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3.3 幂函数
1．（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设幂函数为，然后将坐标代入可求出函数解析式，从而可得函数图象.
【详解】设幂函数为，则，，得，得，
所以，定义域为，所以排除AD，
因为，所以函数为偶函数，所以排除B，
故选：C
2．（2021秋·高一校考课时练习）幂函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用奇偶性排除BC；利用定义域排除A，进而可得答案.
【详解】，定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，排除BC；
又因为A中函数定义域为R，所以A不合题意，
故选：D.
3．（2023春·陕西安康·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数经过的点得表达式，进而根据幂函数的性质即可结合选项求解.
【详解】设幂函数的解析式为
由幂函数的图象过点，解得
，其定义域为，且是增函数，
当时，其图象在直线的上方，故 C满足题意.
故选：C
4．（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义逐个分析选项即可.
【详解】对于选项A，，故它是幂函数．故A项正确；
对于选项B，是幂函数，故B项正确；
对于选项C，选项的系数为3，所以它不是幂函数．故C项不成立；
对于选项D，是幂函数，故D项正确.
故选：C.
5．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】运用幂函数定义及集合包含关系即可求得结果.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除错误选项.
【详解】由，排除A，D，
当时，，所以，排除C．
故选：B．
7．（2021秋·高一校考课时练习）函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，则，求出的范围，再由取值验证即可
【详解】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减，
所以，解得，
因为，所以，或，或，
当时，为奇函数，不合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
当时，为奇函数，不合题意，
所以，
故选：C
8．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期末）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由可知 图像与的图像关于轴对称，由 的图像即可得出结果.
【详解】因为，所以 图像与的图像关于轴对称，
由解析式，作出的图像如图
从而可得图像为B选项.
故选：B.
9．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）若,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造,通过函数单调性及定义域,列出不等式,求出取值范围.
【详解】解:由题知构造,
由幂函数性质可知单调递增,
,
,
,
综上:.
故选:D
10．（2022秋·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义及性质求出的值，然后判断函数的单调性，利用单调性即可求解不等式的解集.
【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得或，
又幂函数在上单调递增，
所以，此时在R上单调递增，
因为，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故选：B.
11．（2021秋·高一课时练习）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用单调性转化，列不等式组，即可求出a的取值范围.
【详解】的定义域为，且在单调递增，
所以可化为：
，解得：.
故a的取值范围是.
故选：C
12．（2022·高一单元测试）满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的单调性结合函数值的正负，将所求不等式转化为关于的一次不等式组，求解即可.
【详解】幂函数在为减函数，且函数值为正，
在为减函数，且函数值为负，
等价于，
或或，
解得或或，
所以不等式的解集为.
故选：D.
13．（2023春·四川绵阳·高二期末）若幂函数的图象过点，则 ．
【答案】3
【分析】将代入幂函数中求出，从而可求出的值.
【详解】设幂函数为，则，得，
所以，
所以，
故答案为：3
14．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）已知幂函数满足，则 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义和单调性进行求解即可.
【详解】因为函数为幂函数，
则，解得或，
又因为，所以，
故答案为：.
15．（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知幂函数的图象过点和，则实数m＝ .
【答案】2
【分析】由幂函数的定义可设，代入运算即可得解.
【详解】由题意，设，
因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以.
又幂函数的图象经过点，
所以.
故答案为：.
16．（2022秋·广西百色·高一统考期末）幂函数在区间上单调递增，则 ；
【答案】2
【分析】根据幂函数相关性质直接求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，则，
当时，在区间上单调递增，符合题意；
当时，在区间上单调递减，不符合题意.
所以.
故答案为：2
17．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知点在幂函数的图象上，则
【答案】
【分析】先通过幂函数的概念求出m，然后将点代入解析式求出n，直接计算即可.
【详解】由幂函数概念知，，所以，
由题意，点在幂函数的图象上，
则，解得，所以，所以.
故答案为：
18．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ．
【答案】2
【分析】由函数是幂函数，则，解出的值，再验证函数是否为偶函数，得出答案.
【详解】由函数是幂函数，则，得或，
当时，函数，其定义域为，，则是偶函数，满足条件；
当时，函数是奇函数，不合题意.
故答案为：2.
19．（2021秋·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据幂函数定义，由求得m，再根据函数图象与坐标轴无交点确定即可.
【详解】由幂函数知，
得或.
当时，图象与坐标轴有交点，
当时，与坐标轴无交点，
∴.
故答案为:
20．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解.
【详解】由幂函数，可得函数的定义域为，且是递减函数，
因为，可得，解得，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
21．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设幂函数，将点代入求出的值，再利用幂函数的单调性求解即可.
【详解】设幂函数，，
因为幂函数的图象过点，所以，解得，
所以，的定义域为，且在上单调递减，
因为，所以，解得，
故答案为：
22．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】首先代入已知点求出，则，利用函数单调性即可得到不等式，解出即可.
【详解】设幂函数，
由题意得，解得，故，，
则，即为，
根据在上为单调增函数，则有，
解得，故解集为，
故答案为：．
23．（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）不等式的解为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的性质确定幂函数的奇偶性与单调性即可解不等式.
【详解】解：幂函数的定义域为，且函数在上单调递增，
又，则为偶函数，所以在上单调递减，
则由不等式可得，平方后整理得，
即，解得，则不等式的解集为.
故答案为：.
24．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）下列函数是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可.
