函数，符合题意；
选项C：定义域为，是非奇非偶函数，在上为增函数，排除C；
选项D：是奇函数，在上为减函数，符合题意；
故选：BD
【变式训练5-1】．（2021·陕西汉中·高二期末（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可得选项.
【详解】因为 .
选项A： ，定义域为 ，定义域不对称，故A错.
选项B： ，定义域为 ，定义域不对称，故B错.
选项C： ，定义域为 ，定义域不对称，故C错.
选项D： ，定义域为 ，定义域对称，为奇函数.故D正确.
故选：D.
【变式训练5-2】．（2022秋·陕西西安·高一西安市铁一中学校考期中）函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，即可得解.
【详解】因为定义域为，
且，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称.
故选：C
【变式训练5-3】．（2023春·北京·高一北京师大附中校考期中）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用奇偶性定义判断各项函数的奇偶性.
【详解】显然各项函数的定义域均为R，
，偶函数，A不符合；
，奇函数，B符合；
，非奇非偶函数，C不符合；
，非奇非偶函数，D不符合.
故选：B
重难点突破4 奇偶性的应用
例6．（1）、（2022秋·安徽池州·高一校考期中）已知是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意判断函数在上为增函数，，作出函数大致图像，数形结合，即可求得的解集.
【详解】奇函数在上为增函数，且，
函数在上为增函数，且，则函数的大致图像如图所示：
由，得 或，
则 或 ，
所以或,即的解集为,
故选:A．
（2）、（2022·全国·高一专题练习）已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是_______.
【答案】
【分析】把不等式化成不等式组，再利用函数的奇偶性、单调性求解作答.
【详解】因为奇函数，且在上是增函数，，
则在上是增函数，且，
不等式化为： 或 ，解得或，
所以不等式的解集是.
故答案为：
【变式训练6-1】．（2021秋·吉林长春·高一校考期中）已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性化为，再根据单调性以及定义域列式可求出结果.
【详解】因为是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，
所以由得，
得，得，得，
得,得.
故答案为：
【变式训练6-2】．（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）若定义在R上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的x的取值范围为___________.
【答案】
【分析】根据函数的单调性结合分类讨论可求的解.
【详解】等价于或或，
因为为偶函数，且，故即为，
即为，
而在区间上单调递增，故即，
同理的解为或，
故的解为，
而的解为，
故的解为.
故答案为：
例7．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数在为奇函数，且
(1)求值；
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)解关于t的不等式
【答案】(1)
(2)函数在为单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据可求得的值，再结合已知条件可求得实数的值；
（2）由（1）由此可得出函数的解析式，可判断是奇函数，判断出函数在上是减函数，任取、且，作差，因式分解后判断的符号，即可证得结论成立；
（3）由得，根据函数的单调性与定义域可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】（1）在为奇函数，，解得：，
又，解得：，
故，经检验满足题设.
（2）当时，，
当时函数在为奇函数，
由，判断函数在为单调递减，
证明：，
，
，
，，
，函数在为单调递减，
（3）则，
在为奇函数，，
又函数在为单调递减，
t的不等式的解集为
【变式训练7-1】．（2023春·广西·高一校联考期中）函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由和可求得，验证可知满足题意，由此可得解析式；
（2）任取，由可得结论；
（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域可构造不等式组求得结果.
【详解】（1）为定义在上的奇函数，，解得：，
，解得：；
当，时，，
，满足为奇函数；
综上所述：.
（2）在上单调递增；
证明如下：任取，
；
，，，，，
在上单调递增.
（3）为定义在上的奇函数，由得：，
又在上单调递增，，解得：，
不等式的解集为.
重难点突破5 抽象函数的单调性与奇偶性
例8．（2022秋·黑龙江七台河·高一勃利县高级中学校考期中）定义在上的函数满足：对任意的，都有，当，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)求证：在上是减函数；
(3)解不等式：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法，结合奇偶性的定义即可求解，
（2）根据函数单调性的定义即可求解，
（3）根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】（1）令，则，解得：；
令，则，
为定义在上的奇函数.
（2）设，则，；
，，，；
又，
，又当，，，
，即，在上是减函数.
（3）由得：；
定义域为且在上是减函数，
，解得：，不等式的解集为.
【变式训练8-1】．（2022秋·江西赣州·高一统考期中）若是定义在上的奇函数，且对任意，当时，都有．
(1)判断函数在上的单调性，并证明；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数在上的单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）结合题意，利用函数单调性的定义即可证明；
（2）结合题意将问题等价转化为对任意的恒成立，分和两种情况分离变量，再利用函数的单调性求出最值即可求解.
【详解】（1）函数在上单调递增
证明如下：设且，令，，且，
所以，
因为定义在上的为奇函数，得，
由可知，故，即，
所以函数在上单调递增.
（2）不等式对任意的恒成立，
因为函数是定义在上的奇函数，
则有对任意的恒成立，
由（1）可知，函数在上单调递增，
则有对任意的恒成立，
所以可得对任意的恒成立，
①当时，不等式化为，即，
故，令，则，
所以，
函数在区间上单调递增，所以当时，即时，，
此时实数的取值范围：，
②当时，不等式化为，
即，故恒成立，令，则，
所以，
函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，即时，，此时实数的取值范围为，
综上实数的取值范围为.
重难点突破6 冲刺压轴题
例9．（1）、（2022秋·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中）已知是定义在R上的偶函数且，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合的奇偶性、周期性确定正确答案.
【详解】由于是奇函数，图象关于原点对称，
所以关于对称，
所以，
由于是偶函数，
所以，
所以，
所以，
所以是周期为的周期函数.
，，
，
所以，
所以
.
故选：B
（2）、（2021秋·陕西西安·高一西安一中校考期中）已知为定义在R上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（ ）
A． B．函数在定义域上是周期为2的函数
C．直线与函数的图象有2个交点 D．函数的值域为
【答案】A
【分析】首先时，函数变形为，再结合函数是奇函数，可计算求值，并判断选项B；根据条件，可判断和时，函数的值域，即可判断D；再结合条件，以及D选项，即可判断C.
【详解】函数是上的奇函数，，由题意可得，
当时，，，A选项正确；
当时，，则，，，
则函数不是上周期为的函数，B选项错误；
若为奇数时，，
若为偶数，则，即当时，，
当时，，若，且当时，，
，
当时，则，，
当时，，则，
所以，函数在上的值域为，
由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，
由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；
如下图所示：
由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，
当或时，，此时，函数与函数没有交点，
则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
【变式训练9-1】．（2023春·广东河源·高一龙川县第一中学校考期中）定义在上函数满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是 ．
【答案】8
【分析】根据给定条件，依次求出函数在上的最大值、最小值，再借助函数图象求解作答.
【详解】定义在上函数满足，当时，，，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
由得，，因此当时，恒成立，
观察图象知，，则有，所以m的最小值是8.
故答案为：8
【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.
【变式训练9-2】．（2021秋·山西朔州·高三统考期中）若函数，则 .
【答案】2
【分析】先根据时，得，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得答案.
【详解】因为时，，
所以，故，
所以，所以.
又
.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的周期性，解题的关键在于根据时，得当时，，进而根据周期性得，考查学生的分析审题能力，属于较难题.
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