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3.3 幂函数
重难点 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】解：设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
(2)．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】根据幂函数定义求得k，再根据图象过的点求得，即可得答案.
【详解】由题意是幂函数，则，
即，将代入可得，
故，
故选：C
【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象经过点求解.
【详解】解：因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以．
故选：A)
【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）( 多选题)已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】根据已知条件求出幂函数的解析式，然后利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】设，则，可得，则，
对于A选项，对于函数，有，则函数的定义域为，A对；
对于B选项，，则函数的值域为，B对；
对于C选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
所以，函数为非奇非偶函数，C错；
对于D选项，的单调增区间为，D对.
故选：ABD.
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2．（1）、（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）（多选题）已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根据幂函数的单调性即可求解.
【详解】幂函数，，均在上单调递减，
幂函数在上单调递增．
故选：ACD.
（2）．（2023·全国·高三专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
【答案】A
【分析】根据幂函数的图象与性质，逐个判定，即可求解.
【详解】由函数是反比例函数，其对应图象为①；
函数的定义域为，应为图②；
因为的定义域为且为奇函数，故应为图③.
故选：A.
【变式训练2-1】、（2023·高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】依题意函数是由向右平移个单位得到，再由幂函数的性质判断的单调性，即可得到的单调性，从而求出参数的取值范围.
【详解】因为函数是由向右平移个单位得到，
函数为偶函数，且函数在上单调递增，则在上单调递减，
所以函数在上单调递增，则在上单调递减，
又函数在上是减函数，所以，即的取值范围是.
故答案为：
【变式训练2-2】、（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根据幂函数的图象的性质判断各图象对应解析式的形式，即可得答案.
【详解】图象（1）关于原点对称，为奇函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（2）关于轴对称，为偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（3）非奇非偶函数，且不过原点、第一象限递减，故满足；
图象（4）关于轴对称，为偶函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（5）关于原点对称，为奇函数，且过原点、第一象限递增，故满足；
图象（6）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递减，故满足；
图象（7）非奇非偶函数，且过原点、第一象限递增，而增长率随增大递增，故满足；
故图象对应解析式顺序为⑥④③②⑦①⑤.
故选：C
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，可得其为奇函数，且在上单调递增，可转化为，根据单调性即可求解.
【详解】设幂函数，其图象过点，所以，解得，
所以.
因为，所以为奇函数，且在上单调递增，
所以可化为，
可得，解得，所以的取值范围为.
故选:C.
（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.
【详解】
因为是单调递减函数，，所以，
因为幂函数在上递增，；
所以，
即，故选D.
【点睛】
同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
由幂函数的单调性可以判断出的大小关系，通过指数函数的单调性可以判断出的大小关系，比较的大小可以转化为比较与的大小，设求导，判断函数的单调性，利用函数的单调性可以判断出与的大小关系，最后确定三个数的大小关系.
【详解】
解:由幂函数和指数函数知识可得，，即，.
下面比较的大小，即比较与的大小.设，则，
在上单调递增，在上单调递减，
，即，即，
，即，即，故选C.
【点睛】
本题考查了幂函数和指数函数的单调性，通过变形、转化、构造函数判断函数值大小是解题的关键.
【变式训练3-2】、（2022秋·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，由幂函数的性质列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】函数为偶函数，且当时，单调递增，
则可得，
解得或
即的取值范围是
故答案为:
重难点题型突破3 幂函数型复合函数
例4．（2022秋·山西·高一校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算.
【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，
解得，于是
（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，
由，
即，于是，
解得
【变式训练4-1】、（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.
(1)求的解析式；
(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，由幂函数的性质列出方程即可求得，从而得到函数的解析式；
（2）根据题意，由幂函数的值域即可求得结果.
【详解】（1）∵，其中，
当时，当时，当时，（），
∵在区间上单调递增，∴，或
选①时，可知函数为偶函数，则的解析式为，
选②时，可知函数为奇函数，则的解析式为.
（2）若函数
易知在上单调递减，在上单调递增
当时，，当时，，
∴的值域为.
若，易知在上是增函数
当时，，当时，，
∴的值域为.
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3.3 幂函数
重难点 幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
重难点题型突破1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足：
(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．(1)、（2022·江苏·无锡市教育科学研究院高二期末）已知幂函数的图像过点，则（ ）
A． B． C． D．4
(2)．（2022秋·云南曲靖·高一校考期末）已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【变式训练1-1】、（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】、（2023·全国·高三专题练习）( 多选题)已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．是偶函数 D．的单调增区间为
重难点题型突破2 幂函数的图像及其性质的应用
幂函数的图像及其性质的应用
1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查：
①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2 、
例2．（1）、（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）（多选题）已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2023·全国·高三专题练习）如图，下列3个幂函数的图象，则其图象对应的函数可能是（ ）
A．①，②，③ B．①，②，③
C．①，②，③ D．①，②，③
【变式训练2-1】、（2023·高一课时练习）函数在上是减函数，则的取值范围是 ．
【变式训练2-2】、（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧：
结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较.
例3．（1）、（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2020·全国高一专题练习）下列关系中正确的是
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2019·江西九江·高二期末（理））设，，，则大小关系是
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2022秋·湖南郴州·高一安仁县第一中学校考阶段练习）若，则的取值范围是 ．
重难点题型突破3 幂函数型复合函数
例4．（2022秋·山西·高一校联考阶段练习）已知幂函数在上是减函数，．
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式训练4-1】、（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）已知幂函数在区间上单调递增.请从如下2个条件：①对任意的，都有；②对任意的，都有中任选1个作为已知条件，求解下列问题.
(1)求的解析式；
(2)在（1）问的条件下，当时，求的值域.
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
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