【详解】对于A，函数的定义域为，
函数在上单调递增，A正确；
对于B，函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递增，B错误；
对于C，函数的定义域为，
函数在上单调递增，C正确；
对于D，函数的定义域为，
函数在上单调递增，在上单调递增，
但，D错误；
故选：AC.
25．（2023·全国·高一专题练习）若函数，则（ ）
A．的图象经过点和
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．当时，存在使得
【答案】BC
【分析】利用幂函数的的性质一一判断求解即可.
【详解】根据幂函数的图象性质可知，当时，幂函数不经过点，故A错误；
当的图象经过点时，，
因为经过点，
所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数，B正确；
当的图象经过点时，，
因为经过点，
所以时，的定义域为，时，的定义域为，都关于坐标原点对称，
又，
所以为偶函数，C正确；
当时，在单调递增，
所以，D错误，
故选：BC.
26．（2023秋·湖北·高一校联考期末）下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
【答案】AD
【分析】根据幂函数随着变化的图像与性质，即可判断正误.
【详解】幂函数的解析式为.
当时，，此函数先单调递减再单调递增，
则都是单调函数不成立，A选项错误；
当时，，定义域为，此函数为偶函数，
当时，，定义域为，此函数为非奇非偶函数，
所以可能是非奇非偶函数，B选项正确；
当时，无论取何值，都有，
图像必过点，C选项正确；
当时， 图像经过一三象限，D选项错误.
故选：AD.
27．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
【答案】，
【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【详解】因为在上为增函数，所以，解得，
又，所以，或．
又因为，所以是偶函数，所以为偶数．
当时，满足题意；当时，不满足题意，
所以，
又因为在上递增，所以，，
故时，的值域是．
28．（2023春·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知幂函数在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)为奇函数；理由见解析
(2)或
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性排除增根，由此确定
的单调性，结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（2）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由题意，解得或，
当时，，
函数在上单调递增，不合题意；
当时，，
函数的定义域为，
函数在上单调递减，在上单调递减，
但，
所以函数在定义域上不单调，符合题意，
所以，
因为函数的定义域关于原点对称，
且，
所以为奇函数；
（2）由及为奇函数，
可得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，
解得或．
29．（2022秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.
(1)求函数的解析式.
(2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
【答案】(1)
(2)是，
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可；
（2）首先得到的解析式，即可判断函数的单调性，再根据题意得到方程组，解得即可.
【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数，
所以，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，，函数的定义域为，
又，所以函数的值域为，
因为在上单调递增，
若存在，使得在上的值域为，
则函数在上单调递增，
有，解得或，或，
显然，所以，，
即存在，使得在上的值域为，
故函数为“佳”函数.
“佳”函数的区间为；
30．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．
(1)求m的值及函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据幂函数及其区间单调性列方程、不等式求参数，进而写出解析式；
（2）由（1）及已知得，结合二次函数性质及其区间最值，讨论对称轴与区间位置关系求参数值.
【详解】（1）幂函数在上单调递增，
故，解得，故；
（2）由（1）知：，
所以，
所以函数的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线；
由于在上的最大值为3，
①当时，在上单调递增，故，解得；
②当时，在上单调递减，故，解得；
③当时，在上单调递增，在上单调递减，故，解得（舍去）或（舍去）．
综上所述，．
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3.3 幂函数
1．（2023春·福建三明·高二统考期末）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021秋·高一校考课时练习）幂函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·陕西安康·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·全国·高一假期作业）下列函数中不是幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·辽宁辽阳·高二统考期末）“”是“是幂函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021秋·高一校考课时练习）函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
8．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳江油中学校考期末）已知函数则函数，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）若,则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022秋·山东泰安·高一山东省泰安第二中学校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增，不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021秋·高一课时练习）已知函数，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·高一单元测试）满足的实数m的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
13．（2023春·四川绵阳·高二期末）若幂函数的图象过点，则 ．
14．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）已知幂函数满足，则 .
15．（2023秋·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）已知幂函数的图象过点和，则实数m＝ .
16．（2022秋·广西百色·高一统考期末）幂函数在区间上单调递增，则 ；
17．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）已知点在幂函数的图象上，则
18．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数 ．
19．（2021秋·福建泉州·高一校考期中）已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
20．（2023·全国·高一假期作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 .
21．（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是 .
22．（2023春·湖南衡阳·高一衡阳市八中校考开学考试）已知幂函数经过点，则不等式的解集为 ．
23．（2023秋·上海徐汇·高一上海中学校考期末）不等式的解为 .
24．（2023春·浙江宁波·高二统考期末）下列函数是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
25．（2023·全国·高一专题练习）若函数，则（ ）
A．的图象经过点和
B．当的图象经过点时，为奇函数
C．当的图象经过点时，为偶函数
D．当时，存在使得
26．（2023秋·湖北·高一校联考期末）下列关于幂函数说法不正确的是（ ）
A．一定是单调函数 B．可能是非奇非偶函数
C．图像必过点 D．图像不会位于第三象限
27．（2022秋·陕西商洛·高一校考期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
28．（2023春·江苏苏州·高二常熟中学校考阶段练习）已知幂函数在定义域上不单调．
(1)试问：函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(2)若，求实数a的取值范围．
29．（2022秋·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中学校考阶段练习）设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.
(1)求函数的解析式.
(2)函数是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
30．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数在上单调递增．
(1)求m的值及函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为3，求实数a的值．
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